1. iii
DAFTAR ISI
JUDUL.......................................................................................................................................ii
KATA PENGANTAR ...............................................................................................................ii
DAFTAR ISI............................................................................................................................ iii
BAB I PENDHULUAN.............................................................................................................1
1.1. Latar Belakang................................................................................................................1
1.2. Rumusan Masalah...........................................................................................................2
1.3. Tujuan Pembahasan ........................................................................................................2
BAB II PEMBAHASAN ...........................................................................................................3
2.1 Optimasi dalam Program Linear......................................................................................3
2.1.1 Metode Grafik...........................................................................................................3
2.1.2 Metode Simplek........................................................................................................5
2.2 Penyelesaian analitis dengan kendala pertidaksamaan....................................................6
BAB III PENUTUP .................................................................................................................10
3.1 KESIMPULAN..............................................................................................................10
DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................11

2. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Optimalisasi menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia ialah tertinggi, paling baik,
sempurna, terbaik, paling menguntungkan, Mengoptimalkan berarti menjadikan sempurna,
menjadikan paling tinggi, menjadikan maksimal, Optimalisasi berarti pengoptimalan.
Optimalisasi adalah proses pencarian solusi yang terbaik, tidak selalu keuntungan yang paling
tinggi yang bisa dicapai jika tujuan pengoptimalan adalah memaksimumkan keuntungan, atau
tidak selalu biaya yang paling kecil yang bisa ditekan jika tujuan pengoptimalan adalah
meminimumkan biaya. Ada tiga elemen permasalahan optimalisasi yang harus diidentifikasi,
yaitu :
1. Tujuan
Tujuan bisa berbentuk maksimisasi atau minimisasi. Bentuk maksimisasi digunakan jika tujuan
pengoptimalan berhubungan dengan keuntungan, penerimaan, dan sejenisnya. Bentuk
minimisasi akan dipilih jika tujuan pengoptimalan berhubungan dengan biaya, waktu, jarak,
dan sejenisnya. Penentuan tujuan harus memperhatikan apa yang diminimumkan atau
maksimumkan.
2. Alternatif Keputusan
Pengambilan keputusan dihadapkan pada beberapa pilihan untuk mencapai tujuan yang
ditetapkan. Alternatif keputusan yang tersedia tentunya alternatif yang menggunakan
sumberdaya terbatas yang dimiliki pengambil keputusan. Alternatif keputusan merupakan
aktivitas atau kegiatan yang dilakukan untuk mencapai tujuan.
3. Sumberdaya yang Dibatasi
Sumberdaya merupakan pengorbanan yang harus dilakukan untuk mencapai tujuan yang
ditetapkan. Ketersediaan sumberdaya ini terbatas. Keterlibatan ini yang mengakibatkan
dibutuhkanya proses optimalisasi.
Dalam proses produksi untuk mencapai optimalisasi banyak hal yang harus diperhatikan
terutama dalam menyusun rencana produksi ini akan menjadi landasan dalam melakukan
produksi. Optimalisasi proses produksi merupakan cara untuk memaksimalkan hasil produksi
(output). Optimalisasi produksi dapat dicapai dengan meningkatkan produktivitas, sehingga

3. 2
tingkat efisiensi akan menjadi tinggi, dan berdampak pada produk yang dihasilkan akan
menjadi tinggi dan berdampak pada produk yang dihasilkan akan menjadi tinggi sehingga
rencana produksi atau target produksi dapat dicapai dengan tepat. Optimalisasi adalah usaha
memaksimalkan kegiatan sehingga mewujudkan keuntungan yang diinginkan atau dikehendaki
1.2. Rumusan Masalah
1. Bagaimana optimasi dalam program linear?
2. Bagaimana persoalan optimasi dengan kendala pertidaksamaan?
1.3. Tujuan Pembahasan
Adapun tujuan pembuatan makalah :
1. Untuk mengetahui optimasi dalam program linear.
2. Untuk mengetahui bagaimana proses penyelesaian dalam kendala pertidaksamaan.

4. 3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Optimasi dalam Program Linear
Program Linier/Linear Programming Salah satu teknik optimasi yang banyak berkaitan
dengan penggunaan sumber daya yang asal mulanya dikembangkan oleh George Dantzig pada
tahun 1947 dengan menggunakan suatu teknik yg disebut metode simplex (simplex method).
Adapun persamaan dalam program linier yaitu :
• Fungsi Tujuan (maksimum atau minimum) = menunjukkan tujuan yg ingin dicapai
• Persamaan Kendala (constraints) = menunjukkan kondisi keterbatasan yang ada
Didalam program linear mempunyai 2 metode yang disebut metode Grafik dan Metode
Simplex.
2.1.1 Metode Grafik
Metode grafik biasanya digunakan untuk memecahkan masalah program linier dengan dua
peubah, untuk tiga peubah sebenarnya masih dapat diterapkan, tetapi sedikit rumit karena harus
menggunakan grafik tiga dimensi yang sering sulit untuk diikuti dengan jelas.
Sebagai contoh dalam suatu industri menggunakan metode grafik.
Persoalan
Sebuah industri menghasilkan suatu jenis produk dengan 2 mutu, yaitu mutu A dan mutu B.
Untuk menghasilkan produk dengan 2 mutu tersebut digunakan 3 buah mesin, dengan
perlakuan yg berbeda pada tiap mesin, yaitu dalam hal lamanya proses pada setiap mesin
seperti pada tabel berikut :
Lama Proses Pada Setiap Mesin
Waktu Proses (Menit)
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
Mutu A 40 24 20
Mutu B 30 32 24
Setiap mesin hanya dapat digunakan tidak lebih dr 8 jam per hari. Keuntungan yg diperoleh
dari tiap produk adalah Rp 5 untuk produk dengan mutu A, dan Rp 8 untuk produk dengan
mutu B. Berapa jumlah produk A dan B yang optimal ?

5. 4
Penyelesaian
Peubah yang belum diketahui dan akan dicari adalah jumlah produk ( P ) dengan mutu A dan
B setiap harinya.
Fungsi Tujuan :
Maksimumkan P = 5A +8B
Kendala :
Kondisi Pembatas => Jam Kerja mesin 8 jam per hari (480 menit/hari)
40A + 30B ≤ 480 (Kendala Mesin 1)
24A + 32B ≤ 480 (Kendala Mesin 2)
20A + 24B ≤ 480 (Kendala Mesin 3)
Bentuk Persamaan Selengkapnya
Maksimumkan P = 5A + 8B
Kendala 40A + 30B ≤ 480 (Kendala Mesin 1)
24A + 32B ≤ 480 (Kendala Mesin 2)
20A + 24B ≤ 480 (Kendala Mesin 3)
A ≥ 0
B ≥ 0
Alternatif Penyelesaian
1. Hanya memproduksi mutu A
2. Hanya memproduksi mutu B
3. Memproduksi Mutu A dan B
Alternatif 1
Mesin 1 : 40A ≤ 480, atau B ≤ 16
Mesin 2 : 24A ≤ 480, atau B ≤ 15
Mesin 3 : 20A ≤ 480, atau B ≤ 20
Keuntungan yang diperoleh = 12 X Rp 5 = 60 / hari
Alternatif 2
Mesin 1 : 30B ≤ 480, atau B ≤ 16
Mesin 2 : 32B ≤ 480, atau B ≤ 15
Mesin 3 : 24B ≤ 480, atau B ≤ 20
Keuntungan yang diperoleh = 12 X Rp 5 = 60 / hari
Jika hanya A saja yang
diproduksi, maka tidak
boleh lebih dari 12
Jika hanya A saja yang
diproduksi, maka tidak
boleh lebih dari 12

6. 5
Alternatif 3
Semua persamaan kendala yang ada digambarkan di dalam suatu graik yang sama.
Beberapa kombinasi prdouksi mutu A dan B
A B Keuntungan ( Rp )
12 0 60
0 15 120
1.714 13.714 118.282
• Memproduksi mutu B saja akan memberikan keuntungan paling maksimal.
• Titik kombinasi A = 1,714 dan B = 13,714 diperoleh dari titik potong antara persamaan
kendala mesin 1 dan 2. Apabila perusahaan akan memproduksi dalam 2 mutu, maka
kombinasi tersebut merupakan kombinasi terbaik, tetapi bukan yang paling
menguntungkan.
2.1.2 Metode Simplek
Metode Simplek untuk memecahkan masalah umum program linier. Metode simplek adalah
suatu prosedur aljabar, yang melalui serangkaian operasi yang berulang, Metode simplek
dapat memecahkan suatu masalah yang terdiri dari tiga peubah atau lebih.

7. 6
-1
3
X1
X2
1
1
X1 X2
+ = 1
2
-4
-4
g
g
f
f(X*)
X*
X
-1
3
X1
X2
1
1
X1 X2
+ = 1
2
g
f
X
f
g
X*
Adapun gambaran langkah - langkah penyelesaian dalam menggunakan metode ini berikut
langkahnya :
1. Merumuskan masalah dalam bentuk persamaan
2. Menyusun peubah slack
3. Menentukan kolom peubah pengganti
4. Menentukan peubah yang diganti
5. Menghitung nilai baris baru
6. Mengganti nilai baris lainnya.
2.2 Penyelesaian analitis dengan kendala pertidaksamaan
Bagaimana menyelesaikan permasalahan optimasi dengan kendala pertidaksamaan
menggunakan pendekatan analitis. Metode yang biasa disebut dengan metode Kuhn Tucker.
Suatu permasalahan optimasi dengan kendala persamaan memiliki model matematika
sebagai berikut :
Min f(x)
st gi(x) ≤ 0, i = 1,2,3, …..
st singkatan dari Subject To (dengan syarat) → kendala
Contoh
1. Min 6
8
6
4
2
3 2
1
2
1
2
2
2
1 +
−
−
+
+ X
X
X
X
X
X j
St 1
2
1 
+ X
X → 1
)
( 2
1 −
+
= X
X
x
g
2. Min 6
8
6
4
2
3 2
1
2
1
2
2
2
1 +
−
−
+
+ X
X
X
X
X
X
St 1
2
1 
+ X
X → 1
)
( 2
1 +
−
−
= X
X
x
g
Secara geometris, contoh 1 dan 2 dapat direpresentasikan secara grafis sebagai berikut
(1) (2)

8. 7
Untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dengan kendala pertidaksamaan, semua
kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi persamaan. Untuk merubah sebuah
pertidaksamaan menjadi sebuah persamaan perhatikan contoh berikut ini.
x 3
3 =
+

 s
x
dimana s 0
 , s menyatakan kurangnya X dari 3. S disebut Slack. Karena 2
0 a
S
S =

 .
Sehingga dengan menambahkan slack, maka model matematika dengan kendala
pertidaksamaan berubah menjadi berikut ini.
Min f(x) min f(x)
St 0
)
( 
x
g st g(x) + a2
= 0
Dengan menggunakan fungsi Lagrange, fungsi tujuan f(x) dan fungsi kendala g(x) + a2
=0 dapat
dijadikan satu dalam fungsi Lagrange.
Definisikan :  
2
)
(
)
(
)
,
,
( a
x
g
x
f
a
x
L +
+
= 

Sehingga model matematikanya berubah menjadi model matematika tanpa kendala seperti
berikut
min L(x,  , a)
Syarat perlu keoptimalan : ,
0
=


X
L
0
=



L
, 0
=


a
L
(1) 0
)
(
)
( =

+
 x
g
x
f 
(2) 0
)
(
0
)
( 2


=
+ x
g
a
x
g
(3) 0
)
(
0
))
(
(
2
0
2
0
2 2
=

=
−

=

= x
g
x
g
a
a 



(4) 0


Jika model matematika terdiri dari banyak kendala,
min f(x)
st 0
)
( 
x
gi i : 1,2,3 ….,n
Maka fungsi Langrange-nya menjadi
( )
2
1
)
(
)
(
)
,
,
( ai
x
gi
i
x
f
a
x
L
n
i
+
+
= 
=


Slack

9. 8
Sehingga syarat perlu keoptimalannya adalah sebagai berikut
(1) 0
)
(
)
( =

+
  x
gi
i
x
f 
(2) 0
)
( 
x
gi
(3) 0
)
( =
x
igi

(4) 0

i

Contoh
Selesaikan model matematia berikut ini dengan pendekatan analitis
Min 6
8
6
4
2
3 2
1
2
1
2
2
2
1 +
−
−
+
+ X
X
X
X
X
X
St 1
2
1 
+ X
X
Penyelesaian :
Syarat perlu keoptimalan :
(1) 0
1
1
8
4
4
6
4
6
2
1
2
1
=






+






−
+
−
+

X
X
X
X
0
6
4
6 2
1 =
+
−
+ 
X
X
0
8
4
4 2
1 =
+
−
+ 
X
X
(2) 0
1
2
1 
−
+ X
X
(3) ( ) 0
1
2
1 =
−
+ X
X

(4) 0


kemungkinan 1 : 0
=

(1) 0
6
4
6 2
1 =
−
+ X
X X1 = -1
0
8
4
4 2
1 =
−
+ X
X X2 = 3
(2) X1 + X2 - 1 = -1 + 3 -1 = 1  0 (t.m)

10. 9
kemungkinan 2 : 0


(3) ( ) 
=
−
+ 0
1
2
1 X
X
 0
1
2
1 =
−
+ X
X
(1) 0
6
4
6 2
1 =
+
−
+ 
X
X X2 = 2
0
8
4
4 2
1 =
+
−
+ 
X
X X1 = -1
- 4 + 8 - 8 +  = 0 0
4 
=
  (memenuhi)
jadi 




−
=
2
1
*
x dengan 4
=

Syarat cukup keoptimalannya : Bila f(x) adalah Konvex dan gi(x)untuk 0

 adalah
Konvex maka x* yang memenuhi syarat-syarat perlu adalah penyelesaian dari persoalan
tersebut.

11. 10
BAB III
PENUTUP
3.1 KESIMPULAN
Konsep Optimasi bisa dikatakan mencari solusi dengan cara terbaik, menggunakan
metode metode optimasi tersebut. dengan melakukan setiap persoalan dijawab menggunakan
sistem matematik. Optimasi biasa dipergunakan oleh sebagaian perusahaan, institut bahkan
negara sekalipun yang bertujuan untuk mencari keuntungan dengan segala keterbatasan yang
dihadapi. Segala sesuatu permasalahan yang terjadi didalam menggunakan optimasi akan
selalu dihadapkan dengan keterbatasan yang dituntut untuk memaksimalkan hasil yang bisa
diperoleh. Setiap permasalahan menggunakan optimasi harus melalui tahapan tahapan yang
bergantung kepada teknik yang akan diambil, jika persyaratan tidak memenuhi maka optimasi
tidak dapat dilakukan biasanya persyaratan yang diperlukan dalam konsep optimasi adalah :
Menentukan tujuan masalah, Modal keterbatasan, dan hasil yang ingin diharapkan.

12. 11
DAFTAR PUSTAKA
1 Tim Prima Pena, Kamus Besar Bahasa Indonesia,( Gita Media Press, 2015) . h. 562 2
Hotniar Siringoringo, Pemograman Linear: Seri Teknik Riset Operasi, (Yogyakarta: Graha
Ilmu,2005). h.4
Wikipedia.( 1 September 2018) Optimasi, Dikunjungi 15 Desember 2020
https://id.wikipedia.org/wiki/Optimasi#:~:text=Optimasi%20adalah%20suatu%20proses%20
untuk,dan%20membuat%20sesusatu%20secara%20optimal.
Nisa Dwi Angresti, Arif Djunaidy, Ahmad Muklason.( June 2019) Hyper-heuristik untuk
Penyelesaian Masalah Optimasi Lintas Domain dengan Seleksi Heuristik berdasarkan
Variable Neighborhood Search, Dikunjungi 13 Desember 2020
https://www.researchgate.net/publication/337687309_Hyper-
heuristik_untuk_Penyelesaian_Masalah_Optimasi_Lintas_Domain_dengan_Seleksi_Heuristi
k_berdasarkan_Variable_Neighborhood_Search