La seconda guerra mondiale per licei e scuole medie
Modelli matematici rischio credito
1. Modelli Matematici per la
Misurazione del
Rischio di Credito
Giovanni Della Lunga
Università degli Studi di Siena
Polyhedron Computational Finance s.r.l.
2. Testi di riferimento
S. Benninga
U. Cherubini, G. Della Lunga
McGraw-Hill,
Misurare e Gestire il Rischio di Credito nelle Banche Alpha Test, 2001
F. Saita
Matematica Finanziaria, applicazioni con VBA per Excel
2002
A. Resti (a cura di)
Il Rischio Finanziario McGraw-Hill, 2001
U. Cherubini, G. Della Lunga
Modelli Finanziari McGraw-Hill, 2001
Il risk management in banca EGEA, 2000
A. Sironi, M. Marsella (a cura di)
La misurazione e la gestione del Rischio di Credito Bancaria Editrice, 1998
3. Una definizione classica…
Secondo la definizione tipicamente prevalente il
rischio di credito è identificato con la possibilità che
alcune delle controparti affidate da un intermediario
non siano in grado di ripagare in tutto o in parte i
crediti ricevuti.
In base a tale definizione il rischio di credito si
manifesta quindi mediante il verificarsi di un certo
numero di eventi di insolvenza all’interno delle
controparti affidate.
4. Una migliore definizione
Il rischio di credito rappresenta il rischio
che una variazione inattesa del merito
creditizio di una controparte nei
confronti della quale esiste una
esposizione generi una corrispondente
variazione inattesa del valore della
posizione creditoria.
5. Il rischio di credito: un problema di definizione
Il rischio di credito non è confinato alla sola possibilità
dell’insolvenza di una controparte: anche il semplice
deterioramento del merito creditizio di quest’ultima deve
considerarsi una manifestazione del rischio di credito.
Affinché si possa realmente parlare di rischio occorre che la
variazione del merito creditizio della controparte sia inattesa.
Questo porta alla definizione di due concetti
Perdita attesa
Perdita inattesa
6. Perdita attesa e inattesa
Data una certa esposizione nei confronti di una controparte, la perdita
attesa può essere considerata come il prodotto fra la probabilità di
insolvenza della controparte e la quota di credito che si ritiene non
sarebbe recuperato in caso di insolvenza.
A livello di portafoglio è comunque più conveniente definire il rischio di
credito come il rischio che le perdite riscontrate si discostino dalle
perdite attese da parte della banca.
7. Perdita Attesa e Inattesa
Il concetto di perdita attesa è tuttavia di
importanza fondamentale.
La quantificazione della perdita attesa è infatti
condizione necessaria per la definizione di una
corretta politica di accantonamenti per la
copertura del rischio di credito.
Come vedremo rappresenta il punto di
partenza nei processi di stima della
componente inattesa.
8. Il rischio di credito: una classificazione
Rischio di Insolvenza
Rischio di Migrazione
Rischio di Recupero
E’ legato alla possibilità che il tasso di recupero connesso alle esposizioni nei confronti
delle controparti divenute insolventi si riveli inferiore a quanto originariamente stimato
dalla banca.
Rischio di Esposizione
In generale il peggioramento del merito creditizio di una controparte non dà luogo ad
una perdita economica immediata per la banca a meno che l’esposizione creditizia
non derivi da un’attività negoziata in un mercato secondario liquido come nel caso di
un corporate bond.
Rappresenta il rischio che la dimensione dell’esposizione nei confronti di una
controparte aumenti in modo inaspettato in corrispondenza del periodo appena
antecedente il verificarsi dell’insolvenza.
Rischio di Spread
9. Alcune Conseguenze
La definizione data ha alcune implicazioni prima fra tutte la
necessità di considerare non solo le esposizioni attuali ma
anche quelle potenziali nella valutazione del rischio.
Per l’insorgere del rischio di credito, quindi, non occorre
necessariamente che esista un’esposizione creditizia corrente,
ma è sufficiente che esistano le condizioni per cui essa può
generarsi: ciò si può verificare, ad esempio nel caso di
conclusione di contratti over the counter in cui l’aumento del
valore di mercato della posizione per uno dei due contraenti
determina automaticamente l’insorgere di una posizione
creditoria nei confronti della controparte.
10. La determinazione della
perdita attesa
La perdita attesa risulta data dal prodotto di tre
componenti
L’esposizione assunta nei confronti della controparte (ad
esempio, nel caso semplice di un mutuo considerato al
momento dell’emissione, l’importo del prestito concesso);
La probabilità attesa di insolvenza della controparte (pins);
La percentuale attesa di perdita nel caso di insolvenza ( loss
given default, LGD), esprimibile anche come il complemento
ad uno del recovery rate (RR) registrato sul credito nei
confronti del creditore insolvente.
11. La determinazione della
perdita attesa
In formule
PA = E A pins E ( LGD ) = E A pins [1 − E ( RR)]
E’ utile notare che tutti e tre gli elementi sono incerti: ciò è
intuitivo per quanto concerne la probabilità di insolvenza e la
percentuale di perdita in caso di insolvenza ma vale anche con
riferimento all’esposizione
Operazioni che concedono alla clientela discrezionalità circa l’entità del
finanziamento da ricevere (es. scoperto in cc);
Operazioni in derivati OTC;
12. La determinazione della
perdita attesa
Esempio
Supponiamo di avere un prestito per 10
milioni di Euro con probabilità di insolvenza
stimata pari al 2% e recovery rate atteso
pari al 40%,
la perdita attesa sarà pari a 1.2 milioni di
Euro.
13. La determinazione della
perdita attesa
Nel caso più semplice in cui
l’esposizione attesa sia nota la stima
della perdita attesa si può ricondurre
alla stima di
probabilità di insolvenza
Recovery rate atteso
14. La determinazione della
perdita attesa
Ci sono due principali approcci
Si può dapprima procedere ad una
classificazione in base a valutazioni
soggettive delle operazioni o delle
controparti in classi di rischio
omogenee e, successivamente,
tentare di quantificare il rischio di
perdita attesa associato ad ogni
operazione o controparte;
Si può procedere direttamente ad
attribuire una perdita attesa alla
singola controparte sulla base di
modelli di tipo quantitativo basati
sui dati economico-finanziari della
singola impresa;
1.
1.
Individuazione del livello di
Individuazione del livello di
rischiosità della singola
rischiosità della singola
operazione oodel singolo
operazione del singolo
affidato;
affidato;
2.
2.
Quantificazione delle
Quantificazione delle
perdite attese associate aa
perdite attese associate
tale scala
tale scala
1.
1.
Stima della probabilità di
Stima della probabilità di
insolvenza;
insolvenza;
2.
2.
Stima ooassunzioni sul
Stima assunzioni sul
recovery rate
recovery rate
15. La determinazione della
perdita attesa – 1o approccio
Assegnazione del rating da parte dell’analista
Consente di discriminare le operazioni, all’interno di quelle accettate, in
funzione del rischio associato ad ognuna di esse;
Associazione della perdita attesa alla classe di
merito creditizio dell’operazione o del soggetto
affidato
1.
2.
3.
4.
Valutazione soggettiva
Valutazione “storica” sull’esperienza della banca o del sistema
bancario
Valutazione basata sui tassi di default cumulati registrati da titoli
obbligazionari con lo stesso rischio
Valutazione basata su tassi di perdita attesa desunti dagli spread dei
titoli obbligazionari con lo stesso rischio
16. La determinazione della
perdita attesa – 1o approccio
AAA
AA
A
BAA
BA
B
CAA
Dati ricavabili dall’analisi storica
dei bond soggetti a rating
Marginal Mortality Rate
Marginale
Cumulativa
Marginale
Cumulativa
Marginale
Cumulativa
Marginale
Cumulativa
Marginale
Cumulativa
Marginale
Cumulativa
Marginale
Cumulativa
1 anno
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.18%
0.18%
0.31%
0.31%
1.37%
1.37%
17.65%
17.65%
2 anni
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.48%
0.48%
0.00%
0.18%
1.05%
1.36%
3.78%
5.10%
9.09%
25.14%
3 anni
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.48%
0.00%
0.18%
1.05%
2.39%
5.93%
10.73%
25.00%
43.85%
MMR =
4 anni
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.48%
0.00%
0.18%
2.47%
4.80%
2.08%
12.58%
0.00%
43.85%
5 anni
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.48%
0.00%
0.18%
9.38%
13.73%
4.35%
16.39%
0.00%
43.85%
Tassi di mortalità per numero di emittenti su un campione di prestiti
sindacati (1990-1996) – fonte: Altman, Suggitt (1997)
numero di emittenti divenuti insolventi nell' anno t
numero di emittenti non insolventi all' inizio dell' anno t
L’analisi dei tassi di mortalità marginali
e comulati permette di ricostruire non
il tasso di perdita attesa ma la
probabilità attesa di insolvenza. Per
giungere ad una stima della perdita
attesa è quindi necessario combinare
tale dato con un’ipotesi circa il
recovery rate anch’esso tipicamente
determinato sulla base dei dati storici.
17. La determinazione della
perdita attesa – 2o approccio
L’altra strada consiste nel ricorrere a tecniche
quantitative che consentano di stimare
direttamente la probabilità di insolvenza
Credit Scoring
Questi modelli, normalmente, non hanno come risultato la formulazione di una
probabilità di default ma possono essere utilizzati per la determinazione di tale
probabilità
Analisi discriminante (esempio tratto da Resti (2000))
Reti Neurali
Option Theory
Modello di Merton
18. La determinazione della
perdita attesa
Stima del recovery rate
Per ottenere una valutazione della possibile
perdita occorre aggiungere un ulteriore
elemento che è rappresentato dalla stima
della perdita in caso di insolvenza ( loss given
default) o, alternativamente, dal tasso di
recupero del credito in caso di insolvenza
(recovery
rate)
che
rappresenta
il
complemento a 1 della perdita in caso di
insolvenza
19. La determinazione della
perdita attesa
Stima del recovery rate
La stima del recovery rate pone due difficoltà principali
Nella stima della perdita attesa (che è il nostro argomento di
analisi in questa parte) si presenta il problema di scegliere su
quale base (caratteristiche dell’impresa, della singola
operazione, di entrambe) costruire una base dati per
determinare una stima realistica del tasso di recupero medio
atteso;
Nella stima della variabilità della perdita attesa (e quindi nella
stima della perdita inattesa) si pone la necessità di valutare da
un lato la volatilità del recovery rate e dall’altro la correlazione fra
recovery rate e probabilità di insolvenza.
20. La determinazione della
perdita inattesa
Come abbiamo più volte sottolineato la perdita attesa
non rappresenta in senso stretto il rischio a cui un
portafoglio di esposizioni creditizie è esposto;
Idealmente se le perdite ex post non si discostassero
mai dalle perdite attese ex ante e fossero rispettate le
due condizioni relative al pricing e alla costituzione
degli accantonamenti il rischio per la banca potrebbe
essere considerato pressoché nullo.
21. La determinazione della
perdita inattesa
In una logica di Value-at-Risk possiamo identificare il rischio assunto
dalla banca a partire dalla distribuzione dei tassi di perdita come la
massima variazione sfavorevole a cui la banca stessa può essere
esposta.
Considerando per ognuna della variabili che determinano la perdita
attesa il valore più sfavorevole che esse possono assumere nello
scenario peggiore e ipotizzando una perfetta correlazione fra le tre
variabili, potremmo identificare la perdita massima entro un dato
intervallo di probabilità come:
Pwcs = Ewcs pins , wcs LGDwcs
22. La determinazione della
perdita inattesa
Non tutta la perdita nel worst case scenario può essere
identificata come misura del rischio dell’esposizione;
Parte di tale perdita è infatti rappresentata dalla perdita attesa;
La perdita inattesa è rappresentata dalla differenza fra il tasso di
perdita nello scenario più sfavorevole e il tasso di perdita attesa:
pi = pwcs − pa
23. La determinazione della
perdita inattesa
La misurazione del rischio di credito rappresenta un compito
assai più arduo di quanto non accada nel caso dei rischi di
mercato. Ciò è dovuto in particolare a tre problemi chiave
La non normalità della distribuzione sia dei rendimenti delle
posizioni che dei tassi di perdita;
La complessità nella determinazione dell’effetto delle correlazioni
fra posizioni diverse nel calcolo del VaR di portafoglio;
La disomogeneità e la scarsità, sia in senso assoluto che per
frequenza di rilevazione, dei dati disponibili per la stima del rischio
di credito
24. La determinazione della
perdita inattesa
Non Normalità
Nel caso dei tassi di perdita è evidente che la
distribuzione è marcatamente asimmetrica: a fronte
di una perdita minima pari a zero (che costituisce il
miglior risultato possibile per il detentore
dell’esposizione), e di una elevata probabilità di
ottenere perdite contenute, vi è una probabilità non
nulla di ottenere perdite estremamente elevate.
25. La determinazione della
perdita inattesa
Il problema della
Non Normalità
1
La distribuzione dei
tassi di perdita risulta
dunque limitata ad un
estremo e
caratterizzata da
un’unica coda lunga
all’altro estremo
mostrando una
swewness consistente
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.00
1.00
Densità
2.00
3.00
Dist. Cumulata
4.00
5.00
6.00
26. La determinazione della
perdita inattesa
Il problema della
Correlazione
L’analisi dell’impatto delle correlazioni fra le varie
posizioni ai fini della determinazione del VaR di
portafoglio risulta molto più complesso;
Non normalità dei tassi di perdita
Determinanti della diversificazione (individuazione dei risk
factors)
Disomogeneità e scarsità dei dati a disposizione
27. Che cosa è il Value-at-Risk
Il VaR misura la massima perdita attesa in un
dato intervallo di tempo ad un dato livello di
confidenza in condizioni normali di mercato
28. Che cosa è il
Value-at-Risk
Dalla serie storica ...
… alla distribuzione di probabilità
29. Che cosa è il Value-at-Risk
E’ una tecnica di gestione del rischio diffusa nell’area finanziaria degli istituti di
credito.
Il Value-at-Risk (VaR) è una misura della perdita potenziale di capitale che può
insorgere a causa di movimenti avversi nelle variabili finanziarie rilevanti.
Un portafoglio con un VaR con un livello di confidenza del 95% non dovrebbe
subire perdite superiori a quelle stimate in 95 casi su 100.
Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede i seguenti passi :
•
•
•
•
misurazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni unità operativa;
calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i fattori di rischio;
valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di posizione;
determinazione del livello di probabilità (o intervallo di confidenza).
Il capitale a rischio ovvero la massima perdita potenziale per il livello di
probabilità stabilito è dato dalla moltiplicazione delle quattro componenti sopra
riportate.
30. Che cosa è il
Value-at-Risk
Con
riferimento
alla
distribuzione
riportata,
vediamo che esiste una
probabilità del 5 % che il
rendimento
divenga
minore
di
–1.7
%
nell’arco di un mese.
Quindi se ipotizziamo di
avere
un
patrimonio
iniziale di 100 milioni di
lire, il VAR è pari a 1.7
milioni con un livello di
confidenza del 95%.
31. La determinazione del
Value-at-Risk
per il rischio di credito
Come abbiamo già visto il rischio complessivo
associato ad un’esposizione creditizia dipende
fondamentalmente dai seguenti fattori:
Volatilità dell’esposizione attesa
Volatilità della probabilità attesa di insolvenza
Volatilità della perdita in caso di insolvenza ( recovery rate
volatility)
Correlazioni fra esposizione, probabilità di insolvenza e
recovery rate
32. La determinazione del
Value-at-Risk
per il rischio di credito
Occorre introdurre qualche semplificazione!
Sulla tipologia di rischio considerata (solo rischio di
insolvenza o anche il rischio di deterioramento della qualità
dell’affidato)
Sui fattori determinanti la probabilità di migrazione o di
insolvenza (classi di rating, settori, paese, etc…)
Sulla classificazione (per classi discrete oppure nel
continuo) del livello di rischio della singola controparte
Sull’approccio metodologico utilizzato per la determinazione
della probabilità di insolvenza e del tasso di perdita
(attuariale, macroeconomico, a la Merton, etc…)
33. La determinazione del
Value-at-Risk
per il rischio di credito
Principali modelli attualmente disponibili
Modelli basati su una valutazione a valori di mercato
CreditMetrics
Modelli di tipo attuariale
CreditRisk+
Modelli basati sull’approccio “alla Merton”
KMV
Modelli basati sull’evoluzione di fattori macroeconomici
CreditPortfolioView (McKinsey)
35. CreditMetrics
TM
Proposto da JP Morgan sull’onda del successo di RiskMetrics™
Considera sia il rischio di default che il rischio di deterioramento del
merito creditizio della controparte
E’ basato su una logica di valutazione a valori di mercato
Il valore attribuito ad ogni posizione altro non è che il valore attuale dei
flussi futuri scontato ad un tasso espressivo del rischio di credito
dell’operazione
Il rischio connesso alle variazioni di merito può essere letto attraverso le
variazioni del valore di mercato della posizione connesse alla variazione del
tasso di attualizzazione dei flussi futuri
Un peggioramento dello standing creditizio implicherà la richiesta da parte
del mercato di un tasso di attualizzazione più elevato
36. CreditMetrics
Il livello di rischio della controparte è definito sulla base del suo rating
TM
Il rating è la sola discriminante del profilo di rischio della singola
esposizione
La possibile evoluzione del profilo di rischio del cliente è rappresentata
mediante una matrice (detta matrice di transizione) che esprime la
probabilità che una controparte avente un dato rating al tempo t si trovi
in ciascuna delle diverse possibili classi di rating al tempo t + 1
I tassi di attualizzazione sono ricavati ricostruendo, per ogni classe di
rating, la curva dei tassi forward relativa all’orizzonte temporale sul
quale si intende misurare il rischio (tipicamente un anno)
37. CreditMetrics
La matrice di transizione
rappresenta la
probabilità di una
controparte
caratterizzata da un
certo rating al tempo t …
Rating
iniziale
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
AAA
90.81%
0.70%
0.09%
0.02%
0.03%
0.00%
0.22%
AA
8.33%
90.65%
2.27%
0.33%
0.14%
0.11%
0.00%
TM
… di trovarsi in una delle
diverse possibili classi di
rating al tempo t+1
(tipicamente dopo un anno) …
Matrice di transizione ad un anno
Rating a fine anno
A
BBB
BB
0.68%
0.06%
0.12%
7.79%
0.64%
0.06%
91.05%
5.52%
0.74%
5.95%
86.93%
5.30%
0.67%
7.73%
80.53%
0.24%
0.43%
6.48%
0.22%
1.30%
2.38%
… oppure di cadere in
stato di insolvenza
B
0.00%
0.14%
0.26%
1.17%
8.84%
83.46%
11.24%
CCC
0.00%
0.02%
0.01%
0.12%
1.00%
4.07%
64.86%
Come si vede, per ogni classe di rating l’evento più probabile è quello di
rimanere nella medesima classe di partenza
Default
0.00%
0.00%
0.06%
0.18%
1.06%
5.20%
19.79%
38. CreditMetrics
Occorre poi determinare quale tasso di attualizzazione sia associato ad
ogni stato;
CM utilizza la curva dei tassi forward zero coupon calcolata alla data di
un anno dal momento della valutazione
TM
Tale curva può essere calcolata sulla base dei tassi spot riferiti ad ogni
scadenza per ogni classe di rating
In questo modo la curva ricavata dipende da un lato dalla term structure dei
tassi a termine e dall’altro dalla struttura per scadenza dei credit spread
Sulla base della curva dei tassi forward per ogni classe di rating è
possibile calcolare il valore di mercato di ogni titolo o prestito in
corrispondenza ad ogni possibile classe di rating alla data di un anno
da quella di valutazione (esempio).
39. CreditMetrics
TM
Procedendo con questa modalità è possibile calcolare il valore
di mercato futuro del titolo in corrispondenza di qualsiasi livello
di rating.
Ciò che invece non può essere calcolato con questo
procedimento è il valore del credito in caso di default
In questo caso il valore del prestito viene posto pari ad una
percentuale del valore nominale del prestito che rappresenta la
Tassi di recupero per classe di seniority (% del valore nominale)
Tassi di recupero per classe di senioritysi presume di recuperare (recovery rate)
stima dell’ammontare che (% del valore nominale)
Deviazione
Deviazione
Classe di seniority Mediasi possono utilizzare delle statistiche legate ai tassi di
In particolare
Classe di seniority Media
standard
standard
recupero sui prestiti obbligazionari societari, suddivisi per classi di
Senior Secured
53.80%
26.86%
Senior Securedseniority53.80% in base alla graduazione dei privilegi nel rimborso
26.86%
(ovvero
Senior Unsecured
51.13%
25.45%
Senior Unsecured crediti)
51.13%
25.45%
dei
Senior Subordinated 38.52%
23.81%
Senior Subordinated 38.52%
23.81%
Subordinated
32.74%
20.18%
Subordinated
32.74%
20.18%
Junior Subordinated
10.90%
Junior Subordinated 17.09%
17.09%
10.90%
40. CreditMetrics
TM
A questo punto per ogni titolo di una determinata classe di
rating disponiamo
Della matrice di transizione
Dei possibili valori associati ad ogni possibile rating finale e
all’evento di default
E’ possibile costruire la distribuzione dei valori del titolo
alla data di un anno a partire da oggi!
41. CreditMetrics
TM
Il programma VBA sviluppato effettua il calcolo delle quantità
richieste producendo in output la seguente tabella
Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe
con Valore Nominale :
100
Tasso :
6
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore
109.35
109.17
108.64
107.53
102.01
98.09
83.63
51.13
Probabilità
0.02%
0.33%
5.95%
86.93%
5.30%
1.17%
0.12%
0.18%
Variazione valore prestito
1.82
1.64
1.11
0.00
-5.52
-9.45
-23.91
-56.40
BBB
Durata : 5
Calcola
42. CreditMetrics
TM
Dalla distribuzione del valore del prestito è immediatamente desumibile
anche la distribuzione delle perdite ad esso associate
Per determinare la distribuzione delle perdite occorre però fare attenzione
alla determinazione della probabilità associata all’evento “perdite nulle”. In
questo caso infatti questo evento ha una probabilità pari alla somma delle
probabilità che si verifichino perdite pari a zero e delle probabilità che si
verifichino dei guadagni ossia dei casi in cui il prestito migri verso le classi
di rating migliori.
Perdite
0.00
5.52
9.45
23.91
56.40
Probabilità
93.23%
5.30%
1.17%
0.12%
0.18%
43. CreditMetrics
TM
Distribuzione valore del Prestito
Distribuzione delle perdite
10.00%
10.00%
9.00%
9.00%
8.00%
8.00%
7.00%
7.00%
6.00%
6.00%
5.00%
5.00%
4.00%
4.00%
3.00%
3.00%
2.00%
2.00%
1.00%
1.00%
0.00%
0.00%
109.35
109.17
108.64
107.53
102.01
98.09
83.63
51.13
0.00
5.52
9.45
23.91
56.40
Come si vede la distribuzione dei valori del prestito e delle relative perdite è tutt’altro che
normale;
Le perdite in casi estremi (evidenziate dalle code a destra) sono più probabili rispetto a
quelle derivanti da una distribuzione statistica di tipo gaussiano;
44. CreditMetrics
TM
I calcoli confermano un marcato allontanamento dai risultati che
potremmo aspettarci in caso di distribuzione normale
media
varianza
Dev. Standard
1o perc. Normale
1o perc. Effettivo
VaR Effettivo = 14.79
VaR Normale = 6.97
107.07
8.94
2.99
100.10
92.28
Il Value-at-Risk effettivo è più
del doppio di quello stimato
con l’ipotesi di normalità !!!
45. CreditMetrics
TM
Il rischio di Portafoglio
Estendendo la metodologia appena vista al caso di un portafoglio con più
prestiti emerge un ulteriore fattore di rischio: la correlazione fra i vari
prenditori;
Maggiore è la correlazione all’interno del portafoglio, più elevato è il rischio;
La correlazione tende ad essere elevata per aziende appartenenti allo stesso
settore industriale;
Le correlazioni sono sensibili al ciclo economico;
Nel modello CreditMetrics™ si procede alla stima delle correlazioni fra i
rendimenti dei prenditori utilizzando come “proxy” i relativi rendimenti
azionari;
Si ipotizza pertanto che gli attivi aziendali siano finanziati esclusivamente
dal capitale azionario;
Utilizzando queste correlazioni si determina la distribuzione congiunta dei
rendimenti dei prenditori;
46. CreditMetrics
TM
Secondo il modello del valore delle attività aziendali proposto da Merton
(1974), il default di un’azienda si verifica quando il valore delle sue
attività scende al di sotto di un certo livello;
Assumiamo che il tasso di rendimento delle attività aziendali si
distribuisca secondo una normale e consideriamo la distribuzione
standardizzata;
Se la probabilità di insolvenza per un determinato prenditore i è pari a pi
allora il valore soglia di default è dato da
Φ −1 ( pi )
−1
Dove Φ (.) è l’inversa della funzione di densità cumulata di una
distribuzione normale standard.
47. CreditMetrics
TM
Nel caso di un prenditore che si trovi inizialmente nella classe
BBB troviamo
Distribuzione normale standard di un prenditore BBB
Distribuzione normale standard McGraw-Hill 2001) BBB
di un prenditore
(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari
(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001)
0.45
0.45
Valore Probabilità Prob. Cum.
109.35
0.02%
100.00%
109.17
0.33%
99.98%
108.64
5.95%
99.65%
107.53 86.93%
93.70%
102.01
5.30%
6.77%
98.09
1.17%
1.47%
83.63
0.12%
0.30%
51.13
0.18%
0.18%
Soglia
3.54
2.70
1.53
-1.49
-2.18
-2.75
-2.91
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
Probabilità
Probabilità
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
Default
CCC
B
BB
L'azienda rimane BBB
A
AA AAA
Default 0,12%
CCC
B
BB
L'azienda rimane BBB 5,95%
A
AA AAA
0,18%
1,17% 5,30%
86,93%
0,33% 0,02%
0,18%
0,12% 1,17% 5,30%
86,93%
5,95% 0,33% 0,02%
ZDef
ZCCC
ZBB
ZBBB
ZA
ZAA
ZB
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
-2,91Def -2,75CCC -2,18 B -1,49BB
1,53BBB 2,70 A 3,54 AA
-2,91 -2,75
1,53
2,70 3,54
-2,18 -1,49
Rendimento attività
Rendimento attività
48. CreditMetrics
TM
A questo punto analizziamo i movimenti dei rendimenti dell’attivo di due prenditori
caratterizzati da una determinata misura di correlazione;
Poiché i valori degli attivi non sono osservabili sul mercato, in CreditMetrics™ i coefficienti
di correlazione sono stimati sulla base dei prezzi azionari dei prenditori (o di gruppi di
prenditori sulla base dell’area geografica e del settore di appartenenza);
Assumiamo che i rendimenti dell’attivo di due prenditori si distribuiscano secondo una
distribuzione normale standard bivariata che è funzione dei rendimenti relativi alle varie
classi di rating ri ed rj e del coefficiente di correlazione fra i rendimenti degli attivi aziendali ρ
:
1
2
2
f (ri , rj , ρ ) =
exp −
ri + rj − 2 ρri rj
2
2
2π 1 − ρ
2 1− ρ
1
(
(
)
)
49. CreditMetrics
TM
Esempio: calcolare la probabilità che due prenditori di classe
rispettivamente BBB e A restino nella stessa classe iniziale
Determinazione delle soglie
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore Probabilità Prob. Cum.
109.35
0.02%
100.00%
109.17
0.33%
99.98%
108.64
5.95%
99.65%
107.53
86.93%
93.70%
102.01
5.30%
6.77%
98.09
1.17%
1.47%
83.63
0.12%
0.30%
51.13
0.18%
0.18%
Soglia
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore Probabilità Prob. Cum.
109.35
0.09%
100.00%
109.17
2.27%
99.91%
108.64
91.05%
97.64%
107.53
5.52%
6.59%
102.01
0.74%
1.07%
98.09
0.26%
0.33%
83.63
0.01%
0.07%
51.13
0.06%
0.06%
Soglia
3.54
2.70
1.53
-1.49
-2.18
-2.75
-2.91
3.12
1.98
-1.51
-2.30
-2.72
-3.19
-3.24
− 1.49 ≤ ri ≤ 1.53
− 1.51 ≤ rj ≤ 1.98
50. CreditMetrics
TM
Calcolo dell’integrale doppio
P (−1.49 ≤ rBBB ≤ 1.53;−1.51 ≤ r∫A ≤ 1.98 =
∫
1.53 1.98
−1.49 −1.51
1.53 1.98
∫ ∫
−1.49 −1.51
1
exp −
ri 2 + rj2 − 2 ρri rj
2
2 1− ρ 2
2π 1 − ρ
1
(
(
)
Il calcolo di questo integrale avviene per via numerica
)
dri drj
51. CreditMetrics
TM
Effettuando il calcolo per tutte le possibili combinazioni di rating dei due
prenditori, otteniamo una tabella che contiene le probabilità di migrazione
congiunte
Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori
Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori
Correlazione
Correlazione
Nr. Parti
Nr. Parti
Prend. 1
Prend. 1
Soglia
Soglia
AAA
AAA
AA
AA
A
A
BBB
BBB
BB
BB
B
B
CCC
CCC
Default
Default
0.2
0.2
100
100
Soglia
Soglia
4.00
4.00
3.54
3.54
2.70
2.70
1.53
1.53
-1.49
-1.49
-2.18
-2.18
-2.75
-2.75
-2.91
-2.91
-4.00
-4.00
Totale
Totale
AAA
AAA
3.12
3.12
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.02%
0.02%
0.07%
0.07%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.09%
0.09%
AA
AA
1.98
1.98
0.00%
0.00%
0.02%
0.02%
0.29%
0.29%
1.91%
1.91%
0.04%
0.04%
0.01%
0.01%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
2.28%
2.28%
Prenditore 2
Prenditore 2
A
BBB
A
BBB
-1.51
-2.30
-1.51
-2.30
0.02%
0.00%
0.02%
0.00%
0.30%
0.00%
0.30%
0.00%
5.56%
0.15%
5.56%
0.15%
79.74%
4.71%
79.74%
4.71%
4.67%
0.52%
4.67%
0.52%
1.00%
0.14%
1.00%
0.14%
0.10%
0.02%
0.10%
0.02%
0.15%
0.03%
0.15%
0.03%
91.53%
5.55%
91.53%
5.55%
BB
BB
-2.72
-2.72
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
0.61%
0.61%
0.08%
0.08%
0.02%
0.02%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
0.74%
0.74%
B
B
-3.19
-3.19
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.21%
0.21%
0.03%
0.03%
0.01%
0.01%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.26%
0.26%
CCC
CCC
-3.24
-3.24
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
Default
Default
-4.00
Totale
-4.00
Totale
0.00%
0.02%
0.00%
0.02%
0.00%
0.33%
0.00%
0.33%
0.00%
6.03%
0.00%
6.03%
0.04%
87.31%
0.04%
87.31%
0.01%
5.36%
0.01%
5.36%
0.00%
1.18%
0.00%
1.18%
0.00%
0.12%
0.00%
0.12%
0.00%
0.18%
0.00%
0.18%
0.06%
100.53%
0.06%
100.53%
In questo esempio abbiamo ipotizzato una correlazione pari a 0.2
52. CreditMetrics
TM
Dobbiamo ora calcolare il valore attuale delle esposizioni delle attività dei due prenditori. Il
calcolo è analogo a quello visto precedentemente, si tratta semplicemente di attualizzare i
flussi futuri con le appropriate curve dei tassi forward. Ad esempio ipotizzando due strutture
di prestito del tipo
Prenditore 1 : rating BBB, valore nominale 100, cedola 6%, scadenza 5 anni
Prenditore 2: rating A, valore nominale 100, cedola 5%, scadenza 3 anni
Otteniamo
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore 1
109.35
109.17
108.64
107.53
102.01
98.09
83.63
51.13
Valore 2
106.59
106.49
106.30
105.64
103.15
101.39
88.71
51.13
53. CreditMetrics
TM
Combinando i dati fin qui calcolati siamo in grado di calcolare media,
varianza e percentile della distribuzione di valori. Nel nostro caso
otteniamo
Media = 213.26
Varianza = 10.97
St. Deviation = 3.31
VaR = ?
54. CreditMetrics
TM
Quando il portafoglio è composto da più attività i calcoli
diventano ovviamente più complessi;
CreditMetrics™ propone un metodo basato sulla simulazione
Monte Carlo. Questo metodo si suddivide in tre fasi
Generazione di vari scenari che corrispondono ai possibili “stati del
mondo” (ossia alle classi di rating dei nostri prenditori) che possono
verificarsi alla fine dell’orizzonte temporale di riferimento (1 anno)
Valutazione del portafoglio in ogni scenario
Sintesi dei risultati ottenuti attraverso il calcolo delle statistiche di
rischio del portafoglio
55. CreditMetrics
TM
Generazione degli scenari
Consideriamo un portafoglio composto da 3 prestiti così costituito
Prestito 1
Prestito 2
Prestito 3
$4mil.,
BBB rating,
senior unsecured (tasso recupero 51,13%),
cedola 6%,
scadenza 5 anni
$2mil.,
A rating,
senior unsecured (tasso recupero 51,13%),
cedola 5%,
scadenza 3 anni
$1mil.,
CCC rating,
senior unsecured (tasso recupero 51,13%),
cedola 10%,
scadenza 2 anni
56. CreditMetrics
TM
Il primo passo consiste, come prima, nel calcolo delle
probabilità di migrazione e delle soglie dei rendimenti dell’attivo
Rating
Rating
AAA
AAA
AA
AA
A
A
BBB
BBB
BB
BB
B
B
CCC
CCC
Default
Default
Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo
Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo
Azienda 1 (BBB)
Azienda 2 (A)
Azienda 3 (CCC)
Azienda 1 (BBB)
Azienda 2 (A)
Azienda 3 (CCC)
pi
zi
pi
zi
pi
zi
cumul
cumul
cumul
pi
zi
pi
zi
pi
zi
cumul
cumul
cumul
0.02
100.00
0.09
100.00
0.22
100.01
0.02
100.00
0.09
100.00
0.22
100.01
0.33
99.98
3.54
2.27
99.91
3.12
0.00
99.79
2.86
0.33
99.98
3.54
2.27
99.91
3.12
0.00
99.79
2.86
5.95
99.65
2.70
91.05
97.64
1.98
0.22
99.79
2.86
5.95
99.65
2.70
91.05
97.64
1.98
0.22
99.79
2.86
86.93
93.70
1.53
5.52
6.59
-1.51
1.30
99.57
2.63
86.93
93.70
1.53
5.52
6.59
-1.51
1.30
99.57
2.63
5.30
6.77
-1.49
0.74
1.07
-2.30
2.38
98.27
2.11
5.30
6.77
-1.49
0.74
1.07
-2.30
2.38
98.27
2.11
1.17
1.47
-2.18
0.26
0.33
-2.72
11.24
95.89
1.74
1.17
1.47
-2.18
0.26
0.33
-2.72
11.24
95.89
1.74
0.12
0.30
-2.75
0.01
0.07
-3.19
64.86
84.65
1.02
0.12
0.30
-2.75
0.01
0.07
-3.19
64.86
84.65
1.02
0.18
0.18
-2.91
0.06
0.06
-3.24
19.79
19.79
-0.85
0.18
0.18
-2.91
0.06
0.06
-3.24
19.79
19.79
-0.85
57. CreditMetrics
TM
Come abbiamo già detto nel modello CreditMetrics™, che si ispira al
modello di Merton, i rendimenti logaritmici dell’attivo di ogni singola
azienda si distribuiscono secondo una normale standard, quelli di due
aziende secondo una normale bivariata e, quelli di n aziende secondo
una normale multivariata;
Questi movimenti congiunti sono caratterizzati da una certa misura di
correlazione che, nel modello CreditMetrics™ viene derivata dai prezzi
azionari delle società in portafoglio.
Matrice di correlazione
Matrice di correlazione
Azienda 11 Azienda 22 Azienda 33
Azienda
Azienda
Azienda
Azienda 11
1.0
0.3
0.1
Azienda
1.0
0.3
0.1
Azienda 22
1.0
0.3
0.2
Azienda
1.0
0.3
0.2
Azienda 33
1.0
0.1
0.2
Azienda
1.0
0.1
0.2
58. CreditMetrics
TM
Per la determinazione della correlazione si può procedere nel
modo seguente
Esprimiamo il rendimento della singola società, sulla base di un
modello multifattoriale, come funzione del rendimento di alcuni
indici azionari rappresentativi di paese/settore e di una componente
specifica;
Sulla base delle correlazioni tra i diversi indici di paese/settore,
determinare le correlazioni fra i rendimenti delle attività di due
controparti da utilizzare ai fini della simulazione
59. CreditMetrics
TM
Ad esempio si considerino due imprese A e B il cui rendimento
azionario può essere scomposto come
′
rA = w1, A I1 + w2, A I 2 + w3, A rA
′
rB = w1, B I 3 + w2, B rB
I1, I2 e I3 rappresentano tre indici di settore/paese che consentono di
spiegare i rendimenti azionari di A e B, r’A r’B la componente di rischio
specifico dei singoli titoli e i coefficienti w identificano i pesi attribuiti a
ciascuna controparte.
60. CreditMetrics
TM
E’ possibile a questo punto calcolare la correlazione fra i
rendimenti di A e B sulla base della correlazione fra i diversi
fattori;
Le componenti idiosincratiche del rendimento dei due titoli sono
ipotizzate indipendenti dalle rimanenti variabili quindi la loro
correlazione con qualsiasi altro indice è pari a 0
ρ A, B = w1, A w1, B ρ I1 , I 2 + w2, A w1, B ρ I 2 , I 3
61. CreditMetrics
TM
Per ottenere gli scenari occorre generare numeri casuali
distribuiti secondo una normale standard ma con correlazione
assegnata pari alla matrice di correlazione ricavata dai proxy di
mercato
Per questo si può ricorrere al metodo della decomposizione di
Cholescky
62. CreditMetrics
TM
Cholescky Decomposition
Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali
distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà
pertanto data dalla matrice unità di dimensione n × n. Supponiamo di voler derivare da
questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più
indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata Σ.
Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare
delle variabili indipendenti , cioè si pone
Y = AX
Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n× n
tale che
AA = Σ
t
63. CreditMetrics
TM
Cholescky Decomposition
La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più
matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato Σ. Se la matrice
Σ è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per
risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.
Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice
triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale
sono nulli,
A11
A21
A=
A
n1
Ann
0
A22
An 2
0
0
64. CreditMetrics
TM
Cholescky Decomposition
Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono
ricavabili dalle seguenti formule iterative
i −1
2
aii = σ ii − ∑ aik
k =1
i −1
1
a ji = σ ij − ∑ aik a jk
aii
k =1
Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo
0
σ1
A=
σ ρ σ 1 − ρ 2
2
2
65. CreditMetrics
TM
Dopo aver determinato la decomposizione di Cholescky dalla
matrice di correlazione procediamo alla generazione dei numeri
casuali correlati in 4 stadi
Iniziamo con la generazione di numeri casuali normali standard non
correlati;
Moltiplichiamo ogni vettore per la matrice di Cholescky
Associamo questi scenari dei rendimenti alle varie classi di rating in
quanto ogni variazione dei rendimenti comporta il cambiamento dei
valori soglia;
E’ possibile simulare la migrazione del rating del singolo emittente
confrontando i valori estratti dalla distribuzione aleatoria con i valori
soglia determinati per ogni classe di rating. In funzione dell’intervallo
nel quale il valore estratto cade è possibile determinare il rating del
singolo soggetto per ogni giro della simulazione.
Infine determiniamo il valore delle esposizioni delle 3 attività
finanziarie per ogni classe di rating.
66. CreditMetrics
TM
Valorizzazione dell’esposizione
Analogamente a quanto descritto in precedenza il valore di ogni
esposizione nelle varie classi di rating è uguale al valore attuale dei
flussi di cassa futuri scontati agli appropriati fattori di sconto
forward;
L’unica eccezione riguarda il valore dell’esposizione in caso di
default che si considera pari ad una percentuale di recupero sul
valore nominale dell’esposizione
Gli autori di CreditMetrics™ ipotizzano che il recovery rate si
distribuisca secondo una distribuzione Beta, che può variare fra 0 ed 1
ed è caratterizzata da due parametri alfa e beta, che sono funzione
della media e della deviazione standard della distribuzione stessa
µ (µ − µ 2 − σ 2 )
α=
σ2
(1 − µ ) µ 2 − µσ 2
(1 − µ )
2
σ
β=
µ
67. CreditMetrics
TM
Conclusioni
Il modello CreditMetrics™ consente di stimare il Value-at-Risk
(VaR) relativo al rischio di credito delle attività finanziarie
(obbligazioni, prestiti bancari, etc…);
In particolare si perviene all’identificazione della massima perdita
potenziale del portafoglio su un orizzonte temporale predefinito e in
base ad un certo intervallo di confidenza;
Questo modello richiede molti input di base tra cui
Un sistema di rating interno per la classificazione dei prenditori in classi
di rischio
Una matrice di transizione che fornisce le probabilità di transizione da
una classe di rating ad un’altra
I tassi forward ad un anno per ogni classe di rating necessari per
l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri dell’esposizione
I tassi di recupero sull’esposizione suddivisi per classi di seniority
68. CreditMetrics
TM
L’importanza di questo modello è stata recentemente ribadita dal
Comitato di Basilea sulla Vigilanza Bancaria che lo ha adottato come
riferimento metodologico per la determinazione dei nuovi coefficienti di
adeguatezza del capitale delle istituzioni finanziarie a fronte del rischio
di credito.
Limiti del modello CreditMetrics
1) Per risalire dalla probabilità osservata a quella usata nel modello di
Merton è necessario conoscere volatilità dell'attivo e prezzo di mercato del
rischio
2) La correlazione tra i valori dell'azienda, che è ricavata dalla correlazione
tra i valori dell'equity, può essere significativamente distorta dalla presenza
di leverage"
70. CreditRisk+
Sviluppata da Credit Suisse Financial Products (
www.csfb.com/creditrisk);
Si basa su un approccio di tipo attuariale;
Fa perno su metodologie già utilizzate nella determinazione
delle riserve patrimoniali necessarie a fronte di un
portafoglio di polizze assicurative;
71. CreditRisk+
A) E’ una metodologia per la stima della distribuzione delle
perdite future;
B) Considera il rischio di controparte mentre dedica meno
attenzione ai rischi di esposizione e di recupero;
C) Adotta una distribuzione binomiale degli eventi creditizi;
D) Postula che le diverse controparti siano indipendenti fra loro
per ogni dato scenario macroeconomico;
E) Richiede dati di input in parte diversi da quelli necessari per
implementare altri modelli di credit risk management.
72. CreditRisk+
A
CreditRisk+ concentra la propria attenzione sulla stima delle perdite
future.
In alternativa, come sappiamo, sarebbe possibile guardare alle
variazioni nel valore attuale dei crediti (o nel loro valore di mercato se si
tratta di crediti quotati su un mercato secondario) come accade, ad
esempio, in CreditMetrics™
Lavorando sulla distribuzione delle perdite e non dei valori attuali,
CreditRisk+ perviene quindi ad una stima del rischio di credito che è
svincolata rispetto ad eventuali shock negli spread di mercato
Questo appare sostanzialmente corretto per tutte quelle situazioni in cui i
crediti non hanno accesso ad un mercato secondario e sono destinati ad
essere conservati nel bilancio della banca fino alla loro scadenza naturale;
Qualora tuttavia la diffusione di strumenti di titolarizzazione e cessione del
rischio di credito (ad esempio attraverso strumenti derivati) dovesse
assumere le caratteristiche di un mercato di massa, diverrebbe più corretto
incorporare nel valore del portafoglio crediti anche l’effetto dei possibili
cambiamenti negli spread.
73. CreditRisk+
B
CreditRisk+ si concentra solo sulla probabilità di insolvenza
mentre l’importo prestato e la severity sono considerati noti
a priori;
E’ possibile quindi che l’utilizzo di questo modello sottostimi in
qualche modo la reale portata del rischio;
E’ comunque possibile, anche se non estremamente semplice,
porre rimedio utilizzando la struttura logica del modello e
facendo ricorso a tecniche di simulazione Monte Carlo.
74. CreditRisk+
C
In CreditRisk+ si suppone che un credito evolva in modo
binomiale: questo significa che al termine di un determinato
arco temporale il prestito può essere ancora attivo oppure
aver dato luogo ad una perdita.
Tutti i possibili “stati del mondo” si riducono così al binomio
“sopravvivenza/insolvenza”;
Non esistono situazioni intermedie;
Tutti i crediti insolventi sono considerati uguali.
75. CreditRisk+
D
CreditRisk+ ipotizza l’indipendenza condizionale dei singoli crediti;
In pratica si assume che, per ogni possibile stato del mondo, i
crediti presenti nel portafoglio di una banca siano non correlati cioè
che il fallimento di un debitore non dipenda, in nessun modo, da
quello degli altri;
Questa ipotesi di indipendenza vale tuttavia solo per le distribuzioni
condizionali (cioè conseguenti ad un determinato stato del mondo);
se si allarga il quadro fino a ricomprendere tutti i possibili stati del
mondo futuri, allora la distribuzione complessiva (non condizionale)
delle perdite mostra un certo grado di correlazione.
76. CreditRisk+
E
Come abbiamo visto uno dei principali Obiettivi del modello
è quello di minimizzare gli input informativi richiesti con lo
scopo di ridurre il rischio connesso ad una stima erronea dei
parametri
Entità dell’esposizione
Probabilità attesa di insolvenza della controparte o di una
classe di controparti;
Volatilità del tasso di perdita medio;
Recovery rate
77. CreditRisk+
E
Non richiede la stima di curve dei tassi ad
hoc per controparti di diversa qualità;
Non richiede all’utente di specificare in
modo esplicito la matrice delle correlazioni
fra i diversi debitori;
78. CreditRisk+
Dato questo obiettivo preciso, il problema può essere
ricondotto alla stima dell’impatto di un evento
dannoso incerto in cui gli elementi chiave da
considerare sono:
La probabilità che l’evento negativo si manifesti e quindi la
distribuzione della probabilità di insolvenza;
La severità delle perdite nel caso in cui l’evento negativo si
manifesti.
80. CreditRisk+
Analisi della distribuzione della probabilità di insolvenza
Consideriamo un campione di N controparti;
La probabilità di insolvenza specifica per ogni singola
controparte sia pA . Questa probabilità si ritiene nota a priori ;
In concreto questa probabilità dovrà essere attribuita con qualche
procedura di rating!!
Indichiamo con p(n) la probabilità che si verifichino n casi di
insolvenza nel periodo considerato.
81. CreditRisk+
Vogliamo costruire la distribuzione di p(n) in
funzione di n
Introduciamo la funzione generatrice delle
probabilità
F( z ) =
∞
∑ p( n )z
n
n =0
dove z è una variabile aleatoria che vale 1 in caso
di default e 0 altrimenti
82. CreditRisk+
Si definisce funzione generatrice delle probabilità F(z) una funzione di
una variabile ausiliaria z costruita in modo tale che, dal suo sviluppo in
serie di Taylor, si possa dedurre l’intera distribuzione di probabilità di
una variabile aleatoria discreta x
Più precisamente, se
∞
∞
1 d n F ( z) n
F ( z ) = ∑ p ( n) z n = ∑
z
n
dz
n =0
n = 0 n!
rappresenta lo sviluppo in serie di F(z), allora
d n F ( z)
p ( n) =
dz n
esprime la probabilità che x risulti uguale ad n.
83. CreditRisk+
Per il singolo debitore il numero di casi di insolvenza
può essere solo 0 o 1e quindi p(n) = 0 per ogni n > 1.
Allora possiamo scrivere
FA ( z ) =
1
∑
p( n )z n = ( 1 − p A ) + p A
n =0
= 1 + p A( z − 1 )
Essendo pA la probabilità di insolvenza del debitore
considerato
84. CreditRisk+
Supponiamo che il verificarsi dell’insolvenza sia un fenomeno
indipendente fra le diverse controparti.
In questo caso la funzione generatrice dei momenti del singolo
portafoglio può essere scritta come la produttoria delle funzioni
generatrici a livello di singola controparte
F( z ) =
∏ FA( z ) = ∏ [1 + p A( z − 1 )]
A
=
∏e
A
ln[ 1+ p A ( z −1 )]
A
= exp
∑
A
ln[( 1 + p A ( z − 1 )]
85. CreditRisk+
Se la probabilità di insolvenza è sufficientemente
piccola possiamo scrivere
ln[1 + p A ( z − 1 )] ≈ p A ( z
⇓
F ( z ) = exp
dove
µ = ∑ pA
A
∑
A
rappresenta il numero medio di casi di
−1 )
insolvenza attesi nel portafoglio (e
quindi è per definizione la media della
variabile casuale “numero di default
totali”
p A ( z − 1 ) = exp[ µ( z − 1 )]
86. CreditRisk+
Sviluppando in serie di Taylor la funzione esponenziale
otteniamo
F( z ) = e
=
∞
∑
n =0
e
−µ
µ ( z −1 )
n
µ n
z
n!
=e
−µ
∞
( µz )
n!
n =0
∑
n
87. CreditRisk+
Sviluppando in serie di Taylor la funzione esponenziale
otteniamo
F( z ) = e
=
∞
∑
n =0
e
−µ
µ ( z −1 )
n
=e
−µ
∞
∞
( µz )
n!
n =0
∑
µ n
n
z =
p( n )z
n!
n =0
∑
n
88. CreditRisk+
…paragonando i due termini otteniamo:
p( n ) =
e
−µ
µ
n!
n
La funzione di probabilità dei casi di insolvenza si
distribuisce quindi come una distribuzione di Poisson
89. CreditRisk+
La distribuzione di
Poisson ha media
µ e deviazione
standard pari alla
radice quadrata di
µ
Distribuzione di Poisson
probabilità
0.3
media 4
media 2
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
numero eventi
90. CreditRisk+
Esempio
portafoglio di 200 controparti
probabilità di insolvenza 2%
numero casi di insolvenza attesi 4
µ = 200 × 0.02 = 4
probabilità di non avere nessun caso di insolvenza
e −4 4 0
p( 0 ) =
= 1.83%
0!
probabilità di avere esattamente 4 casi di insolvenza
e −4 4 4
p( 4 ) =
= 19.54%
4!
91. CreditRisk+
Se il merito di credito dei debitori è basso, e quindi le probabilità di
insolvenza non sono trascurabili, allora le approssimazioni svolte
possono portare ad errori sensibili
caso 11
caso
caso 22
caso
caso 33
caso
probabilità di default dei singoli debitori
probabilità di default dei singoli debitori
Rossi
Rossi
Bianchi
Bianchi
Verdi
Verdi
n
n
00
11
22
33
1.00%
1.00%
2.00%
2.00%
0.50%
0.50%
5.00%
5.00%
10.00%
10.00%
2.50%
2.50%
25.00%
25.00%
50.00%
50.00%
12.50%
12.50%
probabilità di assistere ad nndefault
probabilità di assistere ad default
Stimate
Reali
Stimate
Reali
Stimate
Stimate
Reali
Stimate
Reali
Stimate
96.60%
96.50%
83.90%
83.40%
41.70%
96.60%
96.50%
83.90%
83.40%
41.70%
3.40%
3.40%
14.70%
15.80%
36.50%
3.40%
3.40%
14.70%
15.80%
36.50%
0.10%
0.00%
1.30%
0.80%
16.00%
0.10%
0.00%
1.30%
0.80%
16.00%
0.00%
0.00%
0.10%
0.00%
4.70%
0.00%
0.00%
0.10%
0.00%
4.70%
Reali
Reali
32.80%
32.80%
48.40%
48.40%
17.20%
17.20%
1.60%
1.60%
Fonte: A. Resti “La gestione del rischio di credito con modelli di derivazione attuariale: il caso di CreditRisk+” Fondo Interbancario di Tutela dei Depositi, Working Paper Nro 4
92. CreditRisk+
Dalla distribuzione del tasso di insolvenza alla
Dalla distribuzione del tasso di insolvenza alla
distribuzione del tasso di
distribuzione del tasso di
perdita
perdita
93. CreditRisk+
L’analisi svolta fino a questo momento si è concentrata sulla probabilità
che l’evento di insolvenza si manifestasse, senza tuttavia considerare
la severità delle possibili perdite connesse all’insolvenza che dipendono
dall’ammontare dell’esposizione e dal recovery rate atteso
Il numero di debitori in default rappresenta una variabile casuale di
scarso interesse per chi gestisce i rischi di una banca;
Le perdite sui crediti rappresentano una variabile monetaria su una scala
continua;
Tuttavia abbiamo fin qui utilizzato un modello basato su una variabile
discreta!
Per continuare ad usare l’approccio visto sin qui dobbiamo cercare di
descrivere il portafoglio crediti attraverso una scala discreta raggruppando
le esposizioni in un numero limitato di “gradini”
94. CreditRisk+
Ogni
controparte
viene
caratterizzata
direttamente per l’importo corrispondente alla
E’ possibile specificare un tasso di
perdita in caso di insolvenza (Loss Given
recupero diverso per ogni controparte
Default)
ma tale percentuale è considerata
come se fosse un valore certo.
Questa è una caratteristica rilevante
Per ogni esposizione è necessario effettuare
del modello che non consente infatti di
un’ipotesi deterministica circarischio addizionale
includere il
connesso all’incertezza del tasso di
connesso
Il livello di esposizione recupero. all’incertezza del tasso della
in caso di insolvenza di
controparte;
il recovery rate
95. CreditRisk+
Si raggruppano le
esposizioni
in
bande omogenee
secondo le loro loss
given default
le bande sono
definite in termini
di multipli di un
dato importo base
L
nell’esempio L =
$10.000
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
probabilità
di default
(pi)
1.00%
2.00%
0.50%
2.00%
1.00%
1.00%
1.00%
2.00%
2.50%
2.00%
0.50%
2.00%
1.00%
Loss Given
Default
(Li)
$11 000
$12 000
$11 000
$9 500
$22 000
$21 000
$19 500
$20 800
$33 000
$28 500
$31 000
$30 800
$29 000
totale
18.50%
$279 100
Banda
(vi)
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
96. CreditRisk+
Ogni banda è caratterizzata da un
numero atteso di default...
µj
… e da una perdita attesa che sarà
espressa in multipli di L
ε j =ν j × µ j
98. CreditRisk+
Ogni banda viene considerata un portafoglio
a se stante
p(n’) individua la probabilità di ottenere perdite complessive
nell’ipotesi che µj sia costante in ciascuna banda,
pari a n’ volte l’importo L
possiamo esprimere la funzione generatrice delle
probabilità della banda j-esima come
G j( z ) =
∞
∑ p( n' )z
n' =0
n'
99. CreditRisk+
Poiché approssimativamente la perdita in caso di singola
insolvenza all’interno di una banda è pari a νj, il numero di casi
di insolvenza n necessario per determinare perdite pari a n’L
sarà dato da
n ×ν j × L = n' ×L ⇒ n' = n ×ν j
Sostituendo in G(z) ed osservando che la probabilità che ci
siano perdite pari a n’L coincide con la probabilità che ci siano n
casi di insolvenza nella banda considerata, si ha
∞
nν j
G j( z ) =
p( n )z
n =0
∑
100. CreditRisk+
Sostituendo a p(n) la sua espressione si ha
∞
∑
G j( z ) =
e
−µ j
n =0
e
νj
−µ j µ j z
e
=e
µn
j
n!
z
nν j
=e
−µ j
(z µ )
∑
∞
n =0
νj
−µ j + µ j z
νj
j
n!
n
=
101. CreditRisk+
Se le bande di LGD sono indipendenti fra loro la f.g.p.
del portafoglio può essere ricavata come produttoria
delle f.g.p. delle singole bande ottenendo così
G( z ) =
∏G j( z ) = ∏e
j
exp −
j
∑µj +∑
j
j
µ jz
νj
νj
−µ j + µ j z
=
102. CreditRisk+
Da G(z) possiamo ricavare l’espressione della probabilità di perdita per
ogni possibile multiplo di L
n
1 d G( z )
Pr ob( perdite = n × L ) =
n! dz n
z =0
Es. Il termine di grado 6 esprimerà la probabilità di perdere 6L $ non
importa se attraverso il default di due crediti di banda tre, di tre crediti di
banda due o in altri modi ancora;
Tutta la distribuzione delle perdite future (“discretizzata” attraverso il
passaggio ai multipli interi di L) è dunque ora nota … basta “solo”
calcolarla!
103. CreditRisk+
Poiché G(z) è un esponenziale
dG ( z )
d n
νj
= G ( z ) ∑ µ j z = G ( z ) H ( z )
dz
dz j =1
1 d n −1
p ( n) =
[ G ( z ) H ( z )] z =0
n −1
n! dz
Regola di Eulero sulla derivata
n-esima di un prodotto
q
q d q−k G( z ) d k H ( z )
dq
[ G ( z ) H ( z )] = ∑ q − k
q
k dz
dz
dz k
k =0
104. CreditRisk+
1 n −1 n − 1 d n −1− k G ( z ) d k H ( z )
p ( n) = ∑
k
k dz n −1− k
n! k =0
0 dz =0
z=
z
A
B
1
d n −1− k
= (n − k − 1)!
G ( z ) = (n − k − 1)! p(n − k − 1)
(n − k − 1)! dz n −1− k
z =0
Per sviluppare B osserviamo che
0
dn m
ν
µ j z j = n! µ j
∑
dz n j =1
z =0 0
n >ν j
n =ν j
n <ν j
0
d k +1 m
ν
B = k +1 ∑ µ j z j =
dz j =1
z =0 (k + 1)! µ j
k ≠ ν j −1
k = ν j −1
105. Si tratta di una relazione ricorsiva
con cui è possibile generare tutti i
p(n)
CreditRisk+
Sostituendo ad A e B e considerando solo i termini della sommatoria
per cui k = vj – 1 (perché diversamente B si annulla) otteniamo
p ( n) =
1 n − 1
∑−1 n! k (n − k − 1)!p(n − k − 1)(k + 1)!µ j =
k ≤n
(n − 1)!(n − k − 1)!( k + 1)!
∑−1 n!k!(n − k − 1)! p(n − k − 1) µ j =
k ≤n
µ jν j
∑n n p ( n − ν j ) =
j |ν j ≤
∑ε
ν
j|
j ≤n
j
p(n −ν j )
n
Dove abbiamo fatto uso della definizione di µj e dell’uguaglianza k + 1 = vj
inizializzazione
p (0) = G (0) = e
−µ
106. CreditRisk+
90.00%
80.00%
70.00%
Utilizzando i dati dell’esempio abbiamo
60.00%
50.00%
p (0) = e − µ
p (1)40.00%1 p (o)
=ε
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
ε p (1) + ε 2 p (2)
p (230.00% 1
)=
2
20.00%
ε p (2) + ε 2 p (1) + ε 3 p (0)
p (3) = 1
3
10.00%
etc...
perdita
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
300000
probabilità
82.41%
4.90%
4.44%
7.01%
0.52%
0.37%
0.30%
0.03%
0.02%
0.01%
0.00%
0.00%
0.00%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
108. CreditRisk+
I risultati sin qui discussi si basano su due ipotesi di
lavoro estremamente impegnative
Si conosce con certezza la probabilità di default di ogni
debitore;
Si assume che i crediti presenti in portafoglio siano non
correlati, ovvero che il default di un prenditore sia
indipendente da quello di tutti gli altri
109. CreditRisk+
Nella realtà accade che il tasso di insolvenza dei
debitori non sia costante
Inoltre dai dati empirici si ricava che la volatilità delle
percentuali di insolvenza è superiore a quella
deducibile dalla distribuzione di Poisson;
Si introduce allora l’ipotesi che il tasso medio di casi
di insolvenza in portafoglio non sia rappresentato da
un valore fisso bensì da una variabile aleatoria X con
media µX e deviazione standard σX ;
110. CreditRisk+
In particolare si ipotizza che tale variabile sia
distribuita secondo una Gamma;
diversi
sottoinsiemi
di
controparti
(rappresentati ad esempio da diverse classi di
rating) possono essere così caratterizzati da
probabilità di insolvenza con valore atteso e
volatilità differenti fra loro;
111. CreditRisk+
La funzione di densità della distribuzione Gamma è data da
x α −1
f ( x;α , β ) = α
exp x
β
β Γ (α )
1
essendo
µX
α =
σ
X
∞
2
Γ (α ) = e − x xα −1dx
∫
0
2
σX
β=
µX
112. CreditRisk+
Se il tasso di perdita è anch’esso aleatorio, si può dimostrare
che la distribuzione del tasso di insolvenza è rappresentata da
una distribuzione binomiale negativa;
Questo determina una maggiore dispersione del tasso di
insolvenza atteso per ogni comparto;
La distribuzione risulta così più schiacciata verso il basso (e
quindi con maggiori probabilità di rilevare valori elevati nella
coda di destra) rispetto alla distribuzione di Poisson che si
sarebbe ottenuta considerando µ fisso;
113. CreditRisk+
La stima dei parametri di media e deviazione standard del tasso
di insolvenza annuo può essere ricavata sulla base dei dati
storici osservando la variabilità dei tassi di default per classi di
rating nel tempo
Classe di rating
Aaa
Aa
A
Baa
Ba
B
Media
0.00%
0.02%
0.01%
0.14%
1.20%
6.45%
Deviazione Standard
0.00%
0.11%
0.05%
0.29%
1.33%
5.12%
fonte: F. Saita Il Risk Management in Banca EGEA (2000)
114. CreditRisk+
La stima sulla base dei dati storici presenta tuttavia
alcune difficoltà
Il rischio associato alla classe Aaa è assolutamente nullo
(anche se nell’intervallo di tempo considerato 1970-1996
non si sono verificati casi di insolvenza, la probabilità non
può essere posta uguale a zero)
Sia la media che la deviazione standard relativa alla classe
Aa sono superiori dei relativi valori della più rischiosa classe
A.
115. CreditRisk+
L’insolvenza è un fenomeno relativamente
raro
occorre un campione estremamente ampio per
poter stimare con affidabilità la probabilità di
insolvenza (nell’esempio presentato il campione è
formato da solo 27 dati!!!)
è quindi inevitabile una componente di giudizio
soggettivo
117. CreditRisk+
Uno degli aspetti più delicati di questo
modello è rappresentato dal trattamento delle
correlazioni fra le diverse controparti;
Infatti non è possibile immaginare che la
probabilità di insolvenza per tutte le
controparti
possa
essere
considerata
indipendente;
CreditRisk+ tiene conto delle correlazioni in
due modi...
118. CreditRisk+
Introducendo un tasso di insolvenza
volatile (e distribuito come una funzione
Gamma);
Scomponendo l’esposizione del singolo
affidato in termini di esposizione per
settori;
119. CreditRisk+
Nel primo caso si introduce una
correlazione perché ipotizzare un tasso
di perdita volatile significa determinare
una tendenza dell’intero portafoglio a
muoversi verso probabilità di insolvenza
più alte o più basse a seconda che si
consideri un tasso di perdita più alto o
più basso del tasso medio.
120. CreditRisk+
In termini più formali quello che si ipotizza in questo modello è
l’indipendenza condizionale dei fallimenti di controparti diverse;
Dato un particolare “stato del mondo” (ad esempio una fase di
espansione o recessione) i fallimenti delle diverse controparti
risultano non correlati;
La correlazione fra i fallimenti deriva però dal fatto che più
controparti sono esposte contemporaneamente al medesimo
stato del mondo
nel modello questo avviene ipotizzando appunto che il tasso medio
di insolvenza aumenti o diminuisca contemporaneamente per
diverse controparti
121. CreditRisk+
Probabilità di fallimento marginali e congiunte di due debitori
condizionali a due possibili “stati del mondo”
Espansione
Rossi
Recessione
Rossi
50.00%
Bianchi
Fallisce Non Fallisce Totale
Fallisce
0.08%
1.92%
2.00%
Non Fallisce
3.92%
94.08% 98.00%
Totale
4.00%
96.00% 100.00%
50.00%
Bianchi
Fallisce Non Fallisce Totale
Fallisce
0.60%
5.40%
6.00%
Non Fallisce
9.40%
84.60% 94.00%
Totale
10.00%
90.00% 100.00%
122. CreditRisk+
Probabilità di fallimento non condizionali
Rossi
Bianchi
Fallisce Non Fallisce Totale
Fallisce
0.34%
3.66%
4.00%
Non Fallisce
6.66%
89.34% 96.00%
Totale
7.00%
93.00% 100.00%
Ricostruendo la probabilità di fallimento complessiva (non condizionale), che considera quindi il fatto che la probabilità di insolvenza dei due soggetti tende ad aumentare in modo contemporaneo in
fase di recessione, si può osservare come emerga una correlazione positiva fra le insolvenze delle due controparti.
123. CreditRisk+
Probabilità di fallimento non condizionali
Rossi
Bianchi
Fallisce Non Fallisce Totale
Fallisce
0.34%
3.66%
4.00%
Non Fallisce
6.66%
89.34% 96.00%
Totale
7.00%
93.00% 100.00%
La probabilità di insolvenza
congiunta risulta maggiore del
prodotto delle probabilità di
insolvenza marginali !
= 0.28%
124. CreditRisk+
La correlazione fra due binomiali può essere
espressa, conoscendo le probabilità di insolvenza
marginali p1 e p2 dei due soggetti e la probabilità di
insolvenza congiunta p12 , come
ρ=
p12 − p1 p2
p1 p2 ( 1 − p1 )( 1 − p2 )
nel nostro esempio troviamo
ρ = 1.20%
125. CreditRisk+
Seconda possibile soluzione
Possiamo pensare di scomporre l’esposizione del
singolo affidato in singoli settori (ipotizzati
indipendenti fra loro);
Il peso del settore k per l’impresa A sarà dato da
un fattore opportuno θkA ;
La sommatoria rispetto a k per ogni impresa è pari
a 1;
126. CreditRisk+
Rispetto alla soluzione precedente
Si identificano i singoli gruppi con i settori;
Si introduce la dipendenza di più controparti rispetto a fattori
macroeconomici comuni;
La comune dipendenza anche in questo caso produce la
comparsa di correlazione;
In questo caso si può dimostrare che la correlazione fra due
imprese A e B può essere espressa come:
ρ A, B
σk
= µ A µ B ∑ ϑ A , kϑ B , k
µ
k =1
k
n
2
127. CreditRisk+
Problema.
Dopo aver scomposto la posizione della singola controparte
per settori le perdite derivate a livello di singolo settore sono
riaggregate nell’ipotesi che il comportamento dei diversi
settori sia indipendente;
Questo da un lato rende possibile la determinazione della
perdita complessiva ma dall’altro esclude la possibilità di
tenere in considerazione l’effetto dovuto alla correlazione fra
diversi settori;
Nell’individuazione dei settori è quindi necessario
individuare settori sufficientemente ampi da essere poco
correlati fra loro;
