2. .
План
1. Постановка задачі дробово-лінійного
програмування.
2. Алгоритм розв’язування задачі дробово-
лінійного програмування симплексним методом.
3. Приклад визначення оптимального плану
дробово-лінійного програмування симплекс-
методом.
4. Алгоритм розв’язування задачі дробово-
лінійного програмування графічним методом.
5. Приклад визначення оптимального плану
дробово-лінійного програмування графічним
методом.
3. 8.1. Постановка задачі дробово-лінійного
програмування
• Розв’язуючи економічні задачі,
часто за критерій оптимальності беруть
показники рентабельності,
продуктивності праці тощо, які
математично подаються дробово-
лінійними функціями.
.
4. • Загальна економіко-математична модель у
цьому разі матиме вигляд:
n
å=
aij x j bi (i = 1,n)
x j ³ 0 ( j = 1,n)
j 1
.
за умов
n
å
j =
1
Z n
=
å
j =
1
,
.
max(min)
c x +
c
j j o
d x +
d
j j o
®
=
• Припускають, що знаменник цільової
функції в області допустимих розв’язків
системи обмежень не дорівнює нулю.
5. 8.2. Алгоритм розв’язування задачі дробово-
лінійного програмування симплекс- методом
• Алгоритм розв’язування задачі
дробово-лінійного програмування
передбачає зведення її до задачі
лінійного програмування. Для цього
позначимо знаменник
j = 0 j Þ j = =
.
,
n
d x d 1
j j 0 y
зробимо заміну змінних
,
å== +
j 1 0
y
, ( j 1,n)
y
y y x x
j
0
6. • Виконаємо відповідні перетворення:
j
y
c
å å
c y c y
1
å ( )
.
=
= =
= + ®
y
× =
+
=
+
=
n
j 1
l j 0 0
0
0
n
j 1
j j 0 0
0
n
j 1
0
0
j
c y c y max min
1
y
y
c
y
Z
7. j
y
å å
b a y b y
y
= =
Þ - = =
d x d 1
å j j 0
å
= =
Þ + =
.
• за умов
( å )
=
= Þ = Þ
n
j 1
ij j i 0
n
j 1
ij j i 0
n
j 1
i
0
ij
a y b y 0 i 1,m
a
y j ³ 0 ( j = 1,n)
y0 > 0
å
=
+ = Þ + = Þ
n
j 1
j j 0 0
n
j 1
j j 0 0 0
n
j 1 0
d y d y 1
d x y d y 1
y
8. • В результаті отримаємо задачу лінійного
програмування, яку можна розв’язати симплексним
методом:
n
Z = c y + c y ®
max(min)
j 1
j j 0 0
a y - b y = 0 i =
1,m
d y d y 1
å
=
y ³ 0 j =
1,n
.
( )
( )
j
y 0
0
j 0 0
n
j 1
j
n
j 1
il j i 0
>
+ =
å
å
=
=
9. • Нехай її оптимальний план
•
Y0 { }j = y01 , y02 , ..., y0n , y0 .
• Тоді значення оптимального
плану заданої задачі дробово-лінійного
програмування знайдемо за формулою
0 j = =
.
x0 j
( j 1,n)
y
y
x
0 j
0
10. 8.3. Задача 4.1. Розв'язання задачі дробово-
лінійного програмування симплес-методом
• Розв’язати задачу дробово-лінійного
програмування симплексним методом:
Z 3x 2x
x + 3x - x =
12;
1 2 3
2 x - x + x =
9;
1 2 4
x 4 x x 8;
- + + =
.
• за умов
max
+
1 2 ®
+
x x
1 2
=
ì
ï ï
í
ï ï
î
1 2 5
x ³ 0, j =
1,5.
j
11. • Розв’язування
• Зведемо початкову задачу до задачі
лінійного програмування згідно з
розглянутими раніше правилами.
• Позначимо
.
.
1 = +
• Введемо нові змінні:
,
або
1 2
0
x x
y
y j = y0 x j , j = 1,5
y
j
, j 1,5
y
x
j = =
0
12. • Отримаємо задачу лінійного програмування:
3 y
y + 3 y - y - 12 y =
0;
1 2 3 0
2 y - y + y - 9 y =
0;
1 2 4 0
y 4 y y 8 y 0;
- + + - =
1 2 5 0
y y 1;
1 2
y 0, y 0, j 1,5.
.
за умов
3 y 2 y max
1
y
2 y
y
y
1
1
f 1 2
0
0
0
= + ®
+
=
ì
ï ï ï
í
ï ï ï
î
+ =
³ ³ =
0 j
13. • Розв’яжемо задачу симплексним методом.
У перше та останнє обмеження введемо
штучні змінні y6 та y7
.
• Маємо оптимальний план перетвореної
задачі:
y 5 2 = y3 = y4 = 0 54
, , , , .
y 13 1 =
y 7 0 =
• Знайдемо оптимальний план
початкової задачі, враховуючи, що:
.
18
18
y 35 5 =
54
j
0
y
x =
j y
16. 8.4. Алгоритм розв’язування задачі дробово-
лінійного програмування графічним методом
• У разі, коли задача дробово-
лінійного програмування містить лише
дві змінні, для її розв’язування зручно
скористатися графічним методом.
• Спочатку, як і для звичайної задачі
лінійного програмування будуємо
геометричне місце точок системи
нерівностей, що визначає деякий
багатокутник допустимих розв’язків.
.
17. • Нехай маємо таку задачу:
Z = c x +
c x
a x a x b ;
11 1 12 2 1
a x a x b ;
21 1 22 2 2
........................
a x a x b .
.
за умов:
,
•
max
1 1 2 2 ®
d x +
d x
1 1 2 2
ì
ï ï
í
ï ï
î
+ £
+ £
+ £
m1 1 m2 2 m
x j ³ 0, ( j = 1,2)
18. • Допустимо, що , і цільова
функція набуває деякого значення:
( c1 - Zd1 )x1 + ( c2 - Zd2 )x2 = 0
x
.
d1x1 + d2 x2 > 0
.
Z
c x +
c x
1 1 2 2
1 1 2 2 =
d x +
d x
• Після елементарних перетворень
дістанемо:
або
.
1
c -
Zd
1 1
2 x
c -
Zd
2 2
= -
• Останнє рівняння описує пряму, що
обертається навколо початку системи
координат залежно від зміни значень x1 та x2
.
19. • Розглянемо кутовий коефіцієнт
нахилу одержаної прямої, що виражає
цільову функцію:
k( Z ) c Zd
.
.
-
1 1
c -
Zd
•
2 2
•
• Отже, кутовий коефіцієнт являє
собою функцію від Z .
= -
20. • Для визначення умов зростання
(спадання) функції дослідимо зміну
знака її похідної:
¢ = - - ¢ - - - ¢ -
( ) ( ) ( ) ( )
k ( Z ) c Zd c Zd c Zd c Zd
1 1 2 2 2 2 1 1
c Zd
2
2 2
d c Zd d c Zd
= - - - + -
1 2 2 2 1 1
c Zd
2
2 2
d c Zd d d c Zd d
= - - + + -
1 2 1 2 2 1 1 2
c Zd
2
2 2
k ( Z ) d c d c
Þ ¢ = -
.
( )
( ) ( )
( )
( )
1 2 2 1
( .
c -
Zd
) 2
2 2
Þ
-
=
-
- =
-
21. k¢( Z)
• Використовуючи формулу для , можна
встановити правила пошуку максимального
(мінімального) значення цільової функції:
• 1. Якщо
k ( Z ) d c d c 2 1 2 2 1
¢ =
k( Z)
Z
.
0 (d c d c ) 0
-
1 2 2 1 > Þ - >
-
,
( c Zd
)
2 2
то функція є зростаючою, і за збільшення
значення (значення цільової функції)
кутовий коефіцієнт нахилу прямої також
збільшується.
Тобто у разі, якщо (d1c2 - d2c1 ) > 0
,то для
відшукання точки максимуму необхідно
повертати пряму, що описує цільову функцію,
навколо початку системи координат у
напрямку проти годинникової стрілки;
22. k ( Z ) d c -
d c 2 1 2 2 1
• 2. Якщо ,
1 2 2 1 < Þ - <
-
то функція є спадною і за збільшення
значення (значення цільової функції)
кутовий коефіцієнт нахилу прямої буде
зменшуватись.
Тому у разі, якщо , то для
відшукання точки максимуму необхідно
повертати пряму, що описує цільову
функцію, навколо початку системи
координат у напрямку за годинниковою
стрілкою.
.
( )
0 (d c d c ) 0
c Zd
2 2
¢ =
k( Z)
Z
k( Z)
(d1c2 - d 2c1 ) < 0
23. • При розв’язуванні задачі дробово-
лінійного програмування графічним
методом можливі такі випадки:
• 1. Багатокутник розв’язків задачі
обмежений і максимальне та
мінімальне значення досягаються у
його кутових точках;
• 2. Багатокутник розв’язків задачі
необмежений, однак існують кутові
точки, в яких досягаються максимальне
та мінімальне значення цільової
функції;
.
24. • 3. Багатокутник розв’язків задачі
необмежений і досягається лише один
із екстремумів;
• 4. Багатокутник розв’язків задачі
необмежений, точки екстремумів
визначити неможливо.
.
25. 8.5. Задача 4.2. Розв'язання задачі дробово-
лінійного програмування графічним методом
• Розв’язати графічно задачу дробово-
лінійного програмування:
Z 3x 2 x
x + 3x - x =
12;
1 2 3
2x - x + x =
9;
1 2 4
x 4 x x 8;
- + + =
.
за умов
max(min)
+
1 2 ®
+
x x
1 2
=
ì
ï ï
í
ï ï
î
1 2 5
x ³ 0, j =
1,5.
j
26. ì
ï ï í
ï ï
.
• Розв’язання.
• Записуємо систему обмежень в
симетричній формі
x + 3x ³
12;
1 2
2x - x £
9;
1 2
x 4 x 8;
- + £
x 0, j 1,2.
•
î
• Побудуємо на площині область
допустимих планів задачі, як перетин
одержаних півплощин. .
³ =
j
1 2
27. x + 3x ³
12;
1 2
2 x - x £
9;
1 2
x 4 x 8;
- + £
x 0, j 1,2.
-8 12
.
Y
X
4.5
(1)
(3)
2
-9
(2)
В
А
С
4
0
ì
ï ï
í
ï ï
î
³ =
j
1 2
28. • Область допустимих розв’язків задачі —
трикутник . Цільова функція задачі являє
собою пряму, яка обертатиметься навколо
початку системи координат залежно від
змінюваних параметрів так, що точки
будуть точками максимуму і мінімуму функції.
Виразимо із цільової функції:
.
x1 , x2
x2
Z 3x +
2 x
1 2
x +
x
1 2
=
Zx1 + Zx2 = 3x1 + 2 x2
Zx2 - 2x2 = 3x1 - Zx1
x2 ( Z - 2) = x1 ( 3 - Z)
x = 3 -
Z
2 x1
Z -
2
ABC
29. • Кутовий коефіцієнт цільової функції
k 3 Z Z -
• Розглянемо похідну
= -
= - ¢ - - - ¢ -
3 z Z 2 Z 2 3 Z
3 Z
= -
1 Z 2 1 3 Z
= - - - -
.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )2 ( )2
2
Z
1
Z 2
Z 2
Z 2
Z 2
dk
dZ
-
= -
-
=
-
¢
÷øö çè
æ
-
Z 2
30. • Розглянемо похідну
1
dk
Оскільки при будь-якому значенні вона
від’ємна, то функція є спадною (зі
зростанням кутовий коефіцієнт
зменшується), а графік цільової функції
обертатиметься навколо початку координат
за годинниковою стрілкою. Отже, точка є
точкою максимуму, а точка — мінімуму
досліджуваної задачі.
• Знайдемо координати цих точок,
розвязавши відповідні системи рівнянь,
наприклад, за .
формулами Крамера.
( )2
Z
Z 2
dZ
-
= -
Z
kZ
Z kZ
C
A
31. x + 3x =
12
1 2
- + =
D1 = = - =
2 = - - =
x 24 1 = .
.
A
• Точка :
î í ì
1 3
12 3
1 12
x 20 2 =
• Звідси
• Отже, координати точки
;
x 4 x 8
1 2
4 ( 3 ) 7 ;
1 4
= - - =
-
D =
48 24 24;
8 4
8 ( 12 ) 20.
1 8
-
D =
;
7
7
; 20
7
ö çè
÷ø
æ
7
A 24
32. î í ì
D2 = = - = -
x 15 2 =
x 39 1 = .
.
C
• Точка :
x + 3x =
12
1 2
- =
1 3
12 3
1 = - - = -
1 12
• Звідси
• Отже, координати точки
;
2x x 9
1 2
1 6 7 ;
2 1
= - - = -
-
D =
12 27 39;
9 -
1
D =
9 24 15.
2 9
;
7
7
; 15
7
ö çè
÷ø
æ
7
C 39
33. • Знайдемо значення цільової функції в цих
точках:
3 24
× + ×
ZA = »
3 39
× + ×
=
( ) ZC > ZA
.
,
2,545
112
44
2 20
20
7
7
24
7
7
+
=
2,722;
147
54
2 15
15
39
•
•
7
7
• Результати підтверджують, що
оптимуми знайдено правильно:
• максимум досягається в точці ,
• мінімум досягається в точці .
7
7
ZC = »
+
C
A
