Ondas estacionárias em cordas

CAPÍTULO 16: ONDAS - I O que é uma onda?

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-2  Tipos de Ondas

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Ondas Longitudinais: 16-3  Ondas Transversais e Longitudinais

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Ondas Transversais: 16-3  Ondas Transversais e Longitudinais

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Ondas Mistas: 16-3  Ondas Transversais e Longitudinais

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Velocidade da onda: 16-4  Comprimento de Onda e Frequência

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-4  Comprimento de Onda e Frequência

CAPÍTULO 16: ONDAS - I mínima aaa v

CAPÍTULO 16: ONDAS - I ,[object Object],[object Object],[object Object],v ,[object Object],(número de onda) 16-4  Comprimento de Onda e Frequência

CAPÍTULO 16: ONDAS - I ,[object Object],[object Object],[object Object],v ,[object Object],(função de onda senoidal) 16-4  Comprimento de Onda e Frequência

CAPÍTULO 16: ONDAS - I O que é constante de fase 16-4  Comprimento de Onda e Frequência

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-5  A Velocidade de uma Onda Progressiva ,[object Object],[object Object],[object Object],(velocidade da onda)

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação onde as constantes numéricas estão em unidades do SI ( 0,00327m, 72,1 rad/m e 2,72 rad/s ). ,[object Object]

Exemplo 16-3: No Exemplo 16-2d mostramos que em t = 18,9 s o deslocamento transversal y do elemento da corda situado em x = 22,5cm é 1,92 mm . ,[object Object]

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda ,[object Object],Quando produzimos uma onda em uma corda esticada fornecemos energia para que a corda se mova. Quando a onda se afasta de nós transporta essa energia como energia cinética e como energia potencial elástica . Vamos examinar essas duas formas, uma de cada vez. Um elemento da corda de massa dm , oscilando transversalmente em um movimento harmônico simples enquanto a onda passa por ele, possui energia cinética associada a sua velocidade transversal u . Quando o elemento está passando pela posição y = 0 , sua energia cinética é máxima . Quando o elemento está na posição extrema y = y m , sua energia cinética é nula .

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda ,[object Object],Para produzir uma onda senoidal em uma corda inicialmente reta a onda deve necessariamente deformar a corda. Quando um elemento da corda de comprimento dx oscila transversalmente seu comprimento aumenta e diminui periodicamente para assumir a forma da onda senoidal. Como no caso de uma mola, a energia potencial elástica está associada a essas variações de comprimento. Quando o elemento da corda está na posição y = y m a energia potencial elástica é nula . Por outro lado, quando o elemento está passando pela posição y = 0 possui energia potencial elástica máxima .

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda ,[object Object],A energia cinética dK associada a um elemento da corda de massa dm é dada por: Para determinar u derivamos a função de onda em relação ao tempo, mantendo x constante: Usando essa relação e fazendo dm = µdx , tem-se: Dividindo essa equação por dt obtemos a taxa com a qual a energia cinética passa por um elemento da corda e, portanto, a taxa com a qual a energia cinética é transferida pela onda:

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda ,[object Object],Como a razão dx/dt é a velocidade v da onda, temos: A taxa média com a qual a energia cinética é transportada é:

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda ,[object Object],A energia potencial elástica também é transportada pela onda, com a mesma taxa média. Não vamos apresentar a demonstração, mas apenas lembrar que em um sistema oscilatório, como um pêndulo ou um sistema massa-mola, a energia cinética média e a energia potencial média são iguais . A potência média , que é a taxa média com a qual as duas formas de energia são transmitidas pela onda, é, portanto:

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Exemplo 16-5: Uma corda tem uma massa específica µ = 525 g/m e uma tensão  = 45 N . Uma onda senoidal de frequência f = 120 Hz e amplitude y m = 8,5 mm é produzida na corda. Com que taxa média a onda transporta energia?

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Equação de onda linear: Mostre que a equação satisfaz a equação de onda linear

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-9  O Princípio da Superposição de Ondas

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas Fontes em fase e em oposição de fase ,[object Object],[object Object],F 1 F 2 F 1 F 2

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas Exemplos de Defasamento (  ) Ondas em fase Ondas em fase Ondas em oposição de fase Ondas em oposição de fase ou ou ou ou ITC ITD ITC ITD

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por Essas ondas têm a mesma frequência angular  (e, portanto, a mesma frequência f ), o mesmo número de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda  ) e a mesma amplitude y m . Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com a mesma velocidade. Elas diferem apenas de um ângulo constante  , a constante de fase. Dizemos que essas ondas estão defasadas de  ou que sua diferença de fase é  . 16-10  Interferência de Ondas e que uma outra, deslocada em relação à primeira, é dada por Segundo o princípio de superposição, a onda resultante é a soma algébrica da duas ondas e tem um deslocamento

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas A soma dos senos de dois ângulos  e  obedece à identidade Aplicando esta relação, temos: Deslocamento Amplitude Termo oscilatório

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-12  Ondas Estacionárias

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Para analisar um onda estacionária, representamos as duas ondas pelas equações 16-12  Ondas Estacionárias A soma dos senos de dois ângulos  e  obedece à identidade Aplicando esta relação, temos: De acordo com o princípio de superposição, a onda resultante é dada por

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-12  Ondas Estacionárias O fator 2y m sen(kx) poder ser visto como a amplitude da oscilação do elemento da onda estacionária localizado na posição x . Entretanto, como uma amplitude é sempre positiva e sen(kx) pode ser negativo, tomamos o valor absoluto de 2y m sen(kx) como a amplitude em x . Em uma onda senoidal progressiva a amplitude da onda é a mesma para todos os elementos da corda . Isso não é verdade para uma onda estacionária , na qual a amplitude varia com a posição . Para a onda estacionária, a amplitude é zero para valores de kx tais que que sen(kx) = 0 . Esses valores são: Fazendo k = 2  /  nesta equação e reagrupando os termos, obtemos as posições dos nós:

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância CORDAS VIBRANTES (1º harmônico – som fundamental) (2º harmônico) (3º harmônico)

CAPÍTULO 16: ONDAS - I Conseqüentemente o enésimo modo de vibração será dado por: CORDAS VIBRANTES e a freqüência do enésimo harmônico será: DICA: n é igual ao número de ventres 16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância

CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância

Exemplo 16-8: A figura mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m = 2,5 g e comprimento L = 0,8 m sob uma tensão  = 325,0 N . Qual é o comprimento de onda  das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na figura e qual é o número harmônico n ? Qual é a frequência f das ondas transversais e das oscilações dos elementos da corda? Qual é o módulo máximo da velocidade u m do elemento da corda que oscila no ponto de coordenada x = 0,18 m ? Para que deslocamento do elemento a velocidade transversal é máxima?

Não é digno de saborear o mel aquele que se afasta da colméia por medo das picadas das abelhas. (Anônimo) Um abraço !

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