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Ministre de L’enseignement Supérieur et de la
Recherche Scientifique
Année Universitaire
2015-2016
Institut Supérieur des Etudes Technologique de Rades
Atelier Automatique
Compte Rendue TP N°6
Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes
(Ziegler & Nichols et Halman)
Enseigné par :
M.AYADI
Réalisé par :
Imededdine Ben Said
Hamza Lagueneb
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 2
A. Objectifs :
L’objectif de ce TP est d’assurer la régulation de niveau d’un réservoir. On propose de
Comparer les performances de deux approches :
 Une méthode empirique (Méthode de Ziegler et Nichols)
 Une méthode simplifiant la dynamique du procédé (méthode de Halman).
B. Présentation du système :
Figure 1 : Régulation de niveau
Le niveau d’un réservoir H(t) doit être maintenu constant. Les variations aléatoires du débit de
Sortie QS(t) sont compensées par l’ouverture ou la fermeture d’une vanne V1 de régulation
qui règle le débit d’entrée QE(t).
Le niveau est mesuré par un capteur de niveau LT (level Transmetter) dont le signal M(t) est
comparé à une consigne par le régulateur LIC (level Indicator Controller). Ce dernier
commande l’ouverture de la vanne VI.
Figure 2 : Schéma bloc de système de régulation de niveau
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 3
C. Travail demandé :
1. Identification de la F.T. en boucle en B.O. :
La fonction de transfert du système est :
Le niveau du réservoir H (t) est illustré par la figure suivant :
Figure 3 : Réponse indicielle
1.1. Détermination des paramètres de la F.T. par la méthode de Broïda :
La méthode de Broïda consiste à assimiler le procédé régulé à un système du premier ordre
avec retard.
o Détermination du gain K :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
40%
28%
t1 t2
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 4
o Détermination du retard du temps T:
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
o Détermination du retard L :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
D’où le modèle est :
1.2.Validation du modèle par simulation :
Figure 4 : Diagramme
Figure 5 : Visualisation sur MATLAB
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 5
2. Synthèse d’un PI :
2.1. Méthode empirique (méthode de Ziegler&Nichols) :
La méthode de Ziegler et Nichols consiste, à partir de la réponse indicielle d’un système
apériodique en BO, à identifier le système et à ajuster les paramètres de régulateur.
Figure 6: Réponse indicielle
Les règles de Ziegler & Nichols ont conduit au tableau suivant :
Tableau 1 : Méthode de Ziegler et Nichols en BO
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 6
a. Déterminons et 0 :
On trace tout d’abord la tangente au point d’inflexion de la courbe, puis on relève et 0
Figure 7 : Extraire de et 0
…………………………………………………………………………………………………
b. Déterminons les paramètres de régulateur :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
2.2. Méthode simplifiant la dynamique de procédé (méthode de Halman) :
Les méthodes qui simplifient la dynamique du procédé sont basées sur l’idée d’obtenir la
fonction de transfert du régulateur R(p) directement par calcul.
Pour notre système de FT :
Halman à suggéré de choisir :
0
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 7
a. Montrons que le régulateur PI qui assure cette fonction de transfert en boucle
ouverte HBO(p) est donné par :
Avec et
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
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…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
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…………………………………………………………………………………………………
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b. En considérant cette fonction de transfert HBO :
Schéma bloc :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
+
-
E(p)
(p) S(p)
…………...
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…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
 Calcul de l’erreur statique :
- de position :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
- de vitesse :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
 Calcul de la MG et Mφ :
Pour que le système soit stable en fonctionnement normal, il est nécessaire que la FTBO
HBO(p) indique un système suffisamment amorti au voisinage du point critique.
Figure 8 : Les marges de stabilité
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
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- Marge de phase :
A partir de l'expression imposée de la fonction de transfert HBO (p) en boucle ouverte ;
 on remplace « p » par « jw » pour obtenir la transmittance harmonique HBO (jw).
 Par ailleurs, on exprime le module |HBO (jw) | et l'argument Arg(HBO(jw)).
 Ensuite il faut résoudre l'équation |HBO (jw) | = 1.
 La solution unique de cette équation est la pulsation Wφ.
 Enfin on exprime la valeur de la marge de phase: Mφ = 180° + Arg(HBO(jw)).
Remarque: Bien sûr |HBO (jw) | est négatif (par exemple -150° qui correspondrait à une marge
de phase de 30°). Il est courant de souhaiter une marge de phase de 45°.
Mφ = Arg (HBO (jω0dB)) + 180°
…………………………………………………………………
- Marge de gain :
Il faut déterminer la valeur de la pulsation critique wc en résolvant l'équation :
Arg(HBO(jw))= -180°
La marge de gain (en dB) est : MG = ].
…………………………………………………………………
Il est courant de souhaiter une marge de gain de 10dB.
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 10
3. Evaluation des performances :
3.1. Réalisation du schéma sur SIMULINK :
Figure 9 : Schéma sur SIMULINK
3.2. Visualisation des réponses :
On veut tracer le signal d’erreur, de commande, et la sortie suite à une consigne e(t) = 2 et
une perturbation p(t) = -0.3u(t - 100).
 Ziegler et Nichols :
Figure 10 : Diagramme
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 11
Figure 11 : Modèle de Ziegler&Nichols Sans perturbation
Figure 12 : Modèle de Ziegler&Nichols Avec perturbation
 Halman :
Figure 13 : Diagramme
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 12
Figure 14: Modèle de Halman Sans perturbation
Figure 15 : Modèle de Halman Avec perturbation
3.3. Evaluation des performances du système en BF pour les deux méthodes :
Concernant le critère graphique, les mesures sont prises après le signal de perturbation p(t).
Nous avons fait une petite démonstration pour le remplissage du tableau :
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 13
o Calcule de l’erreur de position p :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
o Calcule de l’erreur de vitesse v :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
o Mesure de dépassement D % :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
o Mesure du temps du premier pic Tp :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
o Mesure du temps de réponse Tr 5% :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
o Calcul de la marge de phase :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016
MP1MT Page 14
o Calcul de la marge de gain :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Le tableau suivant illustre les différents paramètres du système pour la méthode de Ziegler &
Nichols, ainsi que Halman.
Figure 16 : Comparaison des performances par les deu méthodes
Méthode Z-N Méthode Halman
Précision p 0.5 0
v 14.1
Performance
temporelles
D % 25 5
Tp 125 137
Tr 5% 237 151
Performances
fréquentielles
Mφ
MG
3.4. Interprétation des résultats :
On remarque qu’avec la méthode Halman on a un minimum d’erreur (quelque soit de
position ou de vitesse) par rapport à la méthode Ziegler & Nichols.
Aussi, la méthode de Ziegler & Nichols représente un dépassement plus important (25%) que
l’approche de Halman (5%).
En outre, le temps de réponse de la 2éme méthode est beaucoup plus faible que celui de Z&N.
A. Conclusion :
Au cours de ce TP, on a étudié un correcteur PI en utilisant deux approches différentes.
L’avantage de l’utilisation de ce correcteur est le faite qu’il annule l’erreur. Mais il ne permet
pas d’avoir une stabilité suffisante et un temps de réponse minimale. Les calculs faits, ont
pour but d’optimiser le choix des paramètres de régulateur pour que le système revient à son
état d’équilibre rapidement lorsqu’on lui applique une perturbation de courte durée. Après la
mise en œuvre de la méthode de Ziegler & Nichols ainsi que la méthode de Halman, nous
avons constaté que la deuxième nous a donné des meilleurs résultats.

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  • 1. Ministre de L’enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Année Universitaire 2015-2016 Institut Supérieur des Etudes Technologique de Rades Atelier Automatique Compte Rendue TP N°6 Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes (Ziegler & Nichols et Halman) Enseigné par : M.AYADI Réalisé par : Imededdine Ben Said Hamza Lagueneb
  • 2. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 2 A. Objectifs : L’objectif de ce TP est d’assurer la régulation de niveau d’un réservoir. On propose de Comparer les performances de deux approches :  Une méthode empirique (Méthode de Ziegler et Nichols)  Une méthode simplifiant la dynamique du procédé (méthode de Halman). B. Présentation du système : Figure 1 : Régulation de niveau Le niveau d’un réservoir H(t) doit être maintenu constant. Les variations aléatoires du débit de Sortie QS(t) sont compensées par l’ouverture ou la fermeture d’une vanne V1 de régulation qui règle le débit d’entrée QE(t). Le niveau est mesuré par un capteur de niveau LT (level Transmetter) dont le signal M(t) est comparé à une consigne par le régulateur LIC (level Indicator Controller). Ce dernier commande l’ouverture de la vanne VI. Figure 2 : Schéma bloc de système de régulation de niveau
  • 3. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 3 C. Travail demandé : 1. Identification de la F.T. en boucle en B.O. : La fonction de transfert du système est : Le niveau du réservoir H (t) est illustré par la figure suivant : Figure 3 : Réponse indicielle 1.1. Détermination des paramètres de la F.T. par la méthode de Broïda : La méthode de Broïda consiste à assimiler le procédé régulé à un système du premier ordre avec retard. o Détermination du gain K : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 40% 28% t1 t2
  • 4. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 4 o Détermination du retard du temps T: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… o Détermination du retard L : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… D’où le modèle est : 1.2.Validation du modèle par simulation : Figure 4 : Diagramme Figure 5 : Visualisation sur MATLAB
  • 5. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 5 2. Synthèse d’un PI : 2.1. Méthode empirique (méthode de Ziegler&Nichols) : La méthode de Ziegler et Nichols consiste, à partir de la réponse indicielle d’un système apériodique en BO, à identifier le système et à ajuster les paramètres de régulateur. Figure 6: Réponse indicielle Les règles de Ziegler & Nichols ont conduit au tableau suivant : Tableau 1 : Méthode de Ziegler et Nichols en BO
  • 6. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 6 a. Déterminons et 0 : On trace tout d’abord la tangente au point d’inflexion de la courbe, puis on relève et 0 Figure 7 : Extraire de et 0 ………………………………………………………………………………………………… b. Déterminons les paramètres de régulateur : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2.2. Méthode simplifiant la dynamique de procédé (méthode de Halman) : Les méthodes qui simplifient la dynamique du procédé sont basées sur l’idée d’obtenir la fonction de transfert du régulateur R(p) directement par calcul. Pour notre système de FT : Halman à suggéré de choisir : 0
  • 7. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 7 a. Montrons que le régulateur PI qui assure cette fonction de transfert en boucle ouverte HBO(p) est donné par : Avec et ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… b. En considérant cette fonction de transfert HBO : Schéma bloc : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… + - E(p) (p) S(p) …………...
  • 8. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 8 ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………  Calcul de l’erreur statique : - de position : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… - de vitesse : ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………  Calcul de la MG et Mφ : Pour que le système soit stable en fonctionnement normal, il est nécessaire que la FTBO HBO(p) indique un système suffisamment amorti au voisinage du point critique. Figure 8 : Les marges de stabilité
  • 9. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 9 - Marge de phase : A partir de l'expression imposée de la fonction de transfert HBO (p) en boucle ouverte ;  on remplace « p » par « jw » pour obtenir la transmittance harmonique HBO (jw).  Par ailleurs, on exprime le module |HBO (jw) | et l'argument Arg(HBO(jw)).  Ensuite il faut résoudre l'équation |HBO (jw) | = 1.  La solution unique de cette équation est la pulsation Wφ.  Enfin on exprime la valeur de la marge de phase: Mφ = 180° + Arg(HBO(jw)). Remarque: Bien sûr |HBO (jw) | est négatif (par exemple -150° qui correspondrait à une marge de phase de 30°). Il est courant de souhaiter une marge de phase de 45°. Mφ = Arg (HBO (jω0dB)) + 180° ………………………………………………………………… - Marge de gain : Il faut déterminer la valeur de la pulsation critique wc en résolvant l'équation : Arg(HBO(jw))= -180° La marge de gain (en dB) est : MG = ]. ………………………………………………………………… Il est courant de souhaiter une marge de gain de 10dB.
  • 10. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 10 3. Evaluation des performances : 3.1. Réalisation du schéma sur SIMULINK : Figure 9 : Schéma sur SIMULINK 3.2. Visualisation des réponses : On veut tracer le signal d’erreur, de commande, et la sortie suite à une consigne e(t) = 2 et une perturbation p(t) = -0.3u(t - 100).  Ziegler et Nichols : Figure 10 : Diagramme
  • 11. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 11 Figure 11 : Modèle de Ziegler&Nichols Sans perturbation Figure 12 : Modèle de Ziegler&Nichols Avec perturbation  Halman : Figure 13 : Diagramme
  • 12. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 12 Figure 14: Modèle de Halman Sans perturbation Figure 15 : Modèle de Halman Avec perturbation 3.3. Evaluation des performances du système en BF pour les deux méthodes : Concernant le critère graphique, les mesures sont prises après le signal de perturbation p(t). Nous avons fait une petite démonstration pour le remplissage du tableau :
  • 13. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 13 o Calcule de l’erreur de position p : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… o Calcule de l’erreur de vitesse v : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… o Mesure de dépassement D % : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… o Mesure du temps du premier pic Tp : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… o Mesure du temps de réponse Tr 5% : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… o Calcul de la marge de phase : ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………
  • 14. TP n 6 : Synthèse d’un régulateur PI par deux méthodes 2016 MP1MT Page 14 o Calcul de la marge de gain : ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Le tableau suivant illustre les différents paramètres du système pour la méthode de Ziegler & Nichols, ainsi que Halman. Figure 16 : Comparaison des performances par les deu méthodes Méthode Z-N Méthode Halman Précision p 0.5 0 v 14.1 Performance temporelles D % 25 5 Tp 125 137 Tr 5% 237 151 Performances fréquentielles Mφ MG 3.4. Interprétation des résultats : On remarque qu’avec la méthode Halman on a un minimum d’erreur (quelque soit de position ou de vitesse) par rapport à la méthode Ziegler & Nichols. Aussi, la méthode de Ziegler & Nichols représente un dépassement plus important (25%) que l’approche de Halman (5%). En outre, le temps de réponse de la 2éme méthode est beaucoup plus faible que celui de Z&N. A. Conclusion : Au cours de ce TP, on a étudié un correcteur PI en utilisant deux approches différentes. L’avantage de l’utilisation de ce correcteur est le faite qu’il annule l’erreur. Mais il ne permet pas d’avoir une stabilité suffisante et un temps de réponse minimale. Les calculs faits, ont pour but d’optimiser le choix des paramètres de régulateur pour que le système revient à son état d’équilibre rapidement lorsqu’on lui applique une perturbation de courte durée. Après la mise en œuvre de la méthode de Ziegler & Nichols ainsi que la méthode de Halman, nous avons constaté que la deuxième nous a donné des meilleurs résultats.