188. 速度の合成を座標回転で求める
•ローレンツ変換は4次元時空では虚数⾓の回転に対応
している。
tan(iϕ) = iβ
(
= i
V
c )
•ローレンツ変換を2回⾏うということは、4次元時空
で2回転するということでは?
tan (iϕ1) = iβ1
tan (iϕ2) = iβ2
tan {i (ϕ1 + ϕ2)} =
tan (iϕ1) + tan (iϕ2)
1 − tan (iϕ1) tan (iϕ2)
ただし、それぞれの回転で合成する速度を とすると、
β1 = V1/c, β2 = V2/c
189. 速度の合成を座標回転で求める
tan {i (ϕ1 + ϕ2)} =
tan (iϕ1) + tan (iϕ2)
1 − tan (iϕ1) tan (iϕ2)
= i
β1 + β2
1 + β1β2
= i
1
c
V1 + V2
1 +
V1 V2
c2
tan (iϕ1) = iβ1
tan (iϕ2) = iβ2
tan {i (ϕ1 + ϕ2)} = iβ(1+2) = i
V(1+2)
c
と⽐較すると、 V(1+2) =
V1 + V2
1 +
V1V2
c2
つまり、速度の合成則は4次元時空での回転を⽤いると簡単に得ることができる。
190. (発展的内容)ローレンツ変換を⾏列で表す
x′

0 = x0 cos θ + y0 sin θ
y′

0 = − x0 sin θ + y0 cos θ
座標の回転は⾏列を使って表すこともできる。
同様にローレンツ変換も⾏列を使って表せる。
x′

= xγ − βγct
ct′

= − xβγ + ctγ
202. a =
dv
dt
=
d2
x
dt2
ニュートン⼒学からの改⾰
F = ma
運動⽅程式を微分を使って書き直す。
加速度とは速度変化のことで、速度の時間微分で表すことができる。また、速度は位置の時間
微分で書き表す事ができる。すなわち、加速度は位置の2階微分(微分を2回⾏う)で表せる
したがって、運動⽅程式の加速度の部分を微分を使って表すと