Demostración de las ecuaciones para el cálculo de flechas máximas en vigas simplemente apoyadas

1. DEFLEXI´ON M´AXIMA EN VIGAS SIMPLEMENTE
APOYADAS
Jos´e Enrique Orozco
Joseenriqueoroscojiron@gmail.com
7541-5857
1

2. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
Figura 1: El edificio John Hancock en Chicago, con riostras en cruz en su cara exterior que
reduce el movimiento horizontal causado por fuertes vientos.
Es frecuente que deba limitarse la deflexi´on de una viga o eje con el fin de proporcionar esta-
bilidad y, para el caso de las vigas, evitar el agrietamiento de cualquier material fr´agil adjunto
como el concreto o el yeso. Sin embargo, es importante determinar las pendientes y los des-
plazamientos a fin de encontrar las reacciones si la viga es est´aticamente indeterminada. Este
trabajo trata sobre la determinaci´on de las deflexiones m´aximas para vigas isost´aticas.
Antes de determinar la pendiente o el desplazamiento, a menudo es ´util trazar la forma fle-
xionada de la viga, la cual se representa mediante su curva el´astica. Esta curva pasa por el
centroide de cada secci´on transversal de la viga, y para la mayor´ıa de los casos puede esbozarse
sin mucha dificultad. Al hacer esto, se debe recordar que los soportes que resisten una fuerza
(como el pasador) restringen el desplazamiento, y aquellos que resisten un momento (como una
pared fija) restringen la rotaci´on o la pendiente, as´ı como el desplazamiento.
Considere una viga el´astica, inicialmente recta, sujeta a cargas arbitrarias que act´uan per-
pendicular a su eje centroidal y en el plano de simetr´ıa de su secci´on transversal, como muestra
la figura a.
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 2

3. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
La superficie neutra de la viga en estado deformado se llama curva el´astica. Para derivar la
ecuaci´on diferencial que describe a la curva el´astica, enfocaremos nuestra atenci´on en el elemento
diferencial dx de la viga. El elemento en la posici´on deformada aparece en la figura b. Como
indica esta imagen, asumiremos que la secci´on plana perpendicular a la superficie neutra de
la viga antes de la deformaci´on permanece plana y perpendicular despu´es de la flexi´on. La
pendiente de la curva el´astica, θ = dy/dx, se asume muy peque˜na para que θ2
sea despreciable
comparado con la unidad; note que dθ representa el cambio de la pendiente sobre la diferencial
de longitud dx. En la figura b se observa que la deformaci´on de una fibra arbitraria ab ubicada
a una distancia y de la superficie neutra se puede expresar como:
d∆ = a b − ab = −2y
dθ
2
= −ydθ
Por lo tanto, la deformaci´on en la fibra ab es igual a:
=
d∆
dx
=
d∆
ds
= −
ydθ
Rdθ
= −
y
R
Donde R es el radio de curvatura. Sustituyendo la relaci´on lineal esfuerzo-deformaci´on = σ/E
en la ecuaci´on anterior, obtenemos:
σ = −
Ey
R
En la que σ es el esfuerzo en la fibra ab, y E representa el m´odulo de elasticidad. La ´ultima
ecuaci´on obtenida indica que los esfuerzos var´ıan linealmente con la distancia y de la superficie
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 3

4. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
neutra, como muestra la figura C. Si σC representa el esfuerzo en la fibra superior localizada a
una distancia c de la superficie neutra, entonces el esfuerzo σ a una distancia y de la superficie
neutra se puede escribir como:
σ =
y
c
σC
Puesto que el momento flexionante M es igual a la suma de momentos, al rededor del eje neutro,
de las fuerzas actuantes en todas las fibras de la secci´on transversal de la viga, tenemos:
M =
A
−σydA
M = −
σC
c A
y2
dA = −
σC
c
I → σC = −
Mc
I
σ = −
My
I
Donde I es el segundo momento de ´area de la secci´on transversal de la viga. Igualando las
ecuaciones del esfuerzo de la fibra ab se tiene que:
1
R
=
M
EI
EI representa la rigidez a la flexi´on. Para expresar esta ´ultima ecuaci´on en coordenadas carte-
sianas, recordaremos que la curvatura de una curva viene dada por:
1
R
=
d2
y/dx2
[1 + (dy/dx)2]3/2
En donde y representa la deflexi´on vertical. Como se dijo anteriormente, para peque˜nas pen-
dientes (dy = dx)2
y la relaci´on anterior puede reducirse a:
1
R
=
dy2
dx2
Obtenida esta expresi´on, observamos finalmente que:
d2
y
dx2
=
M
EI
Esta ecuaci´on es conocida como la ecuaci´on de Euler-Bernoulli.
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 4

5. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
1.
+ΣMA = 0
−Fa + RC(L) = 0 → RC = F
a
L
↑ +ΣFy = 0
RA − F + RC = 0 → RA = F
b
L
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 5

6. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
Cortes:
0 ≤ x ≤ a
+ΣM = 0
M(x) − RAx = 0
M(x) = F
bx
L
EI · θ1(x) = F
bx2
2L
+ C1
EI · y1(x) = F
bx3
6L
+ C1x + C2
a ≤ x ≤ L
+ΣM = 0
M(x) + F(x − a) − RAx = 0
M(x) = F
bx
L
− F(x − a)
EI · θ2(x) = F
bx2
2L
−
F
2
(x − a)2
+ C3
EI · y2(x) = F
bx3
6L
−
F
6
(x − a)3
+ C3x + C4
Condiciones:
1. De frontera (1)
y(0) = 0 → C2 = 0
2. De continuidad
θ1(a) = θ2(a)
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 6

7. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
F
ba2
2L
+ C1 = F
ba2
2L
+ C3 → C1 = C3
y1(a) = y2(a)
F
ba3
6L
+ aC1 = F
ba3
6L
+ aC3 + C4 → C4 = 0
3. De frontera (2)
y(L) = 0
F
bL3
6L
−
F
6
b3
+ LC3 = 0 → C3 = F
b3
6L
− F
bL
6
Por inspecci´on de la curva el´astica, vemos que la deflexi´on m´axima ocurre en el tra-
mo 0 ≤ x ≤ a, y se da cuando θ1(x) = 0
F
bx2
2L
+ F
b3
6L
− F
bL
6
= 0
Al multiplicar por 6L toda la expresi´on, obtenemos: 3bx2
+ b3
− bL2
→ xm =
3 L2
− b2
3
Una vez obtenida esta coordenada, procedemos a evaluarla en la funci´on que describe
a la curva el´astica en el tramo 0 ≤ x ≤ a
EI · y(xm) = F
b
6L
L2
− b2
3
3/2
+ F
b3
6L
− F
bL
6
L2
− b2
3
1/3
EI · y(xm) = F
b
6L
L2
− b2
3
3/2
− F
b
2L
L2
3
−
b2
3
L2
− b2
3
1/3
y(xm) = −
Fb(L2
− b2
)3/2
9
√
3LEI
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 7

8. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
2.
+ΣMA = 0
−F(L/2) + RC(L) = 0 → RC =
F
2
↑ +ΣFy = 0
RA − F + RC = 0 → RA =
F
2
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 8

9. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
Cortes:
0 ≤ x ≤ L/2
+ΣM = 0
M(x) − RA(x) = 0
M(x) =
Fx
2
EI · θ1(x) =
Fx2
4
+ C1
EI · y1(x) =
Fx3
12
+ C1x + C2
L/2 ≤ x ≤ L
+ΣM = 0
M(x) + F(x − L/2) − RA(x) = 0
M(x) =
Fx
2
− F(x − L/2)
M(x) =
F
2
(L − x)
EI · θ2(x) = −
F
4
(L − x)2
+ C3
EI · y2(x) =
F
12
(L − x)3
+ C3x + C4
Condiciones:
1. De frontera (1)
y(0) = 0 → C2 = 0
2. De continuidad
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 9

10. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
θ1(L/2) = θ2(L/2)
F
L2
16
+ C1 = −F
L2
16
+ C3 → C1 − C3 = −
FL2
8
y1(L/2) = y2(L/2)
FL3
96
+
L
2
C1 =
F
12
(L − L/2)3
+
L
2
C3 + C4 → C4 = −
FL3
16
3. De frontera (2)
y(L) = 0
LC3 −
FL3
16
= 0 → C3 =
FL2
16
Luego, C1 es igual a: C1 = −
FL2
16
Por cuestiones de simetr´ıa (geometr´ıa) deducimos que la deflexi´on m´axima ocurre en
xm = L/2, al sustituir en la funci´on de la el´astica, queda:
EI · y(xm) =
FL3
96
−
FL2
16
L
2
y(xm) = −
FL3
48EI
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 10

11. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
3.
+ΣMA = 0
−Fa − F(L − a) + RD(L) = 0
RD = F
↑ +ΣFY = 0
RA − F − F + RD = 0
RA = F
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 11

12. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
Cortes:
0 ≤ x ≤ a
+ΣM = 0
M(x) − RA(x) = 0 → M(x) = Fx
EI · θ1(x) = F
x2
2
+ C1
EI · y1(x) = F
x3
6
+ C1x + C2
a ≤ x ≤ a + b
+ΣM = 0
M(x) + F(x − a) − RAx = 0 → M(x) = Fa
EI · θ2(x) = Fax + C3
EI · y2(x) = F
ax2
2
+ C3x + C4
L − a ≤ x ≤ L
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 12

13. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
+ΣM = 0
M(x) + F[x − (L − a)] + F(x − a) − RAx = 0 → M(x) = F(L − x)
EI · θ3(x) = −F
(L − x)2
2
+ C5
EI · y3(x) = F
(l − x)3
6
+ C5x + C6
Condiciones:
1. De frontera (1):
y(0) = 0 → C2 = 0
2. De continuidad:
θ1(a) = θ2(a)
F
a2
2
+ C1 = Fa2
+ C3 → C1 − C3 = F
a2
2
y1(a) = y2(a)
F
a3
6
+ aC1 = F
a3
2
+ aC3 + C4 → C4 = F
a3
6
θ2(L − a) = θ3(L − a)
Fa(L − a) + C3 = −F
a2
2
+ C5 → C3 − C5 = F
a2
2
− FaL
y2(L − a) = y3(L − a)
F
a(L − a)2
2
+ (L − a)C3 + F
a3
6
= F
a3
6
+ (L − a)C5 + C6 → C6 = −F
aL2
2
+ F
La2
2
3. De frontera (2):
y(L) = 0
C5x + C6 = 0 → C5 = F
aL
2
− F
a2
2
C3 = −F
aL
2
C1 = F
a2
2
− F
aL
2
Por criterios de simetr´ıa la deflexi´on m´axima ocurre en xm = L/2
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 13

14. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
EI · y(xm) = F
aL2
8
− F
aL2
4
+ F
a3
6
y(xm) =
Fa
24EI
(4a2
− 3L2
)
4.
+ΣMA = 0
−
wL2
2
+ RBL = 0 → RB =
wL
2
↑ +ΣFY = 0
RA − wL + RB = 0 → RA =
wL
2
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 14

15. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
Cortes:
0 ≤ x ≤ L
+ΣM = 0
M(x) +
wx2
2
−
wLx
2
= 0
M(x) =
wLx
2
−
wx2
2
EI · θ(x) =
wLx2
4
−
wx3
6
+ C1
EI · y(x) =
wLx3
12
−
wx4
24
+ C1x + C2
Condiciones:
1. De frontera:
y(0) = 0 → C2 = 0
y(L) = 0
wL4
12
−
wL4
24
+ LC1 = 0 → C1 = −
wL3
24
La deflexi´on m´axima se da en xm = L/2
EI · y(xm) =
wL4
96
−
wL4
384
−
wL4
48
y(xm) = −
5wL4
384EI
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 15

16. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
5.
+ΣMA = 0
−
wa2
2
+ RBL = 0 → RB =
wa2
2L
↑ +ΣFY = 0
RA − wa + RB = 0 → RA = wa 1 −
a
2L
Para un an´alisis m´as sencillo de la viga, comenzaremos los cortes a partir del lado derecho.
Cortes:
0 ≤ x ≤ b
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 16

17. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
+ΣM = 0
−M(x) + RBx = 0 → M(x) =
wa2
x
2L
EI · θ1(x) =
wa2
x2
4L
+ C1
EI · y1(x) =
wa2
x3
12L
+ C1x + C2
b ≤ x ≤ L
+ΣM = 0
−M(x) −
w(x − b)2
2
+ RBx = 0
M(x) =
wa2
x
2L
−
w(x − b)2
2
EI · θ2(x) =
wa2
x2
4L
−
w(x − b)3
6
+ C3
EI · y2(x) =
wa2
x3
12L
−
x(x − b)4
24
+ C3x + C4
Condiciones:
1. De frontera (1):
y(0) = 0 → C2 = 0
2. De continuidad:
θ1(b) = θ2(b)
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 17

18. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
wa2
b2
4L
+ C1 =
wa2
b2
4L
+ C3 → C1 = C3
y1(b) = y2(b)
wa2
b3
12L
+ bC1 =
wa2
b3
12L
+ bC3 + C4 → C4 = 0
3. De frontera (2):
y(L) = 0
wa2
L2
12
−
wa4
24
+ LC3 = 0 → C3 =
wa4
24L
−
wa2
L
12
Por inspecci´on de la curva el´astica vemos que la deflexi´on m´axima se da en el tramo m´as
corto, es decir, 0 ≤ x ≤ b. Luego, la deflexi´on m´axima se da cuando θ1(x) = 0 y tendr´a
su abcisa en :
wa2
x2
4L
+
wa4
24L
−
wa2
L
12
→ xm =
2L2
− a2
6
. Una vez obtenida esta coordenada, la eva-
luamos en la funci´on de la el´astica que le corresponda, nos queda:
EI · y(x) =
wa2
12L
2L2
− a2
6
3/2
+
wa4
24L
−
wa2
L
12
2L2
− a2
6
1/2
EI · y(x) =
wa2
12L
2L2
− a2
6
3/2
−
wa2
4L
2L2
− a2
6
3/2
EI · y(x) =
2L2
− a2
6
3/2
wa2
12L
−
wa2
4L
y(x) =
−wa2
6LEI
2L2
− a2
6
3/2
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 18

19. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
6.
+ΣMA = 0
−wL2
3
+ RBL = 0 → RB =
wL
3
↑ +ΣFY = 0
RA −
wL
2
+ RB = 0 → RA =
wL
6
Cortes:
0 ≤ x ≤ L
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 19

20. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
M(x) +
wx3
6L
− RAx = 0
M(x) =
wLx
6
−
wx3
6L
EI · θ(x) =
wLx2
12
−
wx4
24L
+ C1
EI · y(x) =
wLx3
36
−
wx5
120
+ C1x + C2
Condiciones:
1. De frontera:
y(0) = 0 → C2 = 0
y(L) = 0
wL4
36
−
wL4
120
+ LC1 = 0 → C1 = −
7wL3
360
.
θ(x) = 0
wLx2
12
−
wx4
24L
−
7wL3
360
= 0
La expresi´on se reduce a:
30L2
x2
− 15x4
− 7L4
x2
=
−30L ± 900L2 − 60(7L4)
−30L
x = 0,5193L
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 20

21. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
7.
Debido a la simetr´ıa, s´olo se necesita una coordenada x para obtener la soluci´on, en este
caso 0 ≤ x ≤ L/2. La deflexi´on m´axima se produce en el centro debido a que la pendiente
en ese punto es cero.
+ΣMA = 0
M(x) +
wx3
3L
−
wL
4
x = 0
M(x) = −
wx3
3L
+
wL
4
x
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 21

22. Universidad nacional de ingenier´ıa Departamento de estructuras
EI · θ(x) = −
wx4
12L
+
wLx2
8
+ C1
EI · y(x) = −
wx5
60L
+
wLx3
24
+ C1x + C2
Condiciones:
1. De frontera:
y(0) = 0 → C2 = 0
θ(L/2) = 0
−
wL3
192
+
wL3
32
+ C1 = 0 → C1 = −
5wL3
192
La deflexi´on m´axima ser´a:
EI · y(xm) −
wL4
1920
+
wL4
192
−
5wL4
384
y(xm) = −
wL4
120EI
Elaborado por: Jos´e Enrique Orozco Jir´on 22