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Tableaux (formulaires fonctions usuelles, dérivées, primitives - 2013).pdf

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Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée
ln(x) R+,∗ 1
x
ex R ex
1
x
R∗ −
1
x2
√
x R+,∗ 1
2
√
x
xα, α ∈ R R+,∗ αxα−1
cos(x) R − sin(x)
sin(x) R cos(x)
tan(x) ] −
π
2
+ kπ;
π
2
+ kπ[, k ∈ Z 1 + tan2(x) =
1
cos2(x)
arccos(x) ] − 1; 1[
−1
√
1 − x2
arcsin(x) ] − 1; 1[
1
√
1 − x2
arctan(x) R
1
1 + x2
Opération Dérivée
f + g f0 + g0
f · g f0 · g + f · g0
f
g
f0 · g − f · g0
g2
g ◦ f f0 × g0 ◦ f
1
u
−
u0
u2
un nu0un−1
√
u
u0
2
√
u
eu u0eu
ln(u)
u0
u
sin(u) u0 cos(u)
cos(u) −u0 sin(u)
Fonction Intervalle d’intégration Primitive
(x − a)n, n ∈ N, a ∈ R R
1
n + 1
(x − a)n+1
1
x − a
, a ∈ R ] − ∞; a[ OU ]a; +∞[ ln(|x − a|)
1
(x − a)n
, a ∈ R, n ≥ 2 ] − ∞; a[ OU ]a; +∞[ −
1
(n − 1)(x − a)n−1
cos(ax), a ∈ R{0} R
1
a
sin(ax)
sin(ax), a ∈ R{0} R −
1
a
cos(ax)
tan(x) ]kπ −
π
2
; kπ +
π
2
[, k ∈ Z − ln(| cos(x)|)
ln(x) R+,∗ x ln(x) − x
eax, a ∈ R{0} R
1
a
eax
(x − a)α, a ∈ R, α ∈ R{−1} ]a; +∞[
1
α + 1
(x − a)α+1
ax, a > 0 R
1
ln(a)
ax
1
x2 + 1
R arctan(x)
√
x − a, a ∈ R ]a; +∞[
2
3
(x − a)3/2
1
√
x − a
, a ∈ R ]a; +∞[ 2
√
x − a
1
√
1 − x2
] − 1; 1[ arcsin(x)
Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a, b et x sont des réels (quelconques) :
cos2
(x) + sin2
(x) = 1, cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b),
cos(2x) = 2 cos2
(x) − 1 = 1 − 2 sin2
(x), cos2
(x) =
1 + cos(2x)
2
,
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), sin2
(x) =
1 − cos(2x)
2
.
1
Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance,
fonctions circulaires et leurs réciproques
Définition 1 (Logarithme). On définit ln :]0, +∞[→ R comme la primitive de x 7→
1
x
qui s’annule en 1.
Propriété 1.
1. ln est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[.
2. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(x · y) = ln(x) + ln(y).
3. ∀x > 0, ln(1
x) = − ln(x).
4. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(x
y ) = ln(x) − ln(y).
5. ∀n ∈ N, ∀x > 0, ln(xn) = n ln(x).
6. lim
x→0+
ln(x) = −∞ et lim
x→+∞
ln(x) = +∞
Définition 2 (Exponentielle). On définit exp : R →]0, +∞[ comme la solution de l’équation différentielle y0 = y de
condition initiale y(0) = 1.
On note exp(x) = ex.
Propriété 2.
1. exp est continue et strictement croissante sur R.
2. ∀x, y ∈ R, ex+y = ex · ey.
3. ∀x ∈ R, e−x = 1/ex.
4. ∀x, y ∈ R, ex−y =
ex
ey
.
5. ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, enx = (ex)n.
6. lim
x→−∞
ex
= 0 et lim
x→+∞
ex
= +∞.
Propriété 3. On a ∀x ∈ R, ln(ex) = x et ∀x > 0, eln(x) = x.
Définition 3 (Fonction puissance). Soit a ∈ R. On définit la fonction puissance sur ]0, +∞[ par
pa(x) := ea ln(x). On note xa := ea ln(x).
Exemples :
ln(x2
) = 2 ln(x), e2x+y
= e2x
· ey
, 2x
= ex ln(2)
,
√
x = x
1
2 = e
1
2
ln(x)
, 3
√
x = x
1
3 = e
1
3
ln(x)
.
Croissances comparées : Pour tous α > 0, β > 0,
lim
x→+∞
(ln x)α
xβ
= 0 et lim
x→0+
xβ
| ln x|α
= 0
lim
x→+∞
eαx
xβ
= +∞ et lim
x→−∞
|x|β
eαx
= 0
Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en ±∞ aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours
leur limites en 0+ ou +∞ au logarithme.
Fonctions circulaires réciproques
On suppose connues les fonctions sinus et cosinus. On rappelle que la fonction tangente est définie sur ] − π
2 ; π
2 [ par
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
.
Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques
x 0 π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
cos(x) 1
√
3
2
√
2
2
1
2 0 −1
2 −
√
2
2 −
√
3
2 −1
sin(x) 0 1
2
√
2
2
√
3
2 1
√
3
2
√
2
2
1
2 0
tan(x) 0 1
√
3
1
√
3 ∞ −
√
3 −1 − 1
√
3
0
2
Formules de trigonométrie
cos2
(x) + sin2
(x) = 1 tan(x) =
sin(x)
cos(x)
cos(x + 2π) = cos(x) sin(x + 2π) = sin(x) tan(x + π) = tan(x)
cos(2x) = 2 cos2
(x) − 1 = 1 − 2 sin2
(x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Définition 4 (Arcsinus). Sinus est une bijection de [−π
2 ; π
2 ] sur [−1; 1]. On appelle arcsinus sa réciproque.
∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [−
π
2
;
π
2
], x = sin(θ) ⇔ arcsin(x) = θ.
Définition 5 (Arccosinus). Cosinus est une bijection de [0; π] sur [−1; 1]. On appelle arccosinus sa réciproque.
∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [0; π], x = cos(θ) ⇔ arccos(x) = θ.
Définition 6 (Arctangente). Tangente est une bijection de ] − π
2 ; π
2 [ sur R. On appelle arctangente sa réciproque.
∀x ∈ R, ∀θ ∈] −
π
2
;
π
2
[, x = tan(θ) ⇔ arctan(x) = θ.
Arcsinus Arccosinus Arctangente
Propriété 4.
1. ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x.
2. ∀x ∈ [−1; 1], cos(arccos(x)) = x.
3. ∀x ∈ R, tan(arctan(x)) = x.
Ici x appartient au domaine de défi-
nition de la fonction réciproque.
Propriété 5.
1. ∀θ ∈ [−π
2 ; π
2 ], arcsin(sin(θ)) = θ.
2. ∀θ ∈ [0; π], arccos(cos(θ)) = θ.
3. ∀θ ∈] − π
2 ; π
2 [, arctan(tan(θ)) = θ.
F Attention, ici θ ne parcourt pas
tout l’ensemble de définition des
fonctions sinus, cosinus ou tangente !
Exemples :
1. arcsin(sin(17π
5 )) = arcsin(sin(20π
5 − 3π
5 )) = arcsin(sin(−3π
5 )) = −3π
5 .
2. arccos(cos(17π
5 )) = arccos(cos(20π
5 − 3π
5 )) = arccos(cos(−3π
5 )) = arccos(cos(3π
5 )) = 3π
5 .
3. arctan(tan(17π
5 )) = arctan(tan(−3π
5 )) = −3π
5 .
Dérivées : Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur ] − 1; 1[ et arctangente est (infiniment)
dérivable sur R. Leurs dérivées sont données par
Propriété 6. 1. ∀x ∈] − 1; 1[, arcsin0
(x) =
1
√
1 − x2
.
2. ∀x ∈] − 1; 1[, arccos0
(x) = −
1
√
1 − x2
.
3. ∀x ∈ R, arctan0
(x) =
1
1 + x2
.
3
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Tableaux (formulaires fonctions usuelles, dérivées, primitives - 2013).pdf

  • 1. Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée ln(x) R+,∗ 1 x ex R ex 1 x R∗ − 1 x2 √ x R+,∗ 1 2 √ x xα, α ∈ R R+,∗ αxα−1 cos(x) R − sin(x) sin(x) R cos(x) tan(x) ] − π 2 + kπ; π 2 + kπ[, k ∈ Z 1 + tan2(x) = 1 cos2(x) arccos(x) ] − 1; 1[ −1 √ 1 − x2 arcsin(x) ] − 1; 1[ 1 √ 1 − x2 arctan(x) R 1 1 + x2 Opération Dérivée f + g f0 + g0 f · g f0 · g + f · g0 f g f0 · g − f · g0 g2 g ◦ f f0 × g0 ◦ f 1 u − u0 u2 un nu0un−1 √ u u0 2 √ u eu u0eu ln(u) u0 u sin(u) u0 cos(u) cos(u) −u0 sin(u) Fonction Intervalle d’intégration Primitive (x − a)n, n ∈ N, a ∈ R R 1 n + 1 (x − a)n+1 1 x − a , a ∈ R ] − ∞; a[ OU ]a; +∞[ ln(|x − a|) 1 (x − a)n , a ∈ R, n ≥ 2 ] − ∞; a[ OU ]a; +∞[ − 1 (n − 1)(x − a)n−1 cos(ax), a ∈ R{0} R 1 a sin(ax) sin(ax), a ∈ R{0} R − 1 a cos(ax) tan(x) ]kπ − π 2 ; kπ + π 2 [, k ∈ Z − ln(| cos(x)|) ln(x) R+,∗ x ln(x) − x eax, a ∈ R{0} R 1 a eax (x − a)α, a ∈ R, α ∈ R{−1} ]a; +∞[ 1 α + 1 (x − a)α+1 ax, a > 0 R 1 ln(a) ax 1 x2 + 1 R arctan(x) √ x − a, a ∈ R ]a; +∞[ 2 3 (x − a)3/2 1 √ x − a , a ∈ R ]a; +∞[ 2 √ x − a 1 √ 1 − x2 ] − 1; 1[ arcsin(x) Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a, b et x sont des réels (quelconques) : cos2 (x) + sin2 (x) = 1, cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b), cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x), cos2 (x) = 1 + cos(2x) 2 , sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), sin2 (x) = 1 − cos(2x) 2 . 1
  • 2. Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance, fonctions circulaires et leurs réciproques Définition 1 (Logarithme). On définit ln :]0, +∞[→ R comme la primitive de x 7→ 1 x qui s’annule en 1. Propriété 1. 1. ln est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[. 2. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(x · y) = ln(x) + ln(y). 3. ∀x > 0, ln(1 x) = − ln(x). 4. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(x y ) = ln(x) − ln(y). 5. ∀n ∈ N, ∀x > 0, ln(xn) = n ln(x). 6. lim x→0+ ln(x) = −∞ et lim x→+∞ ln(x) = +∞ Définition 2 (Exponentielle). On définit exp : R →]0, +∞[ comme la solution de l’équation différentielle y0 = y de condition initiale y(0) = 1. On note exp(x) = ex. Propriété 2. 1. exp est continue et strictement croissante sur R. 2. ∀x, y ∈ R, ex+y = ex · ey. 3. ∀x ∈ R, e−x = 1/ex. 4. ∀x, y ∈ R, ex−y = ex ey . 5. ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, enx = (ex)n. 6. lim x→−∞ ex = 0 et lim x→+∞ ex = +∞. Propriété 3. On a ∀x ∈ R, ln(ex) = x et ∀x > 0, eln(x) = x. Définition 3 (Fonction puissance). Soit a ∈ R. On définit la fonction puissance sur ]0, +∞[ par pa(x) := ea ln(x). On note xa := ea ln(x). Exemples : ln(x2 ) = 2 ln(x), e2x+y = e2x · ey , 2x = ex ln(2) , √ x = x 1 2 = e 1 2 ln(x) , 3 √ x = x 1 3 = e 1 3 ln(x) . Croissances comparées : Pour tous α > 0, β > 0, lim x→+∞ (ln x)α xβ = 0 et lim x→0+ xβ | ln x|α = 0 lim x→+∞ eαx xβ = +∞ et lim x→−∞ |x|β eαx = 0 Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en ±∞ aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours leur limites en 0+ ou +∞ au logarithme. Fonctions circulaires réciproques On suppose connues les fonctions sinus et cosinus. On rappelle que la fonction tangente est définie sur ] − π 2 ; π 2 [ par tan(x) = sin(x) cos(x) . Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π cos(x) 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 −1 2 − √ 2 2 − √ 3 2 −1 sin(x) 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 tan(x) 0 1 √ 3 1 √ 3 ∞ − √ 3 −1 − 1 √ 3 0 2
  • 3. Formules de trigonométrie cos2 (x) + sin2 (x) = 1 tan(x) = sin(x) cos(x) cos(x + 2π) = cos(x) sin(x + 2π) = sin(x) tan(x + π) = tan(x) cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) Définition 4 (Arcsinus). Sinus est une bijection de [−π 2 ; π 2 ] sur [−1; 1]. On appelle arcsinus sa réciproque. ∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [− π 2 ; π 2 ], x = sin(θ) ⇔ arcsin(x) = θ. Définition 5 (Arccosinus). Cosinus est une bijection de [0; π] sur [−1; 1]. On appelle arccosinus sa réciproque. ∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [0; π], x = cos(θ) ⇔ arccos(x) = θ. Définition 6 (Arctangente). Tangente est une bijection de ] − π 2 ; π 2 [ sur R. On appelle arctangente sa réciproque. ∀x ∈ R, ∀θ ∈] − π 2 ; π 2 [, x = tan(θ) ⇔ arctan(x) = θ. Arcsinus Arccosinus Arctangente Propriété 4. 1. ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x. 2. ∀x ∈ [−1; 1], cos(arccos(x)) = x. 3. ∀x ∈ R, tan(arctan(x)) = x. Ici x appartient au domaine de défi- nition de la fonction réciproque. Propriété 5. 1. ∀θ ∈ [−π 2 ; π 2 ], arcsin(sin(θ)) = θ. 2. ∀θ ∈ [0; π], arccos(cos(θ)) = θ. 3. ∀θ ∈] − π 2 ; π 2 [, arctan(tan(θ)) = θ. F Attention, ici θ ne parcourt pas tout l’ensemble de définition des fonctions sinus, cosinus ou tangente ! Exemples : 1. arcsin(sin(17π 5 )) = arcsin(sin(20π 5 − 3π 5 )) = arcsin(sin(−3π 5 )) = −3π 5 . 2. arccos(cos(17π 5 )) = arccos(cos(20π 5 − 3π 5 )) = arccos(cos(−3π 5 )) = arccos(cos(3π 5 )) = 3π 5 . 3. arctan(tan(17π 5 )) = arctan(tan(−3π 5 )) = −3π 5 . Dérivées : Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur ] − 1; 1[ et arctangente est (infiniment) dérivable sur R. Leurs dérivées sont données par Propriété 6. 1. ∀x ∈] − 1; 1[, arcsin0 (x) = 1 √ 1 − x2 . 2. ∀x ∈] − 1; 1[, arccos0 (x) = − 1 √ 1 − x2 . 3. ∀x ∈ R, arctan0 (x) = 1 1 + x2 . 3