Probabilidade

Probabilidade básica
A Probabilidade pode caracterizar-se como um modelo
matemático das “regularidades” (ou repetições) que se observam
nas distribuições de frequências correspondentes aos fenômenos
(ou experimentos) aleatórios.
Um fenômeno é dito aleatório quando o acaso interfere na
ocorrência de um ou mais dos resultados nos quais tal fenômeno
pode ocorrer. Ele caracteriza-se fundamentalmente pelo seguinte:
• Pode ser repetido inúmeras vezes em idênticas condições;
• Não se pode afirmar qual o resultado da realização de uma
repetição antes da sua realização;
Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com

Exemplos:
a) Lançamento ao ar de uma moeda e anotação da face voltada para cima;
b) Lançamento de um dado e anotação da face obtida;
c) Extração de uma carta de um baralho e anotação das suas características;
d) Seleção ao acaso de um habitante de uma cidade com o objetivo de
conhecer as suas despesas mensais;
e) Observação do sexo de um recém-nascido numa série de nascimentos;


1. Espaço Amostral: O conjunto de todos os resultados
possíveis associados a uma experiência aleatória. O
espaço amostral associado a uma dada experiência
aleatória será designada por S.
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .

.
.
.
.

S

Os elementos de S podem ser números, sequências de
números, atributos ou grupos de atributos ou, ainda,
uma combinação de elementos quantitativos e
qualitativos.

Exemplo:
a) Lançamento de uma moeda: dois resultados possíveis,
portanto S = {“cara”, “coroa”}
b) Lançamento de um dado: seis resultados possíveis,
portanto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) No lançamento de uma moeda {“CARA=F”, “COROA=C”}
e de um dado: 12 resultados possíveis, portanto S = {C1,
C2, C3, C4, C5, C6, F1, F2, F3, F4, F5, F6}

2. Evento: Qualquer subconjunto A do espaço amostral S.
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .
********
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .
******
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. .

A

.
.
.
.

AS

Exemplo: a) No lançamento de um dado, o evento “número
S
ímpar” é A = {1; 3; 5}
2

1
3

5

A

4
6

S


b) No experiência “retirar uma bola de uma urna” que
contem três bolas brancas (b1, b2, b3), e duas bolas
pretas (p1, p2), o espaço amostral é S = {b1, b2, b3, p1,
p2}, onde o evento “bola branca” é A = {b1, b2, b3}

p1

b1
b2

b3

A

p2

S

Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)

Evento impossível e certo
•

O conjunto vazio também é um subconjunto de S ( 
S),portanto,  também é um evento;  é chamado evento
impossível, isto porque nunca ocorre.

•

O conjunto S é subconjunto de si próprio (S  S), portanto, S
também é um evento; S é chamado evento certo, isto porque
sempre ocorre.

Exemplo: No lançamento de um dado o evento “número
maior ou igual a 7” é um evento impossível, e o evento
“número menor ou igual a 6” é um evento certo.

Evento complementar
•

Chama-se evento complementar de um evento A num espaço
amostral S, ao evento Ā tal que Ā = S – A

A
Ā é a parte colorida

S

Note que A  Ā =  e A  Ā = S

•CONCEITO: Dado um espaço amostral S, com n(S)
elementos, e um evento A de S, com n(A) elementos, a
probabilidade do evento A ocorrer é dado por P(A) tal
que:
n( A)

P ( A) 

n( S )

Observação:
• Na prática para calcularmos a probabilidade de um evento, basta dividir o número de
casos favoráveis n(A) pelo número de casos possíveis n(S);
• As probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente,
pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de
experimentos;

Exemplos: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) sair o número 3:

Temos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(S) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada
será igual a p(A) = 1/6 = 16,7%.
b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a
probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2 = 50%.

c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade
procurada será p(A) = 2/6 = 1/3 = 33%.
d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos.
Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3 = 33%.
e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A)
= 2/6 = 1/3 = 33%

Exemplos: Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral S é constituído pelos pares ordenados (i,j),
onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou
6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento
"soma igual a 8" possui 5 elementos.
Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36 = 13,9%
b) sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será
igual a p(A) = 1/36 = 2,8%.

Exemplos:

Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas.
Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:
a) sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%
b) sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%
c) sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%
• Retirando-se ao acaso uma carta de um baralho comum (52 cartas), qual a probabilidade
de ocorrer “rei” ?
Casos favoráveis: 4 (existem 4 reis no baralho)
Casos possíveis: 52
p(A) = 4/52 = 1/13 = 7,7%

Propriedades
a) A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio
(Ø), teremos:

n()
0
p () 

0
n( S )
n( S )
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se
retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.

Propriedades
b) A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

n( S )
p( S ) 
1
n( S )
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de
se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.


Propriedades
c) A probabilidade de um evento qualquer é um número real
situado no intervalo real [0, 1].

0  p ( A)  1
d) A soma das probabilidades de um evento e do seu evento
complementar é igual a unidade.
p ( A)  p ( A )  1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos
problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a
probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a
probabilidade do evento.

Propriedades
e) Probabilidade da união de dois eventos A e B:

p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)
A

AB

B

S
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Retirando uma bola ao acaso qual a probabilidade de
ocorrer múltiplo de 2 ou múltiplo de 3?

Propriedades
1
4
2
5

10
8

A

7
6

3

B

9

S

A é o evento “múltiplo de 2”: n(A) = 5
B é o evento “múltiplo de 3”: n(B) = 3

p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)
5
3
1
7
p( A  B) 



 70%
10
10
10
10

Propriedades
f) Probabilidade de eventos mutuamente exclusivos

A

B

p( A  B)  p( A)  p( B)

S

Observe que se A  B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A
e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B);
Observe que se dois eventos são mutuamente exclusivos ocorrência
de um implica na não ocorrência do outro.

Exemplo:

Propriedades

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que
5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P,
1200 são assinantes de ambos e 800 não leem jornal. Qual a
probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante
de ambos os jornais?
SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja,
nosso espaço amostral.
n(S) = N(J U P) + N.º de pessoas que não leem jornais.
n(S) = n(J) + N(P) – N(JP) + 800
n(S) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(S) = 8600

Exemplo:

Propriedades

Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso
uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja
assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra
86% de probabilidade de não ser).


Exemplo:

Propriedades

Retirando ao acaso uma carta de um baralho, os eventos “rei” e
“dama” são mutuamente exclusivos, pois não existe nenhuma figura,
no baralho, que seja “rei” e “dama” ao mesmo tempo.
Observe, ainda, que em um espaço amostral S se A1, A2, A3, ..., An
são eventos mutuamente exclusivos dois a dois, vale a relação:

p( A1  A2    An )  p( A1 )  p( A2 )    p( An )


Propriedades
g) Probabilidade de eventos exaustivos
Em um espaço amostral S, dados n eventos mutuamente
exclusivos dois a dois:
A1, A2, A3, ..., An eles dizem-se eventos exaustivos se
A1  A2  A3  ... An =  e A1  A2  A3  ...  An = S
p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )    p( An )  1
Exemplo: Uma urna contem duas bolas brancas, três bolas pretas e
Quatro bolas amarelas. Ao retirar uma bola os eventos “bola branca”,
“bola preta” e “bola amarela” são exaustivas pois sua intersecção é vazia
e sua união é o espaço amostral S.

PROBABILIDADE CONDICIONAL
Dado dois eventos A e B de um espaço amostral S,
chama-se probabilidade de A condicionada a B, a
probabilidade de A ocorrer sabendo-se que vai
ocorrer ou já ocorreu o evento B, que é indicada por
P(A | B).

A

AB

B
S

n( A  B ) p ( A  B )
p( A | B) 

n( B )
p( B)

p( A  B)  p( B). p( A | B)



Exemplo: Jogando um dado e sabendo que ocorreu um número
maior que 3, qual a probabilidade de ser um número ímpar ?
A : Evento “número ímpar”
B : Evento “número maior do que 3”

2

A

1
3

5

4
6

B

S
1
p( A | B)   33%
3


Exemplo: Jogando um dado qual a probabilidade de ocorrer um
número maior que 3 e ímpar ?
A: evento “número maior do que 3”
B: evento “número ímpar”

p( A  B)  p( B). p( A | B)
n( A  B )
p( A | B) 
n( B )

3 1
1
p( A  B)  .   16,7%
6 3
6


Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.
Calcule as probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma
bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução:
p(V  B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na
urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V  B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%


Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.
Calcule as probabilidades de:
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
vermelha e depois uma bola branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes.
Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V  B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b)
acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos
transmitir.

Propriedades
h) Eventos dependentes e independentes
Dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando:
p ( A | B )  p ( A)
p ( B | A)  p ( B )

Consequência:
A e B são independentes  p(A  B) = p(A).p(B)
A e B são dependentes  p(A  B)  p(A).p(B)

Propriedades
Exemplo: Numa urna existem 6 bolas brancas e 4 bolas pretas que
Diferem apenas e tão somente pela cor ou pela numeração. As brancas
Estão numeradas de 1 a 6, e as pretas de 1 a 4. Retirando uma bola ao
acaso, os eventos “bola branca” e “número par” são dependentes ou
Independentes ?
Solução:
5
1
p ( B) 

A : “bola branca”
10
2
B: “número par”
n( B  A)
3
1
p ( B | A) 

n( A)



6



2

Como p(B|A) = p(B) implica que os eventos são independentes.


Propriedades
Exemplo: Numa urna existem 6 bolas brancas e 4 bolas pretas que
Diferem apenas e tão somente pela cor ou pela numeração. As brancas
Estão numeradas de 1 a 6, e as pretas de 1 a 4. Retirando uma bola ao
acaso, os eventos “bola branca” e “número maior que quatro” são
dependentes ou independentes ?
Solução:
6
3
p ( B) 

A : “bola branca”
10
5
B: “número maior que quatro”
n( B  A)
2
p ( B | A) 

n( A)



6

Como p(B|A)  p(B) implica que os eventos são dependentes.




1
3

PROBABILIDADE ENSAIOS REPETIDOS OU
SUCESSIVOS
Dados dois eventos independentes A e B de um espaço
amostral, sabemos que p(AB)=p(A).p(B)

p( A1  A2    An )  p( A1 ). p( A2 )... p( An )

Probabilidade Binomial

k

Cn,k . p( A) . p( A)

nk

A lei binomial é aplicável se a experiência é repetida sempre nas
mesmas condições, se cada experiência é independente das
demais, e se cada vez que a experiência é realizada ocorre A ou Ā.

SUCESSIVOS
Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 quatro vezes ?
A1 : número 1 na 1ª jogada
 Todos estes eventos são independentes pois o resultado de uma
jogada não depende do resultado da jogada anterior, portanto:

p( A  A2  A3  A4 ) 
1

1 1 1 1
1
. . . 
 0,08%
6 6 6 6
1296


SUCESSIVOS
Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 só na primeira jogada ?
A2 : número diferente de 1 na 2ª jogada

p( A  A2  A3  A4 ) 
1

1 5 5 5
125
. . . 
 9,6%
6 6 6 6
1296


SUCESSIVOS
Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 só nas duas primeiras jogadas ?

p( A  A2  A3  A4 ) 
1

1 1 5 5
25
. . . 
 1,9%
6 6 6 6
1296


SUCESSIVOS
Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 só duas vezes ?
A : Evento “ocorrer o número 1”
Ā : Evento “ocorrer o número diferente de 1”
jogada não depende do resultado da jogada anterior;
 Das condições do problema, nas quatro jogadas só em duas ocorre
o número 1: Assim temos C4,2 = 6 situações que satisfazem o problema.
1 1 5 5
25
p( A  A2  A3  A4 )  . . . 
 1,9%
1
6 6 6 6
1296
25
25
C4 , 2 .
 6.
 11,6%
1296
1296


Exemplo:


(UFF–RJ)
Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um participante
concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros
números sorteados estejam nessa cartela?


(UFSCar)
Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares.
Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:
a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18


Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30. Determine a
probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações relacionadas a 3 funcionários:
Todos se acidentarem.
Nenhum se acidentar.


Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as
informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade
de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar
hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz,
estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de
Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz
também estar hoje em Paris é igual a:
Solução:


Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma
venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as
decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a
probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três
visitas é igual a:
Solução:


André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada
questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se
André saber resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não
sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60%
das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma
questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é
igual a:
Solução:


Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela
pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela
pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela
pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a
probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem
para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é
igual a:
Solução:


A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é
Igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X
do intervalo {X  N | 1  X  3}; se ocorrer coroa, seleciona-se
aleatoriamente um número Y do intervalo {Y  N | 1  Y  4}, onde N
representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de
ocorrer um número par é igual a:
Solução:


Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer
cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência,
verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha
frequentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de
cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também
recentemente admitido, que não tenha frequentado o mesmo curso de
treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua
quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80%
frequentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente,
um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de
que ele não cumpra sua quota de produção é:
Solução:


Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o
trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é
de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a
probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a
probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia,
escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu
local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é:
Solução:


Uma clínica especializada trata apenas de três tipos de doentes dos que
sofrem de problemas cardíacos, dos que tem cálculo renal e dos
hipertensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clínica são
cardíacos, 40% são portadores de cálculo renal e apenas 10% são
hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os
problemas de cálculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95%
das vezes. Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de
que ele sofresse de cálculo renal:
Solução:


Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não viciada.
Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa
na moeda é:
Solução:


Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5,
é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, o
probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na
moeda é:
Solução:


São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual a probabilidade de
resultar exatamente 2 caras e 2 coroas ?
Solução:


Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois
meninos e duas meninas é:
Solução:


Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez
pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A
probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam
carro importado é:
Solução:


Com as frutas abacaxi, manga, banana, laranja, maça e tangerina. Teresa
deseja preparar um suco usando três frutas distintas. A probabilidade de
o suco conter laranja ou banana é de:
Solução:


Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas,
acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida,
retira-se dessa urna, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que
apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas
pretas na urna após a retirada. Em relação às bolas que restaram na
urna, é correto afirmar que:

a)
b)
c)
d)
e)

ao menos uma é branca.
necessariamente uma é branca.
ao menos uma é cinza.
exatamente uma é cinza.
todas são cinza.

Solução:

Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5 cm3 de volume, 3
cubos pretos, cada um com 2 cm3 de volume e 1 cubo azul de 3 cm3 de
volume. Retirando-se quatro objetos da urna, sem reposição,
necessariamente um deles:
a)
b)
c)
d)
e)

terá volume menor do que 3 cm3.
terá volume maior do que 3 cm3.
será uma bola.
será azul.
será preto.

Solução:


De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110
em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês.
Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que
o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas
disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a:
Solução:


Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas. Outra
possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que
uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma
bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade
de que a bola retirada seja da cor vermelha é:
Solução:


Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.
Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, a probabilidade de
que os 3 parafusos sejam defeituosos é de aproximadamente:
Solução:


Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.
Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, a probabilidade de
que numa retirada de 3 parafusos ao acaso, saiam pelo menos dois
parafusos defeituosos é: (sugestão: pelo menos 2 defeituosos = 2
defeituosos ou 3 defeituosos).
Solução:


Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3
bolas sem reposição. A probabilidade de as duas primeiras serem pretas
e a terceira sair vermelha é:
Solução:


Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas
bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de
cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja
vermelha ?
Solução:


Lançando-se um dado não viciado 8 vezes, qual a probabilidade de sair
exatamente 5 números iguais a 3 ?
Solução:


Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais
prováveis de aparecer que as coroas. Determine a probabilidade de num
lançamento sair coroa.
Solução:


Três atletas A, B, e C estão em uma competição de natação. A e B tem
as mesmas chances de vencer e cada um tem duas vezes mais chances
de vencer do que C. Qual a probabilidade de A ou C vencer a
competição ?
Solução:


Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais
chances de aparecer num lançamento que qualquer número ímpar.
Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número
primo.
Solução:


Considere uma urna que contém 1 bola preta, 4 bolas brancas e x bolas
azuis. Uma bola é retirada dessa urna, a sua cor é observada e em
seguida a bola é devolvida à urna. Depois, retira-se novamente uma
bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas
sejam da mesma cor valor ½ ?
Solução:


Probabilidade

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Probabilidade

Semelhante a Probabilidade (20)

Mais de Horacimar Cotrim

Mais de Horacimar Cotrim (18)

Último

Último (20)

Probabilidade