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Arithmétique
Divisibilité dans ℤ & identité de
Bézout
Programme de la 4ème maths
Plan de la leçon:
• Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne)
• PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide)
• Théorème de...
Prérequis et préparatif
QCM
http://www.evalqcm.fr
Code d'inscription :
5199JUKP
Fichier Excel
pour le calcul du
PGCD & sér...
Division euclidienne
Division dans ℤ
Division euclidienne
dans IN
Division euclidienne
dans ℤ
• Théorème:
Soit a et b deux entiers relatifs
avec b non nul. Il existe un unique
couple ( q,r...
PGCD de deux entiers
« algorithme d’Euclide »
• On ré effectue la
division
euclidienne
• a’=b’q+r’
a=bq+r
• Si non alors
•...
L’algorithme avec Excel
• On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la
procédure de calcul du PGCD moyennant
l’algorit...
Propriétés du PGCD de
deux entiers
Noter bien …
a et b deux entiers non nul:
• Si b divise a alors: ab = |b|
• Si b ne divise pas a et r le reste modulo b d...
Théorème de Bézout
Équations diophantiennes du type:
ax +by =c
Lemme de Gauss
a , b et c trois entiers non nuls. Si a  b =1 et a divise bc alors a divise c
Théorème ( Identité de Bézou...
La procédure de la résolution de
l’équation: ax+by=C
Déterminer le
PGCD d=a  b
• Vérifier si d
divise c
• Si d ne divise
...
Exemples à suivre …
Trouver les
coefficients de
Bézout
Résoudre une
équation
diophantienne
Applications…
I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11y
II. Déterminer tout les couples (x,y) s...
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leçon sont partagés sur
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arithmétique: divisibilité dans Z et identité de Bezout

  1. 1. Arithmétique Divisibilité dans ℤ & identité de Bézout Programme de la 4ème maths
  2. 2. Plan de la leçon: • Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne) • PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide) • Théorème de Bézout • Résolution d’équation diophantienne du type: ax + by =c • Évaluation
  3. 3. Prérequis et préparatif QCM http://www.evalqcm.fr Code d'inscription : 5199JUKP Fichier Excel pour le calcul du PGCD & série d’exercices Liens: Le PGCD La Série Des vidéos de YouTube partagées sur le mur du groupe de la classe et sur g+
  4. 4. Division euclidienne Division dans ℤ
  5. 5. Division euclidienne dans IN
  6. 6. Division euclidienne dans ℤ • Théorème: Soit a et b deux entiers relatifs avec b non nul. Il existe un unique couple ( q,r) tel que: a = bq+r et 0 r < |b| b est le quotient r est le reste • Auto évaluation: QCM on line http://www.evalqcm.fr Code d'inscription : 5199JUKP Chaque élève s’inscrira via son compte Facebook et répondra aux questions demandées
  7. 7. PGCD de deux entiers « algorithme d’Euclide » • On ré effectue la division euclidienne • a’=b’q+r’ a=bq+r • Si non alors • a’b • b’r Si le reste est nul • Soit r’ le dernier reste non nul r’ = ab
  8. 8. L’algorithme avec Excel • On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la procédure de calcul du PGCD moyennant l’algorithme d’Euclide est déjà programmée Lien http://1drv.m s/1HstBdt
  9. 9. Propriétés du PGCD de deux entiers
  10. 10. Noter bien … a et b deux entiers non nul: • Si b divise a alors: ab = |b| • Si b ne divise pas a et r le reste modulo b de a alors ab = br • ab = ba • Pour tout entier k: kakb =|k|(ab) • a(bc) = a(bc) • a et b deux entier et d = ab soit a’ et b’ tel que a=da’ et b=db’ alors a’  b’ =1
  11. 11. Théorème de Bézout Équations diophantiennes du type: ax +by =c
  12. 12. Lemme de Gauss a , b et c trois entiers non nuls. Si a  b =1 et a divise bc alors a divise c Théorème ( Identité de Bézout) Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux , si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que: au + bv = 1
  13. 13. La procédure de la résolution de l’équation: ax+by=C Déterminer le PGCD d=a  b • Vérifier si d divise c • Si d ne divise pas c alors l’ensembles des solutions dans ℤ² est  Si dc on simplifie l’équation par d • La nouvelle équation devient: • a’x +b’y=c’ où a’b’= 1 Déterminer une solution particulière • Par le biais de l’algorithme d’Euclide une solution particulière est déterminée Une solution de l’équation homogène moyennant le lemme de Gauss
  14. 14. Exemples à suivre … Trouver les coefficients de Bézout Résoudre une équation diophantienne
  15. 15. Applications… I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11y II. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x+12y=1 III. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 198x+75y=4 I. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss II. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout III. Soit (S) 𝑛 ≡ 13 𝑚𝑜𝑑(19) 𝑛 ≡ 6 𝑚𝑜𝑑(12) Résoudre le système (S).
  16. 16. Les fichiers utilisés dans cette leçon sont partagés sur OneDrive le lien est envoyer au groupe sur Gmail Les vidéos sont partagées sur g+ et dans le groupe « notre classe » sur Facebook

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