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  1. CALCUL DES CADRES CISAILLEMENT DANS LES STRUCTURES SOUMISES A DE LA FLEXION SIMPLE
  2. Modélisation de la poutre en béton armé pour des charges uniformément réparties faibles : Éléments fonctionnant comme une voûte sous-tendue. θ θ θ θ =45° Modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort tranchant
  3. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort tranchant = mécanisme = structure instable Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé avec armatures d’effort tranchant inclinés ou verticales
  4. l’effort dans un montant l’effort dans une diagonale (bielle): Pour des armatures d’effort tranchant droites sw Ed F V = Le montant est tendu. Cas des bielles inclinées de : Cas des bielles à 45° θ θ θ θ θ θ θ θ sin V F Ed b = = = = 2 Ed b V F = = = = Cas des bielles inclinées de :
  5. Modélisation : (Treillis de Ritter-Mörsh) armatures d’âme inclinées Étude d'un tronçon élémentaire: On étudie uniquement un tronçon de poutre comprenant une bielle de béton. B C' A armature transversale Fsw z Fcd Ftd α α α α C Inclinaison des bielles Dans le cas de poutres, l’angle θ θ θ θ des bielles de béton avec la fibre moyenne est limitée par : En flexion simple 5 2 1 , cot ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ θ θ θ θ soit ° ° ° ° ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ° ° ° ° 45 22 θ θ θ θ Inclinaison des armatures d’effort tranchant L’angle α des armatures d’effort tranchant avec la ligne moyenne doit être tel que : ° ° ° ° ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ° ° ° ° 90 45 α α α α . En pratique ° ° ° ° = = = = 90 α α α α
  6. 2 1 2 3 053 0 / ck C min f k , v γ γ γ γ = = = = ( ( ( ( ) ) ) )                         + + + + = = = = 2 200 1 ; d min k mm C c , Rd , C γ γ γ γ 18 0 = = = = s l l w A b d ρ ρ ρ ρ = 02 0, ≤ ≤ ≤ ≤ sl A : bd l d + + + + aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à au delà d la section considérée.
  7. CALCUL DES CADRES aciers mini et espacement max 4 . . 2 w sw N A φ π = N=2 2 brins verticaux descendants N=3 3 brins verticaux descendants N=4 4 brins verticaux descendants w yk ck sw b f f s A . 08 , 0 ) ( min = d s . 75 , 0 max =
  8. CALCUL DES CADRES dimensionnement 4 . . 2 w sw N A φ π = d s 75 , 0 ≤ choix de l’espacement comme sous multiple de la portée calcul de s f d V A ywd red Ed sw . cot . . . 9 , 0 , min , θ = π φ . . 4 min , min , N Asw w = ⇒ choix du diamètre Φw vérification de w yk ck sw b f f s A . 08 , 0 ≥ On met le premier cadre à s/2 de l’appui, tout les autres étant espacés de s. s/2 s s s s s s s s/2
  9. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES en T STRUCTURES SOUMISES A DE LA FLEXION SIMPLE
  10. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T préambule Bâtiments ⇒ plancher = sur un réseau de poutres. ⇔ associer une partie du hourdis à la section résistante des poutres ⇔ section droite de la poutre = section en té (uniquement lorsque le hourdis se situe dans la zone comprimée) section en T résiste bien mieux que la rectangulaire, ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ plus économique en armatures.
  11. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T notations h d w b 1 s A f h eff b partie externe partie interne partie externe eff b w b 1 eff b 2 eff b f h Fig 9.1 s A
  12. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T cas des poutres continues Béton en compression M(x) Sur appui :moment étant négatif ⇒ section résistante rectangulaire
  13. CALCUL DES POUTRES EN T largeur efficace beff b b b b w i , eff eff ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ 0 0 2 0 1 0 2 0 L , L , b , b i i , eff ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + = = = = L L 0 = pour une travée simplement appuyée de portée L L 0 0 85 = , pour une travée intermédiaire de poutre continue L L 0 0 70 = , pour une travée de rive de poutre continue
  14. CALCUL DES POUTRES EN T largeur efficace beff Cas des planchers poutrelles entrevous ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Section rectangulaire Cas des planchers à prédalles ⇒Section en T ⇒On prend en compte l’épaisseur de prédalle
  15. CALCUL DES POUTRES EN T position de l’axe neutre cas 1 cas limite cas 2 1 s A 1 s A 1 s A 2 f uT eff f cd h M b h f ( d ) = − moment équilibré par la table de compression seule uT u Ed M M ≤ , (cas fréquent) ⇒ axe neutre dans la table de compression la section en T = section rectangulaire de largeur b et de hauteur h. uT u Ed M M , ⇒ axe neutre dans la nervure
  16. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T aciers de flexion Cas 1 (axe neutre dans la table) Étude du cas limite Le moment équilibré par la table de compression seule est: u c uT z . N M 1 = = = = 2 f uT eff f cd h M b h f (d ) = −
  17. CALCUL DES POUTRES EN T aciers de flexion Étude de la section 1 1 diagramme des contraintes efforts normaux 1 u M w eff b b − − − − f h 11 s A cd f f h ( ( ( ( ) ) ) ) 1 s s ε ε ε ε σ σ σ σ 1 c N 11 s N [[[[ ]]]] f f h , d z 5 0 1− − − − = = = = 1 eff w u uT eff b b M M b − = Cette section constituée uniquement des débords est sollicitée par un moment Mu1 déduit de MuT par la relation 2 f f h d z − − − − = = = = ( ) 1 11 2 u s f s s M A h d σ ε σ ε σ ε σ ε =   − ×    
  18. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T aciers de flexion diagramme des contraintes efforts normaux diagramme des déformations 2 h d 12 s A w b 2 u M c ε ε ε ε cd f ( ( ( ( ) ) ) ) 1 s s ε ε ε ε σ σ σ σ 2 c N [ [ [ [ ] ] ] ] u u , d z α α α α 4 0 1− − − − = = = = 12 s N 1 s ε ε ε ε d x u u 2 2 α α α α = = = = d , u2 8 0 α α α α 2 u x Nous sommes dans le cas d’une section rectangulaire sollicitée par un moment . On doit suivre la démarche concernant les sections rectangulaires. Déterminons µu2 cd w u u f d b M 2 2 2 = µ 1 2 u u u M M M − = yd u u sl f d M A ) 4 , 0 1 ( 2 2 α − =
  19. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T aciers de flexion yd u u yd cd f w ff e sl f d M f f h b b A ) 4 , 0 1 ( . ). ( 2 2 α − + − = Cas 1 (axe neutre dans la table) Cas 2 (axe neutre dans la nervure) yd u Ed sl f d M A ) 4 , 0 1 ( , α − = 1 , 2 u u Ed u M M M − = 1 eff w u uT eff b b M M b − =
  20. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T aciers min et max c s sl t t yk ctm s A A A d b d b f f A 04 , 0 0013 , 0 26 , 0 max min , min , = ≤ ≤         = Largeur de la zone tendue bt : Travée : bt = bw Appuis : bt = beff partie externe partie interne partie externe eff b w b 1 eff b 2 eff b f h Fig 9.1 s A
  21. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T vérification : A.N. dans la table )² .( . 3 . 3 x d A n x b If s eff − + = f s eff s s eff h x et A b n A n A n b x ≤ ≤ − ± = 0 ) . . . 2 )² . ( . ( 1 eff c E Es n , = ef cm eff c E E ϕ + = 1 , car s Ed qp s Ed ef M M , , , , . ∞ = ϕ ϕ 2 = ∞ ϕ
  22. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T vérification : A.N. dans la nervure eff c E Es n , = ef cm eff c E E ϕ + = 1 , car s Ed qp s Ed ef M M , , , , . ∞ = ϕ ϕ 2 = ∞ ϕ )² .( . 3 ) ( . 3 ) ( . 3 3 3 x d A n h x x b h x b If s f eff f w − + − − + − = h x h et d A n b b h b A n b b h A n b b h b x f s w eff f w s w eff f s w eff f eff ≤ ≤ + − + + − + − − − = ) . . . 2 ) ².( .( )² . ) ( ( . ) ( ( 1
  23. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T vérification : compression du béton ck s ed cc f x If M 6 , 0 . , ≤ = σ If et x : selon cas de figure (position A.N.)
  24. CALCUL DES POUTRES vérification : calcul de la flèche Calcul simplifié de la flèche αII If E l Ms eff c II . . 10 ² . , 0 = α 3 ) , ( 1 0 , cm cm eff c E t E E = ∞ + = ϕ )² .( . 3 . 3 x d A n x b If s w − + = eff c E Es n , = 250 0 l II ≤ α Flèche admissible Flèche nuisible 500 0 l II ≤ α m l 7 0 ≤ 1000 ) 7 ( 4 , 1 0 m l cm II − + ≤ α m l 7 0 si si .si h x et A b n A n A n b x s w s s w ≤ ≤ − ± = 0 ) . . . 2 )² . ( . ( 1
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