1. Universiteti “Ismail Qemali” Vlore
Fakulteti i shkencave Teknike
Dega: Matematike
Lenda: Fizike 1
Tema: Ligjet e Njutonit. Aplikime
Punoi: Pranoi:
Hysen Doko Prof. Valbona Tahiri

2. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
Ligjet e Njutonit
Ligjet e Njutonit për lëvizjen janë tre ligje fizike të cilat
japin marrëdhëniet ndërmjet forcave që veprojnë mbi një objekt dhe lëvizjes së
objektit. Ato u formuluan për herë të parë nga Isak Njutoni në veprën e tij
kryesore Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, e publikuar për here të parë
në 5 Korrik 1687. Ligjet formojnë bazën e mekanikes klasike dhe Njutoni i përdori ato
për të shpjeguar shume fenomene të cilat studiojnë lëvizjen e objekteve fizike. Në
volumin e trete të veprës, Njutoni tregoi se si ligjet e lëvizjes, të kombinuara me ligjin
universal të gravitacionit, çojne në derivimin e ligjeve të Keplerit për lëvizjen e
planeteve.
Ligji i parë i Njutonit
Per kuptimin e levizjes, nje ndihmese te madhe dha per here te pare Galileu, me
zbulimin e ligjeve te inercise ne fillim te shekullit te XVII. Ai futi konceptin levizje
ideale, domethene levizja e truipit, kur mbi te nuk veprojne trupa te tjere. Ai formuloi
hipotezen sipas se ciles trupi i “lire” leviz me shpejtesi konstante. Me pas Njutoni
vuri ate themel te dinamikes, sot quhet Ligji i Pare i Njutonit. Mbeshtetur ne
vrojtimet, Galileu formuloi parimin e inercise:
Nje trup qe nuk i nenshtrohet ndonje force, nuk peson ndryshime te shpejtesise.
Ai ose ngelet ne gjendje qetesie (ne qofte se do ishte ashtu) ose levizne menyre
drejtvizore te njetrajtshme (ne qofte se do ishte ashtu, pra shpejtesi jozero)
Mungesa e forces nuk nenkupton domosdoshmerisht se nuk ka levizje. Pra, kur mbi
nje trup nuk vepron asnje trup tjeter, atehere ai ndoshet ose ne gjendje prehjeje ose ne
gjendje levizjeje drejtvizore te njetrajtshme.
Nje trup mbetet ose ne gjendjen e tij fillestare te prehjes apo te levizjes me
shpejtesi (vektoriale) konstante ose ne levizje drejtvizore te njetrajtshme, ne
qofte se rezultantja e forcave te jashtme qe vepron mbi te eshte zero.(1)
Para se Njutoni te formulonte ligjet e tij, mendohej se – per te mbajtur nje trup ne
levizje me shpejtesi konstante – eshte i nevojshem nje veprim ose nje force shtytese
apo terheqese. Mendohej qe nje trup eshte ne gjendjen e tij te natyrshme, te
vetvetishme, kur ai ndodhet ne qetesi. Prandaj per te bere te mundur venien e tij ne
levizje me shpejtesi konstante, duhet te shtyhet nga ndonje veprim i jashtem.
Perndryshe ai do te pushonte natyrshem se levizuri.
Ne qofte se levizim nje liber mbi tavoline duke e shtyre, me pas e leme te lire, ai do te
rreshqiste per nje kohe shume te shkurter dhe pastaj do te ndalonte. Njutoni ne kete
rast kuptoi se libri nuk eshte i lire nga ndikimi i forcave te jashtme, per arsye se atje
ekziston ferkimi. Per ta levizur prape me shpejtesi konstante, duhet ta shtyjme ose ta
terheqim duke e lidhur me nje fije. Por, nese levizim librin ne nje piste akulli
patinazhi, levizja e tij do te vazhdoje shume me gjate se tavolina. Ne siperfaqe te

3. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
lemuar, d.m.th. pa ferkim, libri do te levizte me shenja shume te vogla te ngadalesimit
per nje kohe me te gjate, duke pershkuar nje hapesire me te madhe.
Ne kete menyre mund te dalim gjithmone ne perfundim se, per te mbajtur nje trup ne
levizje me shpejtesi konstante, nuk eshte e nevojshme gjithnje forca.
Nga kjo pikepamje, ligji i pare i Njutonit shprehet:
Nese forca qe vepron mbi trupin eshte zero, atehere eshte e mundur te gjenden
sisteme referimi ne lidhje me te cilat trupi nuk peson asnje nxitim.
Meqe ligji i pare i Njutonit quhet ndryshe edhe si ligji i Inercise, atehere edhe
sistemet e referimit ku ky ligj eshte i vertete quhen sisteme inerciale referimi. Pra,
ato sisteme ku ligjet e Njutonit jane te verteta, quhen sistemet inerciale te referimit.
Ligji i dytë i Njutonit

4. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
Nga eksperimentet e zhvilluara del se ndryshimi i levizjes se nje trupi lidhet me
veprimet e trupave te tjere mbi trupin qe shqyrtojme; pra, nese mbi nje trup veprojne
trupa te tjere, atehere gjendja e levizjes ndryshon. Siç dihet, levizja e nje trupi ne nje
cast te dhene karakterizohet nga shpejtesia dhe ndryshim i levizjes do te thote
ndryshim i shpejtesise, d.m.th. lindje e nxitimit. Veprimi i forcave mbi nje trup
shkakton shformimin e tij. (Shformim – ndryshim i permasave dhe formes se trupit).
Veprime te natyrave te ndryshme mund te shkaktojne efekte te njejta me ndryshimin e
levizjes se trupit ose me shformimin e tij. Per shembull, nje suste do te zgjatet duke e
terhequr ose duke varur nje trup ne te. Ne pergjithesi, mund te ndodhe qe disa trupa –
duke vepruar njekohesisht mbi nje trup – te mos i shkaktojne atij nxitim. Trupi mund
te ndodhet ne prehje ose ne levizje drejtvizore te njetrajtshme pikerisht pse ne te
veprojne njekohesisht trupa te tjere, ne menyre te tille qe te mos i shkaktojne nxitim.
Keshtu, dihet qe Toka i terheq trupat mbi siperfaqen e saj me nxitim. Edhe ndaj trupit
qe ndodhet mbi tryeze, Toka ushtron force terheqese, por ai nuk leviz me nxitim, pasi
mbeshtetesja e pengon ate. Mbeshtetesja ushtron nje force te barabarte, me i madh ose
me i vogel se i nje force tjeter. Pra, forcat mund te krahasohen nga ana sasiore. Duke
zgjedhur ne menyre te pershtatshme njesine e forces, mund te matet cdo force. Matja e
forces mund te zbatohet ne te dy efektet e veprimit te saj: nxitimin dhe shformimin e
trupit. Zakonisht perdoret efekti shformues. Ne baze te ketij efekti jane ndertuar
dinamometrat. Kuptimi i perditshem i forces lidhet me ndjenjen e forces muskulare
ose me forcen e ushtruar nga sistemet mekanike te thjeshta, p.sh.: nen efektin e nje
suste te shtypur apo te zgjatur ose nen efektin e nje leve. Ne vijim te nje kuptimi te
tille, eshte arritur ne perfundim se nuk eshte e nevojshme nje pike kontakti per te
ushtruar nje force, sic ndodh gjate nje bashkeveprimi ne largesi me ane te forcave te
rendeses ose forcave elektrostatike, qe i shfaqin trupat e ngarkuar elektrikisht. Forca
eshte madhesi qe shpreh dhe mat bashkeveprimin midis sistemeve fizike.
Ne menyre intuitive mund te pohojme se forcashoqerohet me nocionin e madhesise
dhe te drejtimit. Drejtimi dhe kahu i forces eshte edhe drejtimi dhe kahu i nxitimit qe
ajo shkakton, ne qofte se eshte e vetmja force qe vepron mbi trupin. Efekti i nje force
ndryshon me drejtimin, si ne rastet e paraqitura me poshte:
a) Ka levizje
b) Nuk ka levizje, por vetem nje shformim te trupit;
c) Nuk shkakton ndonjelevizje.
N
(a) (b) (c)
G
Rasti i fundit fur kuptimin e barazimit te dy forcave ne ekuliliber. Edhe ne rastin b)
themi qe plani horizontal duke u shformuar prodhon nje force qe ekulilibron forcene

5. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
ushtruar nga jashte. Nga Njutoni u bene shume eksperimente per te pare si si lidhet
nxitimi me forcen ne trupa te ndryshem.
Dolen keto perfundime:
1) Nen veprimin e se njejtes force, nxitimi qe fiton nje trup i dhene, eshte
gjithmone i njejte, pavaresisht nga shpejtesia e trupit.
2) Nese mbi nje trup veprojne forca te ndryshme, nxitimi ne cdo rast eshte ne
perpjestim te drejte me forcen.
3) Per trupa te perbere nga e njejta lende – kur veprojne forca te njejta – nxitimi
ne cdo rast eshte me i vogel per trupat e medhenj e anasjelltas.
Vetia qe kane trupat per te ruajtur gjendjen e levizjes, quhet inerci.
Eksperimentet tregojne se trupat – nen veprimin e se njejtes force – nuk e ndryshojne
njesoj levizjen. Themi qe trupat nuk jane njesoj inerte. Sa me shume qe te ndryshoje
levizjen trupi nen veprimin e nje force te dhene, aq me pak inert eshte ai, dhe
anasjelltas.
Per te karakterizuar shkallen e inercise se trupave, perdoret madhesia fizike qe quhet
mase. keshtu, nje trup me mase me te vogel fiton nje nxitim me te madh sesa nje trup
me mase me te madhe, kur mbi ta vepron e njejta force. Masa eshte nje nadhesi
skalare. Nxitimi i dy trupave me mase te njete, kur ata jane te bashkuar eshte dy here
me i vogel, sesa kur jane vec e vec. Per tre trupa te bashkuar, nxitimi eshte tri here me
i vogel.. e keshtu me radhe. Kjo do te thote se inercia e trupave te bashkuar eshte me e
madhe aq here sa trupa jane, ne krahasim me ata kur jane vec e vec. Kuptohet qarte se
masa e dy trupave te bashkuar eshte sa dyfishi i mases se secilit, trefishi etj... Edhe per
trupat qe nuk kane mase te barabarte mund te themi se: masa e trupave te bashkuar
eshte e barabarte me shumen e masave te tyre. Duke zgjedhur si njesi masen e nje
trupi te vecante, mund te percaktohet masa e cdo trupi tjeter. Njesia e mases ne
sistemin nderkombetar te njesive (SI) eshte kilogrami (kg), qe eshte nje nga njesite
themelore te ketij sistemi. Eksperimentet tregojne se nxitimi qe fiton nje trup nen
veprimin e nje force, eshte ne perpjestim te zdrejte me masen e tij. Duke shenuar me
m masen e tij dhe me a nxitimin shkruajme:
a ~
1
𝑚
Njutoni e identifikoi masen me sasine e lendes. Ky eshte kuptimi qe kane njerezit ne
jeten e perditshme. Kuptimi fizik lidhet me inercine e trupave: masa e nje trupi eshte
karakteristike e cila lidh forcen qe vepron mbi trupin, me nxitimin qe fiton trupi. Duke
vepruar me forca te ndryshme mbi te njejtin trup, gjendet varesia e nxitimit nga forca
e ushtruar. Se pari, nese forcat e ushtruara mbi te njejtin trup jane te barabarta, atehere
edhe nxitimet jane te barabarta. Gjithashtu edhe nese forca rritet dy here, edhe nxitimi
rritet dy here, e keshtu me radhe. Madhesia e nxitimit eshte ne perpjestim te drejte
me forcen e ushtruar. Mirepo dime qe nxitimi eshte madhesi vektoriale, atehere edhe
forca qe e shkakton kete nxitim, eshte force vektoriale. Drejtimi i nxitimit eshte i
njejte me drejtimin e forces qe e shkakton kete nxitim ne cdo rast.

6. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
Perfundim: Kur dy ose me shume forca veprojne mbi te njejtin trup, nxitimi qe
fiton trupi, do te jete i barabarte me nxitiminqe do te fitonte ai, sikur te ishte nen
veprimin e nje force te vetme, te barabarte me shumen vektoriale te forcave te
vecanta. Ky pohim quhet parimi i pavaresise se veprimit te forcave.
Shuma vektoriale e forcave qe veprojne mbi nje trup, quhet force rezultante. Ligji i
njutonit shpesh shkruhet edhe ne trajten:
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
Qe jep lidhjen sasiore midis forces dhe gjendjes se levizjes se trupit. Ajo eshte
shprehja matematike e ligjit te dyte te Njutonit: bashkeveprimi i pikes materiale me
mjedisin rrethues te shprehur me ane te forces 𝐹⃗ percakton nxitimin e pikes materiale
ose ndryshimin e shpejtesise se saj.
“Nxitimi qe fiton trupi nen veprimin e nje force, eshte ne perpjestim te drejte me
madhesine e forces dhe ne perpjestim te zhdrejte me masen” (2)
Ligji i dyte i Njutonit permban si nje rast te vecante ligjin e Pare te Njutonit ose
parimin e inercise. Ligji i dyte i Njutonit mund te shkruhet edhe ndryshe:
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗= m
𝑑𝑣⃗⃗
𝑑𝑡
= m
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
) = m
𝑑2∗𝑟⃗
𝑑𝑡2
Dhe shpreh ligjinthemelor te dinamikes se pikes materiale. Nga ai mund te nxirren
te gjitha karakteristikat ne lidhje me levizjen e pikes materiale.
Ligji i Njutonit eshte nje ligj eksperimental:
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
Eshte nje ligj vektorial qe duhet mbajtur gjithmone parasysh dhe qe jep lidhjen midis
madhesive dinamike; forces dhe mases, me madhesine kinematike: nxitimi, shpejtesia
dhe zhvendosja. Ne praktike, kjo do te thote se ai eshte ekuivalent me tri ekuacione ne
lidhje me tri levizje te projektuara mbi boshtet. Ne aspektin matematik eshte nje lidhje
algjebrike midis forces dhe nxitimit.
Ligji i tretë i Njutonit
Ne pergjithesimin e eksperimenteve te tij Njutoni zbuloi edhe nje veti te pergjithshme
te forces qe mund te formulohet keshtu: nese nje trup A ushtron nje force 𝑭 𝐀𝐁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ mbi
nje trup B, trupi B reagon duke ushtruar nje force 𝑭 𝐁𝐀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ mbi trupin A. Forcat
kane te njejtin drejtim, te njejtin modul, por kahe te kunderta:

7. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
𝐹AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐹BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ky eshte ligji i Trete i Njutonit qe shpesh quhet parimi i veprim – kunderveprimit
dhe pershkruan nje veti te renesishme te forcave, domethene faktin qe ato paraqiten
gjithmone dy nga dy. Pra, veprimet e trupave kane karakter bashkeveprimi. Forcat e
bashkeveprimit kane te njejten natyre: ose te dyja shtytese ose te dyja terheqese.
(Ligji i tretë i Njutonit. Forcat e skiatorëve kanë madhësi të barabartë dhe drejtime të kundërta)
Vertetesia e ketij ligji mund te provohet lehte me kete eksperiment: dy karroca qe
mund te rreshqasin pa ferkim ne nje siperfaqe horizontale, vendosen ne njefare
largesie njera nga tjetra.
Ne njeren karroce vendoset nje sfere celiku kurse ne tjetren nje magnet. Pasi i leme te
lira karrocat, ato fillojne te levizin ne drejtime te kunderta me nxitim 𝑎⃗1 dhe 𝑎⃗2. Nga
matjet gjendet se:
m1 𝑎⃗1 = - m2 𝑎⃗2
ku m1 dhe m2 jane masat e karrocave se bashku me trupat qe bashkeveprojne. Ne baze
te ligjit te dyte te Njutonit, mbi karrocat jane ushtruar forca te barabarta ne madhesi,
por me kahe te kunderta:
𝐹AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐹BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ku 𝐹AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ eshte forca e ushtruar nga karroca A mbi karrocen B, ndersa 𝐹BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ eshte forca
e ushtruar nga karroca B mbi karrocen A.

8. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
Ushtrim: Nje grua ne aeroport po zhvendos valixhen e saj me mase 20 kg me nje
shpejtesi konstante duke e terhequr me nje rrip qe formon kendin α me horizontin. Ajo
e terheq rripin me nje force 35N dhe forca e ferkimit te truallit mbi valixhe eshte 20N.
Vizatoni diagramen e forcave per valixhen.
a) Cfare kendi formon rripi me drejtimin horizontal?
b) Sa eshte forca normale qe ushtron trualli mbi valixhen? y
Te dhena: N
m = 20 kg Fy F
v = costante Fx x
. f
F = 35N
f = 20N
α = ? G
N = ?
Zgjidhje:
Per zgjidhjen e ketij ushtrimi, procedohet me kater hapa:
1) Ndertimi i forcave qe veprojne mbi trup, te cilat skicohen tek figura e
mesiperme.
2) Shkruajme ligjin e dyte te Njutonit ne trajte vektoriale:
∑𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
𝑁⃗⃗⃗ + 𝐹⃗ + 𝐺⃗ + 𝑓⃗ = 𝑚𝑎⃗
𝐹⃗ = 𝐹⃗x + 𝐹⃗y
𝐹⃗⃗⃗⃗x = F * cosα 𝐹⃗y = F * sinα
3) Zgjedhim sistemin e referimit qe perbehet nga dy boshte, ku Ox sipas drejtimit
te levizjes dhe Oy pingul me levizjen, te cilen e kemi zgjedhur me siper,
perkrah figures.
4) Projektojme Ligjin e dyte te Njutonit sipas ketij sistemi te zgjedhur:
Ox 𝐹⃗x - 𝑓⃗ = m𝑎⃗ Oy: 𝐹⃗y + 𝑁⃗⃗⃗ - 𝐺⃗ = 0
 𝑁⃗⃗⃗ = 𝐺⃗ - 𝐹⃗y (a=0, shpejtesi costant) 𝑁⃗⃗⃗ = mg – F sinα

9. (1) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq73-74
(2) Pr. Dr. Bilal Shkurtaj,Ma.AnidaDuka “Kursi i fizikesse pergjithshme”fq79
 𝐹x – f = m * a
F cosα – f = m*a a=0 (sepse kemi shpejtesi konstante)
F cosα – f = 0
F cosα = f
cos α =
𝑓
𝐹
=
20𝑁
35𝑁
= 0.57
Kendi qe rripi formon me horizontin eshte:
α = arcos(0.57)
Nga formula themelore e trigonometrise gjejme vleren e sin α per te gjetur vleren e
N:
sin2 α + cos2 α = 1
sin2 α = 1 – cos2 α
sin2 α = 1 – (0.57)2
sin2 α = 1 – 0.3249
sin2 α = 0.6751
sin α = √0.6751 = 0.8216
N = mg – F sin α
N = 20 kg * 10 𝑚
𝑠⁄ 2 - 35N* 0.8216
N = 200N – 28.756
N = 171.244N
(Shenim: Materiali teorik si perkufizime eshte marre nga libri: “Kursi i fizikes se
pergjithshme”, Pr. Dr. Bilal Shkurtaj, Ma. Anida Duka, faqe 73 – 81 i perpunuar dhe i
pershtatur per kete detyre kursi)