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Mathématiques s1

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Semestre : 2
Module : Méthodes Quantitatives
Elément : Mathématiques Economiques
Enseignant : Mr BENMOUSSA
Numérisation & Conception
Mr Mohamed-Fadil ZIADI
Les Fonctions
Les Intégrales simples
Les Intégrales doubles
Extrêmes de fonctions de deux variables
Eléments du cours
Le Portail des Etudiant d’Economie
www.e-tahero.net
contact@e-tahero.net
Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
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PROGRAMME
I- Les Fonctions :
- Fonctions trigonométriques.
- Fonctions ex
.
- Fonction log x.
- Elasticité.
II- Les Intégrales simples :
- Par parties.
- Par changement de variables.
- Fractions rationnelles.
- Fractions irrationnelles.
- Intégrales impropres.
III- Les Intégrales doubles.
IV- Extrêmes de fonctions de deux variables.
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Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES.
I- Définition : cercle trigonométrique :
Sin tan
π/2
+
π 2 π Cos
-1 1
2
3π
Rayon = 1.
-1 ≤ cos α ≤ 1
R = 1 ⇒ -1 ≤ sin α ≤ 1
- ∞ < tg α < + ∞
α 0
4
π
2
π
6
π
3
π
Cos α 1
2
2 0
2
3 ½
Sin α 0
2
2 1
2
1
2
3
Tg α 0 1 0
3
3 3
Sin (- α) = - sin α
- α cos (- α) = cos α
tg (- α) = - tg α
sin (π - α) = sin α
π - α cos (π - α) = - cos α
tg (π - α) = - tg α
Sin α
α
cosα
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sin (π + α) = - sin α
π + α cos (π + α) = - cos α
tg (π + α) = tg α
sin (
2
π
+ α) = cos α
2
π
+ α cos (
2
π
+α) = - sin α
tg (
2
π
+ α) = -
αtg
1
= - cotg α.
II- Formules trigonométriques:
Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
Sin 2a = 2 sin a cos a.
Cos 2a = cos2
a – sin2
a.
Théorème de Pythagore :
A
B α O
OA2
= AB2
+ OB2
⇒ 12
= sin2
α + cos2
α
⇒ cos2
α + cos2
α = 1
⇒
α
αα
2
22
cos
sincos +
=
α2
cos
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.
⇒ 1 + tg2
α =
α2
cos
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tg 2α =
α
α
2cos
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=
αα
αα
22
sincos
cos.sin2
−
.
=
α
αα
α
αα
2
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2
cos
sincos
cos
cos2.sin2
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=
α2
1
2
tg
tgx
−
.
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III- Dérivées des fonctions trigonométriques :
f (x) f ′ (x)
sin x
cos x
tg x
cos (ax + b)
sin (ax + b)
cos x
- sin x
x2
cos
1
= 1 + tg2
x
- a . sin ( ax + b)
a . cos (ax + b)
IV- Fonctions réciproques :
Y = cos x ⇔⇔⇔⇔ x = arcos y
Y = sin x ⇔ x = arc sin y
Y = tg x ⇔ x = arc tg y
V- Etude de la fonction (y = sin x) :
1- Domaine de définition :
Df = ℜ.
2- Parité :
Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire.
Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire.
Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire.
3- Périodicité :
Une fonction est périodique de période T.
⇔ f (x + T) = f (x). sin
y = sin (x)
sin (α + 2π) = sin α.
Sin (α + 4π) = sin α.
Sin (α + kπ) = sinα.
cos
Donc dans ce cas T = 2π
Sin α
α
cos α
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4- Dérivée :
y ′ = cos x ⇔ cos x ≥ 0 ⇔ -
2
π
≤ x ≤
2
π
cos x ≤ 0 ⇔
2
π
≤ x ≤
2
3π
5- Tableau de variation :
x 0
2
π
2
3π 2π
y ′ + - +
y 1
0 -1
0
6- La courbe :
y
1
x
2
π
2
3π
2π
-1
T = 2 ππππ
VI- Etude de la fonction (y = cos x) :
La dérivée de cette fonction est la suivante :
y ′ = - sin x.
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  • 1. Semestre : 2 Module : Méthodes Quantitatives Elément : Mathématiques Economiques Enseignant : Mr BENMOUSSA Numérisation & Conception Mr Mohamed-Fadil ZIADI Les Fonctions Les Intégrales simples Les Intégrales doubles Extrêmes de fonctions de deux variables Eléments du cours Le Portail des Etudiant d’Economie www.e-tahero.net contact@e-tahero.net
  • 2. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 2 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F PROGRAMME I- Les Fonctions : - Fonctions trigonométriques. - Fonctions ex . - Fonction log x. - Elasticité. II- Les Intégrales simples : - Par parties. - Par changement de variables. - Fractions rationnelles. - Fractions irrationnelles. - Intégrales impropres. III- Les Intégrales doubles. IV- Extrêmes de fonctions de deux variables.
  • 3. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 3 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES. I- Définition : cercle trigonométrique : Sin tan π/2 + π 2 π Cos -1 1 2 3π Rayon = 1. -1 ≤ cos α ≤ 1 R = 1 ⇒ -1 ≤ sin α ≤ 1 - ∞ < tg α < + ∞ α 0 4 π 2 π 6 π 3 π Cos α 1 2 2 0 2 3 ½ Sin α 0 2 2 1 2 1 2 3 Tg α 0 1 0 3 3 3 Sin (- α) = - sin α - α cos (- α) = cos α tg (- α) = - tg α sin (π - α) = sin α π - α cos (π - α) = - cos α tg (π - α) = - tg α Sin α α cosα
  • 4. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 2 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F sin (π + α) = - sin α π + α cos (π + α) = - cos α tg (π + α) = tg α sin ( 2 π + α) = cos α 2 π + α cos ( 2 π +α) = - sin α tg ( 2 π + α) = - αtg 1 = - cotg α. II- Formules trigonométriques: Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b. Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Sin 2a = 2 sin a cos a. Cos 2a = cos2 a – sin2 a. Théorème de Pythagore : A B α O OA2 = AB2 + OB2 ⇒ 12 = sin2 α + cos2 α ⇒ cos2 α + cos2 α = 1 ⇒ α αα 2 22 cos sincos + = α2 cos 1 . ⇒ 1 + tg2 α = α2 cos 1 tg 2α = α α 2cos 2sin = αα αα 22 sincos cos.sin2 − . = α αα α αα 2 22 2 cos sincos cos cos2.sin2 − = α2 1 2 tg tgx − .
  • 5. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 2 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F III- Dérivées des fonctions trigonométriques : f (x) f ′ (x) sin x cos x tg x cos (ax + b) sin (ax + b) cos x - sin x x2 cos 1 = 1 + tg2 x - a . sin ( ax + b) a . cos (ax + b) IV- Fonctions réciproques : Y = cos x ⇔⇔⇔⇔ x = arcos y Y = sin x ⇔ x = arc sin y Y = tg x ⇔ x = arc tg y V- Etude de la fonction (y = sin x) : 1- Domaine de définition : Df = ℜ. 2- Parité : Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire. Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire. Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire. 3- Périodicité : Une fonction est périodique de période T. ⇔ f (x + T) = f (x). sin y = sin (x) sin (α + 2π) = sin α. Sin (α + 4π) = sin α. Sin (α + kπ) = sinα. cos Donc dans ce cas T = 2π Sin α α cos α
  • 6. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 3 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F 4- Dérivée : y ′ = cos x ⇔ cos x ≥ 0 ⇔ - 2 π ≤ x ≤ 2 π cos x ≤ 0 ⇔ 2 π ≤ x ≤ 2 3π 5- Tableau de variation : x 0 2 π 2 3π 2π y ′ + - + y 1 0 -1 0 6- La courbe : y 1 x 2 π 2 3π 2π -1 T = 2 ππππ VI- Etude de la fonction (y = cos x) : La dérivée de cette fonction est la suivante : y ′ = - sin x. La table de variation se présente comme suit :
  • 7. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 4 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F x 0 π 2π y ′ - + - y 1 -1 1 y 1 0          x 2 π π 2 3π 2π -1 VII- Etude de la fonction (y = tg x) : 1- Période : Tg (α + π) = tg α ⇒ tg α est périodique et T = π. 2- Parité : tg (-x) = -tg x ⇒ y = tg x est impaire. 3- Dérivée : y ′ = x2 cos 1 ≠ 0 . 4- Le tableau de variation :
  • 8. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 5 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F x 2 π− 2 π y ′ + y - ∞ + ∞ 5- La courbe : y y = tg x x Remarque : les asymptotes : VIII- Exercices : 1/ Calculer le (sin x) et la (tg x), sachant que cos x = 1 - 2 . 2/ Résoudre dans RR les équations : a- 2 sin 3 x = 1. b- cos 2 x = 2 3 Solution : 1- On sait que sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1- cos2 x. On sait aussi que : cos x = 1- 2 .
  • 9. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 6 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F ⇒ cos2 x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2. ⇒ sin2 x = 1- (1- 2 2 + 2). ⇒ sin2 x = 2 2 - 2 = 2( 2 - 1). ⇒ sin x = )12(2 −± = 12 −± ×××× 2 • tg = ? On sait que 1+ lg2 = x2 cos 1 . ⇒ tg2 x = x2 cos 1 -1. ⇒ tg2 x = 2 )21( 1 − - 1 = 2 2 )21( )21(1 − −− = 2 )21( )12(2 − − . ⇒ tg2 x = - )21( 2 − . ⇒ tg2 x = )21( 2 − − ± = )12( 2 − ± . 2- a- 2 sin (3x) = 1 ⇒ sin 3x = 2 1 ⇒ sin 3x = sin 6 π . Observation: sin x = sin α ⇒ * x = α + 2kπ. * x = (π - α) + 2kπ. cos x = cos α ⇒ * x = α + 2kπ. * x = - α + 2kπ. Donc : sin 3x = sin 6 π . ⇒ 3x = 6 π + 2kπ. ; (k∈Ζ) 3x = (π - 6 π ) + 2kπ. ⇒ x = 18 π + 3 2 πk ; (k∈Ζ) x = 18 5π + 3 2 πk
  • 10. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 7 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F b- cos 2x = 2 3 . ⇒ cos 2x = cos 6 π ⇒ 2x = 6 π + 2kπ. ; (k∈Ζ) 2x = - 6 π + 2kπ. ⇒ x = 12 π + 2 2 πk ; (k∈Ζ) x = - 12 π + 2 2 πk Consequences: Il existe quatre solutions : • x1 = 12 π . • x2 = 12 π +π. • x3 = - 12 π . • x4 = - 12 π + π.
  • 11. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 8 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F Chapitre 2 : FONCTION « y = ex » I- Définition : e0 = 1 e = 2,718. II- Propriétés : 1- y’ = ex . 2- ea+b = ea .eb 3- ea.b = (ea )b 4- b a e e = ea-b III- Etude de la fonction f(x) = ex : 1- ex est strictement croissante. 2- Df =ℜ = ] [+∞∞− , 3- ∞+ lim ex = ∞+ . 0 lim h en 1− = 1. ∞− lim ex = 0. Exercice: 1- Simplifier les expressions suivantes: a- ex . e-2x b- (e2x )2 . (e-3x )4 . c- (ex + e-x )2 – (ex – e-x )2 . 2- Soit la fonction : f(x) = 1 1 + − x x e e . a- Calculer ∞− lim f(x) et ∞+ lim f(x). 3- Calculer 0 lim ( x ex 3 1− ). Solution: 1- a- ex .e-2x = e-x . b- (e2x )2 . (e-3x )4 = e4x . e-12x = e-8x . c- (ex + e-x ) – (ex – e-x ) = 4.
  • 12. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 9 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F 2- On considère que : f(x) = 1 1 + − x x e e ∞− lim f(x) = -1. ∞+ lim f(x) = x x e e [ x x e e 11 11 + − ] = 1. Car on sait que ∞+ lim x e 1 = 0. 3- 0 lim x ex 3 1− = 3 1 0 lim x ex 1− . = 3 1 . IV- Tableau de variation: x -∞ 0 +∞ y’ + y 1 +∞ 0 Car on sait que : y’ = ex ≠ 0. La courbe : y y = ex 1 x 0 V- Autres limites : ∞+ lim x ex = +∞. ∞− lim x ex = 0.
  • 13. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 10 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F VI- Equations et inéquations: * ea = eb ⇒ a = b. * ea > eb ⇒ a > b. Car ex est strictement croissante. VII- Exercices : 1- Calculer ∞+ lim f(x) = ∞+ lim (ex – x + 1). 2- Etudier le sens de variation de la fonction : f(x) = (x – 2)ex . Solution : 1- ∞+ lim (ex – x + 1) = ∞+ lim ( x ex - 1 + x 1 ) = +∞. 2- Df = ℜ = ] [+∞∞− , . On sait qu’au règle générale : (f.g)’ = f’.g + f.g’ f’(x) = ex + (x – 2)ex = ex (1 + x – 2) = ex (x – 1). x -∞ 1 +∞ f’(x) - 0 + f(x) 0 +∞ y 0 І 1 x -e
  • 14. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 11 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F Chapitre 3 : FONCTIONS LOGARITHMES. I- Définition : On appelle logarithmes de base « a » : y = )log( )log( a x . Cas particulier : quand a = e ⇒ y = log x (c’est le logarithme népérien). y = log x = ∫ x x1 1 dx. x > 0. Pour: x = 1 ⇒ log 1 = 0 = ∫ 1 1 1 x dx. Pour : x = 0+ ⇒ log x = - ∞. 1- Dérivée : y = log x ⇒ y’ = x 1 . 2- Propriétés: * log (a.b) = log a + log b. * log b a = log a – log b. * log a 1 = - log a. * log an = n. log a II- Etudier la fonction y = log x : * Df = ] [+∞,0 * y’ = x 1 ≠ 0 . x 0+ 1 +∞ y’ + y 0 +∞ -∞
  • 15. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 12 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F y y = log x 0 i x 1 Exercices : Etude des fonctions : a- y = 3 log x + 2. b- y = log (x – 2). Solutions : a- Df = ] [+∞,0 f’(x) = x 3 . x 0+ 1 +∞ f’(x) + f(x) 2 +∞ -∞ b- Df = ] [+∞,2 f’(x) = 2 1 −x x 2 3 +∞ f’(x) + f(x) 0 +∞ -∞
  • 16. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 13 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F III- Limites : * ∞+ lim ln x = +∞. * + 0 lim ln x = -∞. * ∞+ lim x xln = 0- * 0 lim x lnx = 0- * 1 lim 1 ln −x x = 1 * 0 lim x x )1ln( + = 1 IV- Exercices: 1- Etude de la fonction : y = x2 x e 1 . Et tracer le graphique. 2- Etude de la fonction : y = x logx – 3x. 3- Etude de la fonction : y = (x – 2) x e 1 − . Solution : 1- Etude de la fonction : y = x2 x e 1 . * Df = * ℜ = ] [ ] [+∞∪∞− ,00, car on a (x ≠ 1). * y’ = 2x. x e 1 + x2 (- 2 1 x ) . x e 1 = (2x – 1). x e 1 . On a: y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ou x e 1 = 0. ⇔ x = 2 1 on sait que x e 1 > 0 donc : x e 1 ≠ 0. Donc le tableau de variation est le suivant : x -∞ 0 2 1 +∞ y’ - - + y +∞ +∞ +∞ 0 4 1 e2
  • 17. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 14 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F * ∞− lim f(x) = ∞− lim (x2 . x e 1 ) = +∞ * ∞+ lim f(x) = ∞+ lim (x2 . x e 1 ) = +∞ * − 0 lim f(x) = − 0 lim (x2 . x e 1 ) = 0 * +0 lim f(x) = +0 lim (x2 . x e 1 ) = 1 y 4 2 e 0 2 1 x 2- Etude de la fonction : y = x log x – 3x. * Df = ] [+∞,0 . * y’ = (x log x)’ – (3x)’ = log x + x (log x)’ – 3 y’ = log x – 2. On a : y’ = 0 ⇔ log x – 2 = 0. ⇔ x = e2 . * Tableau de variation : x 0 e2 +∞ y’ - 0 + y +∞ +∞ e-2 * ∞+ lim f(x) = ∞+ lim x.(log x – 3) = +∞. * +0 lim f(x) = +0 lim x. log x – 3x = 0
  • 18. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 15 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F * Représentation graphique: y y = x log x – 3x. e2 e3 x -e2 3- Etude de la fonction : y = (x – 2) x e 1 − : * Df = * ℜ = ] [ ] [+∞∪∞− ,00, * f’ (x) = x e 1 − + (x – 2). 2 1 x . x e 1 − = x e 1 − + 2 2 x x − . x e 1 − = x e 1 − (1 + 2 2 x x + ). = x e 1 − ( 2 2 2 x xx ++ ). On a f’(x) = 0 ⇔ x e 1 − ( 2 2 2 x xx ++ ) = 0 On sait que x e 1 − ≠ 0 et x2 ≠ 0. Donc x2 + x + 2 = 0 ∆ = 9 = 32 . x1 = 1 et x2 = -2. * Tableau de variation : x -∞ -2 0 1 +∞ y’ + - - + y -4 2 0 +∞ -∞ -∞
  • 19. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 16 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F * ∞− lim f(x) = ∞− lim (x – 2) x e 1 − = -∞. * ∞+ lim f(x) = ∞+ lim (x – 2) x e 1 − = +∞. * − 0 lim f(x) = − 0 lim (x – 2) x e 1 − = -∞. * +0 lim f(x) = +0 lim (x – 2) x e 1 − = 0. * Asymptotes obliques: - ∞+ lim x xf )( = ∞+ lim x ex x 1 ).2( − − = ∞+ lim x x . (1 - x 2 ) . x e 1 − . ⇒ ∞+ lim x xf )( = 1. - ∞+ lim [f(x) – x] = ∞+ lim (x – 2). x e 1 − - x. = ∞+ lim x x e 1 − - 2 x e 1 − - x. = ∞+ lim x [ x e 1 − - 1] – 2 x e 1 − . On met: X = - x 1 . Donc : ∞+ lim - X 1 [eX – 1] – 2 eX = -3. * Représentation graphique : - e 1 -4 e
  • 20. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 17 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F Chapitre 4 : INTEGRALES I- Principes : 1- 1er cas : Un train roule à la vitesse de v = 70 s m Durant un temps de t = 15 secondes. Quelle est la distance parcourue par le train ? On sait que : d = v.t donc : d = 70 * 15 = 1050 m. v ( s m ) v1 = 70 t (secondes) t1 = 15 d = v.t = aire du rectangle hachuré. 2- 2ème cas : La vitesse du train n’est pas constante et varie en fonction du temps « t », donc v= v(t). On sait que : d = v.t. Donc : d(t) = v(t) . t. v ( s m ) V(t) v1 = 70 S 0 t (secondes) t1 = 15
  • 21. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 18 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F d = ∑ di = ∫ 15 0 )(tf dt = S. C’est la somme des aires des petits rectangles. II- Intégrale d’une fonction sur un intervalle : 1- Définition : f(x) f(x) v1 = 70 S 0 x a b I = ∫ b a xf )( dx = aire S. Remarque: L’intégrale (aire) peut être positif ou négatif. v ( s m ) 0 t (secondes) a b
  • 22. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 19 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F 2- Propriétés : Si « f » est constante ⇒ I = ∫ b a xkf )( dx. I = k (b – a). 3- Valeur moyenne d’une fonction f(x) : M = )( 1 ab − ∫ b a xf )( dx. III- Propriétés générales d’une intégrale : 1- Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I = [ ]ba, admet un intégrale. 2- Propriétés : * ∫ a a xf )( dx = 0. * ∫ b a xf )( dx = -∫ a b xf )( dx. * ∫ b a xf )( dx + ∫ c b xf )( dx = ∫ c a xf )( dx. * ∫ b a xkf )( dx = k ∫ b a xf )( dx. * ∫ + b a xgff ))(( dx = ∫ b a xf )( dx + ∫ b a xg )( dx. * Si f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫ )(xf ≤ ∫ )(xg . IV- Primitives d’une fonction : 1- Théorème : Soit f(x) une fonction continue sur I = [ ]ba, . L’application : F : x → F(x) = ∫ )(tf dt est dérivable sur I, et la dérivé de F(x) est F’(x) = f(x). 2- Propriétés :
  • 23. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 20 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F Toute fonction f(x) continue sur I possède plusieurs primitives. Si « f » admet une primitive « F » sur I, alors « G = F + k » est aussi primitive de « f ». Avec « k » constante. L’intervalle « I » Fonction « f » Primitive « F » ℜ a ax + b ℜ x 2 1 x2 + c ℜ xn ; n∈ℵ 1 1 +n xn+1 + c + ℜ* ou − ℜ* 2 1 x - x 1 + c + ℜ* ou − ℜ* n x 1 1 )1( 1 − − − n xn + c + ℜ* x 1 x2 + c + ℜ* xr ; r∈( Q/{ }1− ) 1 1 +r xr+1 + c ℜ 2 1 1 x+ Artan x + c ℜ Cos x Sin x + c ℜ Sin x - cos x + c     ++− π π π π kk 2 ; 2 1+ tan2 x = 2 (cos) 1 Tan x + c ] [πππ kk +; 1+ cotan2 x = 2 (sin) 1 - cotan x + c « u » est dérivable sur I et strictement positive sur I u’ × un ; n ∈(Q/{ }1− ) 1 1 +n un+1 + c « u » est dérivable sur I et strictement positive sur I u u' 2 u + c « u » est dérivable sur I 2 1 ' u u + Arctan (u) + c « v » est dérivable et ne s’annule pas sur I 2 ' v v - v 1 + c « u et v » sont dérivables sur I u’ + v’ u + v + c « u et v » sont dérivables sur I u’v + uv’ u.v + c « u et v » sont dérivables sur I et v ≠ 0 2 '' v uvvu − v u + c « v » est dérivable sur I et « u » est dérivable sur v(I) u’(v(x)) × v’(x) (uov)(x) + c ℜ Cos (ax + b) ; a ≠ 0 ( a 1 ) sin (ax + b) + c ℜ sin (ax + b) ; a ≠ 0 - ( a 1 ) cos (ax + b) + c
  • 24. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 21 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F V- Intégration par partie : ∫ VU'. = U.V - ∫ '.VU . Exemples : Calculer les intégrales suivantes : 1- I = ∫ π 0 cos. xx .dx . On pose: V = x V’ = 1 U’ = cos x U = sin x I = [x. sin x]π 0 - ∫ π 0 sin x .dx = [x. sin x]π 0 + [cos x]π 0 = (π. Sin π - 0) + (cos π - cos 0). I = -2. 2- I = ∫ + ) 2 ( 2 x x dx. I = ∫ 2 x dx + ∫ x 2 dx. I = 3 3 x + 2 log x + k. 3- I = ∫ + 4 2 2 4xx dx. I = 2 1 ∫ + 4 2 2 1 2 )4(2 xx dx. I = 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4 +             + +x dx . = 3 1 2 3 2 )4( +x . Car on sait que: ∫ m UU'. = 1 1 + + m U m . 4- I = ∫ +15 43 xx dx. I = ∫ + 2 1 43 )1(5 xx dx.
  • 25. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 22 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F = 4 5 1 3 1 )1( 1 2 1 4 + + + x = 16 15 2 3 3 )1( +x . 5- I = ∫ e x 1 log dx. On pose : U’ = 1 U = x V = log x V’ = x 1 I = [x log x]e 1 - ∫ e dx 1 = [x log x –x]e 1. I = 1. 6- I = ∫ + 2 0 ) 4 2sin( π π x dx. On sait que : ∫ + )sin( bax dx = - a 1 cos (ax + b). Donc: I = [- 2 1 cos (2x + 4 π )] = - 2 1 [cos (π + 4 π ) – cos 4 π ]. On sait que : cos (π + 4 π ) = -cos 4 π . Donc : I = - 2 1 [- 2 2 - 2 2 ] = 2 1 . 2 7- I = ∫ − 1 0 )42( t et dt. On pose : U = (2t – 4) U’ = 2 V’ = et V = et . I = ∫ − 1 0 )42( t et dt = [et (2t – 4)]1 0 - ∫ 1 0 2 t e dt. = [e (-2) – (-4)] – 2 [et ]1 0. = -4e + 6.
  • 26. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 23 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F 8- I = ∫ e x x 1 2 log dx. On pose : V = log x V’ = x 1 U’ = 2 1 x U = - x 1 I = [- x 1 .log x]e 1 + ∫ e x1 2 1 dx. = [ - e 1 . Log e + 1. log 1] – [ e 1 - 1]. = - e 2 + 1. 9- I = ∫ π 0 sin2 tt dt. On pose : V = 2t V’ = 2 U’ = sin t U = -cos t. I = - [2t.cos t]π 0 + ∫ π 0 cos2 t dt. = - [2 π cos π - 0] + 2 [sin t]π 0. = 2 π. VI- Décomposition : Décomposition de : R(x) = )1()4( 1 2 −+ + xx x . R(x) = )1()4( 1 2 −+ + xx x = )4( +x A + 2 )4( +x B + )1( −x C . * Calculer B : B = 5 3 * Calculer C : C = 25 2 * Calculer A : A = - 25 2 3- Lorsque d° P(x) ≥≥≥≥ d° Q(x) : La méthode des calcules est la division euclidienne.
  • 27. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 24 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F P(x) Q(x) p(x) r(x) )( )( xQ xP = p(x) + )( )( xQ xr avec d° r(x) < d° Q(x). Exemple : )( )( xQ xP = 2 4 )1( +xx x . On a d° P(x) > d° Q(x). x (x + 1)2 = x (x2 + 2x + 1). = x3 + 2x2 + x. x4 x3 + 2x2 + x x4 + 2x3 + x2 x - 2 - 2x3 – x2 2x3 + 4x2 + 2x 3x2 + 2x 2 4 )1( +xx x = xx x 23 4 + = (x – 2) + xxx xx ++ + 23 2 2 23 . = (x – 2) + 2 )1( 23 + + x x . Calcul de I = ∫ + 2 4 )1(xx x dx. I = ∫ − 2x dx + ∫ + + 2 )1( 23 x x dx. On pose: I1 = ∫ − 2x dx. I2 = ∫ + + 2 )1( 23 x x dx. I2 = ∫ + + 2 )1( 23 x x dx. = 3 ∫ + 2 )1(x x dx + ∫ + 2 )1( 2 x dx. = 2 3 ∫ ++ −+ 12 112 2 xx x dx + ∫ + 2 )1( 2 x dx
  • 28. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Portail des Etudiants d’Economie - 25 - ©www.e-tahero.net–Z.M.F = 2 3 [∫ + + 2 )1( 12 x x dx - ∫ + 2 )1( 1 x dx] + ∫ + 2 )1( 2 x dx. = 2 3 [log (x + 1) + 1 1 +x ] - 1 2 +x . Donc : I + I1 + I2. Exercice : Calculer : ∫ ++ + )1)(1( 12 2 xx x dx R(x) = )( )( xQ xP = )1)(1( 12 2 ++ + xx x = 1+x A + )1( 2 + + x CBx . * Calculer A : A = [R(x) × (x+1)]x = -1 = - 2 1 * Calculer B : 3 2 2 x x = x Ax + 2 2 x Bx = A + B = 0 ⇒ B = - A = 2 1 . * Calculer C : On donne à x = 0. Donc 1 = A + 1 C ⇒ A + C = 1. ⇒ C = 1 – A. ⇒ C = 2 3 . I = ∫ + − )1( 2 1 x dx + ∫ +       + )1( 2 3 2 1 2 x x dx. I = - 2 1 log x + 1 + I2 I2 = ∫ +       + )1( 2 3 2 1 2 x x dx = 2 1 ∫ + + 1 3 2 x x dx. = 2 1 ∫ +12 x x dx + 2 3 ∫ +12 x dx dx. = 4 1 ∫ +1 2 2 x x dx + 2 3 ∫ +12 x dx dx. = 4 1 log (x2 + 1) + 2 3 artang x. I = - 2 1 log x + 1 + 4 1 log (x2 + 1) + 2 3 artang x.