Productos notables

J
PRODUCTOS NOTABLES
1. Si ,yx3
x
y
y
x 22
halle
4
y
x
x
y
x
y
y
x
W 0y,0x
A) 16 B) 3
2 C) 2
4
D) 4
2 E) 2/1
16
RESOLUCIÓN
yxxy3yx 33
yxxy3yxxy3yx
3
0yx
3
yx 16
x
x
x
x
W
4
x
x
x
x
RPTA.: A
2. Si 1aa 1
, halle 1212
aaW
A)256 B)306 C) 343
D)322 E)196
RESOLUCIÓN
a² 2 + a 2
= 1
a² + a 2
= 3
a4
+ a 4
= 7
a12
+ a 12
+ 3(7) = 343
a12
+ a 12
= 322
RPTA.: D
3. Si 8 8 8m n m p p m 0,
Halle
4n 2p
4m 2n
m n 1
W
m p 1
m, np R
A) mnp B)1
C) mnp D) pnm
E) 1
2
RESOLUCIÓN
nm0nm8
pm0pm8
mp0mp8
w = 1
RPTA.: B
4. Si: ,0zyx 666
halle
0Rz,y,x,
yzxzxy
zyxxyz9
W
4
3
A) 1
16 B)32 C) 18
D)16 E)8
RESOLUCIÓN
3 3 3
6 66 6x y z 3 xyz
3
6
3
66
zyx
zyzxy3x 66
2
6
2
xyz3zyx
3
xyz9yzxyxy2zyx
2
zyxxyz9
yzxzxy
3
162
2
zyxxyz9
zyxxyz9
W 4
4
3
3
RPTA.: D
5. Si x b c a
y c a b
z a b c
Halle:
cbacbabacacb
xyzzxyyzx
W
222
A)
y
x
B) acb
C) zy2 D)
abc
1
E)1
RESOLUCIÓN
1
cbaxyz
zyxxyz
W
x + y + z = a + b + c
RPTA.: E
6. Simplificar:
5
4
44
128
128128
W
A) 343 B) 24 C) 232
D) 28 E) 32
RESOLUCIÓN
128
128282
f
4
4
2
2
128
1282
f
4
4
2
2f2f2
5
2W
24W
RPTA.: B
7. Si ,yx3xy 11
halle
22
224
yx4
yx3yx
W
A)11 B)7 C)-6
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
3
x
y
y
x
xy3yx 22
xy5yxy2x 22
xy5yx
2
224
yx25yx
25x²y² 3x²y²
w
4x²y²
RPTA.:B
8. Simplificar:
3n
2 842
32 128842
factn...121212121
12...12121231
W
A) 0,5 B)2 C)4
D) 0,25 E)1
RESOLUCIÓN
121212D 2
N 3 N 32 2 2 8
D 2 2 2
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1
.
. 12121 22
N
.
12
2
n
1212 44
128
1
2
2
D
N
8
8
.
.
.
256
2 1
32 256 8
N 2 2
RPTA.: E
9. Operar: 33
33
72
1
33
72
1W
A)1 B)2 C)3
D) 72 E) 32
RESOLUCIÓN
W
27
28
13
33
72
1
33
72
1W 33
W
27
1
32W 33
W2W3
1W2WW3
RPTA.: A
10. Si 1bcacab
111
,
Halle:
1c1b1a
1c1b1a
W ,
0c,b,a
A)1 B)-1 C)2
D)
abc
1
E) 1
2
RESOLUCIÓN
1
bc
1
ac
1
ab
1
abccba
0abccba
abc ac bc c ab a b 1
W 1
abc ac bc c ab a b 1
  
W =
ab bc ac 1
1
ab bc ac 1
RPTA.:B
11. Si zyxaza1yaxa1 11
,
Halle: 1 1 1
x y z , x,y,z 0
A)a B) 1
a C) 1
a
D) 2
a E)1
RESOLUCIÓN
x z
1 a y 1 a x y z
a a
zyxaazayaxa 2
xyzyzxzxyazyxaa 23
zyxaa 23
xyzyzxzxya
a
1
xyz
yzxzxy
1
a
x
1
y
1
z
1
1111
azyx
RPTA.: C
12. Simplificar:
...1x1x1x1xW
242222
2x11x
2204821024
A)1 B) 0 C) 11
2
D)-2 E) 4096
RESOLUCIÓN
W= 4
x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x 1 ²...
1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2
W = 4
x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²...
1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2
W = 4 4
x 1 ² x 1 ²...
1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2
W = 8 8
x 1 ² x 1 ²....
1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2
W = 2048 2048
x 1 ² x 1 ² 2
W = 2
RPTA.: D
13. Si acbcab4cban
4
bcacabcba 222
y : 2 2 2
a b c 8
Halle: cba,n
A) 22 B)
2
2
C)2
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
xcba 222
yacbcab
yxy4y2xn
2
222
y4xy4y4xy4xn
n x²
2222
cban
8cban
2222
RPTA.: E
14. Operar:
2233
bcab6cbacbaW
Si: b = 0,5
A)1 B)2 C)
4
1
D)
16
1
E) 4
3
16
RESOLUCIÓN
a+c=n
2233
bnb6bnbnW
3 2 2 3 3 2 2 3
W n 3n b 3nb b n 3n b 3nb b
32
b6bn6
3
b8W
1
2
1
8W
3
RPTA.: A
15. Si ,0cb,a;0cba 111
Halle:
4
444
cba
cbaabc4cba
E
A) abc4 B)4abc C)1
D)2 E)abc
RESOLUCIÓN
0
c
1
b
1
a
1
22
0abacbc
0bca2cab2abc2bacacb 222222222
...abcabc2bacacb 222222
( )
Además:
2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b c 2 a b a c b c ...( )
( ) β
abcabc22cbacba 4442222
cbaabc4cbacba 4442222
2222
2222
bc2ac2ab2cba
cba
1
bcacab2cba
cba
Ε 2222
2222
0
RPTA.: C
16. ¿Cuál es el intervalo de valores de
“ ”, de modo que la ecuación 2
x2
2( 1) 8x 0, tenga raíces de
distinto signo?
A) ,
2
1
B) ;2
C) 2; D) 2;6
E) ;8
RESOLUCIÓN
004
2
122
xx
016
2
12
2
, como c<0, se
presentan 2 posibilidades:
i)
2
1
0120
2
12
0b
ii)
2
1
0120
2
12
0 ab
En este caso una respuesta seria
1 1
x ; ;
2 2
RPTA.:A
17. Los valores de “x” que satisfacen la
ecuación:
63132 xxx
tiene la propiedad que su suma es:
A)-14 B)-7 C)-9
D)-2 E)7
RESOLUCIÓN
66323132 xxxxx
18924 2
xx
1894 2
xx
1490 2
xx x= -7No cumple
270 xx
x=-2 Si cumple
Únicamente (-2) satisface la
ecuación.
RPTA.: D
18. Sea A la suma de las raíces de
02
cbxax y B la suma de las
raíces a 011
2
cxbx ,
entonces B-A es:
A)-2 B)-1 C)0
D)1 E)2
RESOLUCIÓN
a
b
S
a
c
x
a
b
x 02
2
ax 2ax a bx b c 0
022
cbaxbaax
0
22
a
cba
x
a
ba
x
a
ba
S
2
22
a
b
a
b
AB
RPTA.: A
19. En la ecuación cuadrática:
02
cbxax afirmamos:
I. Si la suma de sus raíces es igual a
su producto, entonces b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la
otra, entonces b=0.
III. Si una raíz es doble de la otra,
entonces acb 92 2
A) Las 3 afirmaciones son
verdaderas.
B) Solo I y II son verdaderas.
C) Solo I y III son verdaderas.
D) Solo II y III son verdaderas.
E) Solo II es verdadera.
RESOLUCIÓN
b c
S ; P
a a
I. 2121 x.xxx
0cb
a
c
a
b
(V)
II. ,xx 21 pero
a
b
xx 21
a
b
xx 22
a
b
0
b0 (V)
III.
a
b
xxxx 2121 2
a
b
xx 222
a
b
x23
2
b
x
3a
2
2
2
3a
b
x
2
2
2
2
9a
b
x
...........................(1)
Luego:
a
c
x.x 21
2 2
c
2x x
a

a
c
x2
22
a
c
x
2
2
2 ...........................(2)
De (1) y (2)
b² c
9a² 2a
2b² = 9ac
RPTA.: A
20. Si las ecuaciones cuadráticas:
0312 2
nxmx
0233 2
mxnx
Son equivalentes, para
,Rnm calcule n.
A)
5
23
B)15 C)
7
15
D)
9
11
E) 9
RESOLUCIÓN
2
3
3
1
3
2
m
n
n
m
nm 3942 336 mn
2
313 n
m
13 3n
6n 3 3
2
3
2
939
6
n
n
693912 nn
7
15
n
RPTA. C

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Productos notables

  • 1. PRODUCTOS NOTABLES 1. Si ,yx3 x y y x 22 halle 4 y x x y x y y x W 0y,0x A) 16 B) 3 2 C) 2 4 D) 4 2 E) 2/1 16 RESOLUCIÓN yxxy3yx 33 yxxy3yxxy3yx 3 0yx 3 yx 16 x x x x W 4 x x x x RPTA.: A 2. Si 1aa 1 , halle 1212 aaW A)256 B)306 C) 343 D)322 E)196 RESOLUCIÓN a² 2 + a 2 = 1 a² + a 2 = 3 a4 + a 4 = 7 a12 + a 12 + 3(7) = 343 a12 + a 12 = 322 RPTA.: D 3. Si 8 8 8m n m p p m 0, Halle 4n 2p 4m 2n m n 1 W m p 1 m, np R A) mnp B)1 C) mnp D) pnm E) 1 2 RESOLUCIÓN nm0nm8 pm0pm8 mp0mp8 w = 1 RPTA.: B 4. Si: ,0zyx 666 halle 0Rz,y,x, yzxzxy zyxxyz9 W 4 3 A) 1 16 B)32 C) 18 D)16 E)8 RESOLUCIÓN 3 3 3 6 66 6x y z 3 xyz 3 6 3 66 zyx zyzxy3x 66 2 6 2 xyz3zyx 3 xyz9yzxyxy2zyx 2 zyxxyz9 yzxzxy 3 162 2 zyxxyz9 zyxxyz9 W 4 4 3 3 RPTA.: D 5. Si x b c a y c a b z a b c Halle: cbacbabacacb xyzzxyyzx W 222
  • 2. A) y x B) acb C) zy2 D) abc 1 E)1 RESOLUCIÓN 1 cbaxyz zyxxyz W x + y + z = a + b + c RPTA.: E 6. Simplificar: 5 4 44 128 128128 W A) 343 B) 24 C) 232 D) 28 E) 32 RESOLUCIÓN 128 128282 f 4 4 2 2 128 1282 f 4 4 2 2f2f2 5 2W 24W RPTA.: B 7. Si ,yx3xy 11 halle 22 224 yx4 yx3yx W A)11 B)7 C)-6 D)4 E)8 RESOLUCIÓN 3 x y y x xy3yx 22 xy5yxy2x 22 xy5yx 2 224 yx25yx 25x²y² 3x²y² w 4x²y² RPTA.:B 8. Simplificar: 3n 2 842 32 128842 factn...121212121 12...12121231 W A) 0,5 B)2 C)4 D) 0,25 E)1 RESOLUCIÓN 121212D 2 N 3 N 32 2 2 8 D 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 . . 12121 22 N . 12 2 n 1212 44 128 1 2 2 D N 8 8 . . . 256 2 1 32 256 8 N 2 2 RPTA.: E 9. Operar: 33 33 72 1 33 72 1W
  • 3. A)1 B)2 C)3 D) 72 E) 32 RESOLUCIÓN W 27 28 13 33 72 1 33 72 1W 33 W 27 1 32W 33 W2W3 1W2WW3 RPTA.: A 10. Si 1bcacab 111 , Halle: 1c1b1a 1c1b1a W , 0c,b,a A)1 B)-1 C)2 D) abc 1 E) 1 2 RESOLUCIÓN 1 bc 1 ac 1 ab 1 abccba 0abccba abc ac bc c ab a b 1 W 1 abc ac bc c ab a b 1    W = ab bc ac 1 1 ab bc ac 1 RPTA.:B 11. Si zyxaza1yaxa1 11 , Halle: 1 1 1 x y z , x,y,z 0 A)a B) 1 a C) 1 a D) 2 a E)1 RESOLUCIÓN x z 1 a y 1 a x y z a a zyxaazayaxa 2 xyzyzxzxyazyxaa 23 zyxaa 23 xyzyzxzxya a 1 xyz yzxzxy 1 a x 1 y 1 z 1 1111 azyx RPTA.: C 12. Simplificar: ...1x1x1x1xW 242222 2x11x 2204821024 A)1 B) 0 C) 11 2 D)-2 E) 4096 RESOLUCIÓN W= 4 x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x 1 ²... 1024 2048 x 1 ² 1 x ² 2 W = 4 x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²... 1024 2048 x 1 ² 1 x ² 2 W = 4 4 x 1 ² x 1 ²... 1024 2048 x 1 ² 1 x ² 2 W = 8 8 x 1 ² x 1 ².... 1024 2048 x 1 ² 1 x ² 2
  • 4. W = 2048 2048 x 1 ² x 1 ² 2 W = 2 RPTA.: D 13. Si acbcab4cban 4 bcacabcba 222 y : 2 2 2 a b c 8 Halle: cba,n A) 22 B) 2 2 C)2 D)4 E)8 RESOLUCIÓN xcba 222 yacbcab yxy4y2xn 2 222 y4xy4y4xy4xn n x² 2222 cban 8cban 2222 RPTA.: E 14. Operar: 2233 bcab6cbacbaW Si: b = 0,5 A)1 B)2 C) 4 1 D) 16 1 E) 4 3 16 RESOLUCIÓN a+c=n 2233 bnb6bnbnW 3 2 2 3 3 2 2 3 W n 3n b 3nb b n 3n b 3nb b 32 b6bn6 3 b8W 1 2 1 8W 3 RPTA.: A 15. Si ,0cb,a;0cba 111 Halle: 4 444 cba cbaabc4cba E A) abc4 B)4abc C)1 D)2 E)abc RESOLUCIÓN 0 c 1 b 1 a 1 22 0abacbc 0bca2cab2abc2bacacb 222222222 ...abcabc2bacacb 222222 ( ) Además: 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 2 a b a c b c ...( ) ( ) β abcabc22cbacba 4442222 cbaabc4cbacba 4442222 2222 2222 bc2ac2ab2cba cba 1 bcacab2cba cba Ε 2222 2222 0 RPTA.: C 16. ¿Cuál es el intervalo de valores de “ ”, de modo que la ecuación 2 x2 2( 1) 8x 0, tenga raíces de distinto signo?
  • 5. A) , 2 1 B) ;2 C) 2; D) 2;6 E) ;8 RESOLUCIÓN 004 2 122 xx 016 2 12 2 , como c<0, se presentan 2 posibilidades: i) 2 1 0120 2 12 0b ii) 2 1 0120 2 12 0 ab En este caso una respuesta seria 1 1 x ; ; 2 2 RPTA.:A 17. Los valores de “x” que satisfacen la ecuación: 63132 xxx tiene la propiedad que su suma es: A)-14 B)-7 C)-9 D)-2 E)7 RESOLUCIÓN 66323132 xxxxx 18924 2 xx 1894 2 xx 1490 2 xx x= -7No cumple 270 xx x=-2 Si cumple Únicamente (-2) satisface la ecuación. RPTA.: D 18. Sea A la suma de las raíces de 02 cbxax y B la suma de las raíces a 011 2 cxbx , entonces B-A es: A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2 RESOLUCIÓN a b S a c x a b x 02 2 ax 2ax a bx b c 0 022 cbaxbaax 0 22 a cba x a ba x a ba S 2 22 a b a b AB RPTA.: A 19. En la ecuación cuadrática: 02 cbxax afirmamos: I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto, entonces b+c=0. II. Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b=0. III. Si una raíz es doble de la otra, entonces acb 92 2 A) Las 3 afirmaciones son verdaderas. B) Solo I y II son verdaderas. C) Solo I y III son verdaderas. D) Solo II y III son verdaderas. E) Solo II es verdadera. RESOLUCIÓN b c S ; P a a I. 2121 x.xxx
  • 6. 0cb a c a b (V) II. ,xx 21 pero a b xx 21 a b xx 22 a b 0 b0 (V) III. a b xxxx 2121 2 a b xx 222 a b x23 2 b x 3a 2 2 2 3a b x 2 2 2 2 9a b x ...........................(1) Luego: a c x.x 21 2 2 c 2x x a  a c x2 22 a c x 2 2 2 ...........................(2) De (1) y (2) b² c 9a² 2a 2b² = 9ac RPTA.: A 20. Si las ecuaciones cuadráticas: 0312 2 nxmx 0233 2 mxnx Son equivalentes, para ,Rnm calcule n. A) 5 23 B)15 C) 7 15 D) 9 11 E) 9 RESOLUCIÓN 2 3 3 1 3 2 m n n m nm 3942 336 mn 2 313 n m 13 3n 6n 3 3 2 3 2 939 6 n n 693912 nn 7 15 n RPTA. C