1. MATEMÁTICA BASICA
Departamento de Ciencias
Departamento de Ciencias
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

2. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
ejercicios y problemas de contexto real
relacionadas a la economía y a la gestión
empresarial, aplicando la definición, y
propiedades de los límites algebraicos, límites
de la forma 0/0.

3. CONTENIDOS
APLICACIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
1) Límites
 1.1 Idea Intuitiva
 1.2. Definición y ejemplos.
 1.3 Propiedades y ejemplos
 1.4 Límites algebraicos - ejemplos
 1.5 Límites indeterminados de la
forma 0/0
 1.6 Ejemplos
 1.7 Aplicaciones
2) Trabajo en equipo
3) Meta cognición
4) Referencia bibliográfica

4. 1.1 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
 
2
2
lim 1
x
x


x
( )
f x 4,61 4,96 4,996 5,004 5,04 5,41
2
1,9 1,99 1,999 2,1
2,01
2,001
5

 
2
1
lim 2 1
x
x


x
( )
f x 0,62 0,92 0,996 1,004 1,04 1,42
1
0,9 0,99 0,999 1,1
1,01
1,001
1


5. 1.1. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
       






x

6. 1.2. DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION
NOTA :Si no existe tal número 𝑳, se dice que el límite no existe.
x
y
Se denota: 𝑳 ∈ ℝ .

7. 1.2 EJEMPLOS DE LIMITES:
      








x
y
Calculando:
2. Determine:
       








y
Calculando
𝑨𝑸𝑼𝑰: 𝑳 = 𝟑 𝑨𝑸𝑼𝑰: 𝑳 = 𝟐

8. 1.3. PROPIEDADES DE LÍMITES
L
k
x
f
k
x
f
k
a
x
a
x
.
)
(
lim
.
)
(
.
lim 



  M
L
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x








)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
M
L
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
.
)
(
lim
.
)
(
lim
)
(
).
(
lim 




Sean dos funciones tales que:
y k una constante, entonces:
M
x
g
y
L
x
f
a
x
a
x




)
(
lim
)
(
lim
g
y
f
0
,
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim 





M
M
L
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
    N
n
L
x
f
x
f n
n
a
x
n
a
x


 

,
)
(
)
(
lim lim
N
n
L
x
f
x
f n
n
a
x
n
a
x





;
)
(
lim
)
(
lim
k
k
a
x


lim
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-

9. 1.3. EJEMPLOS
Si: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 = 𝟑 𝒚 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒈 𝒙 = 𝟐 .
𝟏. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) =
𝟑. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 . 𝒈(𝒙) =
𝟐. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝟑. 𝒇(𝒙) =
4. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝟓 =
8. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝟑𝒇(𝒙) + 𝟒𝒈𝟐
(𝒙) =
= 𝟑𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 + 𝟒 lim
𝒙→𝟏
𝒈𝟐(𝒙)
= 𝟑(𝟑) + 𝟒 lim
𝒙→𝟏
𝒈(𝒙)
𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 + 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒈 𝒙
𝟑 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 = 𝟑 𝟑 = 𝟗
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒈 𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟑𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟒𝒈𝟐(𝒙)
5
= 9 + 4 𝟐 𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓
5. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
=
𝟕. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙)= = 𝟑
𝟔. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒈(𝒙) 𝟑=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙)
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒈(𝒙)
=
𝟑
𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒈 𝒙
𝟑
= 𝟐 𝟑
= 8
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙)
=( 3 ) 𝟐 =6
= 3 + 2 = 5

10. 1.4. LIMITES ALGEBRAICOS
EJEMPLOS: calcula los siguientes limites



 1
3
4
2
lim
1 x
x
x



 x
x
x 2
5
lim
1

 x
x
x
x -
4
-
lim 2
4
1
2
2
1
)
1
(
3
4
)
1
(
2






2
1
4
1
2
1
5





4
-
)
4
(
4
-
4
2
1.
2.
3.
4. lim
𝑥→1
2𝑥2
+ 𝑥 − 3
𝑥3 + 4
=
2 + 1 − 3
1 + 4
=
0
5
= 0

11. 1.5 LIMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA 𝟎 𝟎
Primer Paso:
o Evaluar el límite por sustitución.
Segundo Paso
o Si al sustituir obtenemos:
0
0
( forma indeterminada )
Si es posible levantar la indeterminación , a través de
operaciones algebraicas; factorización , productos
notables, racionalización.

12. 1.6. EJEMPLOS
12
4
lim 2
4 


 x
x
x
x
EJEMPLO 1
SOLUCION




 12
4
lim 2
4 x
x
x
x )
3
)(
4
(
4
lim
4 


 x
x
x
x
)
3
(
1
lim
4 

 x
x
7
1
3
4
1



7
1
12
4
lim 2
4




 x
x
x
x
RESPUESTA:
=
0
0
(indeterminado)

13. 1.6. EJEMPLOS
EJEMPLO 2
SOLUCION
3
2
6
4
)
3
)(
2
(
)
2
(
2







RESPUESTA:
x
x
x
x
x 2
4
lim 2
3
2
2 









 x
x
x
x
x 2
lim 2
3
2
2
2
2
)
2
(
)
2
)(
2
(
lim 2
2 




 x
x
x
x
x
x )
1
)(
2
(
)
2
)(
2
(
lim
2 





 x
x
x
x
x
x
)
1
(
2
lim
2 



 x
x
x
x
3
2
2
4
lim 2
3
2
2





 x
x
x
x
x
=
0
0
(indeterminado )

14. 1.6. EJEMPLOS
EJEMPLO 3
SOLUCION
RESPUESTA:
9
-
3
-
lim 2
2
3
x
x
x
x



 9
x
3
x
lim 2
2
3
x
x
2
2
3 3
)
3
(
lim


 x
x
x
x )
3
)(
3
(
)
3
(
lim
3 



 x
x
x
x
x
3
lim
3 

 x
x
x
9
-
x
27
-
x
lim 2
3
3

x
=
0
0
(indeterminado)
=
3
6
=
1
2
=
1
2

15. La función utilidad (en soles) para cierto negocio esta dado
por:
𝑷 𝒙 = 𝟐𝟐𝟓𝒙 − 𝟑𝒙𝟐
− 𝟕𝟎𝟎;
Donde 𝒙 es el número de artículos vendidos.
a) ¿Use la función para determinar el valor de: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒𝟎
𝑷(𝒙) ?
b) ¿Cuál es la interpretación económica del limite?
1.7. APLICACIONES DE LÍMITES

16. 1.7. SOLUCION
lim
𝑥→40
𝑷 𝒙 = lim
𝒙→𝟒𝟎
(𝟐𝟐𝟓𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝟎𝟎 )
= 225(40) - 3(40)2
- 700
= 9000 - 3(1600) - 700
= 9000 - 4800 - 700
= 3500
RESPUESTA: 3500
a) Calculo del limite
b) Interpretación
Cuando el número de artículos vendidos se aproxima a 40, la utilidad se
aproxima al valor de S/. 3500.

17. 2. TRABAJO EN EQUIPO
• En equipos de 3 estudiantes, desarrollar los ejercicios
indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.

18. 3. RETROALIMENTACION
• ¿Cuál es el primer paso para calcular el limite?
• ¿Qué leyes de limites conoces?
• ¿Qué formas indeterminadas conoces y como se obtiene?

19. N° CÓDIGO AUTOR TÍTULO PAG
1 510 HAEU Haeussler, Ernest.
Matemáticas para
administración y economía.
381-398
2
510 ARYA
2009
Arya, Jagdish
Matemática Aplicada a la
administración y a la economía.
450-460
3
515.15
LARS
Larson, Ron /
Hostetler,Robert /
Edwards, Bruce
Cálculo 41-80
30/05/2023
4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS