¿Cómo se desarrollan las fórmulas para áreas, etc? Y ¿cómo podemos saber que son correctas? Dudas muy intelligentes y razonables, éstas, a las que intento responder en este documento.

1. Unas cuantas propiedades de triángu-
los equiláteros y de sus “hermanos
mayores”, los tetraedros regulares
(Con una breve introducción a las técnicas comunes
en la demostraciones matemáticas)
En la clase anterior, varias de Uds. hicieron preguntas sobre si es posible
desarrollar, por medio de la “trig”, fórmulas para áreas de figuras planas y
volúmenes de cuerpos geométricos. Se me preguntó también, cómo se pue-
de saber si una fórmula tal, por ejemplo una para el área de un triángulo
equilátero, se verifica para todo triángulo del mismo tipo.
La verdad es que la segunda pregunta es excelente. Va al grano de la
naturaleza de las matemáticas, y de la realidad misma. A este tipo de pre-
gunta se dedica una rama entera de la filosofía, que se llama la epistemolog-
ía. Por supuesto que no hay tiempo para responderla satisfactoriamente
aquí. Sin embargo, sí se puede trazar las líneas generales del tema, y con
provecho. ¿Por qué no hacerlo en el curso de desarrollar fórmulas para
triángulos equiláteros y para tetraedros?
Sobre las suposiciones comunes en las demostraciones
No es posible razonar sin hacer suposiciones, aunque no nos demos cuenta
de éstas. Al menos, al razonar uno supone su propia existencia.
Para desarrollar fórmulas para áreas y volúmenes de formas y figuras
geométricas, es necesario suponer mucho más. Primero, que estos objetos
“existen”. Además, que sus características (longitudes, áreas, etc.) pueden
ser expresadas por medio de números reales. También, se supone que las
operaciones aritméticas pueden, realmente, expresar una característica tal,
en función de las otras. Por ejemplo, la relación entre el área de un rectán-
gulo y las medidas de sus lados.
En ocasiones previas, notamos que la aritmética es basada en su propio
conjunto de suposiciones; a saber, los llamados “postulados” y “axiomas”. La
geometría euclidiana que usaremos para desarrollar nuestras fórmulas de-
pende de sus famosos postulados y “nociones comunes”. Nuestras expe-
riencias diarias demuestran que la aritmética y la geometría predicen, con un
alto grado de precisión, lo que pasa en el mundo real de cosas físicas, pero
este logro queda lejos de demostrar que sus postulados son “ciertos”.
Por no mencionar que la existencia misma de un mundo real de cosas
físicas, es una suposición en sí. (Véase el cuadro en el margen.)
La lógica opera con base en varias suposiciones también. Para facilitar
la comunicación, los matemáticos las enumeran, y las ponen nombres. En la
demostración de teoremas en las matemáticas, son importantes dos suposi-
ciones que se llaman
Dos Doctrinas
Relevantes
de la Filosofía
El realismo defiende la existen-
cia de objetos reales indepen-
dientes de la conciencia, y acce-
sibles a la capacidad de conoci-
miento. O, en otras palabras,
sostiene la existencia de un
“mundo real” de cosas que exis-
ten independiente de que exis-
tan, o no, personas que las ob-
servan.
La mayoría de los científicos
toman por cierto el realismo, sin
reconocer que están involucra-
das, cuestiones primordiales.
En cambio, el idealismo sostie-
ne que la idea es el principio de
ser, y que el mundo es, en cierto
sentido, una creación mental.

2. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares
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La regla de la especificación universal
Para nuestros fines, ésta declara que si todos los objetos de una clase
tienen ciertas características, entonces cada objeto de la clase las tiene.
Esto parece obvio, pero sí, es necesario declararlo abiertamente.
La regla de la generalización universal
Si se demuestra que una fórmula es cierta para un objeto elegido en
forma arbitraria de una clase, entonces la fórmula se verifica para todo
objeto de la clase.
A continuación, veremos cómo se emplean estas reglas en la demostración
de fórmulas sobre triángulos equiláteros y tetraedros.
¿Qué queremos?
Queremos, luego o temprano, encontrar fórmulas para, entre otras cosas, el
volumen de un tetraedro regular. Es decir, un tetraedro cuyas aristas son
iguales. Entonces, examinemos un diagrama de la bestia:
Parece que nos serviría saber su altura, por lo que dibujamos un seg-
mento entre el ápice y el fondo:
Pero, ¡éste no sirve! Tiene que ser un segmento perpendicular al fondo:
La palabra “perpendicular” nos recuerda del Teorema de Pitágoras, por
lo que buscamos los elementos necesarios para emplearlo. A saber, algún
triángulo rectángulo conveniente. De esta forma, identificamos el siguiente:

3. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares
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Entonces, la arista del tetraedro es la hipotenusa de un triángulo rectán-
gulo cuyos catetos son la altura que buscamos, el segmento verde. Por eso,
queremos identificar cuál es el punto azul,
y su distancia desde el ápice al otro extremo del segmento verde.
Espero que no sea necesario explicar con extensión que el punto verde
es el centro del triángulo equilátero que forma el fondo:
y el segmento verde es uno de los tres segmentos idénticos entre los vérti-
ces y el centro del triángulo:
Pensamos encontrar la altura del tetraedro a partir de la longitud común
del segmento verde y sus semejantes. Entonces, buscamos los elementos
necesarios para encontrar su longitud. Una observación es que estos seg-
mentos bisecan los ángulos del triángulo equilátero. Ya que éstos miden 60°,
sabemos que los ángulos entre los lados y los segmentos como el verde
miden 30°.
Es más, sabemos que los ángulos “centrales” miden 120°, porque los
tres suman a 360°.
En este momento, bien puede ser que los alumnos que han cursado la
trigonometría quieran aplicarla a uno de los tres triángulos menores en los

4. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares
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que dividen el segmento verde y sus semejantes. Y con razón. Entonces,
analicemos el triángulo inferior:
Para encontrar la longitud del segmento verde y su semejante, nos va-
lemos otra vez de dos preguntas útiles en la resolución de cualquier proble-
ma:
1. ¿Qué queremos?
2. ¿Qué sabemos?
Bueno,
1. Queremos encontrar la longitud del segmento verde.
2. Sabemos … Pues, ¿QUÉ sabemos, exactamente?
Resulta que por todo este tiempo, hemos empleado, de forma incons-
ciente, las arriba mencionadas reglas de la especificación universal y de la
generalización universal. Concretamente, hemos razonado sobre algún te-
traedro regular, con la idea que lo que de ello deducimos, se verificaría para
todo tetraedro regular. Resulta que nuestra demostración tendrá más co-
herencia, y avanzará mejor, si empleamos las dos reglas de una forma más
directa. Por ejemplo, por valernos de la regla de la especificación universal
al comienzo, diciendo algo por el estilo de los siguientes dos declaraciones:
Sea T un tetraedro regular, arbitrario (es decir, elegido de
forma arbitraria),
y
Sea a, un número real positivo, cuántas unidades (por
ejemplo, metros) miden sus aristas.
Partiendo de estas declaraciones explícitas, sin suponer nada más so-
bre el tetraedro T, podemos seguir la misma lógica que usamos para llegar
al triángulo
T
a
T
Par la conveniencia del lector,
aquí se presentan de nuevo
La regla
de la especificación universal
Si todos los objetos de una clase
tienen ciertas características,
entonces cada objeto de la clase
las tiene. Esto parece obvio,
pero sí, es necesario declararlo
abiertamente.
y
La regla
de la generalización universal
Si se demuestra que una fórmula
es cierta para un objeto elegido
en forma arbitraria de una cla-
se, entonces la fórmula se verifi-
ca para todo objeto de la clase.
Se emplea la regla de la especi-
ficación universal al comienzo.

5. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares
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Pero esta vez, podemos ponerle la longitud de su base:
Ahora, con base en la Ley de los Senos, escribimos
° °
.
Pero sen 30° , sen 120°
√
, por lo que
°
° √ √
.
¿Qué tal si usamos el símbolo r para esta longitud? Además, las costumbres
de los matemáticos no permiten, por lo general, que haya una raíz en el de-
nominador de una fracción. Por eso se emplea la siguiente maniobra:
√ √
·
√
√
√
√ ·√
√
.
Con esto, hemos demostrado que en el tetraedro regular T, se verifica la
siguiente relación entre la longitud de las aristas, y del segmento que une
cualquier ápice con el punto céntrico de cualquier de las tres caras a las que
el ápice pertenece:
Por fin, empleamos la regla de la generalización universal para justificar que
esta fórmula aplica a todo tetraedro regular. Solo es necesario decir algo por
el estilo de
Esta fórmula se verifica para T, el cual es un tetraedro regular arbi-
trario. Por lo tanto, se verifica para todo tetraedro regular.
Y por lo tanto, se puede emplear esta fórmula en el desarrollo de cualquier
otra fórmula que trata tetraedros regulares. Por ejemplo, para encontrar la
altura de éstos, como lo veremos a continuación.
√3
3
Definición de r.
¿Cómo sabemos que
sen 30° , y sen 120°
√
?
Por la geometría clásica. La
verdad es que se puede hacer
esta demostración empleando
los conceptos de la geometría
clásica exclusivamente. Para mí,
dicha demostración es más ele-
gante, pero en este documento
empleo la trigonometría, ya que
esto es lo que se me pidió que
hiciera.
Se emplea la regla de la genera-
lización universal al final.

6. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares
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Una fórmula para la altura de un tetraedro regular
Ya conocimos el uso de las reglas de la especificación y la generalización
universal, por lo que podemos avanzar más rápidamente en esta demostra-
ción. Primero, decimos
Sea T un tetraedro regular, arbitrario.
Sea a, un número real positivo, cuántas unidades (por ejemplo, metros) mi-
den sus aristas.
Ahora, definimos la altura como la longitud de un segmento perpendicular a
la base, que une la base con el ápice. Aunque no lo demostraremos, este
segmento es perpendicular a la base. Entonces, la altura es la longitud del
segmento rojo.
Los segmentos verde y rojo son los catetos de un triángulo rectángulo
cuya hipotenusa es una arista. La longitud del verde es
√
. Por el Teorema
de Pitágoras,
√
.
La altura se encuentra por medio de un despeje:
√
√
.
Esta fórmula se verifica para T, el cual es un tetraedro regular arbitrario. Por
lo tanto, se verifica para todo tetraedro regular.
T
a
T