1. Scalability of
domain
decomposition
methods Scalability of domain decomposition
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis methods
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice Jaroslav Brož, Jaroslav Kruis
Metoda FETI
Implementace Katedra mechaniky
pˇedpod-
r Fakulta stavební
ˇ
mínení do ˇ
kódu SIFEL
Ceské vysoké uˇ ení technické v Praze
c
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver
Inženýrská mechanika 2008
ˇ
12. - 15. kveten 2008, Svratka

2. Obsah prezentace
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
1 Motivace použití metod doménové dekompozice
Jaroslav Kruis
Motivace 2 Metoda FETI
použití metod
doménové
dekompozice
3 r ˇ
Implementace pˇedpodmínení do kódu SIFEL
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
4 Škálovatelnost
kódu SIFEL
Škálovatelnost
5 Numerické experimenty
Numerické
experimenty
ˇ
Záver 6 ˇ
Záver

3. Motivace použití metod doménové
dekompozice
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož, Velké nároky na výpoˇ etní výkon
c
Jaroslav Kruis
ˇ
Používání hustých sítí v metode MKP
Motivace
použití metod Složité materiálové modely
doménové
dekompozice Nároˇ né numerické simulace
c
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

4. Úvod do metody FETI
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis FETI method - Finite Element Tearing and
Motivace
Interconnecting method
použití metod
doménové Uvedena Farhatem a Rouxem v roce 1991 v clánkuˇ
dekompozice
A Method of Finite Element Tearing and
Metoda FETI
Interconnecting and its Parallel Solution Algorithm
Implementace
pˇedpod-
r publikovaném v International Journal for Numerical
ˇ
mínení do
kódu SIFEL Methods in Engineering Vol. 32
Škálovatelnost
Patˇí do skupiny metod doménové dekompozice bez
r
Numerické
experimenty pˇekryvu
r
ˇ
Záver

5. Úvod do metody FETI
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace Vychází z delení domény na nekolik podoblastí →
ˇ ˇ −
použití metod
doménové redukce na hrubý problém
dekompozice
Metoda FETI
Spojitost mezi podoblastmi zajišt’uje zavedení
Implementace
Lagrangeových multiplikátoru˚
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do Pro ˇešení hrubého problému je využita modifikovaná
r
kódu SIFEL
metoda sdružených gradientu˚
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

6. Algoritmus metody FETI
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis Inicializace
−1
Motivace λ0 = GI GIT GI e
použití metod
doménové
dekompozice r0 = d − FI λ0
Metoda FETI
Implementace
Iterace k = 1, 2, . . .
k −1
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do Projekce w = P T r k −1
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Škálování w k −1 = W −1 w k −1
¯
Numerické Pˇedpodmínení z k −1 = F −1 w k −1
r ˇ ¯ ¯
I
experimenty
ˇ
Záver Re-škálování z k −1 = W −1 z k −1
¯
Re-projekce y k −1 = P T z k −1
¯

7. Algoritmus metody FETI
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
T
k y k −1 w k −1
Motivace Sdružené gradienty ζ = ζ1 = 0
použití metod
doménové
y k −2T w k −1
dekompozice
Metoda FETI
pk = y k −1 + ζ k pk −1 p1 = y 0
T
pk −1 w k −1
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do Minimalizace η k =
kódu SIFEL p k T FI p k
Škálovatelnost
Aktualizace λk = λk −1 + η k pk
Numerické
experimenty rk = r k −1 − η K FI pk
ˇ
Záver

8. ˇ
Typy pˇedpodmínení
r
Scalability of
domain r ˇ
Dirichletovo pˇedpodmínení
decomposition
methods N
¯ −1 0 0 T
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis FID = Bs (s) B(s) (1)
0 Sbb
n=1
Motivace T −1
(s) (s)
použití metod
doménové
Sbb = Kbb − Kib (s) Kii (s) Kib (s)
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
matematicky optimálmí
pˇedpod-
r ˇ c c ˇ ˚
výpoˇ etne nároˇ né - výpoˇ et Schurových doplnku
c
ˇ
mínení do
kódu SIFEL r ˇ
Lumped pˇedpodmínení
Škálovatelnost
N
Numerické
¯ −1 0 0 T
experimenty FIL = Bs (s) B(s) (2)
ˇ
Záver
0 Kbb
n=1
ˇ
výpoˇ etne ekonomické
c
založeno pouze na násobení matice a vektoru

9. ˇ
Typy pˇedpodmínení
r
Scalability of
domain r ˇ
Dirichletovo pˇedpodmínení
decomposition
methods N
¯ −1 0 0 T
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis FID = Bs (s) B(s) (1)
0 Sbb
n=1
Motivace T −1
(s) (s)
použití metod
doménové
Sbb = Kbb − Kib (s) Kii (s) Kib (s)
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
matematicky optimálmí
pˇedpod-
r ˇ c c ˇ ˚
výpoˇ etne nároˇ né - výpoˇ et Schurových doplnku
c
ˇ
mínení do
kódu SIFEL r ˇ
Lumped pˇedpodmínení
Škálovatelnost
N
Numerické
¯ −1 0 0 T
experimenty FIL = Bs (s) B(s) (2)
ˇ
Záver
0 Kbb
n=1
ˇ
výpoˇ etne ekonomické
c
založeno pouze na násobení matice a vektoru

10. ˇ
Implementace pˇedpodmínení do kódu SIFEL
r
Scalability of
domain
decomposition r ˇ
Otevˇený programový balík SIFEL vyvíjen na CVUT,
methods
Jaroslav Brož,
FSv, katedˇe Mechaniky
r
Jaroslav Kruis
Metoda FETI již byla dˇíve implementována (bez
r
Motivace
použití metod
r ˇ
pˇedpodmínení)
doménové
dekompozice Využita knihovna MPI → zajištení meziprocesorové
− ˇ
Metoda FETI komunikace
Implementace
pˇedpod-
r
Dnes je již provedena implementace lumped
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
ˇ r ˇ
pˇedpodmínení i Dirichletova pˇedpodmínení
r
Škálovatelnost ˇ ˚
Možnost využití reortogonalizace vektoru smeru v MCG
Numerické
experimenty j=k
(k +1) (k +1) (y (k +1) )T F p (j) (j)
ˇ
Záver
p =y − p
(p (j) )T F p (j)
j=0

11. Škalovatelnost
Scalability of
domain
decomposition
methods A. Toselli, O. Widlund: Domain Decomposition Methods –
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Algorithms and Theory. Springer Verlag, Berlin, 2005.
Motivace
použití metod Škálovatelnost - metoda doménové dekompozice je
doménové
dekompozice škálovatelná pokud s rostoucím poˇ tem domén neroste
c
Metoda FETI poˇ et iterací.
c
Implementace
pˇedpod-
r
H
ˇ
mínení do
kódu SIFEL κ = O 1 + logm , m≤3
h
Škálovatelnost
Numerické
experimenty Numerická škálovatelnost
ˇ
Záver
Paralelní škálovatelnost

12. Princip testu škálovatelnosti
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace ˇ
Volba velikosti síte na jedné podoblasti
použití metod
doménové
dekompozice
ˇ
Volba smeru zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Metoda FETI ˚ ˇ
V prubehu testu zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

13. Princip testu škálovatelnosti
Scalability of
domain ˇ
Volba velikosti síte na jedné podoblasti
decomposition
methods ˇ
Volba smeru zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Brož, ˚ ˇ
V prubehu testu zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

14. Princip testu škálovatelnosti
Scalability of
domain ˇ
Volba velikosti síte na jedné podoblasti
decomposition
methods ˇ
Volba smeru zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Brož, ˚ ˇ
V prubehu testu zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

15. Princip testu škálovatelnosti
Scalability of
domain ˇ
Volba velikosti síte na jedné podoblasti
decomposition
methods ˇ
Volba smeru zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Brož, ˚ ˇ
V prubehu testu zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

16. Princip testu škálovatelnosti
Scalability of
domain ˇ
Volba velikosti síte na jedné podoblasti
decomposition
methods ˇ
Volba smeru zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Brož, ˚ ˇ
V prubehu testu zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

17. Princip testu škálovatelnosti
Scalability of
domain ˇ
Volba velikosti síte na jedné podoblasti
decomposition
methods ˇ
Volba smeru zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Brož, ˚ ˇ
V prubehu testu zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

18. Princip testu škálovatelnosti
Scalability of
domain ˇ
Volba velikosti síte na jedné podoblasti
decomposition
methods ˇ
Volba smeru zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Brož, ˚ ˇ
V prubehu testu zvyšování poˇ tu podoblastí
c
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

19. Numerické experimenty
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové 1 Jednoduchý pˇíklad ve 2D - sít’ 50x50 elementu na
r ˚
dekompozice
jedné podoblasti
Metoda FETI
Implementace
2 Jednoduchý pˇíklad ve 2D - sít’ 100x100 elementu na
r ˚
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
jedné podoblasti
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

20. ˇ
Použité síte
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI Sít’ 50x50 prvku na jedné podoblasti
˚
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver
Sít’ 100x100 prvku na jedné podoblasti
˚

21. Sít’ 50x50 prvku na jedné podoblasti
˚
Scalability of
domain
decomposition
methods
Poˇ et
c Poˇ et
c Poˇ et
c Poˇ et
c
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis podoblastí uzlu
˚ elementu˚ D.O.F.
Motivace
2 5202 5000 10302
použití metod
doménové
3 7803 7500 15504
dekompozice
4 10404 10000 20706
Metoda FETI
5 13005 12500 25908
Implementace
pˇedpod-
r 6 15606 15000 31110
ˇ
mínení do
kódu SIFEL 7 18207 17500 36312
Škálovatelnost 8 20808 20000 41514
Numerické 9 23409 22500 46716
experimenty
ˇ
Záver 10 26010 25000 51918

22. Sít’ 50x50 prvku na jedné podoblasti
˚
Scalability of
domain
decomposition
methods
Poˇ et
c Reortogonalizace Bez reortogonalizace
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis podoblastí NEP LUMP DIR NEP LUMP DIR
Motivace
2 30 26 12 37 48 23
použití metod
doménové
3 35 32 13 37 42 24
dekompozice
4 40 34 11 36 38 24
Metoda FETI
5 39 34 11 36 37 24
Implementace
pˇedpod-
r 6 41 37 11 40 38 23
ˇ
mínení do
kódu SIFEL 7 40 35 10 38 36 23
Škálovatelnost 8 45 41 10 40 36 23
Numerické 9 42 37 11 36 36 22
experimenty
ˇ
Záver 10 44 41 10 38 36 22

23. Sít’ 50x50 prvku na jedné podoblasti
˚
Scalability of
domain
Bez reortogonalizace
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

24. Sít’ 50x50 prvku na jedné podoblasti
˚
Scalability of
domain
S reortogonalizací
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

25. Sít’ 100x100 prvku na jedné podoblasti
˚
Scalability of
domain
decomposition Poˇ et
c Poˇ et
c Poˇ et
c Poˇ et
c
methods
podoblastí uzlu
˚ elementu˚ D.O.F.
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis 2 20402 20000 40602
Motivace 3 30603 30000 61004
použití metod
doménové 4 40804 40000 81406
dekompozice
5 51005 50000 101808
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL Poˇ et
c Reortogonalizace Bez reortogonalizace
Škálovatelnost podoblastí NEP LUMP DIR NEP LUMP DIR
Numerické 2 26 26 10 31 44 13
experimenty
ˇ
Záver
3 40 39 10 41 47 18
4 42 42 11 45 49 22
5 49 45 11 47 52 26

26. Sít’ 100x100 prvku na jedné podoblasti
˚
Scalability of
domain
Bez reortogonalizace
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

27. Sít’ 100x100 prvku na jedné podoblasti
˚
Scalability of
domain
S reortogonalizací
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové
dekompozice
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

28. ˇ
Záver
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
doménové Snížení poˇ tu iterací pˇi ˇešení hrubého problému
c r r
dekompozice
Metoda FETI Snížení doby ˇešení hrubého problému
r
Implementace
pˇedpod-
r
Dobrá paralelní škálovatelnost škálovatelnost metody
ˇ
mínení do
kódu SIFEL
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver

29. ˇ
Podekování
Scalability of
domain
decomposition
methods
Jaroslav Brož,
Jaroslav Kruis
Motivace
použití metod
ˇ ˇ
Dekuji Vám za Vaši pozornost a teším se na Vaše dotazy v
doménové
dekompozice
následující diskuzi.
Metoda FETI
Implementace
pˇedpod-
r
ˇ
mínení do ˇ ˇ
Tato práce vznikla na základe podpory grantu IGS CVUT s
kódu SIFEL
ˇ
císlem CTU 0805511.
Škálovatelnost
Numerické
experimenty
ˇ
Záver