Análisis de la Respuesta Temporal Sistema de 1er. Orden Entrada Impulso Unitario

1. PARTE 03 SISTEMA DE 1ER ORDEN SOMETIDO A ENTRADA IMPULSO J. AZUAJE, MARZO 2022 (LUZ – EIM) 13/03/2022

2. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal Controles Automáticos 4. Respuesta temporal 1. Sistema de primer orden 2. Sistema de segundo orden 3. Sistema de orden superior J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

3. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal 4.2 Respuesta Temporal de Sistemas de Primer Orden En el análisis de la respuesta temporal, se determinará la respuesta en el tiempo (respuesta dinámica) de los sistemas cuando se aplica las señales de prueba. La respuesta dinámica de muchos sistemas se puede representar mediante una ecuación diferencial lineal de primer orden, con una variable de entrada 𝒖(𝒕) y una variable de salida 𝒚(𝒕), que se modela matemáticamente con una ecuación de la siguiente forma: y(t) u(t) 𝒀(𝒔) 𝑼(𝒔) = 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 𝝉 ∙ 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕 + 𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ 𝒖 𝒕 𝝉 ∙ ሶ 𝒚 𝒕 + 𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ 𝒖 𝒕 𝝉 ∙ 𝒔𝒀 𝒔 + 𝒀(𝒔) = 𝑲 ∙ 𝑼(𝒔) 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆 𝒀(𝒔) 𝑼(𝒔) = 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

4. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal 4.2 Respuesta Temporal de Sistemas de Primer Orden y(t) u(t) 𝒀(𝒔) 𝑼(𝒔) = 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 Siendo, 𝝉: Constante de tiempo del sistema, y 𝑲: la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos dos parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo, 𝝉, expresa un atraso dinámico, definido por la capacidad que tiene el sistema para reaccionar ante los cambios; y la ganancia es la variación total de salida con respecto a la de entrada una vez alcanzado el estado estacionario. J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

5. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal 4.2.3 Respuesta al impulso unitario en sistema de primer orden Y(s) 𝐔 𝐬 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝐭) 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 ? El impulso unitario viene definido por la función: 𝐔 𝐬 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝐭); por tanto, a la salida del sistema se obtendrá: J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

6. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal 4.2.3 Respuesta al impulso unitario en sistema de primer orden Y(s) 𝐔 𝐬 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝐭) 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 ? El impulso unitaio unitaria viene definido por la función: 𝐔(𝐬) = 𝐔 𝐬 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝐭); por tanto, a la salida del sistema se obtendrá: 𝒀 𝒔 = 𝑼 𝒔 ∙ 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 = 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 Suponiendo que 𝑲 = 𝟏 y descomponiendo 𝒀 𝒔 en fracciones simples se obtiene: 𝒀 𝒔 = 𝟏 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 = Τ 𝟏 𝝉 𝒔 + Τ 𝟏 𝝉 J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

7. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal 4.2.3 Respuesta al impulso unitario en sistema de primer orden Por tanto: (4.5) Para obtener la respuesta temporal, se aplica la Transformada Inversa de Laplace a la ecuación (4.5), siendo: 𝒚 𝒕 = ℒ−𝟏 𝒀(𝒔) = 𝟏 𝝉 ∙ ℒ−𝟏 𝟏 𝒔 + Τ 𝟏 𝝉 A partir de la Tabla 1.1, en la fila 6, se considera la Transformada Inversa de Laplace según el término que corresponda, lo que resulta en: 𝒚 𝒕 = 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 , para 𝒕 ≥ 𝟎 (4.6) • Aplicando el teorema del valor inicial se calcula la salida del sistema en el instante inicial 𝒕 = 𝟎 . • Y con el teorema del valor final se obtiene la salida alcanzada en régimen permanente 𝒕 = ∞ . 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥: 𝒕 = 𝟎 → 𝒚 𝒕 = Τ 𝟏 𝝉 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥: 𝒕 = ∞ → 𝒚 𝒕 = 𝟎 𝒀 𝒔 = Τ 𝟏 𝝉 𝒔 + Τ 𝟏 𝝉 J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

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9. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal 4.2.3.1 Error en régimen permanente para respuesta al impulso unitario El error en régimen permanente del sistema se define como la diferencia de la señal de entrada menos la señal de salida cuando 𝒕 → ∞. Transcurrido un tiempo suficientemente grande, el error cometido ante el impulso unitario es igual a 𝟎. 𝒆 𝒕 = 𝒖 𝒕 − 𝒚 𝒕 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝒕) − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 → 𝒆 ∞ = 𝜹(∞) − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ ∞ 𝝉 ≈ − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆−∞ ≈ → 𝒆 ∞ ≈ − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝟏 𝒆∞ ≈ − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝟏 ∞ ≈ − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝟎 Y(s) 𝐔 𝐬 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝐭) 𝑲 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 → 𝒆 𝒕 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝒕) − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝒕) − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 → 𝒆𝒓𝒑= 𝒆𝒔𝒔 = lim 𝒕→∞ 𝒆(𝒕) = lim 𝒕→∞ 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝒕) − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 → 𝒆 ∞ ≈ 𝟎 J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

10. Entrada 𝐮(𝐭) Salida 𝐲(𝐭) Entrada 𝐞 𝐭 = 𝐮(𝐭) − 𝐲(𝐭) Impulso Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 = 𝟏 𝟎 + 𝟎(𝒕) − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 = 𝜹(𝒕) − Τ 𝟏 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 Escalón 𝟏 − 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 Rampa 𝒕 − 𝝉 + 𝝉 ∙ 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 𝝉 ∙ 𝟏 − 𝒆− Τ 𝒕 𝝉 𝜹 ∞ : 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal 4.3 Tabla comparativa en Sistema de Primer con orden según tipo de entrada La siguiente tabla compara la respuesta temporal de un sistema de primer orden con ganancia𝑲 = 𝟏 ante los tres tipos de señales de entrada patrón. Hay muchos sistemas que tienen una respuesta temporal de primer orden. Por ejemplo, el motor y la célula Peltier. J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023

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