1. Pregrado Programa de
Contabilidad
SESIÓN 08:
Programación Lineal
Pregrado

2. Pregrado Programa de
Contabilidad
Marcos la
gráfica es la
siguiente
¿Cómo puedo
graficar
𝑥 + 𝑦 < 5?
¿Cómo lo
habrá
realizado?

3. Pregrado Programa de
Contabilidad
Gráfico de inecuaciones con una variable
Las desigualdades lineales con una variable
pueden ser graficadas de dos maneras:
• En la recta numérica
• En el plano cartesiano
Ejemplo 1
Graficar 𝑥 > 5
En el plano cartesiano
Debemos seguir los siguientes pasos:
 Pruebe un punto en cada una de las regiones
formada por la gráfica del paso anterior. Si el
punto satisface la desigualdad aplique
sombreado a toda la región para indicar que
todo punto de ésta satisface la condición.
 Sustituya el signo de desigualdad por un
signo igual y trace la gráfica de la ecuación
resultante. Use una línea discontinua para
“<” o “>” y una línea continua para “≤” o “≥”
La gráfica correspondiente 𝑥 = 5 es una recta
vertical (paralela al eje 𝑦).

4. Pregrado Programa de
Contabilidad
Los puntos que satisfacen la desigualdad están
a la derecha de la recta.
𝑥
𝑦
5
línea discontinua, ya
que la desigualdad
es “>”.
Ejemplo 2
Graficar 𝑥 ≤ −2
La gráfica correspondiente 𝑥 = −2 es una recta
vertical (paralela al eje 𝑦).
𝑥
𝑦
−2
línea continua, ya
que la desigualdad
es “≤”.
Los puntos que satisfacen la desigualdad están
a la izquierda de la recta.

5. Pregrado Programa de
Contabilidad
Los puntos que satisfacen la desigualdad están
sobre la recta.
Ejemplo 3
Graficar 𝑦 ≤ −3
La gráfica correspondiente 𝑦 = −3 es una recta
horizontal (paralela al eje 𝑥).
𝑥
𝑦
−3 línea continua, ya
que la desigualdad
es “≤”.
Ejemplo 4
Graficar 𝑦 > −2
La gráfica correspondiente 𝑦 = −3 es una recta
horizontal (paralela al eje 𝑥).
𝑥
𝑦
−2
línea continua, ya
que la desigualdad
es “>”.

6. Pregrado Programa de
Contabilidad
Gráfico de inecuaciones con dos variables
Las desigualdades lineales con dos variables se
grafican en el plano cartesiano de la siguiente
manera:
Ejemplo 1
Graficar 𝑥 + 𝑦 < 5
 Pruebe un punto que no pertenezca a la recta
[sugerencia: (0,0)]. Si el punto satisface la
desigualdad aplique sombreado a toda la
región para indicar que todo punto de ésta
satisface la condición.
 Sustituya el signo de desigualdad por un signo
igual y trace la gráfica de la ecuación resultante
por medio de la tabulación. Use una línea
discontinua para “<” o “>” y una línea continua
para “≤” o “≥”
𝒙 𝒚
𝟎 5
5 𝟎
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥
𝑦
5
línea discontinua, ya
que la desigualdad
es “>”.
5
Como el (0;0) no satisface la
desigualdad, la gráfica está formada
por el semiplano que se encuentra
debajo de la recta.

7. Pregrado Programa de
Contabilidad
Ejemplo 2
Graficar 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12
𝒙 𝒚
𝟎 4
6 𝟎
2𝑥 + 3𝑦 = 12
𝑥
𝑦
6
línea continua, ya
que la desigualdad
es “≥”.
4
Como el (0;0) no satisface la
desigualdad, la gráfica está
formada por el semiplano que
se encuentra arriba de la
recta.
Ejemplo 3
Graficar 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12
𝒙 𝒚
𝟎 4
6 𝟎
2𝑥 + 3𝑦 = 12
𝑥
𝑦
6
línea continua, ya
que la desigualdad
es “≥”.
4
Como el (0;0) no satisface la
desigualdad, la gráfica está
formada por el semiplano que
se encuentra arriba de la
recta.

8. Pregrado Programa de
Contabilidad
Gráfico de sistemas de inecuaciones
Los sistemas de desigualdades lineales y no
lineales se grafican en el plano cartesiano de la
siguiente manera:
Ejemplo 1
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones
 Esta región (acotada o no acotada) representa el
conjunto solución del sistema.
 Trace la gráfica de cada desigualdad en el mismo
plano cartesiano, utilizando los casos anteriores, y
sombrear la región que verifica cada desigualdad.
 Encontrar la intersección de todas las regiones en
el plano cartesiano.
 Se verifica si los puntos que se encuentran en la
intersección de las curvas pertenecen al conjunto
solución.
𝑥 − 𝑦 ≤ 2
𝑥 ≥ −2
𝑦 ≤ 3
Primero graficar cada una de las inecuaciones
lineales
Solución

9. Pregrado Programa de
Contabilidad
𝒙 𝒚
𝟎 −2
2 𝟎
𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥
𝑦
2
−2
𝑥 > −2
𝑥
𝑦
−2
𝑦 ≤ 3 𝑥
𝑦
3
A continuación, se determinan los puntos de
intersección entre las rectas.
𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 = −2
𝑦 = 3
… 𝐼
… 𝐼𝐼
… (𝐼𝐼𝐼)

10. Pregrado Programa de
Contabilidad
De (𝐼) y (𝐼𝐼), se tiene:
𝑥 = −2 ; 𝑦 = −4
De (𝐼) y (𝐼𝐼𝐼), se tiene:
𝑥 = 5 ; 𝑦 = 3
De (𝐼) y (𝐼𝐼𝐼), se tiene:
𝑥 = −2 ; 𝑦 = 3
Interceptando las regiones anteriores,
ubicando los puntos de intersección
𝑥
𝑦
2
−2
3
−2
(−2; 3)
(−2; 3)
(−2; −4)
Conjunto
solución
𝑥 ≥ −2 →
𝑦 ≤ 3
↙
𝑥 − 𝑦 ≤ 2 ↗

11. Pregrado Programa de
Contabilidad
Graficar el sistemas de inecuaciones lineales
5𝑥 + 𝑦 ≥ 10
4𝑥 − 𝑦 ≥ 8
Ejemplo 2
Primero graficar cada una de las inecuaciones
lineales
Solución
𝒙 𝒚
𝟎 10
2 𝟎
5𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥
𝑦
2
10
𝒙 𝒚
𝟎 −8
2 𝟎
4𝑥 − 𝑦 = 8
𝑥
𝑦
2
−8
A continuación, se determinan los puntos de
intersección entre las dos rectas.
5𝑥 + 𝑦 = 10
4𝑥 − 𝑦 = 8
… 𝐼
… 𝐼𝐼

12. Pregrado Programa de
Contabilidad
Sumando (𝐼) y (𝐼𝐼)
𝑥
𝑦
2
−8
9𝑥 = 18
𝑥 = 2 → 𝑦 = 2
Interceptando las regiones anteriores,
ubicando los puntos de intersección
10
Conjunto
solución
5𝑥 + 𝑦 ≥ 10
↘
↗
𝑥 − 𝑦 ≤ 2

13. Pregrado Programa de
Contabilidad
Programación Lineal (bidimensional)
Es un método de optimización cuya finalidad es maximizar o minimizar una función lineal con dos
variables, llamada función objetivo, sujeta a restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.
Estructura
Maximizar o Minimizar: 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
Sujeto a restricciones: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 ≷ 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≷ 𝑐2
⋮
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 ≷ 𝑐𝑛
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Condición de no negatividad
Su gráfica es la región factible
Función objetivo

14. Pregrado Programa de
Contabilidad
Pasos para resolver un problema de
programación lineal
Ejemplo 1
Resuelva el siguiente problema
 Evaluar la función objetivo en los vértices.
 Graficar la región factible y determinar las
coordenadas de los vértices (puntos extremos o
puntos frontera) los cuales son finita.
𝑥 + 𝑦 ≤ 10
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 24
𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0
Graficar la región factible
Solución
Maximizar
Sujeto a:
𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦 = 6𝑥 + 3𝑦
 La región factible (acotada o no acotada) es
convexa.
 Si hay una solución óptima, esta se encuentra en
un punto extremo de la región factible.
 Si hay infinitas soluciones óptimas, estas se
encuentran en un lado de la región factible
incluyendo los puntos extremos.

15. Pregrado Programa de
Contabilidad
Determinar las coordenadas de los puntos
extremos
𝑥 = 6 ; 𝑦 = 4
𝒙 𝒚
𝟎 10
10 𝟎
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥
𝑦
10
10
𝒙 𝒚
𝟎 8
12 𝟎
2𝑥 + 3𝑦 = 24
𝑥
𝑦
12
8
𝑥 + 𝑦 = 10
2𝑥 + 3𝑦 = 24
… 𝐼
… 𝐼𝐼
Multiplicando a (𝐼) por −3 y sumando a (𝐼𝐼)
𝑥
𝑦
10
(6; 4)
10
8
12

16. Pregrado Programa de
Contabilidad
Evaluamos la función objetivo en los vértices
𝑥
𝑦
10
(6; 4)
(10; 0)
(0; 8)
12
(0; 0)
En 0; 0 → 𝑓 0; 0 = 6 0 + 3 0 = 0
En 0; 8 → 𝑓 0; 8 = 6 0 + 3 8 = 24
En 6; 4 → 𝑓 6; 4 = 6 6 + 3 4 = 48
En 10; 0 → 𝑓 10; 0 = 6 10 + 3 0 = 60
∴ Máx. : 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑓 10; 0 = 60
Solución
óptima
Valor
óptimo
Región
factible

17. Pregrado Programa de
Contabilidad
Demostramos lo aprendido
Hallar la región determinada por:
a)
b)
Resuelva el siguiente problema
Máx. : 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 1.5𝑦
s.a.
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 2
𝑥 − 2𝑦 ≤ 1
𝑥 ≤ 0
𝑥 + 𝑦 ≥ 2
𝑥 + 𝑦 ≤ 5
𝑦 ≤ 4𝑥
4𝑦 ≥ 𝑥
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 160
𝑥 + 2𝑦 ≤ 120
4𝑥 + 2𝑦 ≤ 280
𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0

18. Pregrado Programa de
Contabilidad