1.
Análisis Numérico
José Fuentes
Ciudad Universitaria, 7 de febrero de 2023

2.
Definición (Convergencia de una sucesión)
Sea {xn}1
n=1 una sucesión infinita de números reales. La sucesión tiene lı́mite x
converge a x si para cualquier ✏ > 0 existe un entero positivo N(✏) tal que |xn x| < ✏
siempre que n N(✏). En este caso, escribimos
lı́m
n!1
xn = x, o xn ! x cuando n ! 1.
Conceptos básicos limite y convergencia. 57/75

3.
Teorema de Continuidad
Sea f definida en un conjunto ⌦ de números reales y x 2 ⌦, entonces los siguientes
enunciados son equivalentes
1. f es continua en x 2. {xn}1
n=1 es cualquier sucesion que converge a x entonces el
lı́m
n!1
f (xn) = f (x)
.
Conceptos básicos limite y convergencia. 58/75

4.
Ejemplo de convergencia
Example (Función Continua )
Dada la función
f (x) =
8
<
:
cos(⇡/x), si x 6= 0
1, si x = 0
no es continua en x = 0. Para mostrar esto, sea xn = 1/n.
Si f es continua en lı́m
n!1
f (1/n) = 1.
Conceptos básicos limite y convergencia. 59/75

5.
Ejemplo de continuidad de sucesiones
Conceptos básicos limite y convergencia. 60/75

6.
Ejemplo de convergencia
Example (Convergencia)
Dada la función
f (x) =
8
<
:
xcos(⇡/x), si x 6= 0
1, si x = 0
no es continua en x = 0. Para mostrar esto, sea xn = 1/n.
Si f es continua en lı́m
n!1
f (1/n) = 1.
Conceptos básicos limite y convergencia. 61/75

7.
Ejemplo de continuidad de sucesiones
Conceptos básicos limite y convergencia. 62/75

8.
Teorema del Valor Intermedio
Sea f 2 C[a, b]. Asumamos que
f (a) 6= f (b). Para cada número real
y, f (a) < y < f (b), existe c 2 [a, b],
tal que f (c) = y.
Conceptos básicos limite y convergencia. 63/75

9.
Diferenciabilidad
Definition
Sea f una función definida en un intervalo abierto ⌦ el cual contiene x0. la función f
es diferenciable en x0 si
f 0
(x0) = lı́m
x!x0
f (x) f (x0)
x x0
Theorem
Si una función f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0.
Conceptos básicos limite y convergencia. 64/75

10.
Teorema de Rolle
Supongamos que f 2 C[a, b] y que f
es derivable en (a, b). Si f (a) = f (b),
entonces existe un número c en (a, b)
tal que f 0
(c) = 0.
Conceptos básicos limite y convergencia. 65/75

11.
Teorema del Valor Medio
Supongamos que f 2 C[a, b] y que f
es derivable en (a, b), entonces existe
un número c en (a, b) tal que
f 0
(c) =
f (b) f (a)
b a
.
Conceptos básicos limite y convergencia. 66/75

12.
Teorema del Valores Extremos
Si f 2 C[a, b], entonces existen
c1, c2 2 [a, b] tales que f (c1) 
f (x)  f (c2), para toda x 2 [a, b].
Además, si f es derivable en (a, b),
entonces los números c1 y c2 son ex-
tremos de [a, b],(pueden ser a o b), o
bien donde se anula f 0
(x).
Conceptos básicos limite y convergencia. 67/75

13.
Recordatorio y ejemplo
Este teorema establece que, tanto los valores máximos y mı́nimos de f (x) en un
intervalo cerrado [a, b], se alcanzan dentro del mismo en los puntos c1, c2.
Example ( Ejemplo)
Determinen el maxaxb|f (x)| para
f (x) = x2
4x + 5
en el intervalo [1, 3]
Conceptos básicos limite y convergencia. 68/75

14.
Teorema de Rolle Generalizado
Suponga que f 2 C[a, b] es n veces diferenciable en (a, b). Si f (x) se anula en los
n + 1 diferentes a  x0 < x1 < · · · < xn  b, entonces existe un número c en (x0, xn)(y
por lo tanto en (a, b)), tal que f (n)
(c) = 0.
Conceptos básicos limite y convergencia. 69/75

15.
Ejemplo Teorema de Rolle Generalizado
Example
Consideremos el polinomio de grado 4, f (x) = 8x4
8x2
+ 1, verificaremos que al
menos la función debe de tener un cero:
Conceptos básicos limite y convergencia. 70/75

16.
Ejemplo Teorema de Rolle Generalizado
Example
Consideremos el polinomio de grado 3, f (x) = 8x3
8x, verificaremos que al menos la
función debe de tener un cero:
Conceptos básicos limite y convergencia. 71/75

17.
Integración
La integral de Riemann de la función f definida en el intervalo [a, b] si el siguiente
lı́mite existe:
Z a
b
f (x)dx = lı́m
max xi !0
n
X
i=1
f (¯
xi ) xi ,
donde los números x0, x1, ..., xn satisface a  x0  x1  · · ·  xn  b, xi = xi xi 1
para i = 1, 2, . . . , n. Con ¯
xi un punto arbitrario en el intervalo [xi 1, xi ].
Conceptos básicos limite y convergencia. 72/75

18.
Integración
Escojamos los puntos xi igual espaciado: xi = a + i
b a
n
y ¯
xi = xi . Entonces tenemos
xi =
b a
n
Z a
b
f (x)dx = lı́m
n!1
b a
n
n
X
i=1
f (xi ).
Conceptos básicos limite y convergencia. 73/75

19.
Teorema de Taylor
Supongamos f 2 Cn
[a, b], y que f (n+1)
existe en [a, b], x0 2 [a, b]. Para cada
x 2 [a, b], existe un número ⇠(x) entre xo y x con f (x) = Pn(x) + Rn(x) donde
Pn(x) = f (x0) + f 0
(x0)(x x0) +
f 00(x0)
2!
(x x0)2
+ ... +
f (n)(x0)
n!
(x x0)n
y
Rn(x) =
f (n+1)(⇠(x))
(n + 1)!
(x x0)n+1
Conceptos básicos limite y convergencia. 74/75

20.
Gracias