1. ¿Subirá el nivel del mar si se produce el deshielo
de los casquetes polares del Polo Norte? ¿Y en el
Polo Sur?
(por el Ingeniero Industrial José Manuel Gómez Vega)
La cuestión es la siguiente:
Si se derritiese todo el hielo del Círculo Polar Ártico (más conocido por Polo
Norte), por el motivo que sea (eso es irrelevante para la cuestión), el nivel del
mar en general, ¿subiría, bajaría o permanecería igual y por qué?
A continuación expongo mis cálculos y el desarrollo de la cuestión.
1 Ecuaciones físicas necesarias.
1.1 El principio de Arquímedes y de donde procede for-
malmente.
Según el Principio de Arquímedes: “todo cuerpo parcial o totalmente sumergido
en un líquido experimenta un empuje vertical igual a lo que pesa el volumen del
líquido que el cuerpo desaloja”.
Cuando se alcanza el equilibrio, para cuerpos flotantes o semihundidos, se
tiene:
 =  =  =    (1)
1

2. Fig. 2. Principio de Arquímedes
Veamos primero de donde procede este principio, aplicando las ecuaciones
de la fluidoestática con rigor.
La ecuación diferencial para el movimiento de un fluido, en general, es:

−→

= 
−→
  + div
³=

´
(2)
donde:
 = densidad del fluido.
−→ = vector de velocidad−→
 = vector de fuerzas másicas
=
 = tensor de fuerzas de superficie
En fluidoestática: −→ = 0 luego queda:

−→
  + div
³=

´
= 0 (3)
Un fluido no puede soportar fuerzas tangenciales en reposo, a diferencia de
los sólidos, luego en el tensor de superficie no existirán valores no nulos fuera
de la diagonal:
2

3. =
 =
⎛
⎝
 0 0
0  0
0 0 
⎞
⎠ = − (4)
Este tensor
=
 procede de la siguiente ecuación vectorial:
−→
  = −→ ·
=
 (5)
donde
−→
  es el vector de fuerza, función del punto de la superficie a consid-
erar, siendo −→ su normal saliente a dicha superficie.
El operador  es una forma de expresar el tensor con la componente  en
formato reducido para cada componente matricial, que es la misma en toda la
diagonal, para favorecer operaciones. Además, vemos que la presión que ejerce
un fluido a un cuerpo o a cierta masa del propio fluido supuestamente aislada
del resto, es la misma en todas direcciones, pero siempre a compresión, de ahí
lo del signo negativo en la ecuación (4) para 
div
³=

´
= ∇ ·
=
 = − (∇) (6)
Entonces, tenemos:

−→
  − (∇) = 0 (7)
que es la ecuación que representa el equilibrio de un fluido en reposo.
La fuerza sobre una superficie se expresa mediante:
−→
  =
Z

−→
  =
Z

−→ ·
=
 = −
Z

−→  (8)
3

4. Aplicando el teorema de Gauss y la ecuación (6) queda, para superficies
cerradas, como es el caso de cuerpos sobre líquidos:
−→
  = −
Z

∇ = −
Z


−→
  (9)
Pero se sabe que:

−→
  =
−→
  = −→ (10)
para fuerzas de volumen gravitatorias.
Entonces, se tiene:
−→
  = −
Z

−→  (11)
Fig. 3. Superficie cerrada en un fluido
De acuerdo a la fig. 6, la fuerza ejercida será, de acuerdo a la orientación de
los vectores normales salientes:
−→
  = −
Z

−→  = − ( − ) (−−→ ) = 
−→  (12)
Esta ecuación vectorial se corresponde con la ec. (1) escalar y representa el
empuje ejercido por la masa, contorno cerrado de superficie bcd en la fig. 3.
4

5. Se aclara perfectamente en el enunciado de dicho principio que es el peso (y
no el volumen), el que expresa la fuerza del empuje, que permite la evacuación
de un volumen de líquido, que como sabemos, es un fluido incompresible teóri-
camente, esto es, su densidad permanece constante ante cambios de presión y
temperatura. En la práctica real, existe una pequeña variación de densidad en
el agua ante cambios termodinámicos de temperatura y presión, lo cual no quita
que todas las ecuaciones que rigen la mecánica de fluidos para líquidos no se
hayan considerado bajo estas hipótesis simplificadoras, dada que las variaciones
de densidad pueden considerarse pequeñas comparativamente. Para aclarar
ideas respecto al peso de un cuerpo sumergido y la evacuación de la cantidad
de líquido volumétrica debida al empuje, debemos tener presente los distintos
casos que pueden surgir entre empuje y peso.
No siempre se cumple que el empuje  es igual al peso . Esto solo le ocurre
a cuerpos sumergidos flotando en el equilibrio. El principio de Arquímedes solo
alude a este caso, en el que el peso de un cuerpo evacúa todo el volumen del
líquido. Sin embargo se preven 3 situaciones relacionadas con  y .
Un cuerpo flota si su densidad es menor que la del agua. En caso contrario
se hundirá total o parcialmente.
Desglosaremos lo que les ocurre a los cuerpos cuando están sobre un líquido:
• Si E  P: el cuerpo flotará. Parte estará sumergida y parte emergida.
Es más, si intentamos sumergir ese cuerpo practicando una fuerza vertical
hacia abajo, emergerá hasta cierto nivel, precisamente por el empuje, hasta
alcanzar el equilibrio.
• Si E = P: se cumple el enunciado del principio de Arquímedes. El cuerpo
estará sumergido completamente a una profundidad h, y no se moverá de
esa cota, habiendo alcanzado el equilibrio ahí. El empuje es igual al
peso del cuerpo.
• Si E  P: el cuerpo se hundirá.
5

6. Fig. 2. Explicación del Empuje y el Peso de un cuerpo
Una explicación clara visual se puede ver fácilmente con la fig. 2. Tomaremos
 = 10 
2
• En el caso 1, tenemos un bloque de aluminio que pesa  = 2 7 ,
que realiza un empuje:
 =   = 1 0 
3 · 0 1 3
· 10 
2 = 1 0  = 
que es lo que pesa el agua desplazada. Como   , el cuerpo se
hunde irremisiblemente.
• En el caso 2, un bloque de madera pesa  = 0 6 . En un principio
se sumerge toda la madera aplicando una fuerza hacia abajo hasta que
queda totalmente sumergido. Se registra un empuje del peso del agua
desplazada  de:
 =   = 1 0 
3 · 0 1 3
· 10 
2 = 1 0  = 
Como    el empuje desplaza el cuerpo hacia arriba hasta que llega
el equilibrio, que es justo cuando  = 0 6 , quedando 60 3
sumergidos y el
resto del volumen
¡
40 3
¢
, emergido, dado que:
 =  ⇔ 0 6 = 1 0 
3 ·  m · 10 
2 →  m = 06
10·10 = 0 06
3
Como se ha visto las masas desplazadas de agua en cuerpos flotantes son
iguales a las masas de los cuerpos, no así en cuerpos cuya densidad es superior a
la del agua, donde la masa evacuada del agua no puede ser mayor a la del peso
del cuerpo, por lo que se hunden.
6

7. Vamos a demostrar numéricamente lo que desplazaría en volumen y en masa
1 kg de paja y 1 kg de hierro, tomando las hipótesis de equilibrio entre el empuje
y el peso:
• hierro:
 = 7 8 
3
 = 1 
 = 
 = 1
78 = 0 128 3
 =  = 10  (con  = 10 
2 )
Volumen agua desplazada (todo el volumen sumergido):
 =  =  = 0 128 3
Masa de agua desplazada:
 =  ·  = 1 · 0 128 = 0 128 
Peso de agua desplazada:
 =  = 1 28  = 
Se cumple:    → el cuerpo se hunde.
• paja:
 = 0 1 
3
 = 1 
 = 
 = 1
01 = 10 3
 =  = 10  (con  = 10 
2 )
La paja flota: parte está hundida y parte flota. Se demuestra así:
 =  ·  ·  = 1 · 10 · 10 = 100  →   
Volumen agua desplazada  = , debe cumplirse el equilibrio:
 = 
 =  ·  m ·  = 1 ·  m · 10 = 10 →
→  m = 10
1·10 = 1 3
Masa de agua desplazada:  =  ·  = 1 · 1 = 1 
1.2 Ecuación de Bernoulli.
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluído bajo condi-
ciones variantes y tiene la forma siguiente:


+  +
2
2
=  (13)
En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes:
 = presión estática a la que está sometido el fluído, debida a las moléculas
que lo rodean
 = densidad del fluído.
 = velocidad de flujo del fluído.
7

8.  = valor de la aceleración de la gravedad (en la superficie de la Tierra).
 = altura sobre un nivel de referencia.
Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos. Un fluído se caracteriza
por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que
la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluídos no están rígidamente
unidas, como en el caso de los sólidos. Fluídos son tanto gases como líquidos.
Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones
que nos limitan el nivel de aplicabilidad:
• El fluído se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo
en un punto no varía con el tiempo.
• Se desprecia la viscosidad del fluído (que es una fuerza de rozamiento
interna).
• Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio
únicamente.
Se observa que en fluidoestática, tambiuén gobierna la ec. (13), con tan solo
poner  = 0, de tal forma que:


+  =  (14)
Lo cual nos lleva a saber la presión que existe entre dos cotas de una forma
muy simple. Suponiendo la hipótesis de flujo incompresible en líquidos,
1 = 2 = 
se llega a:
1

+ 1 =
2

+ 2 =⇒ 1 = 2 + (2 − 1), con 2  1 → 1  2 (15)
Si las variaciones de cota son pequeñas, se tiene:
2 ' 1 =⇒ 1 ' 2 (16)
8

9. 1.3 Ley de conservación de la masa en fluidos.
La forma integral de la ecuación de continuidad o de conservación de la masa
es:
 =  =  ⇒


Z

 = 0 (17)
Z



 +
Z

 (−→ · −→ )  = 0 (18)
donde V es cualquier volumen fijo, pues en un momento dado cualquier
volumen fijo coincide con un volumen de fluido.
Para líquidos, con hipótesis de fluido incompresible y sin variación de densi-
dad, de acuerdo a la ec. (17), se llega fácilmente a:

 = 0 ⇒  = 
es decir, el volumen del volumen fluido se mantiene constante.
Igualmente de la ec. (18) llegamos a:
 =
R

−→ · −→  = 0
es decir, el flujo volumétrico o caudal de fluido a través de cualquier superficie
cerrada es nulo, que quiere decir, que todo caudal entrante es igual al saliente
de una superficie cerrada.
Haciendo uso del teorema de Gauss, la ecuación (18) puede escribirse:
Z

∙


+ ∇ · (−→ )
¸
 = 0 (19)
por lo que podemos fácilmente llegar a su expresión diferencial:

 + ∇ · (−→ ) = 0 ⇒ 
 + ∇ · −→ + −→ · ∇ = 
 +  div −→ + −→ · grad  =


+  div −→ = 0 (20)
En un líquido, donde cada partícula conserve su densidad en el movimiento,
es decir:

 = 0
se tiene que:
div −→ = 0 incluso si  6= 
9

10. 1.4 Ley de conservación de la masa o ley de conservación
de la materia o Ley Lomonósov-Lavoisier para reac-
ciones químicas.
"En toda reacción química la masa se conserva, esto es, la masa total de los
reactivos es igual a la masa total de los productos. Esto tiene una importancia
fundamental ya que permite extraer componentes específicos de alguna materia
prima sin tener que desechar el resto; también es importante debido a que
nos permite obtener elementos puros, cosa que sería imposible si la materia se
destruyera".
Hielo + Q → Agua
1 kg de Hielo + calor dan 1 kg de agua
Como  =  , indudablemente lo que sucede es que el hielo tiene menos
densidad y más volumen respecto al agua líquida. El producto de ambos factores
(densidad y volumen) da un valor constante (la masa). Por efectos térmicos se
puede producir una dilatación volumétrica. En el caso del agua, se da un valor
mínimo de dilatación de este tipo en torno a 4 
C, que es donde presenta mayor
densidad. Cuando el agua solidifica en hielo, aumenta de volumen drásticamente
en 0 
C al cambiar de estado.
1.5 Dilatación volumétrica.
El coeficiente de dilatación volumétrico, designado por , se mide experimen-
talmente comparando el valor del volumen total de un cuerpo antes y después
de cierto cambio de temperatura, y se encuentra que en primera aproximación
viene dado por:
 ≈ 1
 ()
∆ ()
∆ = [ln  ()]

Experimentalmente se encuentra que un sólido isótropo, un líquido o un gas
existe una expansión en volumen en todas las direcciones con un coeficiente de
dilatación volumétrico  que es aproximadamente tres veces el coeficiente de
dilatación lineal . Esto puede probarse a partir de la teoría de la elasticidad
lineal. Por ejemplo si se considera un pequeño volumen rectangular (de dimen-
siones:   y ), y se somete a un incremento uniforme de temperatura, el
cambio de volumen vendrá dado por:
∆ =  −  = ∆ ≈ 3∆ = 3 ( − ) (21)
10

11. 2 Variables incidentes en la variabilidad del em-
puje de una masa congelada de agua.
Prosigamos explicando que las 3 variables que inciden en el empuje (o en el
peso, que son equivalentes en el principio) y que harían que el nivel del mar
variase, serían: la densidad , el volumen  y la gravedad . En este caso, dado
que el espesor de la capa es de pocos metros, los efectos de la presión  no son
importantes, como ha quedado reflejado en la ec. (16) para el polo Norte. Esta
hipótesis deberá ser revisada para el polo Sur, donde los espesores son mucho
mayores.
Debemos apreciar que la fuerza que ejerce el empuje es debida realmente a
las diferencias de presión ejercidas entre la cota superior e inferior.
Encubiertamente y a través de las ecs. (8) y (11), si igualamos en escalares,
teniendo en cuenta que  = :
 =
¯
¯
¯
−→
 
¯
¯
¯ =
Z

 =
Z

 =
Z

 =⇒


=  (22)
que es un resultado igual que la deducción de la ec. (14) de Bernoulli para
fluidoestática.
Dado que la variación del nivel del mar no sería muy elevada, la  se man-
tendría constante, por lo que no la tendremos en cuenta.
Veamos las condiciones que pueden hacer variar la densidad y el volumen.
• Densidad: puede sufrir variaciones en función de la temperatura y la sali-
nidad. Se considerarán efectos de compresibilidad real. Aquí se tendrá en
cuenta que la masa de agua tiene cambios de densidad en el cambio de
estado
• Volumen: pueden existir cambios de volumen debidos al coeficiente de
dilatación volumétrico y a la diferencia de temperaturas del hielo-agua.
La masa de hielo en el Polo Norte es totalmente flotante, es decir, no está
asentada en tierra, luego toda la masa (la parte hundida y la emergida) ejerce un
empuje producido por el peso, y es el que evacúa el volumen de agua correspon-
diente a la parte sumergida, pero manteniendo constante la masa desplazada
líquida al total de la masa congelada. Esto quiere decir que en la ec.  =  se
evacúa el volumen de líquido correspondiente a la parte sumergida, mientras que
la masa de agua desplazada es la misma independientemente de cuánta parte
esté sumergida. El caso es que no existen datos medios para saber la parte
emergida respecto a la sumergida. Sí que es cierto que se sabe que, general-
mente, los icebergs tienen una parte emergida muy pequeña comparativamente
11

12. con la parte sumergida. Es por ello por lo que se ha supuesto esta hipótesis.
No ocurre lo mismo en el Polo Sur, dado que la masa está asentada sobre el
continente de la Antártida. En ese caso, es evidente que dado que no existe
volumen ocupado por el hielo, resulta rápido deducir que toda el agua líquida
que va a parar al mar tenderá a subir el nivel de las aguas, por no estar presente
previamente en forma de hielo.
Centrémonos en el caso del Polo Norte primero y definitivamente consider-
emos que la parte emergida es mucho menor frente a la parte sumergida, por
lo que el empuje será igual al peso y el volumen de agua líquida desalojada por
esta parte emergida que aparecerá en el mar tras fundirse los casquetes es muy
pequeña. Esta hipótesis puede compararse suponiendo que la capa emergida
media es de unos 0 3  y observarse el volumen de agua desplazada al fundirse
el hielo, dado que el peso de esta cota de 0 3  es volumen adicional que se
agrega a los océanos. Finalmente, veremos si es despreciable o no.
3 Desarrollo del cálculo.
Comencemos suponiendo que toda la masa helada está sumergida. Analicemos
la situación que ocurre entre el empuje inicial 1, con las condiciones de partida
de densidad 1 y volumen 1 y las finales de empuje 2. Si logramos cuan-
tificar la razón 21 podremos estimar lo que subiría o bajaría el nivel, pero
además tenemos que tener una comparación entre el volumen total de los mares
y océanos y el volumen total de la masa helada del Polo Norte. Nótese que esta
equivalencia  =  es factible hacerla con la hipótesis antedicha, pero que no es
estrictamente propia para la situación final en la que no hay cuerpo sumergido
sino que se ha transformado toda la masa en agua líquida. No obstante, es una
forma de ponderar lo que sucede.
Como se ha dicho anteriormente, la densidad del agua puede sufrir varia-
ciones en función de la temperatura y la salinidad. Se supone que en los cas-
quetes polares y glaciares el agua es dulce, mientras que en el mar es salada.
Por tanto, a la hora de derretirse el casquete polar tendrá lugar un trasvase de
agua dulce a agua salada, de una temperatura 1 inicial (antes de derretirse y
estar a menos de 0 
 a una Temperatura 2 final (a más de 0 
).
En los cambios de temperatura habrá que tener en cuenta la variación de
volumen. Consideremos que el coeficiente de dilatación volumétrico  está cuan-
tificado en aproximadamente 3 veces el coeficiente de dilatación lineal  como
ya se dijo. Por lo tanto, podremos expresar según la ec. (21) y con la nueva
nomenclatura, teniendo en cuenta que el volumen desplazado de agua será el
volumen sumergido de hielo:
∆ = 2 −  ' 3∆1 = (2 − 1)1 (23)
Sabiendo que  es para el agua:
12

13.  = 2 1 · 10−4 
−1
y teniendo el dato que la densidad del agua pura y dulce a 0 
 sólida es:
 = 0 9170 
3
Consideraremos que la temperatura de la masa del hielo está entre −50 

y 0 
 (tomaremos la media de −25 
 y que la densidad es prácticamente la
misma (no he encontrado información del dato de la densidad de hielo cuando
está por debajo de 0 
 a presión atmosférica, por lo que tomaré el valor del
punto de fusión a 0 
). Por lo tanto,
1 = 0 9170 
3
El espesor de la capa media del Polo Norte se cifra entre 2,5 y 4 m. Consid-
eraremos el espesor medio de:
∆ = 3 25 
De acuerdo a la ec. (15) y poniendo el nivel  el de la superficie, y el 
el sumergido del fondo, tenemos:
inf − sup = ∆ = (sup − inf) = ∆ = 9 81 · 3 25 = 31 85 
Pero el nivel  es la atmósfera, dado que está la superficie helada en
contacto con el aire. Como a la presión atmosférica normal, se tiene:
sup = 1013 25  = 101325 
Se calcula fácilmente que:
inf = 101356 85  = 1013 57 mbar
de donde:
sup ' inf
por lo que no habrá incidencias de presión en la densidad determinantes
entre los dos niveles de la capa, como se ha apreciado.
La densidad para agua pura y dulce a 0 
 líquida es:
 = 0 9998 
3
Consideraremos que el agua líquida final estará a una temperatura de unos
10 
 por lo que su densidad será:
2 = 0 9997 
3
13

14. Nótese que por efectos de la disolución del agua dulce procedente de la masa
helada, el volumen líquido ocupado seguirá siendo dulce aunque se diluya en la
mayor masa helada.
Entonces, de la ec. (23), tenemos:
2 = 1 + (2 − 1)1 = [1 + (2 − 1)] 1 =£
1 + 2 1 · 10−4
· ([10 − (−25)])
¤
· 1
2 = 1 007351 (24)
Vamos a comprobar que el espesor emergido del agua es aproximadamente
de 0 3 
El empuje total de toda la masa helada de agua sumergida, de volumen
 1 = 1 sería de:
1 =  · 1 ·  = 0 9997 · ( · 3 25) · 
mientras que el peso de dicha masa helada es de:
 =  =  · 1 ·  = 0 917 · ( · 3 25) · 
Como se cumple:
 1   ⇒ parte de la masa helada emerge
Igualando el peso al empuje ocasionado por el volumen sumergido, podemos
calcular la altura sumergida :
 = 1 ⇒ 0 917 · ( · 3 25) ·  = 0 9997 · ( · ) · 
que despejando da un valor de:
 = 2 98 
Por lo tanto, la altura emergida  será:
 = ∆ −  = 3 25 − 2 98 = 0 27 ' 0 3 
por lo que, en efecto, nuestra suposición inicial era correcta.
El volumen sumergido  respecto al volumen total de masa congelada de
agua 1 es:

1
=
 · 
 · ∆
=
2 98
3 25
' 0 917 ⇒  ' 0 9171 (25)
14

15. Los empujes serán, teniendo en cuenta que es 2 la densidad correspondiente
al agua líquida:
1 = 2 = 0 9997 · (0 9171) · 
2 = 22 = 0 9997 · (1 007351) ·  = 1 0071
La razón entre empujes será:
2
1
=
1 0071
0 9171
= 1 0982 (26)
Por lo tanto, la situación final es que el empuje o el peso ha aumentado un
9,82 % respecto al promedio de hielo del polo norte fundido en agua líquida.
Esta cantidad por sí sola no puede resultar valorable a efectos de variación del
nivel del mar, pues para ello deben compararse los volúmenes de agua y peso
tanto del agua desalojada del Polo Norte como el agua de todos los océanos.
Nótese que el empuje 2 se refiere al que efectúa la masa de agua líquida
supuesta aislada respecto al resto del océano.
Cuantifiquemos cuánto puede subir el nivel del mar, comparativamente.
La superficie de casquete sólido helado del Polo Norte se estima actualmente
en:
 = 4130000 2
Obsérvese que no tenemos referencia de cómo es la superficie de la masa
helada del Polo Norte geométricamente, pero ese dato es indiferente para calcu-
lar el volumen, dado que en una superficie arbitraria, si levantamos verticalmente
por todo el borde una rectas generatrices verticales de altura , dispondremos
de una forma simple de efectuar el cálculo, dado que el área de la base y el área
proyección superior, serán idénticas. En este caso, el volumen es fácilmente
calculable, y tendrá la expresión:
 =  ·  (27)
que es una expresión idéntica a la del volumen de un cilindro. Como  era:
 = 3 25 
Entonces, el volumen estimado de hielo 1 es de:
1 =  ·  = 13422 5 3
15

16. por lo que el volumen sumergido de hielo equivalente al volumen desalojado
de agua es de:
 ' 0 9171 = 12308 4 3
El volumen final de agua líquida es, de acuerdo a la ec. (24) :
2 = 1 007351 = 13521 2 3
∆ = 2 −  = 1212 8 3
Sabemos la superficie de los océanos y la profunidad media de cada océano:
Océano Superficie (2
) Profundidad media () Factor ponderativo superficie
Pacífico 165.200.000 4.282 11,72
Atlántico 82.400.000 3.926 5,84
Índico 73.400.000 3.963 5,21
Ártico 14.100.000 1.205 1
Total 335.100.000 - 23,77
Vamos a obtener el valor medio de la profundidad de todos los océanos. Para
ello, hagamos una media basada en factores ponderativos de la superficie para
aplicar a la profundidad dando mayor importancia relativa a los oceános que
más superficie tienen. Estos factores se calculan dividiendo las superficies de los
océanos por la superficie el Ártico, que es la menor.
De esta forma, tenemos:
 = 4282·1172+3926·584+3963·521+1205·1
2377 = 3 99816659655 
Ahora podemos expresar, el volumen total de los océanos, como:
1 =  · 1 = 335100000 · 3 998 = 1339729800 3
Para comprobar que esto es cierto, hagamos la suma de todos los volúmenes
de cada océano iésimo:
1 =
X
 =
P
 ·  = 165200000 · 4 282 + 82400000 · 3 926+
+73400000 · 3 963 + 14100000 · 1 205 = 1338763500 3
de donde se deduce que la altura media sería:
16

17. 
0
= 1338763500
335100000 = 3 99511638317 ,
que representa un valor muy parecido al hallado por el método anterior,
no siendo igual simplemente por haber considerado factores con no todas sus
cifras decimales, lo cual arroja cierto error. Tomaremos el valor 
0
como el más
correcto.
Si a esa cifra le incrementamos el aumento de volumen del deshielo del Polo
Norte, que era de 98 7 3
bajo la hipótesis  =  y de 2576 5 3
bajo la
hipótesis de   ,¿cuánto subiría el nivel en cada caso?
Sabemos que la ecuación del volumen anterior se cumple para cualquier
superficie siempre y cuando que exista proyección vertical del borde, es decir,
una proyección curvo-cilíndrica, siendo las áreas superior y de la base iguales.
En una palabra, los bordes de las costas, deberían ser totalmente verticales.
Eso no es así, obviamente; realmente deberíamos suponer que existe un ángulo
de inclinación de tal forma que al subir el nivel, la superficie ocupada fuese
mayor, pero esto es demasiado complejo, pues sería muy difícil extraer ese ángulo
(podría suponerse de 45 
y buscar el incremento de superficie, pero para ese
cálculo de volumen sí deberíamos tener presente la geometría de la superficie
base, que es desconocida), por lo que se considerará que el litoral tiene separación
vertical con el agua del mar en todo su borde.
Tenemos un volumen total de:
1 = 1338763500 3
• Para  = , hay que incrementar 98 7 3
:
2 =  · 2 = 335100000 · 2 = 1338763598 7 3
⇒
⇒ 2 = 13387635987
335100000 = 3 995116677081 
• Para   , hay que incrementar 2576 5 3
:

0
2 =  · 
0
2 = 335100000 · 2 = 1338766076 5 3
⇒
⇒ 
0
2 = 13387660765
335100000 = 3 9951240719188 
La diferencia entre ambas alturas nos daría el incremento de nivel bajo estas
hipótesis.
• Para  = :
∆ = 2 − 
0
= 3 995116677081 − 3 99511638317 = 2 93911 · 10−7
 =
= 0 294  ' 0 3 
17

18. • Para   :
∆ = 
0
2 − 
0
= 3 9951240719188 − 3 99511638317 = 7 6887488 · 10−6
 =
' 7 7 
Es decir, subiría el nivel unos 0 3 y 7 7  en ambas hipótesis, respecti-
vamente, algo inapreciable. Como además, el contorno litoral, no sería vertical,
la superficie S ya no sería la misma sino que 2  1 como ya se dijo. Por
tanto, la subida del mar, sería menor todavía, siendo realmente inapreciable,
dado que al incrementarse 2, el volumen se exparcería por planos superiores
a 1 y la cota 2 decrecería algo más.
Se ha hecho aquí el cálculo contando solo con el volumen y como
se dijo al principio, el empuje ocasionado por una masa es debida al
peso SUMERGIDO de la misma, es decir, no hemos contado con la
densidad. No obstante, dado que desplazamos volúmenes de agua,
veremos que cuadra con el cálculo siguiente siguiendo la masa y esto
es muy importante para cotejar la coherencia de los resultados.
Ya se vio que el empuje o peso era mayor para la masa de agua líquida
del Polo Norte frente a la masa helada, por lo que habría que cuantificarlo de
alguna forma. Podemos cuantificar la masa, en lugar del peso, simplificando la
gravedad. Se simplifica la gravedad, porque al calcular la diferencia de alturas
para buscar un incremento o decremento de nivel, el factor estaría presente en
ambos pesos calculados de la masa oceánica, pero, no obstante, la gravedad
en casi 4 km de profundidad marina sí sería diferente para las diferentes capas
oceánicas. Se aclara porqué se simplifica esta variable pues en la 1
parte donde
estudiamos la incidencia de la capa helada sí que era inapreciable en 3,25 m de
espesor.
Tenemos un problema y es que dado que la masa oceánica tiene una pro-
fundidad media bastante grande existirán efectos debidos a la presión para la
densidad, factor que antes no tuvimos en cuenta dado el poco espesor de la masa
helada del Polo Norte. Como debemos considerar un cálculo factible tomaremos
esa hipótesis reductora poniendo un valor medio de:
 = 1 027 
3
• Para  = :
1 =
X
11 = 1027·(1338763500−13422 5)·109
+917·13422 5·109
=
1 374908638025 · 1021

2 =
X
22 = 1027·(1338763500−13422 5)·109
+999 7·13521 2·109
=
1 3749098467361 · 1021

18

19. • Para   :

0
1 =
X
11 = 1027·(1338763500−12183 6)·109
+917·12183 6·109
=
1 374908774304 · 1021


0
2 =
X
22 = 1027·(1338763500−12183 6)·109
+999 7·14760 1·109
=
1 3749123576148 · 1021

Explicación:
Inicialmente, a la masa total de los océanos se debe restar el volumen ocu-
pado por la masa helada, que tiene otra densidad. Finalmente al fundirse, la
masa total salina sigue siendo la misma, pero aparece un volumen mayor, que
es de 98 7 y de 2576 5 3
, según cada caso estudiado.
Por lo tanto, el mar tiene una masa incrementada tras fundirse la masa
helada del Polo Norte de:
• Para  = :
∆ = 2 − 1 = 1 2087111 · 1015

• Para   :
∆
0
= 
0
2 − 
0
1 = 3 5833108 · 1015

que parece muy importante. Sin embargo, porcentualmente representa un
incremento de:
• Para  = :
³
2−1
1
´
· 100 = 12087111·1015
1374908638025·1021 · 100 = 8 791 · 10−5
%
• Para   :
µ

0
2−
0
1

0
1
¶
· 100 = 35833108·1015
1374908774304·1021 · 100 = 2 606 · 10−4
%
donde se ha tenido en cuenta que el agua fundida del casquete polar sigue
siendo dulce (aunque se haya disuelto con la salada) y a una temperatura media
de 10 
C.
Lo que vamos a hacer ahora es cuantificar el efecto de la densidad en fun-
ción de la variación de altura respecto a lo hallado anteriormente. Para ello,
19

20. descomponemos el volumen en una expresión que recoja la altura. Entonces,
haciendo cuentas, debería cumplirse exactamente lo siguiente:
X
11 =
X
111 (28)
En efecto, dado que el nivel de todos los océanos, de media, sería el mismo
para todos, excepto para la parte helada del oceáno ártico, que tendría que
desglosarse en la parte salina y la parte dulce, quedaría:
∗
1 =
X
111 = 1027 · (335100000 − 4130000) · 106
· 3995 11638317+
+1027 · 4130000 · 106
· 3991 86638317+
+917 · 4130000 · 106
· 3 25 = 1 3749086380253 · 1021

Vemos que, efectivamente,
1 = ∗
1
como tenía que ser.
De esta forma podemos despejar 2 de la ecuación siguiente:
• Para  = :
2 =
X
222 = 1027 · (335100000 − 4130000) · 106
· 2+
+1027 · 4130000 · 106
· (2 − 3 25) +
+999 7 · 4130000 · 106
· 3 25 = 1 3749098467361 · 1021

Resolviendo, queda:
2 = 3995 1166698787 
Comparando con:

0
= 3995 11638317 
resulta:
∆ = 2 − 
0
= 2 867087 · 10−4
 = 0 3 
• Para   :

0
2 =
X
222 = 1027 · (335100000 − 4130000) · 106
· 
0
2+
+1027 · 4130000 · 106
·
³

0
2 − 3 25
´
+
+999 7 · 4130000 · 106
· 3 25 = 1 3749123576148 · 1021

20

21. Resolviendo, queda:

0
2 = 3995 1239658121 
Comparando con:

0
= 3995 11638317 
resulta:
∆
0
= 
0
2 − 
0
= 0 0075826421  = 7 6 
Un resultado importante es que el cálculo por el volumen hecho anterior-
mente es prácticamente el mismo que el obtenido por la masa y eso habiendo
considerado ahora densidades con hipótesis simplicadoras debidas a los cambios
de presión. Por lo tanto, los ressultados parecen ser congruentes.
Con la hipótesis de que la superficie final de la masa oceánica es igual a
la de la base tras el incremento/decremento de altura, porque las paredes del
litoral son verticales, cumpliendo hipotéticamente  =  ·  hemos llegado a
la conclusión de que no varía la altura casi. En la práctica, no se percibe un
aumento significativo del nivel, ni siquiera bajo la hipótesis   .
Vemos que la masa líquida una vez derretida la masa polar la hemos seguido
suponiendo con una superficie arbitraria cualquiera de 4130000 2
y de al-
tura totalmente vertical en todo su contorno de 3 25 , y contando conque
el volumen se ha incrementado por la dilatación volumétrica afectada por la
densidad mayor en las dos hipótesis tomadas y además con un incremento del
volumen debido a la masa líquida emergida (sólo para el caso   ), hecho
que ya está cuantificado en la ecuación para obtener ambas 2 y 
0
2. Por lo
tanto, los cálculos parecen consistentes.
De esta forma se demuestra que, a pesar de existir una dilatación volumétrica
y un aumento de peso, por el aporte de masa líquida a la cantidad de masa
oceánica, el nivel de las aguas no asciende significativamente, quedando prácti-
camente igual dado el resultado obtenido.
Obviamente este resultado es válido solo para el Polo Norte, dado que en el
Polo Sur, la masa helada está asentada en el continente antártico, por lo que
nada de la masa helada está contribuyendo al empuje inicialmente, y la masa
terrestre es la que soporta el peso, luego con toda seguridad sí haría subir el
nivel del litoral si se fundiera, aunque en este artículo no se calcula.
Este resultado no quiere decir que no sea grave un deshielo en el
Polo Norte, pues a pesar que el nivel de mareas no subiera casi nada-
como ha quedado demostrado, eso no quitaría implicaciones nefastas
para el medio ambiente, pues afectaría al clima, sobre todo por la
21

22. reflexión de calor que hace la masa helada. Por lo tanto un deshielo
en el Polo Norte en ningún caso sería deseable.
Las implicaciones de un deshielo están reflejadas aquí, según la Wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Deshielo_%C3%A1rtico
22