2. La noción de conjunto es aceptada como sinónimo de las nociones usual de colección,
agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros o elementos, sin
embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”.
Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la
palabra elementos del conjunto A, se escribe:
x ∈ A.
Que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto
x no es elemento de un conjunto A, se escribe:
x ∉ A.
Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus
elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:
A = { 2, 3, 5}
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por
ejemplo:
A= {a, c, b}
B= {primavera, verano, otoño, invierno}
3. El símbolo є indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el
contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará
cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como ∉.
Ejemplo: Sea B= {a, e, i, o, u}, a є B y c ∉ B
CARACTERITICAS DE LOS CONJUNTOS
1. Conjunto unitario: conjunto compuesto de un solo elemento.
2. Conjunto vació o nulo: cuando no consta de elementos.
3. Conjunto universal: conjunto de elementos por los que se tiene interés
4. Si un conjunto tiene elementos y se relaciona con otro se dice que este es subconjunto del otro.
5. Por definición el conjunto nulo es subconjunto de cualquier otro conjunto.
6. Dos conjuntos son iguales si y solo si contienen los mismo elementos
4. CONJUNTO UNIVERSAL
Conjunto que contiene todos los elementos posibles para un problema particular en consideración
y contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto
Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas
veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U= { 1, 2, 3, 4, 5 }
FORMAALTERNATIVA PARA INDICAR CONJUNTOS DE GRAN IMPORTANCIA:
o Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
o Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
o Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números
enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q
o Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos
números enteros) representados por la letra I.
o Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos,
representados por R.
5. Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos
por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace
referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación
llamada COMPRENSIÓN.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es
el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser
menores que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{ x/x Î N ; x<60 }
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y
además que los valores de x son menores que 60.
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser
representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los
números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:
{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }
6. DIAGRAMA DE VENN
Esencialmente, se conoce como una forma
de mostrar de manera gráfica, una agrupación de
elementos según los conjuntos, siendo
representado cada conjunto con una
circunferencia. Esta clase de gráficos se emplean
en la Teoría de Conjuntos, dentro de las
matemáticas modernas y nos explica el
funcionamiento de un conjunto de elementos al
realizar alguna operación con ellos.
Un conjunto está definido por extensión, si se enumeran sus elementos.
Por ejemplo: A = {x / x es un número obtenido al lanzar un dado corriente} es un
conjunto definido por comprensión ya que sus elementos “x” se describen a través de una
propiedad “es un número obtenido al lanzar un dado corriente”.
La posición en que estén dispuestas las circunferencias, nos mostrará el vínculo que
existe entre los conjuntos
7. En la imagen de abajo, el círculo del grupo A se haya dentro del círculo B, de manera que
todos los componentes de B también se encuentran contenidos en A.
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son do
conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B ∈ A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una
diagonal ∉ .
Note que ∈se utiliza solo para elementos de un conjunto y ⊂ solo para conjuntos.
8. FÓRMULA:
B С A: x €B = x C A
С = no está incluido. Э = no contiene a.
no es subconjunto
EJEMPLO:
- Conjunto de los números reales mayores que -2 y menores o iguales que 3
- Conjunto de los números reales mayores o iguales que -1 y menores o iguales que 1.
B = -1, 0, 1, 2, 3
A = -1, 0, 1
A es Subconjunto de B
A Э B = B С A
9. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
1) Reflexiva.- para todo conjunto A se cumple que todo conjunto está incluido a sí mismo.
A С A
2) Asimétrica.- para todo conjunto A y B se cumple que si A está incluido en B.
A С B ^ B С A = A = B
3) Transitiva.-
A С B ^ B С AA С C
Si se cumple las 3 propiedades se dice que existe una relación de orden.
Si al comparar dos conjuntos y estos no se incluyen entre A y B en este caso se dice que los dos
conjuntos no son comparables.
El conjunto vacío es el conjunto matemático que no tiene ningún elemento.
Se representa con el símbolo ∅ o simplemente como {}. Algunas de sus propiedades son:
•Para cualquier conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A: {} ⊆ A.
•Para cualquier conjunto A, la unión de A y el conjunto vacío es A: A ∪ {} = A.
•Para cualquier conjunto A, la intersección de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío: A ∩ {} = {}.
•El único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío.
10. CONJUNTO POTENCIA
El conjunto potencia de un conjunto cualquiera A,
P(A) es el conjunto formado por todos los
subconjuntos de A. Si A tiene n elementos, el
conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.
Otro símbolo para usar
⊆
IGUALDAD DE CONJUNTO
Dos conjuntos son iguales el uno al otro s
contienen exactamente a los mismos miembros.
Indicado matemáticamente A= B si y solamente si A ⊆
B y B ⊆ A. Esto significa que si conjunto A contiene
todo en el conjunto B y el conjunto B contiene todo
adentro conjunto A, después los dos conjuntos tienen
exactamente el mismo contenido.
11. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS.
UNIÓN
La unión de los conjuntos A y
B, es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A o a B
o a ambos. Se denota la unión de A
y B por A U B y se llama unión de
A y B.
Entonces se puede expresar por
comprensión este conjunto así:
Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la
siguiente:
En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se
presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto
referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.
Podemos decir que la unión de conjuntos es una operación binaria (aquella
operación matemática, que precisa del operador y de dos argumentos para que
se pueda calcular un valor) en el conjunto de todos los subconjuntos de un U,
Conjunto universal (Se denomina así al conjunto formado por todos los
elementos del tema de referencia) dado. Mediante la cual a cada par de
conjuntos A y B de U le es asociado otro conjunto (A U B) de U.
12. PROPIEDADES
Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera
o A ∪ A = A (propiedad idempotente) En álgebra de conjuntos, las operaciones de unión y
también de intersección de conjuntos cumplen con esta propiedad. Esto quiere decir que la unión
o intersección de un conjunto con el mismo, resultará en el mismo conjunto.
o A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa). Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto
unión no se altera.
o (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa).
o (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la intersección).
o A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).
INTERSECCIÓN
Una intersección de dos o más
conjuntos es un conjunto que contiene a
los miembros que están en todos los
conjuntos. Se habla esto, “conjunto C es
la intersección de los conjuntos A y B.”
Escriba esto como, C = A ∩ B.
Gráficamente, una representación de A ∩ B es:
La región rayada corresponde a A B. Cuando A y
B no tienen elementos comunes, se dice que son
disjuntos.
13. PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
o Comutativo A ∩ B = B ∩ A La intersección de conjuntos es comutativa.
o Asociativo (D ∩ E) ∩ F = D ∩ (E ∩ F) La intersección de conjuntos es
asociativa
o Distributivo (D ∩ E) ∪ F = (D ∪ F) ∩ (E ∪ F)
А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C La intersección y la unión de conjuntos son distributivas
o Propiedad Idempotente
А ∩ А = А
o Propiedad Conmutativa.
А ∩ B = B ∩ А
Intersección con el Vacío
А ∩ Ø = Ø
14. Diferencia
La diferencia entre los conjuntos A y B, denotada por A - B, es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto de A y no pertenecen al conjunto B.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia A - B es {b, c,
d, e, f}. La diferencia B - A es {h, j}
Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A - B y B - A.
En el ejemplo anterior la diferencia simétrica es {b, c, d, e, f, h, j}
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
o Unicidad: Dados dos conjuntos A y B, el resultado de la diferencia entre los conjuntos A
y B es un único conjunto C y no puede ser otro distinto.
o Propiedad conmutativa:o Propiedad conmutativa
o Elemento neutro: El elemento neutro de la operación
diferencia es el conjunto vacío.
15. COMPLEMENTO
Sean los conjuntos A y universal U. El complemento del conjunto A es la parte el conjunto
universal
U que no pertenece al conjunto A.
Sean:
PROPIEDADES
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío
no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera
posee propiedades similares a la segunda:
o Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el
propio A:
(A∁)∁ = A
16. o La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
A ∪ A∁ = U
o Propiedad involutiva. El complementario del complementario
de A es el propio A:
(A∁)∁ = A
o La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto
universal:
A ∪ A∁ = U
o Un conjunto y su complementario son disjuntos:
A ∩ A∁ = ∅
o El complementario de A está contenido en el complementario de
cualquier subconjunto de A:
B ⊆ A implica que A∁ ⊆ B∁
ALGEBRA DE CONJUNTOS
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia
A A = A
A A = A
2.- Conmutativa A B = B A A B = B A
3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C
4.- Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A
5.- Distributiva
A ( B C ) = ( A B )
( A C )
A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
6.- Complementariedad A A' = U A A' =
17. Propiedades de identidad
o A∪ φ = A
o A∪U = U
o A∩U = A
o A∩φ = φ
LEYES DE D’MORGAN
Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:
Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
En el diagrama de la izquierda, A∪ B viene dada por la región en blanco y (A ∪ B)' está
representado, por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es
la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que 'A ∩ 'B está
representado por la superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.
18. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS
Uno de los principios básicos para hacer
un análisis matemático es el concepto de
parejas ordenadas: dos objetos, personas,
símbolos o cosas mencionados en un orden
definido por su posición, es decir, primero uno
y luego el otro. Si este orden cambiara, es
decir, primero el otro y luego el uno, se tendrá
como resultado una nueva pareja ordenada y
diferente a la inicialmente considerada.
La simbología matemática que se utiliza para
representar una pareja ordenada es escribir
dentro de un paréntesis, la primera
componente separada por una coma de la
segunda componente, por ejemplo: ( y,x ) es
la pareja ordenada, en donde x es la primera
componente y y es la segunda componente. El
producto cartesiano de dos conjuntos A y B
es el conjunto de todos los posibles pares
ordenados que se forman eligiendo como
primera componente a un elemento que
pertenezca a A , y como segunda componente
a un elemento que pertenezca a B .
El producto cartesiano se denota de la
siguiente forma: A× B y se lee “ A cruz B ”.
A× B = { ( y,x ) x∈ A y y ∈ B }
La definición anterior expresa que el producto
cartesiano de los conjuntos A y B , son la
parejas ordenadas ( y,x ) tal que x pertenece al
conjunto A y y pertenece al conjunto B .
19. Ejemplo.
Obtener el producto cartesiano A× B de los siguientes conjuntos:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6,7 }
Solución.
A× B = {(1,2),(1,4),(1,6),(1,7),(2,2),(2,4),(2,6),(2,7),(3,2),(3,4),(3,6),(3,7)}
El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene
multiplicando sus cardinalidades. En el ejemplo anterior, η(A) = 3 y η(B) = 4 , el número de
parejas ordenadas es:
(3)(4) = 12.
El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que A× B ≠ B× A , a menos que
A = B .
Ejemplo.
Obtener el producto cartesiano B × A dados los mismos conjuntos anteriores:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6,7 }
Solución.
B × A = {(2,1),(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(4,3),(6,1),(6,2),(6,3),(7,1),(7,2),(7,3)}
A× B ≠ B × A
20. OPERACIONES GENERALIZADAS
El concepto de familia indexada de conjunto, permite generalizar las operaciones con
conjuntos (unión, intersección, producto cartesiano) que se habían definido para dos conjuntos, al
caso de un número arbitrario de conjuntos.
Dada una familia de conjuntos F y un conjunto I, se denomina familia indexada de conjuntos
con conjuntos Índices I a toda
función f: I -> F
Si I es cualquier conjunto, una familia de conjuntos indizada por I es una
colección de conjuntos, denotada por {Xi}, donde, para cada i € I, se tiene que Xi es un conjunto
miembro de la familia. Entonces la unión de la familia {Xi} es el conjuntos de elementos x tales x
pertenece a alguno de los conjuntos Xi. De igual forma, la intersección de la familia es el conjunto
de todos los y tales y € Xi, para todos los i € I. De manera simbólica se tiene
21. PARTICIÓN
Una partición de un conjunto A es una clase de subconjuntos Sі de A que son colectivamente
exhaustivos y mutuamente excluyentes. En otras palabras, los subconjuntos son disjuntos
(excluyentes) y su unión es A (exhaustivos).
Dado un conjunto A, diremos que los subconjuntos de A, A1,A2, . . . ,An,
constituyen una partición del mismo si se cumplen las siguientes condiciones:
1. Ai ≠ Ø; Ʉi = 1,2,3,…,n
2 Ai ᴖ Aj = Ø; Ʉi ≠ j,i, j=1,2,3,…,n
3. A1 ᴗ A2 ᴗ A3 …An = A
Las particiones de conjuntos ya han demostrado ser muy útiles en las cuestiones
de Combinatoria: la regla de la suma nos permitirá evaluar el tamaño de un conjunto si lo
“partíamos” en subconjuntos (disjuntos dos a dos) cuyo tamaño fuera más fácil de calcular.
Sea X un conjunto con n elementos, que supondremos, como hacemos habitualmente,
que son los números {1, . . . , n}. Una partición en k bloques no vacios de X será una
colección de subconjuntos {A1, A2, . . . Ak} , tales que
1. los bloques, efectivamente, conforman una partición de X:
X = A1 ∪ · · · ∪ Ak y Ai ∩ Aj = Ø para cada i = j.
2. Y los bloques son no vacíos , esto es, Ai = Ø para cada i = 1, . . . , k.
Es importante señalar que el orden de los elementos dentro de cada bloque es irrelevante y el
de presentación de los bloques, también. Observemos que, pese a que los nombremos como
A1, . . . , Ak, no estamos dando un orden entre ellos.
22. LA CARDINALIDAD
Es simplemente la forma en que se relacionan las Entidades, o expresa cuantas entidades se
relacionan con otras entidades.
Hay varias maneras de mostrar las cardinalidades:
-Poner etiquetas en las líneas que unen las relaciones con las entidades, consiste en un mínimo y
máximo que contiene un cero (varios a varios) y lo usual es poner una “M” en un
Existen 4 tipos de relaciones que pueden establecerse entre entidades, las cuales establecen con
cuantas ocurrencias de entidad de tipo b se puede relacionar una ocurrencia de entidad de tipo a:
Relación uno a uno.
Relación uno a varios (n).
Relación varios (n) a uno.
Relación varios a varios (n)- (n).
UNO A UNO
Cada registro de la tabla A se relaciona sólo con un registro de una tabla B y cada registro de
la tabla B se relaciona sólo con un registro de la tabla A.
23. UNO A VARIOS
Cada registro de la tabla A está relacionado con varios registros de la tabla B y cada registro de la
tabla B está relacionado con un sólo un registro de la tabla A.
VARIOS A VARIOS
Cada registro de la tabla A puede estar relacionado con más de un registro de la tabla B y
cada registro de la tabla B puede estar relacionado con más de un registro de la tabla A.
