2. Para resolver
la pregunta se
utiliza la
magnitud
llamada
Longitud
𝐚
𝑳 sombra pirámide
=
Altura del bastón
𝑳 sombra del bastón
¿Cómo calcularía la altura de una
pirámide de Egipto?
3. ¿Cuál es la relación de la fuerza aplicada a un
cuerpo y la aceleración que se le imprime a
dicho objeto?
Según Newton
4. ¿Qué es Magnitud?
Magnitud es toda aquella propiedad que
se puede medir o cuantificar.
Magnitud
Magnitud Masa Fuerza Obra N° Obreros Temperatura
Cantidad 𝟔𝟓 kg 𝟔𝟎 N 𝟐𝟒 𝒎𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟗 °C
Dos magnitudes que guardan relación de proporcionalidad
pueden ser:
Directamente
Proporcionales (DP)
Inversamente
Proporcionales (IP)
5. Se dice que dos magnitudes 𝑨 y 𝑩 son Directamente Proporcionales y se
denota 𝑨 DP 𝑩, cuando la razón geométrica entre sus valores correspondientes
son iguales (constante).
Definición
Ejemplo:
Se concluye que : 𝑨 𝐃𝐏 𝑩 ↔
𝑨
𝑩
= 𝒌
𝑨
𝑩
x 6
x 8
÷ 4
x 8
x 6
÷ 4
𝟐
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟑𝟎
=
𝟏𝟔
𝟒𝟎
=
𝟒
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟒 = 𝒌
∴
𝒌: 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐨𝐫𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝
Se desea pintar una casa
N° de Obreros
Obra (𝒎𝟐
)
𝟐
𝟓 𝟑𝟎
𝟏𝟐 𝟏𝟔 𝟒
𝟒𝟎 𝟏𝟎
6. Graficando:
(N° de Obreros) DP (Obra realizada)
𝟑𝟎
N° Obreros
𝟓 𝟏𝟎
𝟎 𝒙
𝒇(𝒙)
Obra
𝟐
𝟒
𝟏𝟐
Lo que puede expresarse, como:
Se llama relación de
proporcionalidad directa
; 𝒌 : constante
𝒇 𝒙 = 𝒌 . 𝒙
7. En general:
Si 𝑨 = 𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 ; 𝒂𝟑 ; … ; 𝒂𝒏 y 𝑩 = 𝒃𝟏 ; 𝒃𝟐 ; 𝒃𝟑 ; … ; 𝒃𝒏 , entonces
podemos construir una relación 𝒇 entre los valores de la magnitud 𝑨
y los de la magnitud 𝑩, a la cual llamaremos proporcionalidad
directa; es decir:
𝒇: 𝑨 → 𝑩 tal que: 𝒇 𝒂𝒊 = 𝒌 . 𝒂𝒊 = 𝒃𝒊 , donde 𝒌 es la constante de
proporcionalidad (𝒌 ≠ 𝟎). Por otro lado, se tiene que:
𝒇 = 𝒂𝟏; 𝒃𝟏 ; 𝒂𝟐; 𝒃𝟐 ; 𝒂𝟑; 𝒃𝟑 ; … ; 𝒂𝒏; 𝒃𝒏 ; tal que: 𝒃𝒊 / 𝒂𝒊 = 𝒌.
Para que dos magnitudes 𝑨 y 𝑩 sean DP, al multiplicar (o dividir)
los valores de la magnitud 𝑨 por una cantidad positiva, los valores
correspondientes de la magnitud 𝑩 quedaran multiplicados (o
divididos) por la misma cantidad, respectivamente.
Formas de reconocer si dos magnitudes son directamente proporcionales
𝟏.
8. Demostración: Sea 𝒂𝒊 ; 𝒃𝒊 ∈ 𝒇, luego:
𝒇 𝒂𝒊 = 𝒌 . 𝒂𝒊 = 𝒃𝒊
𝒇 𝒓. 𝒂𝒊 = 𝒌 . 𝒓. 𝒂𝒊 = 𝒓. 𝒃𝒊 , donde 𝒓 ≠ 𝟎
𝟐. Si graficamos la relación 𝒇 encontrada entre las magnitudes 𝑨 y 𝑩:
𝒇 = 𝒂𝟏; 𝒃𝟏 ; 𝒂𝟐; 𝒃𝟐 ; 𝒂𝟑; 𝒃𝟑 ; … ; 𝒂𝒏; 𝒃𝒏 ; tal que: 𝒃𝒊 = 𝒌. 𝒂𝒊,
obtenemos:
La gráfica es un conjunto
de puntos, alineados en
una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
𝑨
𝒂𝟐
𝒂𝟏
𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒂𝟑
𝑩
𝒃𝟑
𝜷
9. Sean :
𝑾: peso inicial
𝑷 : pesoperdido (kg)
𝑻 : temperatura (°C)
CLAVE C
El peso que pierde un metal durante el proceso de fundición es DP a la raíz
cuadrada de la temperatura que se emplea en la fundición. Al fundir un metal de
cierto peso a una temperatura de 𝟏𝟔𝟐 °C se obtiene 𝟏 𝟗𝟓𝟖 gramos, pero si la
temperatura fuese de 𝟐𝟖𝟖 °C se perderían 𝟓𝟔 gramos. ¿A qué temperatura (°C)
se debe fundir el mismo metal para obtener al final 𝟏 𝟗𝟑𝟎 gramos?
A) 225 B) 324 C) 450 D) 512
E) 648
Resolución
Dato: 𝑷 DP 𝑻
𝑷
𝑻
= 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Colocando la información brindada en la siguiente tabla:
𝑷
𝑻 𝟏𝟔𝟐°𝑪
𝑾 − 𝟏 𝟗𝟓𝟖
𝟐𝟖𝟖°𝑪
𝟓𝟔
𝑿 =?
𝑾 − 𝟏 𝟗𝟑𝟎
Se cumple:
𝑊 − 1 958
162
=
56
288
=
𝑊 − 1 930
𝑋
𝟑 𝟒
𝑤 − 1 958 = 42
𝑾 = 𝟐 𝟎𝟎𝟎
56
288
=
70
𝑋
𝟒 𝟓
16
288
=
25
𝑋
→ 𝑿 = 𝟒𝟓𝟎
𝟐
APLICACIÓN 1
10. Se dice que una magnitud 𝑨 es inversamente proporcional a otra 𝑩, y se
representa 𝑨 IP 𝑩, cuando la razón geométrica, entre los valores de 𝑨 y los
inversos multiplicativos de los valores correspondientes de 𝑩 permanece constante.
Definición
Ejemplo:
𝟏𝟐 = 𝒌
Se concluye que:
Se observa que:
x 2
x 3
÷ 3
÷ 2
Número de obreros 𝟐 𝟑 𝟒 𝟔
Número de días 𝟔 𝟒 𝟑 𝟐
𝟐
𝟏
𝟔
=
𝟑
𝟏
𝟒
=
𝟒
𝟏
𝟑
=
𝟔
𝟏
𝟐
=
𝑨 IP 𝑩 ↔ 𝑨 DP
𝟏
𝑩
↔
𝑨
𝟏
𝑩
= 𝑨 × 𝑩 = 𝒌: 𝒄𝒕𝒆
𝑨
𝑩
𝑨 𝐈𝐏 𝑩 ↔ 𝑨 × 𝑩 = 𝒌
11. Graficando:
Tiempo (días)
N° de Obreros
𝒙
𝒇(𝒙)
(N° de Obreros) IP (Tiempo)
Se llama relación de
proporcionalidad inversa
Lo que puede expresarse, como:
𝟑 𝟔
𝟐 𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟔
; 𝒌 :
constante
𝒇 𝒙 = 𝒌
𝟏
𝒙
12. En general:
Si 𝑨 = 𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 ; 𝒂𝟑 ; … ; 𝒂𝒏 y 𝑩 = 𝒃𝟏 ; 𝒃𝟐 ; 𝒃𝟑 ; … ; 𝒃𝒏 , entonces
podemos construir una relación 𝒇 entre los valores de la magnitud 𝑨 y
los de la magnitud 𝑩, a la cual llamaremos proporcionalidad inversa;
es decir: 𝒇: 𝑨 → 𝑩 tal que 𝒇 𝒂𝒊 = 𝒌/𝒂𝒊 = 𝒃𝒊 , donde 𝒌 es la constante
de proporcionalidad (𝒌 ≠ 𝟎).
Para que dos magnitudes 𝑨 y 𝑩 sean inversamente proporcionales, al
multiplicar (o dividir) los valores de la magnitud 𝑨 por una cantidad
positiva, entonces los valores correspondientes de la magnitud 𝑩
quedaran divididos (o multiplicados) por la misma cantidad
respectivamente.
Demostración
Formas de reconocer si dos magnitudes son inversamente proporcionales
𝟏.
Sea 𝒂𝒊 ; 𝒃𝒊 ∈ 𝒇 ; luego:
=
𝒌
𝒓. 𝒂𝒊
=
𝟏
𝒓
𝒌
𝒂𝒊
=
𝟏
𝒓
𝒃𝒊 ; donde 𝒓 ≠ 𝟎
𝒇 𝒓. 𝒂𝒊
13. 𝟐. Si graficamos la relación 𝒇 encontrada entre las magnitudes 𝑨 y 𝑩:
𝒇 = 𝒂𝟏; 𝒃𝟏 ; 𝒂𝟐; 𝒃𝟐 ; 𝒂𝟑; 𝒃𝟑 ; … ; 𝒂𝒏; 𝒃𝒏 tal que: 𝒂𝒊 . 𝒃𝒊 = 𝒌 ;
obtenemos:
𝑨
𝒂𝟐 𝒂𝟒
𝒂𝟏
𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒃𝟒
𝒂𝟑
𝑩
𝒃𝟑
La gráfica es un conjunto de
puntos alineados en una rama
de una hipérbola equilátera.
14. APLICACIÓN 2
Resolución
Una rueda A de 𝟗𝟎 dientes engrana con otra rueda B de 𝟏𝟖 dientes. Fija al eje
de B se encuentra otra rueda C de 𝟏𝟏𝟒 dientes que engrana con otra rueda D de
𝟏𝟗 dientes. ¿Cuántas vueltas habrá dado D cuando A haya dado 𝟐𝟒𝟓 vueltas?
A) 7 350 B) 7 375 C) 7 400 D) 7 425 E) 7
450
𝟏𝟖 𝐷𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝟏𝟏𝟒 𝐷𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝟏𝟗 𝐷𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Graficando el sistema de ruedas:
Observación
:
𝐈𝐠𝐮𝐚𝐥 #𝐕𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚𝐬
# 𝑫𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝐈𝐏 #𝑽𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔
En el problema: Cuando A da 𝟐𝟒𝟓 vueltas
𝟗𝟎 × 𝟐𝟒𝟓 = 𝟏𝟖 × #𝑽𝑩 #𝑽𝑩 = 𝟏 𝟐𝟐𝟓
#𝑽𝑩 = #𝑽𝑪 = 𝟏 𝟐𝟐𝟓
Para las ruedas B y
C:
Para las ruedas C y
D:
𝟏𝟏𝟒 × 𝟏𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟗 × #𝑽𝑫 #𝑽𝑫 = 𝟕 𝟑𝟓𝟎
𝟗𝟎 𝐷𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
CLAVE A
15. 𝟏. Si: 𝑨 𝐈𝐏 𝑩
𝟐. Si: 𝑨 𝐃𝐏 𝑩
𝟑. Para más de dos magnitudes que intervienen en un mismo aspecto
de cierto fenómeno, por ejemplo las magnitudes 𝑨, 𝑩 y𝑪:
𝑨 𝐃𝐏 𝑩 (Cuando 𝑪 es constante)
𝑨 𝐃𝐏 𝑪 (Cuando 𝑩 es constante)
𝑨
𝑩 . 𝑪
= 𝒌 𝒌: constante
PROPIEDADES
𝑨 𝐃𝐏
𝟏
𝑩
𝑨𝒏 𝐃𝐏 𝑩𝒏 , 𝒏 ∈ ℚ – {𝟎}
𝑨 𝐃𝐏 𝑩 . 𝑪 . . . (Cuando todos varían)
∴
17. APLICACIÓN 3
Las magnitudes 𝑨 , 𝑩 y 𝑪 guardan cierta
relación de proporcionalidad según la
siguiente tabla. Determinar de valor de 𝒂 + 𝒃.
A) 26 B) 42 C) 72 D) 80 E) 96
Resolución
𝑨 𝟔 𝟐𝟒 𝟏𝟐 𝟏𝟖 𝟗
𝑩 𝟏𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟎 𝒂 𝟒𝟓
𝑪 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏𝟔 𝒃
Comparando las magnitudes de 2 en 2, donde los valores de la tercera es
constante.
𝑩 = 𝟏𝟎 (𝒄𝒕𝒆)
𝟔
𝟒
𝟏𝟐
𝟏
𝑪
𝑪
𝑨
𝟐 𝟏
Se cumple:
𝑨 𝐈𝐏 𝑪 , (𝑩: 𝒄𝒕𝒆)
𝑪 = 𝟒 (𝒄𝒕𝒆)
𝑨
𝑩
𝟔 𝟐𝟒
𝟏𝟎 𝟒𝟎
Se cumple:
𝑨 𝐃𝐏 𝑩 , (𝑪: 𝒄𝒕𝒆)
Se tiene:
𝑨 𝐈𝐏 𝑪 𝑩: 𝒄𝒕𝒆
𝑨 𝐃𝐏 𝑩 (𝑪: 𝒄𝒕𝒆)
𝑨 . 𝑪
𝑩
= 𝒄𝒕𝒆
Reemplazando los datos de las 3
últimas columnas
𝟏𝟐. 𝟏
𝟏𝟎
=
𝟏𝟖. 𝟏𝟔
𝒂
=
𝟗. 𝒃
𝟒𝟓
→ 𝒂 = 𝟔𝟎 y 𝒃 = 𝟑𝟔
𝒂 + 𝒃 = 𝟗𝟔 CLAVE E
18. Resolución
Un obrero descubre que la cantidad de trabajo hecho por él en una hora varía en
razón directa de su salario por hora e IP a la raíz cuadrada del número de horas
que trabaja por día. Se puede terminar una obra en 𝟔 días cuando trabaja 𝟗 horas
diarias a S/ 𝟏𝟐 por hora. ¿Cuántos días tardaría en terminar la misma obra cuando
trabaja 𝟏𝟔 horas diarias a S/ 𝟏𝟖 por hora?
A) 2 B) 1,5 C) 4 D) 3 E) 5
𝑶𝒉 . 𝑯𝒅
𝑺𝒉
= 𝒌
Días Trabajados 𝟔 𝒏
𝑶𝒉(obra por hora)
𝟏
𝟔 . 𝟗
𝟏
𝒏 . 𝟏𝟔
𝑯𝒅(hora diaria) 𝟗 𝟏𝟔
𝑺𝒉(salario por hora) 𝟏𝟐 𝟏𝟖
𝟏
𝟓𝟒
. 𝟗
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟏𝟔𝒏
. 𝟏𝟔
𝟏𝟖
𝟏
𝟏𝟖 . 𝟏𝟐
=
𝟏
𝟒𝒏 . 𝟏𝟖
𝒏 = 𝟑
Reemplazando en la relación:
APLICACIÓN 4
CLAVE D
19. 𝟒. Para magnitudes que intervienen en un mismo aspecto de cierto fenómeno
𝑨, 𝑩, 𝑪, ⋯ , 𝑫; existen constantes racionales 𝜷, 𝜸, 𝜹, ⋯ , 𝒅 y 𝒌 reales tales que:
𝟓. Si 𝑨 DP 𝑩 (en un determinado fenómeno natural) y por otro lado,
en forma independiente 𝑩 DP 𝑪, entonces 𝑨 DP 𝑪.
𝒌: constante
PROPIEDAD TRANSITIVA
𝑨 = 𝒌 . 𝑩𝜷 . 𝑪𝜸 . ⋯ . 𝑫𝜹
𝑨 𝐃𝐏 𝑩 𝑩 𝐃𝐏 𝑪 → 𝑨 𝐃𝐏 𝑪
∧
20. APLICACIÓN 5
Resolución
La intensidad de corriente que circula por un alambre conductor es DP a la
diferencia de potencial aplicado a sus extremos e IP a la resistencia del mismo. A
su vez esta resistencia es DP a la longitud e IP al área transversal de alambre
conductor. Si se aplican 20 voltios a dos alambres conductores del mismo
material, uno de los cuales tiene el doble de longitud y la mitad del área que el
otro, sus intensidades estarán en la relación de :
A) 1:2 B) 1:4 C) 1:16 D) 1:8 E) 1:12
𝑰 𝐃𝐏 𝑽
𝑰 𝐈𝐏 𝑹 𝐃𝐏 𝑹
𝑽
𝑰 . 𝑹
= 𝒌𝟏
𝑽
𝑰
𝑽 . 𝑨
𝑰 . 𝑳
= 𝒌
𝑰𝟏
𝑰𝟐
=
𝟏
𝟒
𝟐𝟎 . (𝒂)
𝑰𝟏 . (𝟐𝒃)
=
𝟐𝟎 . (𝟐𝒂)
(𝑰𝟐). (𝒃)
𝑽
𝑰
𝑹
= 𝒌𝟏
𝑹 𝐃𝐏 𝑳
𝑹 𝐈𝐏 𝑨 𝑹 𝐃𝐏
𝑹 . 𝑨
𝑳
= 𝒌𝟐
𝑳
𝑨
𝑹
𝑳
𝑨
= 𝒌𝟐
Por la propiedad transitiva:
𝑽
𝑰
𝐃𝐏
𝑳
𝑨
𝑽
𝑰
÷
𝑳
𝑨
= 𝒌
𝑽
𝑰
.
𝑨
𝑳
= 𝒌
𝑽 𝟐𝟎 𝟐𝟎
𝑨 𝒂 𝟐𝒂
𝑳 𝟐𝒃 𝒃
𝑰 𝑰𝟏 𝑰𝟐
Se tiene:
CLAVE B
21. Sabiendo que 𝒚 es la suma de dos cantidades, una proporcional a 𝒙 y la otra
proporcional a 𝟏/𝒙𝟐
; además: para 𝒙 = 𝟏 ; 𝒚 = 𝟔 y para 𝒙 = 𝟐 ; 𝒚 = 𝟓.
Calcule el valor de 𝒚 , para 𝒙 = 𝟏/𝟐.
A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 20
𝒚 = 𝟐 .
𝟏
𝟐
+ 𝟒 . 𝟒
𝒚 = 𝒌 𝒙 + 𝒕
𝟏
𝒙𝟐 … (1)
De (2) y (3)
𝒕 = 𝟒 ; 𝒌 = 𝟐
Para: 𝒙 = 𝟏/𝟐 ; en (1)
𝒚 = 𝟏𝟕
𝟔 = 𝒌 + 𝒕 … (2)
𝟓 = 𝟐𝒌 + 𝒕
𝟏
𝟒
… (3)
𝒚 = 𝒂 + 𝒃
𝒂 = 𝒌 . 𝒙 𝒃 = 𝒕 .
𝟏
𝒙𝟐
APLICACIÓN 6
Resolución
∧
CLAVE C
22. Principio de comparación de
magnitudes
En un fenómeno en el cual intervienen dos ó más magnitudes y se quiere
establecer una relación proporcional (proporcionalidad) entre ellas, primero se
elige una magnitud llamada patrón, la cual se compara con cada una de las otras
y cada vez que se hace esta operación, las demás magnitudes deben
permanecer constantes.
Ejemplo: Compararemos las magnitudes 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫 y 𝑬; tomando para ello como
patrón o base la magnitud 𝑨:
𝑨 DP 𝑩 (cuando 𝑪, 𝑫, 𝑬 son constantes)
𝑨 DP 𝑪 (cuando 𝑩, 𝑫, 𝑬 son constantes)
𝑨 IP 𝑫 (cuando 𝑩, 𝑪, 𝑬 son constantes)
𝑨 DP 𝑬 (cuando 𝑩, 𝑪, 𝑫 son constantes)
De donde se obtiene que:
𝑨 . 𝑫
𝑩 . 𝑪 . 𝑬
= 𝒌
23. La demanda de un producto es DP al precio de dicho producto, IP al ingreso
mensual que se tenga y DP a la utilidad de ese producto. Cuando el precio de ese
producto es 200, su utilidad es como 5 y el ingreso anual es S/ 120 000, la
demanda es 30 productos. ¿Qué ingreso anual se debe tener para demandar 45
productos más, la utilidad permanece constante y el precio aumenta en 1/20?
A) S/ 69 000 B) S/ 23 400 C) S/ 72 500 D) S/ 50 400 E) S/ 60
500
Precio (𝑷) 200 210
Ingreso(𝑰) 120 000 𝒙
Demanda (𝑫) 30 75
Utilidad (𝑼) 5 5
𝑫 × 𝑰
𝑷 × 𝑼
= 𝒌
𝒙 = 𝟓𝟎 𝟒𝟎𝟎
APLICACIÓN 7
Resolución
𝟑𝟎 × 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎 × 𝟓
=
𝟕𝟓 × 𝒙
𝟐𝟏𝟎 × 𝟓
CLAVE D
24. Es un método empleado para resolver problemas de magnitudes
proporcionales; donde intervienen dos a más magnitudes.
REGLA DE TRES
CLASES DE REGLA DE TRES
Intervienen solo dos
magnitudes
Intervienen más de dos magnitudes
Cuando las magnitudes son DP
Cuando las magnitudes son IP
Regla de tres
Simple
Compuesta
Directa
Inversa
25. En los problemas las cantidades datos y/o incógnitas
pertenecen a dos y solamente dos magnitudes proporcionales
entre sí.
REGLA DE TRES SIMPLE
Regla de tres simple
directa
Regla de tres simple inversa
𝑨 𝑩
𝑎1
𝑎1 . 𝑥 = 𝑎2 . 𝑏1
𝑏1
𝒙
Datos y/o
incógnitas
Magnitudes DP
Se cumple
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝒙
𝒙 =
𝒂𝟐 . 𝒃𝟏
𝒂𝟏
𝑨 𝑩
IP
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝒙
Magnitudes
Datos y/o
incógnitas
Se cumple 𝑎1 . 𝑏1 = 𝑎2 . 𝒙
𝒙 =
𝒂𝟏 . 𝒃𝟏
𝒂𝟐
𝑎2
26. Cuando se comparan más de dos magnitudes proporcionales entre sí.
REGLA DE TRES COMPUESTA
Método de solución
Se emplea el principio de comparación de magnitudes y las
propiedades de las magnitudes.
Ejemplo: Como la mayoría de problemas de regla de tres compuesta se
refieren a obreros que tienen cierto rendimiento cada uno y que en
cierta cantidad de días, de cierto número de horas por día, realizan un
cierto volumen de obra de cierta dificultad.
Obtener una relación entre las magnitudes que intervienen, no
importando cual sea la magnitud que contiene a la variable (incógnita).
27. Se cumple:
En problemas relacionados con obras:
(N° Obreros)
(N° días)
(N° h/d)
(Obra)
(Eficiencia)
(Dificultad)
IP
(𝐎𝐛𝐫𝐞𝐫𝐨𝐬)(𝐝í𝐚𝐬)(𝐡/𝐝)(𝐄𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚)
(𝐨𝐛𝐫𝐚)(𝐃𝐢𝐟𝐢𝐜𝐮𝐥𝐭𝐚𝐝)
= 𝒌
NOTA: Si en los problemas no
nos mencionan valores de
algunas de estas magnitudes se
consideran que son constantes,
por tanto no intervienen.
28. Calcule el ancho (constante) de un río, sabiendo que para medirlo se usan 2
estacas colocadas en una orilla de él y se mide las sombras que hacen en tierra
en el otro lado, con los siguientes resultados, con la estaca de 2 metros de alto
se midieron 3 metros de sombra en tierra y para una estaca de 3,5 metros se
midieron 12 metros de sombra en tierra.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E)
10
Altura Estaca Longitud Sombra
𝟐 (𝑳 + 𝟑)
𝐃𝐏
𝟐
𝑳 + 𝟑
=
𝟑, 𝟓
𝑳 + 𝟏𝟐
𝟑, 𝟓 (𝑳 + 𝟏𝟐)
𝟐 . 𝑳 + 𝟏𝟐 = 𝟑, 𝟓 . (𝑳 + 𝟑)
𝟏, 𝟓 . 𝑳 = 𝟏𝟑, 𝟓 𝑳 = 𝟗
𝑳
𝟐
𝟑, 𝟓
𝟑 𝒎
APLICACIÓN 8
Resolución
CLAVE D
29. APLICACIÓN 9
Se compra una varilla de acero, el cual se piensa seccionar en tamaños iguales,
además por el servicio de corte en 𝒂 partes se pagó 𝒎 soles. Si la varilla se
hubiera cortado en 𝟐𝒂 partes, ¿cuántos soles se pagaría?
A)
𝑚(2𝑎+1)
𝑎+1
B)
𝑚(2𝑎−1)
𝑎−1
C) 2 𝑚 − 1 D)
𝑚(2𝑎−1)
𝑎+1
E)
2𝑚
𝒂 partes
𝟐𝒂 partes
Nº cortes Pago
𝒂 − 𝟏
𝟐𝒂 − 𝟏
𝒎
𝒙
DP
𝒂 − 𝟏
𝒎
=
𝟐𝒂 − 𝟏
𝒙
𝒙 =
𝒎 𝟐𝒂 − 𝟏
𝒂 − 𝟏
Resolución
CLAVE D
30. APLICACIÓN 10
Una avícola posee 𝟔𝟎𝟎 pollos y tiene alimentos para 𝟏𝟓 días. Sin embargo,
decide vender 𝒑 pollos, y para que el alimento dure 𝟏𝟎 días más, disminuye la
ración diaria a los 𝟒/𝟓 de la original, ¿cuántos pollos vendió?
A) 120 B) 125 C) 150 D) 175
E) 200
# pollos # días ración
𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟓 𝟏
Luego:
𝒑 = 𝟏𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟎 . 𝟏𝟓 . 𝟏 = 𝟔𝟎𝟎 − 𝒑 . 𝟐𝟓 .
𝟒
𝟓
(𝟔𝟎𝟎 − 𝒑) 𝟐𝟓 𝟒/𝟓
De donde resulta:
𝐈𝐏
𝐈𝐏
Resolución
CLAVE C
31. 𝟐 . 𝟑 + 𝟏 . 𝟐 . 𝟖 . 𝒉
𝟐
Un albañil y un ayudante pueden hacer una obra en 12 días trabajando 8 horas
diarias. Sabiendo que el trabajo de 3 ayudantes equivale al trabajo de 2
albañiles; el número de horas diarias que deben trabajar 2 albañiles y un
ayudante para hacer el doble de obra en 8 días es:
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E)
30
Primero, se debe establecer la relación de eficiencias (𝒆) del albañil y el ayudante:
𝒆𝐚𝐥𝐛𝐚ñ𝐢𝐥
𝒆𝐚𝐲𝐮𝐝𝐚𝐧𝐭𝐞
=
𝟑
𝟐
𝟑 . 𝒆𝐚𝐲𝐮𝐝𝐚𝐧𝐭𝐞 = 𝟐 . 𝒆𝐚𝐥𝐛𝐚ñ𝐢𝐥
De la expresión:
𝐎𝐛𝐫𝐞𝐫𝐨𝐬 . 𝐄𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 . 𝐃í𝐚𝐬 . 𝐇/𝐝
𝐎𝐛𝐫𝐚
= 𝒌
𝟏 . 𝟑 + 𝟏 . 𝟐 . 𝟏𝟐 . 𝟖
𝟏
= 𝒉 = 𝟏𝟓
4
3
APLICACIÓN 11
Resolución
CLAVE B
32. Método:
donde:
Cuarenta obreros pueden culminar una obra en 𝟔𝟎 días, trabajando 𝟒 h/d. Luego
de 𝟏𝟎 días, ocho de ellos renuncian, por lo que deciden trabajar 𝟓 h/d, sin
embargo, luego de 𝟐𝟎 días se decide terminar la obra 𝟏𝟓 días antes, ¿cuántos
obreros se deben incorporar, si trabajan todos 𝟖 h/d?
No interviene
dificultad y la Obra es
Constante
Luego: 𝟒𝟎 . 𝟔𝟎 . 𝟒 =
𝒏 = 𝟖
𝐎𝐛𝐫𝐚 𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝚺 (𝐎𝐛𝐫𝐚𝐬 𝐏𝐚𝐫𝐜𝐢𝐚𝐥𝐞𝐬)
𝐎𝐛𝐫𝐚 = (𝐎𝐛𝐫𝐞𝐫𝐨𝐬)(𝐄𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚)(𝐝í𝐚𝐬)( Τ
𝐡 𝐝)
𝐎𝐛𝐫𝐚 𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟒𝟎 . 𝟔𝟎 . 𝟒
𝟒𝟎 . 𝟏𝟎 . 𝟒 𝟑𝟐 . 𝟐𝟎 . 𝟓 𝟑𝟐 + 𝒏 . 𝟏𝟓 . 𝟖
𝟒𝟎 . 𝟏𝟎 . 𝟒 + 𝟑𝟐 . 𝟐𝟎 . 𝟓 + 𝟑𝟐 + 𝒏 . 𝟏𝟓 . 𝟖
Observación
APLICACIÓN 12
Resolución
34. Problema 1
Resolució
n:
Para planificar mi viaje en julio del 2022 a Obrajillo, alturas de Canta, obtuve de
SENAMHI la siguiente información:
• en mayo llovió 8 días y la temperatura promedio fue 16º C.
• en junio llovió 6 días y la temperatura promedio fue de 12º C.
Con dicha información y sabiendo que el número de días de lluvia de un mes
cualquiera es DP a los días de lluvia del mes anterior e IP a la temperatura
promedio del mes anterior; estimo que los días que lloverá en el mes de mi viaje
será de
A) 4 B) 6 C) 9 D) 12 E)
15
35. Problema 2
Resolución:
Para dos magnitudes 𝑨 y 𝑩 se cumple: 𝑨 DP 𝑩, si 𝑩 ≤ 𝟗 ; 𝑨 IP 𝑩 si 𝟗 ≤ 𝑩 ≤ 𝟑𝟔
; 𝑨𝟐
IP 𝑩 si 𝟑𝟔 ≤ 𝑩 . Además cuando 𝑨 es 𝟖 entonces 𝑩 es 𝟑 y cuando 𝑨 es
𝒒, 𝑩 es 𝟖𝟏. Si 𝒇 es una función de proporcionalidad tal que: 𝒇(𝟓) + 𝒇(𝒒) = 𝟕𝟐.
Calcule el valor de 𝒇 𝒒 . 𝒇 𝟑/𝟒 . 𝒇(𝟓/𝟏𝟔)
A)320 B) 360 C) 480 D) 520 E) 560
36. Problema 3
Resolución:
Se quiere reemplazar la calandra antigua de la lavandería del Hospital Loayza; el
cual en 𝒉 horas de funcionamiento disipa un calor equivalente a una potencia de
10kw. Para justificar el cambio se pide calcular la cantidad de dinero que se
ahorraría (en soles) diariamente utilizando un nuevo equipo cuya resistencia es
25% más y su voltaje de operación es 25% menos respecto a la anterior,
sabiendo que al día la calandra trabaja durante 𝟒𝒉 horas; además cada kw cuesta
S/ 0,80 y la potencia perdida como calor en el conductor del equipo es IP a su
resistencia y DP al cuadrado de su voltaje de operación.
A) 15,8 B) 16,2 C) 18,4 D) 17,6
E) 18,8
37. Problema 5
Resolución:
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. Si 𝑨𝟐 DP 𝑩𝟐 y por otro lado
𝟑
𝑩 DP
𝟑
𝑪 entonces 𝑨 DP 𝑪.
II. Si 𝑨 IP 𝑩𝟐 y por otro lado 𝑩𝟑 IP 𝑪𝟐 entonces 𝑨𝟑 IP 𝑪𝟒.
III. Si 𝑨𝟑
DP 𝑩 ; por otro lado 𝑩𝟐
IP
𝟏
𝑪
y en forma independiente 𝑪 DP 𝑫𝟔
entonces 𝑨 DP 𝑫.
IV. Si: 𝑨 − 𝑩 DP 𝑪 y por otro lado 𝑫 DP 𝑪 entonces 𝑨 − 𝑩 IP
𝟏
𝑫−𝑪
.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
38. Problema 10
Resolución:
En un laboratorio se ha realizado un experimento con 3 parámetros 𝑴, 𝑵 y 𝑷.
Con los resultados obtenidos se determinó que 𝑴𝟑
DP 𝑵𝟒
cuando 𝑷 se mantiene
constante, 𝑴𝟒
DP 𝑷𝟑
cuando 𝑵 se mantiene constante, y 𝑵 IP 𝑷𝟐𝒏
cuando 𝑴 se
mantiene constante. Además: 𝑷 = 𝒂 , cuando 𝑴 = 𝟑𝟐𝟒 y 𝑵 = 𝟐𝟕; y 𝑴 = 𝟑𝟏𝟐, 𝟓
cuando 𝑵 = 𝟏𝟐𝟓 y 𝑷 = 𝟏. Calcule: 𝒂 x 𝒏.
A) 2,4 B) 3 C) 4,5 D) 6
E) 6,5
39. Problema 12
Resolución:
En la gráfica se muestra la relación de
proporcionalidad entre las magnitudes 𝑨 y 𝑩, en la
cual, el área de la parte sombreada es 𝟏𝟎𝟖 u2.
Calcule 𝒅.
A) 6 B) 9 C) 10 D) 12
E) 14
40. Problema 15
Resolución:
𝒏𝒏 obreros pueden realizar una obra trabajando cada uno 148 días, sin embargo,
se incorporan uno por uno a la obra cada cierto periodo (un número entero de
días) y luego trabajan hasta culminar la obra, utilizando en total 277 días. Calcule
el exceso del tiempo en que trabajaron juntos al periodo del tiempo mencionado.
A) 8 B) 12 C) 13 D) 19 E)
25
41. Problema 18
Resolución:
Una obra puede realizarla 𝐀, 𝐁 y 𝐂 juntos en 𝒏 días, pero, sin 𝐀 el tiempo
empleado sería dos tercios menos de lo que 𝐀 emplearía trabajando sólo, es
decir, con tres días de retraso. Si 𝐁 emplea diez días más que 𝐂 en hacer sólo
dicho trabajo, ¿en cuántos días 𝐂 haría otra obra cuya dificultad es dos veces más
que la anterior?
A) 30 B) 45 C) 48 D) 60 E)
93
42. Problema 20
Resolución:
Una obra es dividida en tres partes que están a la relación de 1; 2 y 3, la primera
parte lo hacen 10 obreros en 12 días trabajando 8 horas diarias; la segunda es
hecha por otro grupo en 16 días trabajando 6 horas diarias y la tercera en 30 días
trabajando 4 horas diarias. Si para hacer toda la obra trabajan todos estos
obreros y 6 más que los ayudan. ¿Cuántas horas por día deberán trabajar si
quieren acabar en 8 días?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 15
E) 18
43. Problema 22
Resolución:
Un hombre, una mujer y 3 niños pueden realizar una obra en 23 días. Si se
hubiera empezado con 2 mujeres más. ¿Cuántos días se habría ahorrado en
terminar la obra, sabiendo que una mujer es 30% menos eficiente que un
hombre, pero 40% más eficiente que un niño?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 14 E)
16
44. Problema 26
Resolución:
Para construir un tanque séptico de forma cilíndrica (tanque que recibe las aguas
residuales), se realiza la excavación a pulso, contratándose para ello a 12
obreros que trabajarán por 12 días a razón de 8 horas diarias. Luego de 6 días,
se suman 10 obreros de doble rendimiento que los primeros debido a que se les
pide que la zanja duplique su diámetro y su profundidad. Si la jornada diaria
aumentó 2 horas, ¿cuántos días duró la obra completa?
A) 24 B) 27 C) 30 D) 33 E)
36
45. Problema 27
Resolución:
Un fuerte militar ucraniano tiene 6 000 hombres y alimentos para ellos durante 70
días. Veinticinco días después se libra una batalla, donde muere el 40% de los
hombres y 20 días después llega un refuerzo de 3 000 hombres, pero sin víveres.
¿Para cuántos días duran los víveres que quedan, si a partir de la llegada de los
refuerzos la ración diaria de alimentos se reduce un tercio?
A) 24 B) 30 C) 36 D) 40 E) 45
46. Problema 30
Resolución:
Para instalar 𝐋 km de tubería de alcantarillado en un terreno semi rocoso, se
planificó contratar 8 operarios calificados los cuales trabajarán 5 semanas de
lunes a sábado a 8 horas diarias. Por cuestiones de ampliación de cobertura se
va a instalar 𝐋 km más, el cual pasará por un terreno cuya dificultad para la obra
es 25% mayor que la primera parte. Se pide hacer toda la línea de alcantarillado
en 6 semanas trabajando de lunes a viernes a 9 horas por día. ¿Cuántos
operarios adicionales de eficiencia 50% menor a los anteriores se tendrá que
contratar para cumplir la exigencia?
A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
