Ecuaciones

1. Profesor: Lcdo. Pedro Beltrán Br. Josue Matos
C.I.: 26.249.154
Barcelona, marzo 2017

2. Los teoremas son conceptos utilizados en matemáticas y consisten en una
proposición que puede ser demostrada como verdadera mediante procesos
lógicos a partir de premisas conocidas como axiomas.
Los procesos lógicos usados en la demostración de los teoremas se realizan
mediante la aplicación de reglas de inferencia, las cuales llevan a convertir una
proposición en teorema o a descartarlo como tal, si se logra demostrar a partir
de los axiomas que la proposición es verdadera o falsa.

3. En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1,
resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto
al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano
resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las
rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o
semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su
forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo,
son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la
influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria
balística).

4. Teorema 1:
La ecuación de una parábola de vértice en el origen Y eje el eje X, es:
Y:4PX
En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es X = - p . S i P > 0, la
parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su
ecuación es:
X:4PY
En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. Si p > 0, la
parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada caso,
la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del
término de primer grado.

5. Teorema2:
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) Y eje X, es de la forma:
Siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la parábola se abre hacia la
izquierda.
Si el vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es de la forma:
(x – h)² = 4p (y – k)
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la parábola se abre hacia abajo
(y – k)2 = 4p (x – h)

6. Aunque la identificación de parábola con la intersección entre un cono recto y un
plano que forme un ángulo con el eje de revolución del cono igual al que presenta su
generatriz, es exacta, es común definirla también como un lugar geométrico:
Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado
foco.
De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una
parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente
procedimiento: Se toma un punto T cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado F
y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del
segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la recta
directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el
proceso para diferentes puntos T se pueden hallar tantos puntos de la parábola como
sea necesario.

7. De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la
recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la
parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la
parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el
vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

8. La elipse es una curva plana, simple y cerrada. La elipse es el lugar geométrico de
todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos
llamados focos es constante. Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría
que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –
con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que
gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse
que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es
también la imagen a fín de una circunferencia.

10. Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y
diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies
de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse.
También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con
la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son
tangentes a la elipse.
Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los
focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias
focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos
simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.
Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico
de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la
circunferencia focal del otro foco.

13. Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida
cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que
el de la generatriz respecto del eje de revolución.
la hipérbola es aquella curva plana y simétrica respecto de dos planos perpendiculares
entre sí, mientras que la distancia en relación a dos puntos o focos resulta constante.
O sea, la hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas que se
podrá obtener al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje que impone simetría;
y con un ángulo más pequeño que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Cabe destacar que se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano, siendo el
valor absoluto de sus distancias a dos puntos fijos, los focos, igual a la distancia entre
los vértices, la cual resulta ser una constante positiva.

14. En todo triangulo inscrito a una hipérbola equilátera el ortocentro
del triangulo esta situado sobre la curva.
Brianchon y Poncelet, Annales de Montpellier, Tomo XI, 1 de Enero de 1821.
Demostración. Sabemos que en todo hexágono ABCDEF inscrito en una
conica los tres puntos de intersección H = AB ∩ DE, I = BC ∩ EF, K =
CD ∩ F A de los lados opuestos están alineados.
Supongamos que un triangulo ABC esta inscrito en una hipérbola equilátera. Se
considera el hexágono ABCDEF inscrito en la hipérbola en el
que E, F son los puntos del infinito de la hipérbola y el punto D lo elegimos
cumpliendo que los lados AB y CD, son perpendiculares. Entonces:
(1) Al ser E, F puntos del infinito, el punto I, intersección de los lados
EF y BC también estará en el infinito; lo que quiere decir que BC y
HK son paralelas.

15. (2) Los lados DE y F A, contiguos a EF, que es la recta del infinito, serán
respectivamente paralelos a las dos asíntotas. Como la hipérbola es
equilátera, dichos lados serán perpendiculares.
(3) De la construcción de D, AB ⊥ CD ⇒ AH ⊥ DK.
(4) De (2), DE ⊥ F A ⇒ AK ⊥ DH.
(5) De (3) y (4), A es la intersección de dos alturas del triangulo DHK,
por lo que AD también será perpendicular a KH y a su paralela BC.
Por tanto D es el punto de intersección de dos alturas del triangulo
ABC, y pertenece a la hipérbola.

16. La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar
geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados
focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.
Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la
curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se
representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva.
Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.
La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O.
Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r
y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.

17. La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a.
Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los
focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los
focos y radio a.
La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los
centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias
focales del otro foco.
Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito.
Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

19. Parábola: https://www.youtube.com/watch?v=N8WhvRJbGC8
Elipse: https://www.youtube.com/watch?v=849ryoz3LaU
Hipérbola: https://www.youtube.com/watch?v=zMDjlUlArqI

20. A) y2 = 4x Formula para obtener P
2p = a
2p= 4
P=4/2
P = 2
Como ya se tiene P se utiliza la formula, para sacar el foco que es: F = (P/2,0) o (0,P/2)
F= (p/2,0)
F= (2/2,0)
F= (1,0)
El foco se encuentra en el punto (1,0) de la gráfica, por tanto la gráfica da una parábola hacia el lado X
con vértice en el origen, es decir con vértice en “y” en el P(0,0)
Para hallar la directriz se utiliza la formula
Y= -p/2
Y= -2/2
Y= -1

21. .
- 3 - 2 - 1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
.
Gráfica
V= (0,0)
F= (1,0)
Directriz y= -1

22. B) (x + 3)2 = - 2(y-2)
2p= a
2p= -2
p= -2
2
p= -1
F= (-3, p/a)
F= (-3, -1/2)
F= (-3, -0.5)
Y el vértice es igual a V (-3, 2)
Para encontrar la directriz es
Y=-p/2
Y=1/2
Y=0.5

23. .
- 3 - 2 - 1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
.
.
Gráfica
F (-3, -0.5) V (-3,2) Directriz Y=0.5

24. Vértice (2,3) y Foco (1,2)
La ecuación de una parábola es en vértice (h, k) y en foco (h, k + a) es (x – h)2
es –(x – h)2 = 4 a (y-k)
El vértice es (2,3) h = 2 y k = 3
Para encontrar a se usa el punto (1,2) sobre la parábola por lo tanto se debe
cumplir
(1 – 2)2 = 4 a (2, 3) es igual a
1= - 4 a
4 a + 1 = 0
a = -1
4
Por tanto la ecuación de la parábola es:
(x – 2)2 = 4( -1) (y – 3)
4
(x – 2) (x – 2) = - 1y + 3
X2 – 2X -2x + 1y – 3 = 0
X2 – 4 + 1y + 1 = 0
2 . (x2 – 4 + 1y + 1= 0
2X2 -8 + 2 y2= 0

25. .
- 3 - 2 - 1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
..

26. Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el
conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un
punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea
poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas
que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin
formar ángulos.
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser
abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una
variable real es una curva plana.

32. Aquí vamos a explorar la representación de nuestras "x's" y "y's" en
términos de una tercera variable o parámetro (a menudo 't'). No solo
podremos describir cosas nuevas, sino que además puede ser muy útil para
describir cosas como el movimiento de partículas en física.

33. Se dice que una curva C, representada por c(t) en un intervalo I, es suave, si
x’(t) , y’(t) , z’(t) son continuas en I y no se anulan simultáneamente, excepto
posiblemente en los puntos terminales de I. Se dice que la curva C es suave a
trozos si es suave en cada subintervalo de alguna partición de I.
Curvas Planas: https://www.youtube.com/watch?v=VfAaL4FWML8
Ecuaciones Paramétricas:
https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo