Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)
1. UN BREVE RESUMEN DE
ÁLGEBRA LINEAL
Juan A. Álvarez A.
UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO - FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y
TECNOLOGÍAS - PROGRAMA DE FÍSICA - CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL
1
2. 2
UN BREVE RESUMEN DE
ÁLGEBRA LINEAL
Perspectiva de un estudiante
Perspectiva de un estudiante
Juan Alejandro Álvarez Agudelo
UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO - FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y
TECNOLOGÍAS - PROGRAMA DE FÍSICA - CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL
3. 3
INDICE DE TÍTULOS Y SUBTÍTULOS
CAPÍTULO 2: SISTEMAS LINEALES PÁGINA
INTRODUCCIÓN 1
FORMAS DE LOS SISTEMAS LINEALES 2
OPERACIONES ELEMENTALES EN LOS SISTEMAS DE ECUACIONES 3
ELIMINACIÓN GAUSSIANA 4
VARIABLE LIBRE 5
CAPÍTULO 3: ESPACIOS LINEALES PÁGINA
INTRODUCCIÓN 1
AXIOMAS 2
PROPIEDADES 3
SUBESPACIOS 4
SUBESPACIOS TRIVIALES Y SUBESPACIOS PROPIOS 5
ESPACIOS GENERADOS POR VECTORES
CAPÍTULO 4: DEPENDENCIA LINEAL PÁGINA
INTRODUCCIÓN 1
ECUACIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL 2
DEPENDENCIA LINEAL DE DOS VECTORES 3
DEPENDENCIA LINEAL DE MAS DE DOS VECTORES 4
DEPENDENCIA LINEAL POR EL DETERMINANTE (OTRO MÉTODO) 5
DIMENSIÓN Y BASE 6
CONDICIÓN DE BASE 7
RANGO DE UNA MATRIZ 8
RANGO FILA 9
RANGO COLUMNA 10
ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO Y SU DIMENSIÓN 11
ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA NO-HOMOGÉNEO 12
SOLUCIÓN BÁSICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES 13
CAPÍTULO 5: TRANSFORMACIONES LINEALES PÁGINA
INTRODUCCIÓN 1
CRITERIOS DE LINEALIDAD POR INSPECCIÓN 2
TRANSFORMACIONES LINEALES INDUCIDAS POR MATRICES 3
GENERALIZANDO 4
MATRICES INDUCIDAS POR TRANSFORMACIONES LINEALES 5
VECTOR IMAGEN 6
TRANSFORMACIONES LINEALES ESPECIALES (ROTACIONES) 7
PROYECCIONES DE UN ESPACIO R2 SOBRE UN VECTOR 8
NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN 9
RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN 10
AXIOMAS 11
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA LINEAL (TFAL) 12
4. 4
CAPÍTULO 6: VECTORES Y VALORES PROPIOS PÁGINA
INTRODUCCIÓN 1
IDEA GENERAL 2
RESTRICCIONES 3
CONCEPTOS BÁSICOS 4
ECUACIONES DE VECTORES Y VALORES PROPIOS 5
POLINOMIO CARACTERÍSTICO 6
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 7
PROPIEDADES DE TEOREMAS DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS 8
CAPÍTULO 7: SEMEJANZA Y DIAGONALIZACIÓN PÁGINA
INTRODUCCIÓN 1
DIAGONALIZACIÓN 2
ALGORITMO DE DIAGONALIZACIÓN 3
CAPÍTULO 1: VECTORES Y MATRICES
INTRODUCCIÓN
En
-
CAPÍTULO 2: SISTEMAS LINEALES
INTRODUCCIÓN
En este capítulo desarrollaremos un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales de varias variables. El
metodo, llamado eliminacion Gaussiana, consiste en simplicar repetidamente el sistema hasta que la solución sea
evidente. El metodo de eliminacion Gaussiana tambien se puede usar para determinar si un sistema dado tiene o
no solucion o si tiene innitas soluciones. Finalmente, la eliminacion Gaussiana tambien se usará para hallar la
inversa de una matriz y el rango.
• La solución de un sistema lineal es un vector.
• Un sistema lineal puede tener innitas soluciones, es decir innitos vectores que son soluciones del sistema,
éste conjunto de vectores se denomina espacio vectorial o lineal.
• Cuando un sistema lineal tiene innitas soluciones, una de sus ecuaciones es degenerada.
• Una ecuación lineal es degenerada si todos sus coecientes son ceros y esta agualada a cero.
• Una ecuación lineal es inconsistente si todos sus coecientes son ceros y no esta agualada a cero.
• Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales.
• Un sistema lineal puede no tener solución inconsistente.
• Un sistema lineal insoluble (inconsistente) posee una ecuacion lineal degenerada no igual a cero osea una
ecuación inconsistente.
• La primer variable es la variable que esta a la izquierda y es diferente de cero.
• Un sistema lineal es homogéneo, si todas sus ecuaciones lineales son iguales a cero.
• El vector cero siempre es una solución de un sistema lineal homogéneo y es llamada solución trivial.
5. 5
• El Método de Gauss-Jordan es lo mismo que decir Eliminación Gaussiana.
Formas de los sistemas lineales
1) Sistema de ecuaciones lineales 3x3, el cual puede tener como solución un vector o un conjunto de vectores.
3x + y + 4z = 60
x + 3y − z = 15
2x +
3
2
y − z = 11
2) Sistema lineal homogéneo el cual tiene mínimo una solución, la trivial.
3x + y + 4z = 0
x + 3y − z = 0
2x +
5
2
y − 4z = 0
3) Ecuación degenerada.
0x + 0y + 0z = 0
4) Ecuación inconsistente (no representa la realidad) .
0x + 0y + 0z = 15
5) Sistema lineal inconsistente y/o insoluble.
9x + y + 4z = 60
x + 3y − z = 3
0x + 0y − 0z = 15
6) Sistema lineal en forma vectorial.
x
3
2
1
+ y
1
3
2
+ x
4
−1
−1
=
60
15
11
7) Sistema lineal en forma matricial.
3 1 4
2 3 −1
1 3
2 −1
x
y
z
8) Sistema lineal en forma de matriz aumentada.
3 1 4
2 3 −1
1 3
2 −1
60
15
11
9) Sistema de ecuaciones en forma triangular.
6. 6
3x + y + 4z − 3w = 60
3y − 2z + 5w = 15
3z + 2w = 11
9w = 3
10) Sistema de ecuaciones en forma diagonal.
3x = 60
3y = 15
11z = 11
3w = 3
Operaciones elementales en los sistemas de ecuaciones
1) Intercambio de dos las: Fi ↔ Fj.
Ejemplo, F1 ↔ F2
3x +y +4z = 60
x +3y −z = 15
2x +3
2 y −z = 11
F1 ↔ F2 =⇒
x +3y −z = 15
3x +y +4z = 60
2x +3
2 y −z = 11
2) Múltiplo escalar diferente de cero: αFi.
Ejemplo,
1
3 F1
3x +y +4z = 60
x +3y −z = 15
2x +3
2 y −z = 11
1
3
F1 =⇒
x +1
3 y +4
3 z = 20
x +3y −z = 15
2x +3
2 y −z = 11
3) Suma o resta de un múltiplo escalar de otra la: Fi ± αFj.
Ejemplo, F3 − 2F1
x +y +4z = 60
9x +3y −z = 15
2x +3
2 y −z = 11
F3 − 2F1 =⇒
x +y +4z = 60
9x +3y −z = 15
0 −1
2 y −9z = −109
ELIMINACIÓN GAUSSIANA
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan,
es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar
matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones
mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la
anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coecientes en una matriz triangular superior luego continúa
el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
7. 7
Aunque el método de Eliminación Gaussiana, es bastante sencillo, puede no ser así la explicación, claro esta que,
una vez que lo comprendamos resultará hasta curioso cómo algo tan sencillo proporciona resultados tan complejos.
Ahora, el algoritmo dado a continuación requiere que tengamos bien claro el capítulo hasta aquí, puesto que no
será tan detallado, ya que el detalle y los conceptos ya se han dado, échale ganas y vamos a aplicarlos:
1) Tranformar el sistema de acuaciones lineales en forma de matriz aumentada.
2) El primer elemento de la primer columna debe ser diferente de cero.
3) Convertir en uno (1) el primer elemento de la primera columna.
4) Los elementos restantes de la primer columna convertirlos en cero (0) modicando respectivamente las las.
5) Convertir en uno (1) el segundo elemento de la segunda columna.
6) Los elementos restantes de la segunda columna convertirlos en cero (0) modicando respectivamente las las.
7) Convertir en uno (1) el n-ésimo elemento de la n-ésima columna.
8) Los elementos restantes de la n-ésima columna convertirlos en cero (0).
Los últimos dos items del algoritmo se repiten hasta que no hallan columnas para pivotear.
Pivotear es convertir el elemento principal de una columna en uno (1), denominado éste como pivote de la
columna, el cual permite convertor el resto de elementos de la columna en ceros (0s).
Es decir, si la matriz aumentada tiene 4 columnas (sin contar la última columna de la derecha que no son
coecientes) el pivote se realiza cuatro veces si es posible.
Recordemos...
Nuestro objetivo al pivotear:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a ∈ R
b ∈ R
c ∈ R
una bella solución al sistema.
Si nos resulta:
1 0 0
0 1 0
0 0 0
a ∈ R
b ∈ R
c = 0
boring! el sistema es inconsistente y no tiene solución, no representa la realidad!!!
Si nos resulta:
1 0 0
0 1 0
0 0 0
a ∈ R
b ∈ R
0
wow! el sistema tiene innitas soluciones, ya que una de sus variables es libre y le podemos asignar cualquier
valor, alguna o ambas de las variables restantes dependen de ésta variable libre, ¾entonces?. El gran conjunto de
vectores solución para un sistema como éste, es denominado un espacio lineal, y, eso es tema del próximo capítulo,
mejor, veamos algunos ejemplos.
Ejemplo:
8. 8
3x + 2y + z = 1
2x + 2y + 4z = −2
−x +
1
2
y − z = 0
3 2 1
2 2 4
−1 1
2 −1
1
−2
0
F1 ↔ −F3 =⇒
1 −1
2 1
2 2 4
3 2 1
0
−2
1
F2 − 2F1
F3 − 3F1
=⇒
1 −1
2 1
0 3 2
0 7
2 −2
0
−2
1
1
3
F2 =⇒
1 −1
2 1
0 1 2
3
0 7
2 −2
0
−2
3
1
F1 + 1
2 F2
F3 − 7
2 F2
=⇒
1 0 4
3
0 1 2
3
0 0 −13
3
−1
3
−2
3
10
3
−
3
13
F3 =⇒
1 0 4
3
0 1 2
3
0 0 1
−1
3
−2
3
−10
13
F1 − 4
3 F3
F2 − 2
3 F3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
9
13
− 2
13
−10
13
Así, el sistema tiene una única solución dado por el vector s = 9
13 , − 2
13 , 10
13 . Otra representación de la respuesta
es
x = 9
13
y = − 2
13
z = −10
13
Otro ejemplo:
−x + 0y + 3z = 16
2x + 7y + 3z = −6
−x + 7y + 12z = 41
−1 0 3
2 7 3
−1 7 12
16
−6
41
− F1 =⇒
1 0 −3
2 7 3
−1 7 12
−16
−6
41
F2 − 2F1
F3 + F1
=⇒
1 0 −3
0 7 9
0 7 9
−16
26
25
1
7
F2 =⇒
1 0 −3
0 1 9
7
0 7 9
−16
26
7
25
F3 − 7F2 =⇒
1 0 −3
0 1 9
7
0 0 0
−16
26
7
−1
Así, el sistema no tiene solución, es decir es un sistema inconsistente que no representa la realidad, por tanto es
insoluble.
Otro ejemplo:
9. 9
x − y + 2z = 2
2x + 2y + 4z = 8
−x + 5y − 2z = 2
1 −1 2
2 2 4
−1 5 −2
2
8
2
F2 − 2F1
F3 + F1
=⇒
1 −1 2
0 4 0
0 4 0
2
4
4
1
4
F2 =⇒
1 −1 2
0 1 0
0 4 0
2
1
4
F1 + F2
F3 − 4F2
=⇒
1 0 2
0 1 0
0 0 0
3
1
0
Así, el sistema no tiene una única solución, si no, innitas soluciones dadas por el vector s = (3 − 2z, 1, z). Otra
representación de la respuesta es
x = 3 − 2z
y = 1
z = z
, a este tipo de soluciones se le llama solución general, una solución
particual para este sistema consiste en asignarle a z un valor, del cual a su vez depende x. En este caso x es una
variable dependiente, y es un valor determinado o jo, y z es una variable independiente o libre.
Variable libre
Una variable libre o independiente, en un sistema de ecuaciones lineales, es una variable que no proporciona la
información necesaria para resolver el sistema, sin embargo, algunas de las variables restantes en el sistema dependen
de ésta variable libre, representado entonces, innitas soluciones al asignarle cualquier valor a dicha variable.
Una variable LIBRE, NO es la primer variable (a la izquierda diferente de cero) en ninguna de las ecuaciones de
un S.L.
Ejemplo:
3v + 2w − 5x + 4y + z = 2
2x − 3y + 4z = 7
9y − 5z = 0
En este S.E.L como esta organizado, las variables libres son: w y z.
2x + y + z = 3
4y − 3z = 1
5z = 4
En este S.E.L como todas las variables son en alguna ecuación la primer variable, no hay variables libres.
x + 2y = 3
2x + 10y = 25
En este S.E.L no aplica el concepto de variable libre, ya que no es escalonado.
10. 10
TEOREMA#2.1
Dado un S.E.L escalonado con m ecuaciones y n variables. Entonces:
i) Si m = n el sistema esta en forma triangular y tiene solución única.
ii) Si n m el sistema no esta en forma triangular y tiene n − m variables libres e innitas soluciones.
Ejemplo:
Ahora con todos nuestros conocimientos vamos a desarrollar un ejemplpo bien dinámico, de caracter no muy
físico ni cientico, pero pedagogicamente bien interesante.
Una compañia que produce ensaladas denominadas, en salada roja, ensalada verde y ensalada dulce, requiere
bajo ciertas condiciones conocer cuantas ensaladas debe producir para obtener los benecios deseados.
Las condiciones de ensalada y fuerza laboral, junto con los benecios deseados por cada tipo de ensalada, están
resumidas en la siguiente tabla.
La compañia dispone de 490 kilogramos de ensalada, dispone ademas de 40 horas laborales; nalmente la com-
pañia quiere obtener un benecio de $1130 unidades monetarias.
¾Cuantos kilogramos de cada ensalada deben producrise para conseguir el benecio deseado, con las condiciones
dadas?
Vamos a tomar como variable a cada una de las cantidades de cada tipo de ensalada.
x = Kg de ensalada Roja
y = Kg de ensalada V erde
z = Kg de ensalada Dulce
Usando el peso de cada ensalada, y el hecho de que se tienen 490kg de ensalada en total, obtenemos la siguiente
ecuación, que nos describe cuantas ensaladas rojas (x), verdes (y) y dulces (z) son necesarias para que constituyan
un peso de 490kg.
3x + 2y + 4z = 490
11. 11
Usando el tiempo en que se demora realizar cada ensalada, y el hecho de que se tienen disponibles 40hrs de
tiempo laboral, obtenemos la siguiente ecuación, que nos describe cuantas ensaladas rojas (x), verdes (y) y dulces
(z) se pueden hacer en el tiempo requerido.
1
4
x +
1
5
y +
1
4
z = 40
Usando el valor monetario de cada ensalada, y el hecho de que requiere vender $1130, obtenemos la siguiente
ecuación, que nos describe cuantas ensaladas rojas (x), verdes (y) y dulces (z) hay que vender para obtener el monto
deseado.
6x + 6y + 8z = 1130
En cada caso por separado se pueden hallar valores diferentes de x, y, z que satisfagan el requerimiento, pero el
propósito es hallar valores de x, y, z que satisfagan simultaneamente todos los requerimientos.Veamoslo así: A la
compañia no le podemos decir que para hacer un total de ensaladas que pesen 490kg hay que producir 20 rojas, 15
verdes y 18 dulces, que para ocupar adecuadamente las horas laborales disponibles hay que producir 23 rojas, 19
verdes y 19 dulces y que para obtener el benecio deseado hayq ue producir 25 rojas, 15 verdes y 14 dulces. La
compañia nos va a decir que a la nal cual de las tres cantidades de ensaladas son las que hay que producir, ½que
confusión!.
Necesitamos tres cantidades en kilogramos exactas de cada tipo de ensaladas que satisfagan simultaneamente los
tres requerimientos.
3x + 2y + 4z = 490
1
4
x +
1
5
y +
1
4
z = 40
6x + 6y + 8z = 1130
La solución a nuestro dilema consiste en solucionar nuestro sistema de ecuaciones lineales resultante del analisis
hecho, ½Cuidado! si no hemos entendido de donde han salido nuestras tres ecuaciones las cuales conforman el sistema
de ecuaciones, retoma el ejercicio hasta entenderlo, porque ya sabemos que solucionar este sistema es sencillisimo,
y no es seguro que lo solucionemos, pero si que obtendremos respuesta, puede tener tener una solución (lo ideal),
tener innitas o no tener soluciones.
1
4
1
5
1
4
3 2 4
6 6 8
40
490
1130
4F1 =⇒
1 4
5 1
3 2 4
6 6 8
160
490
1130
F2 − 3F1
F3 − 6F1
=⇒
1 4
5 1
0 −2
5 1
0 6
5 2
160
10
170
−
5
2
F2 =⇒
1 4
5 1
0 1 −5
2
0 6
5 2
160
−25
170
F1 − 4
5 F2
F3 − 6
5 F2
=⇒
1 0 3
0 1 −5
2
0 0 5
180
−25
200
1
5
F3 =⇒
1 0 3
0 1 −5
2
0 0 1
180
−25
40
F1 − 3F3
F2 + 5
2 F3
=⇒
1 0 0
0 1 0
0 0 1
60
75
40
12. 12
Estimada compañia productora de ensaladas, las ensaladas que debe producir para obtener lo que desea son: 60
ensaladas rojas, 75 ensaladas verdes y 40 ensaladas dulces.
CAPÍTULO 3: ESPACIOS LINEALES
INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior vimos que al resolver un sistema lineal de ecuaciones hay tres posibilidades: El sistema
es inconsistente (no soluble), tiene una solución única, o tiene innitas soluciones. Éste último caso es el de mayor
importancia, por dos razones. La primera es que al tener soluciones, es consistente y representa adecuadamente la
realidad. De otro lado, por tener innitas soluciones, es posible escoger una de interes
particular. Ahora bien, si un S.L tiene innitas soluciones, no es cierto que cualquier vector es una solución del
sistema. La pregunta que surge ahora es: ¾Si un sistema tiene intas soluciones, de qué manera se puede
describir todos los vectores que son sus soluciones? El intento por responder a este interrogante nos lleva a la
nocion de espacio lineal o espacio vectorial.
Un espacio vectorial está conformado por cuatro elementos:
Se dice que un conjunto no vacio V , tiene una estructura de espacio lineal, si posee una operación de adición
y una multiplicación por escalares de un campo o cuerpo numérico que satisface los siguientes axiomas:
AXIOMAS
1) Ley de Composición Interna: ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V
2) Asociatividad vectorial: ∀u, v, w ∈ V =⇒ (u + v) + w = u + (v + w)
3) Asociatividad escalar: ∀α, β ∈ F ∧ ∀u ∈ V =⇒ (αβ)u = α(βu)
4) Distributiva vectorial: ∀α ∈ F ∧ ∀u, v ∈ V =⇒ α(u + v) = αu + αv
5) Distributiva escalar: ∀α, β ∈ F ∧ ∀u ∈ V =⇒ (α + β)u = αu + βu
6) Conmutatividad vectorial: ∀u, v ∈ V =⇒ u + v = v + u
7) Vector neutro: ∃ un vector O ∈ V : u + O = u, ∀u ∈ V
8) Inverso aditivo: ∀u ∈ V ; ∃ − u ∈ V : u + (−u) = O
9) Combinativa o multiplo escalar: ∀α ∈ F ∧ ∀u ∈ V =⇒ αu ∈ V
10) Unicidad de F: ∀u ∈ V ∧ 1 ∈ F =⇒ 1u = u
PROPIEDADES
13. 13
1) Anulativa:
Si V es un espacio lineal, entonces, para cualquier escalar α y cualquier vector u, se tiene:
αu = O ⇐⇒ α = 0 ∨ u = O
Prueba:
0u = (α − α)u
= (αu − αu)
= O
αO = α(u − u)
= (αu − αu)
= O
2) Unicidad:
En un espacio vectorial V , tanto el vector cero (O), como el inverso (−u) de un vector u, son únicos.
Prueba:
u + Oo = u
u + O = u
Oo = Oo + O
Oo = O
Sea uo ∈ V : u + uo = O =⇒ veamos que u = uo
Por modulativa
uo = uo + O
Por invertiva
uo = uo + (u − u)
Por asociativa
uo = (uo + u) − u
Por hip´otesis
uo = O − u
Por modulativa
uo = −u
3) Notación del inverso:
Si V es un espacio vectorial, para cualquier escalar α y cualquier vector u, se tiene:
14. 14
(−α)u = α(−u) = −(αu)
Como por asociativa escalar (−α)u = −(αu) entonces por transitividad basta con probar que
(−α)u = α(−u) o α(−u) = −(αu).
Veamos
(−α)u = α(−u)
(−α)u + αu = α(−u) + αu
(α − α)u = (u − u)α
0u = Oα
O = O
Los sistemas homogeneos no son inconsistentes, ya que tienen al menos una solución, (la solución trivial o el
vector cero), por otro lado, si un sistema homogéneo tiene mas de una solución, implica que tiene innitas
soluciones; dichas soluciones forma un conjunto llamado espacio lineal. Ésto lo que expresa el siguiente
teorema.
TEOREMA#3.1
Si u y v son soluciones del sistema homogéneo AQ = O, entonces, cualquier combinación lineal de u y v
es tambien una solución.
Prueba: AQ = A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α(Au) + β(Av) = αO + βO = O; así, A(αu + βv) = O.
SUBESPACIOS
Consideremos lo siguiente, todo espacio lineal es un conjunto, pero no todo conjunto es un espacio lineal.
Se dice que un subconjunto U de un espacio lineal V , es un subespacio de V , si U como tal, es un espacio
lineal, con las operaciones de adición y multiplicación escalar denidas en V y todas aquellas propiedades y
axiomas que conlleva un espacio lineal.
El siguiente teorema dice que hay que hacer para determinar si un subconjunto es un subespacio.
TEOREMA#3.2
Un subconjunto no vacio U de un espacio lineal V sobre un campo de escalares F es un subespacio de V , sí
y sólo si:
i) ∀u, v ∈ U, u + v también ∈ U.
ii) ∀u ∈ U, ∀α ∈ F, αu también ∈ U.
15. 15
Las condiciones i) y ii) del teorema anterior se pueden reunir en una sola, y reexpresar así:
∀u, v ∈ U; ∀α, β ∈ F; tambi´en αu + βv ∈ U
Subespacios triviales y subespacios propios
Para cualquier espacio lineal V , el conjunto {O} que consta sólo del vector cero de V es un subespacio trivial
de V (subespacio cero).
Otro subespacio trivial es el mismo subespacio V .
Estos dos conjuntos son los únicos subespacios triviales.
Cualquier otro subespacio de un espacio lineal V se llama subespacio propio de V .
Ejemplo:
Muestre que el conjunto U = (x, y) ∈ R2
: 2x − 6y = 0 , es un subespacio de R2
. Para ver esto:
i) Tomemos u1, u2 ∈ U arbitrarios, y veamos que u1 + u2 ∈ U.
u1 = (x1, y1) :
u2 = (x2, y2) : 2x2 − 6y2 = 0
Ahora,
u1 + u2 = (x1, y1) + (x2, y2)
= (x1 + x2, y1 + y2)
Luego,
2(x1 + x2) − 6(y1 + y2) = 0
(2x1 + 2x2) − (6y1 + 6y2) = 0
2x1 − 6y1 + 2x2 − 6y2 = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Así, u1 + u2 ∈ U.
ii) Ahora para todo α ∈ R veamos que αu1 ∈ U.
αu1 = (αx1, αy1) : 2(αx1) − 6(αy1) = 0
Luego,
α(2x1 − 6y1) = 0
α0 = 0
0 = 0
Así, αu1 ∈ U.
Concluimos que por el teorema#3.2, U es un subespacio de R2
.
16. 16
El subespacio U consiste de todas las soluciones de la ecuación 2x − 6y = 0, geométricamente U es la recta
de R2
que pasa por el origen.
Otro ejemplo:
Veamos que el primer cuadrante del plano coordenado nó es un subespacio. Esto es,
U = (x, y) ∈ R2
: x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 no es un subespacio de R2
; pero si es un subconjunto del plano
coordenado.
¾Pero, por qué U no es un subespacio?
Si nos jamos bien, éste subconjunto cumple con 9 de los 10 axiomas de los espacios lineales. ¾Cuál es?
Dado que cualquier vector no cero de U no posee su correspondiente par ordenado en el mismo cuadrante,
entonces U no es un subespacio de R2
. (−u /∈ U)
Ejemplo:
Mostrar que el subconjunto de vectores pertenecientes a R3
, V = (x, 0, z) ∈ R3
, es un subespacio de R3
.
Sea u = (x1, 0, z1) ∈ V y
Sea v = (x2, 0, z2) ∈ V .
Entonces,
i)
u + v = (x1, 0, z1) + (x2, 0, z2)
u + v = (x1 + x2, 0, z1 + z2)
Luego, u + v tambien ∈ V .
ii) ∀α ∈ R
αu = α(x1, 0, z1)
αu = (αx1, 0, αz1)
17. 17
Luego, αu tambien ∈ V .
Así, por el teorema#3.2, U es un subespacio de R3
.
Ejemplo:
Mostrar que los vectores en R3
, ortogonales a un vector jo perteneciente a R3
es un subespacio de R3
. Es decir,
mostrar que V = (x, y, z) ∈ R3
: (x, y, z)(1, 2, 3) = 0 es un subespacio de R3
. (el vector jo puede ser arbitrario
en éste ejemplo (1, 2, 3)).
Sea u, v ∈ V , entonces,
u = (x1, y1, z1) con (x1, y1, z1)(1, 2, 3) = 0
v = (x2, y2, z2) con (x2, y2, z2)(1, 2, 3) = 0
Veamos que u + v ∈ V :
u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
con
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = (x1 + x2 + 2y + 2y2 + 3z1 + 3z2)
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = (x1 + 2y1 + 3z1) + ((x2 + 2y2 + 3z2))
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = 0 + 0
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = 0
Ahora, veamos que ∀α ∈ R:
αu = α(x1, y1, z1)
αu = (αx1, αy1, αz1)
con
(αx1, αy1, αz1)(1, 2, 3) = (αx1 + 2αy1 + 3αz1)
= α(x1, 2y1, 3z1)
= α0
= 0
Así, V es un subespacio de R3
.
Ejemplo:
Muestre que toda recta que pasa por el origen es un subespacio de R2
. Esto es que, L = (x, y) ∈ R2
: ax + by = 0
es un subespacio de R2
.
Sea u, v ∈ L, entonces,
u = (x1, y1) con ax1 + by1 = 0
v = (x2, y2) con ax2 + by2 = 0
18. 18
Veamos que u + v ∈ L:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
con
a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = ax1 + ax2 + by1 + by2
a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = (ax1 + by1) + (ax2 + by2)
a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = 0 + 0
a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = 0
Ahora, veamos que ∀α ∈ R:
αu = (αx1, αy1)
con
a(αx1) + b(αy1) = α(ax1 + by1)
= α(x1, 2y1, 3z1)
= α0
= 0
Así, por el teorema#3.2 L es un subespacio de R2
.
Ejemplo:
Muestre que si una recta no pasa por el origen NO es un subespacio de R2
.
Esto es:
V = {(x, y) ∈ R : ax + by = 0}
No es un subespacio de R2
, ya que ¡∃ un vector cero O : u + O = u , ∀u ∈ V .
En otras palabras, para la ecuación ax+by = 0 no tiene como solución trivial el vector vector cero, (x, y) = (0, 0).
Espacios generados por vectores
Sean u1, ..., .uk vectores arbitrarios pero jos en un espacio lineal V .
Sea U = {(α1u1 + ... + αkuk) : u ∈ V, α ∈ F} un conjunto conformado por la combinación lineal de los vectores
u1, ..., .uk.
Entonces,
i) U se puede denir como un espacio generado por los vectores u1, ..., .uk ∈ V .
ii) U es un subespacio de V .
Ejemplo:
Sea A =
3 1 5
2 4 6
, y sea Q un vector... Demuestre que V = AQ : Q ∈ R3
es un subespacio de R2
.
Ademas muestre que éste subespacio coincide con el Ec(A).
19. 19
i) Veamos que AQ : Q ∈ R3
es u subespacio de R2
.
Sea u, v ∈ V , entonces existen vectores x1, x2 ∈ R tal que u = Ax1 y v = Ax2.
1)
u + v = Ax1 + Ax2 = A(x1 + x2)
Luego u + v ∈ V .
2)
∀α ∈ R, αu = αAx1 = A(αx1)
Luego αu ∈ V .
Así, V es un subespacio de R2
.
ii) Veamos que V coincide con el Ec(A), para ello tomamos un vector Q = (a, b, c)t
arbitrario de R3
, entonces:
AQ =
3 1 5
2 4 6 2X3
a
b
c
3X1
=
3a + b + 5c
2a + 4b + 6c 2X1
=
3
2
a +
1
4
b +
5
6
c = aA1
+ bA2
+ cA3
Dado a que el espacio columna de A es la combinación lineal de los vectores columna:
Se concluye que V = aA1
+ bA2
+ cA3
: a, b, c ∈ R = Ec(A).
Otro ejemplo:
Sea B =
4 3
1 6
2 5
1 7
, y sea Q un vector... Demuestre que V = QB : Q ∈ R4
es un subespacio de R2
.
Ademas muestre que éste subespacio coincide con el Ef (B).
i) Veamos que QB : Q ∈ R4
es u subespacio de R2
.
Sea u, v ∈ V , entonces existen vectores x1, x2 ∈ R tal que u = x1B y v = x2B.
1)
u + v = x1B + x2B = (x1 + x2)B
Luego u + v ∈ V .
2)
∀α ∈ R, αu = (αx1)B
Luego αu ∈ V .
Así, V es un subespacio de R2
.
ii) Veamos que V coincide con el Ef (B), para ello tomamos un vector Q = (a, b, c, d) arbitrario de R4
, entonces:
20. 20
QB = (a, b, c, d)1X4
4 3
1 6
2 5
1 7
4X2
= 4a + b + 2c + d 3a + 6b + 5c + 7d 1X2
= 4 3 a+ 1 6 b+ 2 5 c+ 1 7
Dado a que el espacio la de B es la combinación lineal de los vectores la:
Se concluye que V = {aA1 + bA2 + cA3 + dA4 : a, b, c, d ∈ R} = Ef (B).
Otro ejemplo:
Suponga que U y V son subespacios de Rn
y tome S = U ∩ V . Demuestre que S es un subespacio de R2
.
Sean u, v ∈ S =⇒ u, v ∈ U ∩ V , (hipótesis)
i) Veamos que u + v tambien ∈ S
Por hipótesis u, v ∈ U ∩ V
Por L.C.I u + v ∈ U, V
Entonces u + v ∈ U ∩ V
Así, u + v ∈ S.
ii) Veamos que αu tambien ∈ S
Por hipótesis u ∈ U ∩ V
Por múltiplo escalar αu ∈ U, V
Entonces αu ∈ U ∩ V
Así, αu ∈ S.
Por lo tanto se concluye que S es u subespacio de Rn
.
Otro ejemplo:
A =
1 −1 2 0
2 0 1 3
3 2 4 1
,
Si X es un vector en R3
, ortogonal a cada columna de A. Entonces X es ortogonal a cualquier vector en Ec(A).
Espacio columna: Ec(A) = α1A1
+ α2A2
+ α3A3
+ α4A4
.
Hipótesis:
XA1
= 0
XA2
= 0
XA3
= 0
XA4
= 0
Entonces,
21. 21
X α1A1
+ α2A2
+ α3A3
+ α4A4
= Xα1A1
+ Xα2A2
+ Xα3A3
+ Xα4A4
= α1(XA1
) + α2(XA2
) + α3(XA3
) + α4(XA4
)
= α1(0) + α2(0) + α3(0) + α4(0)
= 0
Así, X es ortogonal a cualquier vector en el Ec(A).
CAPÍTULO 4: DEPENDENCIA LINEAL
INTRODUCCIÓN
• Como ya debemos saber hasta ahora, las soluciones de un sistema lineal homogéneo forma un espacio lineal,
exceptuando el caso trivial, cuando la única solución del sistema es el vector cero, ya que dicho espacio
tendría innitos vectores solución.
• Ahora, no es el caso tratar de identicar todas las soluciones de un sistema, si no describir el espacio solución
apartir de un conjunto nito de soluciones particulares del sistema que genere todo el espacio, la clave está
en los conceptos de dimension y base, conceptos los cuales dependen de un estudio más general, dependencia
lineal.
• Geométricamente , dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta denición supone
que el vector nulo tiene todas las direcciones.
• Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si
ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por
estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.
• El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos
vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido
por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene.
• Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} es L.D, si existen escalares α1, α2, ..., αn no todos iguales a cero,
tales que: α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = O.
• Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} es L.I sí y sólo si, la ecuación de dependencia lineal α1, α2, ..., αn se
satisface con todos los escalares α iguales a cero (solución trivial).
Ejemplo:
22. 22
u y j son dependientes por tener la misma dirección.
u y v son independientes y denen el plano P.
u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo
mismo, por no pertenecer al plano P; los tres vectores denen el espacio tridimensional.
El vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero y k son dependientes ya que o = 0 · k.
Ecuación de dependencia lineal
La idea general para determinar si un conjunto de vectores son L.I o L.D es basicamente conocer si uno de los
vectores es un multiplo escalar de los restantes (combinación lineal), es por ellos que por medio de la siguiente
ecuacion logramos el objetivo;
xv1 + yv2 + zv3 = O
Donde,
x, y y z son escalares ∈ R.
v1, v2 y v3 son vectores a los cuales necesitamos establecer su dependencia lineal.
O es el vector cero.
Dependencia lineal de dos vectores
TEOREMA#4.1 (Múltiplo escalar)
Dos vectores son L.D, sí y sólo si, uno es un múltiplo escalar del otro.
Supongamos que u y v son L.D. Estos es, existen escalares α y β (no ambos iguales a cero) tales que:
αu + βv = 0
asumiendo que α = 0 ,
u =
−β
α
v
u es múltiplo escalar de v.
Tomando las componentes de cada vector sería: u = (u1, ...un) y v = (v1, ..., vn), siendo éstos L.D, entonces
existe un escalar α = 0 tal que u = αv, es decir:
(u1, ..., un) = α(v1, ..., vn)
(u1, ..., un) = (αv1, ..., αvn)
u1
v1
= α ;
u2
v2
= α ; ... ;
un
vn
= α
Es decir, la división de cada una de las componentes de u con la respectiva componente de v es una
constante α.
Ejemplo:
23. 23
u = (−3, 6, −9, 0) ; v = (1, −2, 3, 0)
−3
1
= −3 ;
6
−2
= −3 ;
−1
3
= −3 ;
0
0
= ned
Esto conlleva a que u = −3v, por lo tanto u y v son L.D.
Concluyendo, si la ecuación de dependencia lineal u1
v1
= α ; u2
v2
= α ; ... ; un
vn
= α para dos vectores se
dá, o
mejor dicho hay correspondencia con los vectores u y v dados, entonces éstos son L.D, de lo
contrario son
L.I.
DEPENDENCIA LINEAL DE MAS DE DOS VECTORES
Es ovio que la ecuación de dependencia lineal se cumple cuando todos los escalares son iguales a cero, si ésta
es la única posibilidad (solución trivial), entonces los vectores son L.D. En caso contrario son L.D.
Ejemplo:
Determinar la dependencia lineal (si es L.I o L.D), de los siguientes vectores: v1 = (1, −2, 3), v2 = (2, −2, 0) y
v3 = (0, 1, 7).
i) Reemplazamos los vectores en la ecuación de dependencia lineal:
xv1 + yv2 + zv3 = O
x(1, −2, 3) + y(2, −2, 0) + z(0, 1, 7) = O
(x, −2x, 3x) + (2y, −2y, 0) + (0, z, 7z) = O
(x + 2y, −2x − 2y + z, 3x + 7z) = (0, 0, 0)
ii) Determinar el sistema de ecuaciones por igualdad de vectores:
x + 2y + 0 = 0
−2x − 2y + z = 0
3x + 0 + 7z = 0
iii) Resolver el sistema (en forma matricial por eliminación Gaussiana):
1 2 0
−2 −2 1
3 0 7
0
0
0
De un cómputo directo del pivote resulta...
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0
−→
x = 0
y = 0
z = 0
iv) Concluir: Así como la única solución de sistema es la solución trivial, es decir todos los escalares son
iguales a cero, Los vectores v1 = (1, −2, 3), v2 = (2, −2, 0) y v3 = (0, 1, 7) son L.I.
24. 24
Otro ejemplo:
Determinar la dependencia lineal, de los siguientes vectores: v1 = (2, −1, 3), v2 = (−3, 4, −6) y v3 = (−5, 10, −12).
x(2, −1, 3) + y(−3, 4, −6) + z(−5, 10, −12) = O
(2x, −x, 3x) + (−3y, 4y, −6y) + (−5z, 10z, −12z) = O
(2x − 3y − 5z, −x + 4y + 10z, 3x − 6y − 12z) = (0, 0, 0)
2x − 3y − 5z = 0
−x + 4y + 10z = 0
3x − 6y − 12z = 0
2 −3 −5
−1 4 10
3 −6 −12
0
0
0
−→
1 0 2
0 1 3
0 0 0
0
0
0
−→
x = −2z
y = −3z
z = z
Así, como el sistema tiene una solución distinta a la trivial, , Los vectores v1 = (2, −1, 3), v2 = (−3, 4, −6) y
v3 = (−5, 10, −12) son L.D.
DEPENDENCIA LINEAL POR EL DETERMINANTE
(Otro método)
Éste método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn
son L.I ⇐⇒ el determinante de la matriz formada
por estos vectores como columnas es distinto de cero.
Dados los vectores v1, v2 y v3 de R3
, entonces la matriz G = (vt
1, vt
2, vt
3), ahora si el determinante de |G| = 0,
entonces los tres vectores son L.D, de lo contrario si, |G| = 0 los tres vectores son L.I.
Ejemplo:
¾u = (−3, 6, −9, 0) y v = (1, −2, 3, 0) son L.I o L.D?
G =
−3 1
6 −2
|G| = (−3)(−2) − (1)(6)
|G| = 6 − 6
|G| = 0
Así, como el determinante es igual a cero, u y v son L.D.
DIMENSION Y BASES
25. 25
Una base es un conjunto de vectores B.
Sea V un espacio vectorial, y bajo las siguientes condiciones B sería una base:
Condición 1) Los elementos de B son vectores L.I.
Condición 2)Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de B (el conjunto
de vectores B genera el espacio V ).
Condición 3)Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V .
Una base canónica de R2
es B = {(1, 0), (0, 1)}, otra base que no luce tan agradable pero aún así es una base es
B = {(1, 0), (−2, 1)}.
Así, tendrémos en cuenta que la base canónica de R3
es B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
La dimensión es el número de componentes o vectores que conforman la base, es llamadaa tambien dimensión
del espacio solución.
Ejemplo:
Veamos que los vectores v1 = (1, 1, −1), v2 = (1, −1, 1) y v3 = (−1, 1, 1) forman una base para R3
.
i) Mostrar que los tres vectores generan R3
. Como los vectores unitarios (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sabemos que
son la base canónica de R3
. Entonces basta con mostrar que v1, v2 y v3 generan el espacio de los vectores unitarios,
así:
Mostrar condición 2)
(1, 0, 0) = x(1, 1, −1) + y(1, −1, 1) + z(−1, 1, 1)
(1, 0, 0) =
1
2
(1, 1, −1) +
1
2
(1, −1, 1) + 0(−1, 1, 1)
(0, 1, 0) = x(1, 1, −1) + y(1, −1, 1) + z(−1, 1, 1)
(0, 1, 0) =
1
2
(1, 1, −1) + 0(1, −1, 1) +
1
2
(−1, 1, 1)
26. 26
(0, 0, 1) = x(1, 1, −1) + y(1, −1, 1) + z(−1, 1, 1)
(0, 0, 1) = 0(1, 1, −1) +
1
2
(1, −1, 1) +
1
2
(−1, 1, 1)
Así, v1, v2 y v3 generan el espacio tridimensional.
ii) Mostrar que los tres vectores son L.I:
Mostrar condición 1) ya sea por el método de la ecuación de dependencia lineal o por el determinante.
x(1, 1, −1) + y(1, −1, 1) + z(−1, 1, 1) = O
(x + y − z, x − y + z, −x + y + z) = (0, 0, 0)
x + y − z = 0
x − y + z = 0
−x + y + z = 0
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
0
0
0
−→
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0
−→
x = 0
y = 0
z = 0
Así, como el sistema tiene como única solución la trivial, , Los vectores v1, v2 y v3 son L.I.
Por tanto los vectores forman una base para R3
.
CONDICIÓN DE BASE
Los vectores u1 = (a11, ...an1), ... , u2 = (a1n, ...ann), forman una base para Rn
, ⇐⇒ la matriz cuadrada A es
invertible.
A =
a11 a12 · · · a1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
es invertible; es decir
A =
a11 a12 · · · a1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
1 0 · · · 0
0 1 0
.
.
.
.
.
. 0
. . . 0
0 · · · 0 1
Existe.
En el ejemplo anterior el proceso para mostrar la Condición 2) puede ser sustituido por el proceso de condición
de base, es decir por medio de la condición de base tambien se puede mostrar la Condición 2).
27. 27
RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz es el número máximo de columnas (las respectivamente) que son L.I.
Una matriz de nxn es invertible (tiene inversa) si y sólo si, su rango es máximo, es decir, igual a n.
El rango la y el rango columna siempre son iguales, este número es llamado simplemente rango de A, r(A).
El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n.
A =
3 4 2 4
2 6 9 3
1 7 5 2
(3x4)→(mxn)
Rango la
1) El espacio la Ef (A) es de R4
2) Los vectores que lo conforman son: A1 = (3, 4, 2, 4), A2 = (2, 6, 9, 3) y A3 = (1, 7, 5, 2).
Ahora, si A1, A2 y A3 son L.I =⇒ su dimensión es 3 (n).
Ahora, si A1, A2 y A3 son L.D =⇒ su dimensión es 3 ( n).
Entonces, la dimensión del Ef (A) se llama rango la y sólo puede ser menor o igual que m.
Rango columna
1) El espacio columna Ec(A) es de R3
2) Los vectores que lo conforman son: A1
= (3, 2, 1)t
, A2
= (4, 6, 7)t
, A3
= (2, 9, 5)t
y A4
= (4, 3, 2)t
.
Ahora, si A1
, A2
, A3
y A4
son L.I =⇒ su dimensión es 4 (m).
Ahora, si A1
, A2
, A3
y A4
son L.D =⇒ su dimensión es 4 ( m).
Entonces, la dimensión del Ec(A) se llama rango columna y sólo puede ser menor o igual que n.
Cuando decimos que el rango de una matriz es el número máximo de columnas (las respectivamente) que son
L.I. quiere decir que si reducimos la matriz el rango equivale al número de columnas no nulas de la matriz resultante.
Ejemplo:
Determinar el rango de la matriz A =
3 4 2 4
2 6 9 3
1 7 5 2
(3x4)→(mxn)
i) El espacio columna Ec(A) es de R3
ii) Los vectores que lo conforman son: A1
= (3, 2, 1)t
, A2
= (4, 6, 7)t
, A3
= (2, 9, 5)t
y A4
= (4, 3, 2)t
.
28. 28
iii) De la ecuación de dependencia lineal resulta el sieguiente sistema:
3x + 4y + 2z + 4w = 0
2x + 6y + 9z + 3w = 0
x + 7y + 5z + 2w = 0
3 4 2 4
2 6 9 3
1 7 5 2
0
0
0
−→
1 0 0 34
29
0 1 0 11
87
0 0 1 −1
87
0
0
0
−→
x = −34
29 w
y = −11
87 w
z = − 1
87 w
w = w
Así, el rango de A es 3. Ya que son 3 las variables no libres, o dicho de otra forma son 3 las columnas no nulas.
Otro ejemplo:
Determinar el rango de la matriz A =
1 −1 3
2 0 4
−1 −3 1
(3x3)
1 −1 3
2 0 4
−1 −3 1
0
0
0
−→
1 0 2
0 1 −1
0 0 0
0
0
0
−→
x = −2z
y = z
z = z
Así, el rango de A es 2. Ya que son 2 las variables no libres, o dicho de otra forma son 2 las columnas no nulas.
ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO Y SU DIMENSIÓN
Dado un sistema de ecuación lineal homogéneo, el espacio solución de dicho sistema es la combinación lineal
de todas las soluciones particulares del sistema; la cantidad de soluciones particulares es igual a la cantidad de
variables libres, el procedimiento se puede expresar de la siguiente manera:.
i) Solucionar el sistema lineal homogéneo.
ii) Dar una solución particualr por cada variable libre en el sistema.
iii) El espacio solución es la combinación lineal de las soluciones particulares.
Ejemplo:
Determinar el espacio solución V del sistema 3x1 + 2x2 − 5x3 = 0.
i)
3x1 + 2x2 − 5x3 = 0
3x1 = −2x2 + 5x3
x1 = −
2
3
x2 +
5
3
x3
Denimos a x1 = −2
3 x2 + 5
3 x3 como la solución general.
ii)
Primer solución particular:
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 1
29. 29
Segunda solución particular:
x1 = 3
x2 = 3
x3 = 3
iii)
Así, el espacio solución es V = {α(1, 1, 1) + β(3, 3, 3)} ∀α, β ∈ R.
La dimensión del espaxcio solución V del sistema homogéneo, corresponde al número de variables libres en el
sistema. Así, para hallar la dimensión de un sistema lineal homogéneo, primero se debe solucionar el sistema
(pivotear), en éste caso la dimensión del espacio solución es 2, ya que x2 y x3 son variables libres.
Ahora, veamos...
V = {α(1, 1, 1) + β(3, 3, 3)}
V = {(α, α, α) + (3β, 3β, 3β)}
V = {(α + 3β, α + 3β, α + 3β)} ∈ R3
Note como la dimensión coincide con 3-1 donde 3 es el espacio tridimensional. Es decir,
Sea V ∈ Rn
la dimension del espacio V es n − 1.
V es el espacio solución.
(1, 1, 1) y (3, 3, 3) son la base generadora de V .
α, β son escalares ∈ R.
Las componentes del espacio V son n.
Y nalmente la dimensión del espacio es n − 1.
Así, el espacio solución está generado por una base de dos vectores.
ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA NO-HOMOGÉNEO
Ahora consideremos el caso no-homogeneo, y estudiemos las propiedades de las soluciones del sistema AQ = C
donde, C = O y Q = O no es una solución válida. Ahora las soluciones de AQ = O (sistema homogeneo) estan
relacionadas con las del no-homogeneo de la siguiente manera:
TEOREMA#4.2
Sea AQ = C un sistema no-homogeneo.
Sea Cc una solución particular del sistema no-homogeneo.
Sea AQ = O un sistema homogeneo.
Sea C0 cualquier solución (espacio solución) del sistema homogeneo.
A es una matriz.
Entonces, Cc + C0 es una solución de AQ = C.
Prueba: A(Cc + C0) = ACc + AC0 = ACc + O = ACc = C y por transitividad A(Cc + C0) = C.
30. 30
Si el sistema homogeneo tiene intas soluciones, el no-homogeneo tambien. El teorema señala que, para identicar
todas las soluciones de un sistema no-homogeneo, basta conocer una solucion particular y el espacio solución del
sistema homogeneo asociado. Si Cc es una solucion particular del sistema no homogeneo y C01, ..., C0k forman una
base para el espacio solucion del sistema homogeneo asociado, entonces, las soluciones del no-homogeneo estan en
el espacio dado por V = {Cc + αC01 + ... + βC0k}.
Intuitivamente, podemos pensar de V como el resultado de trasladar el espacio solución del sistema homogeneo,
por medio del vector Cc. Como lo vamos a ver en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: El teorema esta descrito para vectores y matrices y de allí salen las ecuaciones, el ejemplo directamente
trabajará sobre las ecuaciones resultantes.
Hallemos el conjunto solución V (o espacio solución) del sistema no-homogeneo que consta de la unica ecuacion,
−x + y = 1.
i) Solución particular del sistema no-homogeneo.
(1,2)
ii) Espacio solución del sistema homogeneo −x + y = 0.
α(1, 1)
Así, el espacio solución del sistema lineal no-homogeneo esta dado por:
V = {Cc + C0}
V = {(1, 2) + α(1, 1)}
V = {(1, 2) + (α, α)}
V = {(1 + α, 2 + α)} ∀α ∈ R
Como el sistema no-homogeneo no pasa por el origen, ya que el vector cero no es una solución para el sistema, el
conjunto de soluciones no es un subespacio lineal, al no serlo, no tiene base, y al no tener base no tiene dimensión.
Otro ejemplo:
Hallar el espacio solución del sistema 2x1 + 3x2 + 4x3 = 11.
31. 31
i) Solución particular del sistema no-homogeneo:
2x1 + 3x2 + 4x3 = 11
2x1 = 11 − 3x2 − 4x3
x1 =
11
2
−
3
2
x2 − 2x3
El sistema tiene dos variables libres y por tanto las soluciones estan en un plano de R3
.
x1 = 2
x2 = 1
x3 = 1
ii) Solución general o espacio solución del sistema homogeneo 2x1 + 3x2 + 4x3 = 0.
2x1 + 3x2 + 4x3 = 0
2x1 = −3x2 − 4x3
x1 = −
3
2
x2 − 2x3
Primer solución particular:
x1 = −2
x2 = 0
x3 = 1
Segunda solución particular:
x1 = −3
x2 = 2
x3 = 0
Así, el espacio solución del sistema lineal no-homogeneo esta dado por:
V = {Cc + C01 + ... + C0k}
V = {(2, 1, 1) + α(−2, 0, 1) + β(−3, 2, 0)} ∀α, β ∈ R
V = {(2, 1, 1) + (−2α, 0, α) + (−3β, 2β, 0)}
V = {(2 − 2α − 3β, 1 + 2β, 1 + α)} ∈ R3
Solución básica de un sistema de ecuaciones
Es la solución particular, resultante de asignarle a las variables libres o independientes el valor de 0 (cero).
CAPÍTULO 5: TRANSFORMACIONES LINEALES
INTRODUCCIÓN
32. 32
Una función, aplicación o transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un
espacio vectorial U, para convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial V .
Sea U y V espacios vectoriales.
Sea α un número cualquiera perteneciente a los reales.
Sea u y v vectores pertenecientes al espacio lineal U.
Entonces, T : U −→ V es una transformación lineal (T.L) sí y sólo si, satisface las siguientes dos propiedades:
i) Propiedad aditiva: T(u + v) = T(u) + T(v)
ii) Propiedad homogénea: T(αu) = αT(u)
Sintetizando lo anterior...
Sea u, v ∈ U; sea α, β ∈ R; entonces T : U −→ V es una T.L ⇐⇒ T(αu + βv) = αT(u) + βT(v).
TEOREMA#5.1 (T:U−→V es una T.L sí y sólo si...)
i) T(O) = O
ii) T(−u) = −T(u)
iii) T(u − v) = T(u) − T(v)
iv) T(α1u1 + ... + αnun) = α1T(u1) + ... + αnT(un); ∀n ∈ N
Ejemplo:
Sea U = R3
y V = R2
; Denida la transformación T : R3
−→ R2
como: T(x, y, z) = (2x − 3z, 4y + z).
Muestre que T es una T.L.
i) Tomemos u = (x1, y1, z1) con T(u) = (2x1 − 3z1, 4y1 + z1)
y v = (x2, y2, z2) con T(v) = (2x2 − 3z2, 4y2 + z2)
ii) Veamos que T(u + v) = T(u) + T(v)
T(u + v) = T ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2))
= T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (2(x1 + x2) − 3(z1 + z2), 4(y1 + y2) + (z1 + z2))
= (2x1 + 2x2 − 3z1 − 3z2, 4y1 + 4y2 + z1 + z2)
= ((2x1 − 3z1, 4y1 + z1) + (2x2 − 3z2, 4y2 + z2))
= T(u) + T(v)
iii) Veamos que T(αu) = αT(u)
T(αu) = T (α(x1, y1, z1))
= T(αx1, αy1, αz1)
= (2αx1 − 3αz1, 4αy1 + αz1)
= α (2x1 − 3z1, 4y1 + z1)
= αT(u)
33. 33
Así, por el cumplimiento estricto de los últimos dos pasos T es una T.L.
Ejemplo:
Veamos que T : R2
−→ R2
denida por T(x, y) = (xy, 2y) NO es una T.L.
Sin considerar vectores ni escalares genéricos, veamos que alguna de las dos propiedades no se cumple.
Tomemos α = 5 y u = (3, 7) con T(u) = (21, 14)
Entonces,
αT(u) =?
T(αu)
5T(3, 7) =?
T(5(3, 7))
5(21, 14) =?
T(15, 35)
(105, 70) = (525, 70)
Así, como no se cumple la propiedad homogénea T No es una T.L.
Criterios de linealidad por inspección
Ejemplo de T : R3
−→ R4
1) T (x, y, z) = (2x − 3y, 4z, 0, 5x) Si es una T.L.
2) L (x, y, z) = 2x − 3y, 4z, ¡5, 5x No es una T.L.
3) S (x, y, z) = (2x − 3y, 4z,$$$7x + 5, 5x) -No es una T.L.
4) P (x, y, z) = (2x − 3y, 4z,¨¨2xy, 5x) No es una T.L.
La T.L debe estar denida por la suma o resta de los múltiplos de las componentes x, y y z.
TRANSFORMACIONES LINEALES INDUCIDAS POR MATRICES
(Partimos de una matriz y concluimos con una transformación)
Sea A =
2 −1
1 2
, Denir T : R2
−→ R2
por T(u) = Aut
. (Como A es de (2x2) , u debe ser de dimension
(2x1))
Tomemos u = (x, y)
T(u) = Aut
T(x, y) =
2 −1
1 2
x
y
t
T(x, y) =
2x − y
x + 2y
t
T(x, y) = (2x − y, x + 2y)
34. 34
Así, dada la matriz A =
2 −1
1 2
, se obtuvo que la la transformación es T(x, y) = (2x − y, x + 2y).
Generalizando
Dada una matriz M(mxn) puede ser denida una T.L T : Rn
−→ Rm
por la expresión:
T(u) = Mut
Donde T(u) es de Rn
y al multiplicarla por la matriz M queda de Rm
.
TEOREMA#5.2 ([mxn][nx1]=[mx1])
Si A es una matriz (mxn), la aplicación TA : Rn
−→ Rm
denida por TA(u) = Aut
és una T.L. Y u tiene
dimensión (nx1).
MATRICES INDUCIDAS POR TRANSFORMACIONES LINEALES
(Partimos de una transformación y concluimos con una matriz asociada)
TEOREMA#5.3 (ARn=Rm)
Para cualquier T.L, T : Rn
−→ Rm
, Existe una matriz A de orden mxn tal que:
T(Rn
) = ARn
= Rm
Ejemplo:
Hallar la matriz asociada a la T.L T : R3
−→ R2
que satisface T(x, y, z) = (2x − 3y, 5z − 4x).
i) Tomamos la base canónica de R3
.
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = {e1, e2, e3}
35. 35
ii) Aplicamos T a cada vector de la base B.
T(1, 0, 0) = (2, −4)
T(0, 1, 0) = (−3, 0)
T(0, 0, 1) = (0, 5)
iii) La matriz asociada corresponde a (T (et
1) , T (et
2) , T (et
3)). Es decir:
A =
2 −3 0
−4 0 5 (2x3)
VECTOR IMAGEN
Ejemplo:
Sea T : R3
−→ R3
una T.L que satisface, T(1, 0, 0) = (1, 1, −1); T(0, 1, 0) = (1, −1, 1); T(0, 0, 1) = (−1, 1, −1).
Determinar el vector imagen de T(2, −3, 4).
Primer forma de solucionar:
i) Expresar (2, −3, 4) como combinación lineal de (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). (Los vectores argumento de la apli-
cación T)
(2, −3, 4) = (2(1, 0, 0) − 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1))
ii) Aplicar T.
T(2, −3, 4) = T (2(1, 0, 0) − 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1))
= 2T(1, 0, 0) − 3T(0, 1, 0) + 4T(0, 0, 1)
.
.
. = 2(1, 1, −1) − 3(1, −1, 1) + 4(−1, 1, 1)
= (2, 2, −2) + (−3, 3, −3) + (−4, 4, 4)
T(2, −3, 4) = (−5, 9, −1)
Segunda forma de solucionar:
T(u) = Cut
T(2, −3, 4) = C
2
−3
4
t
Armamos la matriz C con las imagenes de (T(e1))
t
, (T(e2))
t
, (T(e3))
t
.
C =
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
;
T(2, −3, 4) =
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
2
−3
4
t
T(2, −3, 4) = (−5, 9, −1)
36. 36
TRANSFORMACIONES LINEALES ESPECIALES
(Rotaciones)
Ejemplo 2D:
La gura ilustra una rotación sobre el eje del origen del sistema coordenado en sentido antihorario a grados, de
donde resulta:
T(e1) = T(1, 0) = (cos a, sin a)
T(e2) = T(0, 1) = (− sin a, cos a)
Cuya matriz de rotación es:
A =
cos a − sin a
sin a cos a
La rotación suponiendo que el angulo es a = 45o
en sentido anti-horario, como lo muestra la gura, y por supuesto
conservando la magnitud de los vectores, es:
T(e1) = T(1, 0) =
√
2
2
,
√
2
2
T(e2) = T(0, 1) = −
√
2
2
,
√
2
2
Cuya matriz de rotación es:
A =
√
2
2 −
√
2
2√
2
2
√
2
2
−→ A =
√
2
2
1 −1
1 1
La matriz A dene una T.L que rota los vectores 45 grados en sentido anti-horario, con una dilatación de su
magnitus en un factor de
√
2
2 .
Ejemplo 3D: eje de rotación z
37. 37
La gráca anterior corresponde a la siguiente matriz de rotación:
R(z,α) =
cos α − sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
Eje de rotación x
R(x,α) =
1 0 0
0 cos α − sin α
0 sin α cos α
Eje de rotación y
R(y,α) =
cos α 0 sin α
0 1 0
− sin α 0 cos α
Las grácas correspondientes quedan de ejercicio para nuestra imaginación.
38. 38
PROYECCIONES DE UN ESPACIO R2 SOBRE UN VECTOR
Sea L una recta que pasa por el origen (0, 0), y que forma un ángulo α con el eje x; y sea la pendiente de L,
m = tan α.
Las proyecciones de e1 y e2 sobre L son:
P(e1) = P(1, 0) = (cos2
α, cos α sin α)
P(e2) = P(0, 1) = (sin α cos α, sin2
α)
Es decir, la proyección de cualquier vector de R2
sobre L está inducida por la matriz...
P =
cos2
α sin α cos α
cos α sin α sin2
α
Lo que equivale a...
P =
1
1+m2
m
1+m2
m
1+m2
m2
1+m2
P = 1
1+m2
1 m
m m2 =⇒ Fórmula para hallar la matriz de proyección en R2
dado L y el vector u a proyectar
sobre L.
p(u) = Put
=⇒ Fórmula para hallar la proyección de u sobre la recta dada (L).
Donde,
p(u) es la proyección de u.
P es la matriz proyección.
ut
es el vector a proyectar.
Ejemplo
Hallar la matriz de la proyección de R2
sobre la recta y = 2x, y determinar la proyección del vector u = (5, 15)
sobre dicha recta.
i) Hallar la matriz de proyección P:
P =
1
1 + m2
1 m
m m2
y conocida la pendiente m = 2
P =
1
5
1 2
2 4
ii) Hallar la proyección p(u):
p(u) = Put
p(u) =
1
5
1 2
2 4
5
15
p(u) =
7
14
39. 39
NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN
El núcleo de una transformación T, es el conjunto de vectores para los cuales T = O (el vector cero).
Notación del núcleo de T: N(T) = {u ∈ U : T(u) = O} , ∀u ∈ U; O ∈ V
Siendo U y V espacios vectoriales.
Ejemplo:
Determinar el núcleo N(T), si T : R3
−→ R2
esta dada por: T(x, y, z) = (3x − 2y + z, x + 2y − z)
i) Encontrar el conjunto de vectores (x, y, z) los cuales hacen que T(x, y, z) = (0, 0).
Armar el sistema de acuaciones:
(3x − 2y + z, x + 2y − z) = (0, 0)
3x − 2y + z = 0
x + 2y − z = 0
ii) El sistema de acuaciones extenderlo a una matriz y solucionar (pivotear):
3 −2 1
1 2 −1
0
0
De un pivoteo directo resulta
1 0 0
0 1 −1
2
0
0
−→
x = 0
y = z
2
z = z
Así, N(T) = 0, z
2 , z : z ∈ R
40. 40
Si N(T) fuera el vector cero, es porque T es uno a uno (biyectiva).
TEOREMA#5.4 (1 a 1 ⇐⇒ N(T) = {O})
Si T : U −→ V es una T.L, entonces T es uno a uno, sí y sólo si, el único elemento del núcleo es el vector cero,
N(T) = {O}.
TEOREMA#5.5 (1 a 1 ⇐⇒ N(T) = {O})
Si T : U −→ V es una T.L, entonces N(T) es un subespacio de U.
RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN
Sea T : U −→ V , entonces, R(T) = {v ∈ V : T(u) = v, para alg´un u ∈ U} siendo U y V espaciones vectoriales.
Donde,
v −→ Subespacio del codominio
V −→ Codominio
u −→ Subespacio del dominio
U −→ Dominio
TEOREMA#5.6
Si T : U −→ V es una T.L, entonces, su rango R(T) es un subespacio de V .
Dada una transformación T : Rn
−→ Rm
, denida por T(Q) = AQt
, (Donde A es la matriz asociada a la
tranformación).
Entonces, el rango de T es el espacio columna de A:
Ec(A) = αA1
+ βA2
+ ... + γAn
Axiomas
Sea T : Rn
−→ Rm
una T.L y sea A su matriz asociada y Q un vector de Rn
, de modo que:
T(Q) = AQt
entonces,
i) El espacio solución del sistema AQt
= O es precisamente el conjunto de vectores que hacen que T(Q) = O, es
decir, N(T) = {Q : Q ∈ Rn
}.
ii) El sistema AQt
= H tiene solución ⇐⇒ ∃ Q ∈ Rn
: T(Q) = H.
iii) Si Qo es una solución única del sistema AQt
= H, entonces el conjunto solución del sistema es: Qo + C ;
C ∈ N(T)
iv) Sea AQt
= H es un S.L no homogéneo, éste tiene solución única ⇐⇒ AQt
= O tiene la solución única Q = O.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA LINEAL (TFAL)
41. 41
TEOREMA#5.7
Sean U y V espacios lineales de dimensión nita. Si T : U −→ V es una T.L y {u1, u2, ..., un} es una base de U:
i) El conjunto {T(u1), T(u2), ..., T(un)} genera R(T).
ii) Tes uno a uno ⇐⇒ {T(u1), T(u2), ..., T(un)} es L.I.
TEOREMA#5.8 (TFAL)
Sea U un espacio lineal de dimensión n.
Si T : U −→ V es una T.L, =⇒ dimU = dimR(T) + dimN(T).
Intuitivamente... el TFAL dice que cuando una T.L T actua en un espacio n-dimensional, mantiene una parte
independiente (es es R(T)), y otra parte que colapsa a cero (esa es N(T)).
CAPÍTULO 6: VECTORES Y VALORES PROPIOS
INTRODUCCIÓN
El producto de una matriz cuadrada por un vector, puede alterar al vector de dos maneras:
• Lo hace rotar.
• Le modica la magnitud.
En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha
cambiado. (se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha). El vector azul (echa azul), ha cambiado de
dirección, mientras que el vector rojo no ha cambiado (echa roja). El vector rojo es entonces un vector propio
de la tranformación, mientras que el azul no lo es. Dado que el vector rojo no ha cambiado de longitud, su
valor propio es 1. Todos los vectores de ésta misma dirección son vectores propios, con el mismo valor propio.
Ilustración tomada de https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio
42. 42
Ejemplo:
Sea,
A =
1 1
−2 4
; u = (1, 2); v = (3, 1)
Entonces,
Au = 3
1
2
= 3u
Av =
4
−2
Ahora, si dibujáramos a u, v, Au y Av, notaríamos...
• El vector resultante Av rotó y cambio de magnitud.
• El vector resultante Au se triplico su magnitud y conservó su dirección.
CONCLUSIÓN: El único efecto de A sobre u fue un estiramiento que triplica su magnitud ; esto es: Au = 3u.
En el orden de ideas que llevamos:
• A es una matriz cuadrada de orden n.
• u es un vector propio
• 3 es un valor propio
Idea general
Un vector u cualquiera, es propio de una matriz cuadrada A cualquiera, sí y sólo si, Au y u son paralelos. Esto
es, si existe un escalar λ tal que:
Au = λu
(Multiplicación matricial = Multiplicación escalar)
Restricciones
43. 43
• La matriz A debe ser cuadrada (de orden nxn).
• El vector u debe ser diferente del vector cero (0, 0, ..., 0).
Conceptos básicos
• Sea Au = λu, se dice que:
• λ es el valor propio de A asociado al vector u.
• u es el vector propio de A asociado a λ.
• Una matriz A puede tener un conjunto de valores propios denotados por: V aP = {λ1, λ2, ..., λn}.
• El conjunto de valores propios de una matriz A se denota por σ(A) y se llama espectro de A.
• El vector cero nunca es un vector propio.
Ejemplo
A =
1 1
−2 4
; u = (x, x); v = (k, 2k)
∀x ∈ R=⇒u = (x, x) es un vector propio de A con λ = 2 como valor propio asociado.
∀k ∈ R=⇒v = (k, 2k) es un vector propio de A con λ = 3 como valor propio asociado.
ECUACIONES DE VECTORES Y VALORES PROPIOS
Sea,
A una matriz cuadrada.
λ el escalar que es valor propio de A.
Q el vector que es propio de A y asociado a λ.
I la matriz identidad.
O el vector cero.
λQ = AQ ⇐⇒ λIQ = AQ ⇐⇒ λIQ − AQ = O
Ecuación de vectores propios −→ (λI − A)Q = O
Deacuerdo con la regla de Cramer, para que ésta ecuación tenga una solución no-trivial, es necesario que:
• Q no sea el vector cero.
• El determinante de λI − A sea cero.
Ecuación de valores propios −→ |λI − A| = O
POLINOMIO CARACTERÍSTICO
44. 44
Dada una matriz A de orden nxn, el polinomio caracteristico, se dene y denota por:
P(λ) = |A − λI|
P(λ) = anλn
+ an−1λn−1
+ ... + a1λ1
+ a0
Ecuación característica
P(λ) = 0
0 = |A − λI|
0 = anλn
+ an−1λn−1
+ ... + a1λ1
+ a0
Ejemplo
Dada la matriz A =
−2 5 3
0 0 −2
0 4 6
i) Hallar los valores propios de la matriz
0 = |A − λI| =⇒
−2 5 3
0 0 −2
0 4 6
−
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
=⇒
−2 − λ 5 3
0 −λ −2
0 4 6 − λ
...
... =⇒ (−2−λ)
−λ −2
4 6 − λ
−(5)
0 −2
0 6 − λ
+(3)
0 −λ
0 4
=⇒ (−2−λ)(−6λ+λ2
+8) =⇒ (−2−λ)(λ−4)(λ−2) = 0
λ = −2; λ = 2; λ = 4
ii) Hallar los vectores propios de la matriz
−2 − λ 5 3
0 −λ −2
0 4 6 − λ
En esta matriz sustituimos a lambda por sus respectivos valores λ = −2; λ = 2; λ = 4
Luego se solucionan los 3 sistemas resultantes de O =(λI−A)Q =⇒
−2 − λ 5 3
0 −λ −2
0 4 6 − λ
x
y
z
=
0
0
0
de donde salen respectivamente los 3 vectores propios asociados a cada valor propio. (En caso de resultar alguna
variable libre, dar solución particular). Tip, hallar primero los valores propios y luego los vectores propios.
PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS
45. 45
• Los vectores propios NO son únicos.
• Todo valor propio de una matriz tiene asociado un número innito de vectores propios.
TEOREMA#6.1 (La combinación lineal de vectores propios tambien son vectores propios)
Si λ es un valor propio de la matriz cuadrada A, además, u y v son vectores propios de A con respecto a λ; se
tiene que αu + βv son tambien vectores propios de A respecto a λ, ∀α, β escalares.
Prueba:
Hipótesis Au = λu Av = λv
Luego,
A(αu + βv) = α(Au) + β(Av)
= α(λu) + β(λv)
= λ(αu + βv)
Así, αu + βv es un vector propio de A con respecto a λ.
Corolario (vectores propios + vector cero = espacio propio)
El conjunto de innitos vectores propios asociados a un valor propio, junto con el vector cero es un espacio lineal
llamado Espacio Propio Asociado al Valor Propio.
TEOREMA#6.2
Si λ1, λ2, ..., λn son valores propios de A, el polinomio característico se factoriza como: P(λ) = (λ1 − λ)(λ2 −
λ)...(λn − λ)
Corolario (Por denición de polinomio característico)
P(λ) = |A − λI|
|A − λI| = (λ1 − λ)(λ2 − λ)...(λn − λ)
Otro corolario (Determinante igual a cero⇐⇒Un valor propio igual cero)
Si uno de los valores propios de A es igual a cero, entonces |A| = 0 , y viceversa.
TEOREMA#6.3 (Valores propios de una matriz triangular)
Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.
46. 46
Ejemplo
A =
3 2 3 2 1
0 4 0 0 1
0 0 5 2 3
0 0 0 1 4
0 0 0 0 7
Así, sus valores propios son λ1 = 3; λ2 = 4; λ3 = 5; λ4 = 1; λ5 = 7
TEOREMA#6.4 (Independencia lineal de los vectores asociados)
Si una matriz A, tiene n valores propios distintos λ1, λ2, ..., λn
Entonces, sus correspondientes vectores propios son L.I.
TEOREMA#6.5 (Independencia lineal de los vectores columna)
Dada una matriz A, cuyo determinante es diferente de cero, entonces sus vectores columna son L.I.
CAPÍTULO 7: SEMEJANZA Y DIAGONALIZACIÓN
INTRODUCCIÓN
• Dos matrices son semejantes si representan el mismo operador lineal, bajo dos bases distintas.
• La idea es reducir una matriz compleja a una que sea semejante, es decir, buscando una matriz más simple
y manejale y a su vez que sea equivalente.
• ¾Semejante?, ¾Equivalente?, ¾Simple?... 5 ∗ 20
4 = 5 ∗ 10
2 ½Ciudado! ya que
20
4 y
10
2 son equivalentes, pues
hacen que ambas operaciones den el mismo resultado, pero, éstos NO son iguales; y es notable que hacer la
operación utilizando el
10
2 es mas sencillo que hacerla con el
20
4 .
• En álgebra lineal, una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable si A ∼ D siendo D una matriz
diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal (a una forma mas
simple). En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma A = PDP−1
. En donde P es una matriz
invertible cuyos vectores columna son Vectores Propios de A, y D es una matriz diagonal formada por los
Valores Propios de A.
TEOREMA#7.1 (Existencia de una matriz invertible para la semejanza entre las matrices
A y B)
Una matriz A es semejante a una matriz B, sí y sólo si, existe una matriz invertible P talque AP = PB.
47. 47
A ∼ B ⇐⇒ AP = PB
Dada una matriz A, y tomando una matriz invertible arbitrariamente, entonces, la matriz B semejante a la
matriz A se puede expresar como:
B = PAP−1
Lo que equivale a que A ∼ B.
TEOREMA#7.2 (Propiedades de semejanza)
La semejanza de matrices es una relación de equivalencia. Si A, B, y C son matricez de orden n. Entonces:
i) (Reexiva): A ∼ A.
ii) (Simétrica): A ∼ B =⇒ B ∼ A.
iii) (Transitiva): A ∼ B ∧ B ∼ C =⇒ A ∼ C.
TEOREMA#7.3 (Condición de semejanza)
Si A ∼ B, entonces A y B tienen los mismos valores propios.
Como consecuencia:
i) A y B tienen el mismo polinomio característico P(λ).
ii) |A| = |B| .
iii) A es invertible ⇐⇒ B es invertible.
TEOREMA#7.4
Si A es invertible, entonces AB ∼ BA para cualquier matriz B compatible, es decir del mismo orden.
Teniendo en cuenta que el producto entre matrices no es conmutativo, incluso siendo una de ellas invertible el
producto sigue siendo no conmutativo, pero si semejante.
Nota:
MATRIZ SINGULAR = MATRIZ NO INV ERTIBLE = DETERMINANTE CERO
Psingular = ¡∃P−1
= |P| = 0
DIAGONALIZACIÓN
48. 48
TEOREMA#7.5
Si A ∼ D y D es una matriz diagonal, entonces, los valores propios de A son los elementos de la diagonal principal
de D. (Por teorema#7.3 y teorema#6.3)
TEOREMA#7.6 (Condición de diagonalización)
Una matriz A de orden n, es diagonalizable sí y sólo si, Rn
tiene una base {u1, ..., un} que consta de vectores
propios de A.
En otras palabras ⇐⇒ tiene n vectores propios L.I.
Corolario
Si una matriz A de orden n tiene n valores propios, A es diagonalizable.
Pues si tienes menos ½No lo es!, cuidado... los valores propios λ pueden tener multiplicidad, es decir si una matriz
A de orden 4 tiene como valores propios 2,5,4,5; es diagonalizable y la multiplicidad de 5 es dos.
Ejemplo:
Mostremos que la matriz A =
1 3 3
−3 −5 −3
3 3 1
es diagonalizable.
Además, hallemos una matriz diagonal D semejante a la matriz A y una matriz P invertible tal que A = PDP
−1
.
i) Hallar los valores propios de allí resulta la matriz D.
Ecuación de valores propios −→ |A − λI| = O
1 − λ 3 3
−3 −5 − λ −3
3 3 1 − λ
= 0
3
3 3
−5 − λ −3
− 3
1 − λ 3
−3 −3
+ (1 − λ)
1 − λ 3
−3 −5 − λ
= 0
3 [(3)(−3) − (3)(−5 − λ)] − 3 [(3)(1 − λ) − (3)(−3)] + (1 − λ) [(1 − λ)(−5 − λ) − (3)(−3)] = 0
3 [(−9) − (−15 − 3λ)] − 3 [(−3 + 3λ) − (−9)] + (1 − λ) (−5 − λ + 5λ + λ2
) − (−9) = 0
3 [−9 + 15 + 3λ] − 3 [−3 + 3λ + 9] + (1 − λ) −5 − λ + 4λ + λ2
+ 9 = 0
@@@@@@@@@@
3 [3λ + 6] − 3 [3λ + 6] + (1 − λ) [λ + 4λ + 4] = 0
(1 − λ)(λ + 2)(λ + 2) = 0
Valores propios...
λ = 1, λ = −2, λ = −2
49. 49
A menos que se tengas mucha experiencia, se recomienda realizar éstos pasos detalladamente ya que pueden
resultar los procesos algebraicos un dolor de cabeza, cuando el álbegra lineal no lo és.
Ya que la matriz A es de orden 3 y tiene 3 valores propios, según el corolario del teorema#7.6, A es diagonalizable.
Ahora, por le teorema#7.5 la matriz D diagonal y semejante a la matriz A es:
D =
1 0 0
0 −2 0
0 0 −2
ii) Hallar los vectores propios de allí resulta la matriz P.
Ecuación de vectores propios −→ (λI − A)Q = O
1 − λ 3 3
−3 −5 − λ −3
3 3 1 − λ
x
y
z
=
0
0
0
Para λ = 1
0 3 3
−3 −6 −3
3 3 0
0
0
0
Un cómputo directo del pivoteo nos muestra:
1 0 −1
0 1 1
0 0 0
0
0
0
Por tanto,
Soluci´on general
x = z
y = −z
z = Libre
Soluci´on particular u1 = (1, −1, 1)
Para λ = −2 (duplicidad dos)
3 3 3
−3 −3 −3
3 3 3
0
0
0
Un cómputo directo del pivoteo nos muestra:
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0
0
0
Por tanto,
Soluci´on general
x = −y − z
y = Libre
z = Libre
50. 50
Soluci´on particular u2 = (−1, 1, 0)
Soluci´on particular u3 = (−1, 0, 1)
Vectores propios...
u1 = (1, −1, 1)
u2 = (−1, 1, 0)
u3 = (−1, 0, 1)
Ahora, la matriz invertible P es:
P =
1 −1 −1
−1 1 0
1 0 1
-Como proceso adicional pero no menos importante, (aunque no lo vamos a realizar en éste ejemplo) la vericación
de que |P| = 0 comprueba que efectivamente la matriz A es diagonalizable y que P es dicha matriz que satisface la
ecuación A = PDP−1
.
La vericación de que el determinante de la matriz P sea diferente de cero, toma bastante importancia cuando
los valores propios no son todos distintos, como en éste ejercicio que λ = −2 tiene duplicidad dos.
Un cómputo directo nos muestra que |P| = 1.
-Como segundo proceso adicional, podríamos vericar la ecuación A = PDP−1
, lo cual se reduce a aplicar
nuestros conocimientos previos de operaciones de matrices. (cálculo de la inversa de una matriz y producto entre
matrices)
TEOREMA#7.7 (Condición de valores propios)
Si una matriz Anxn tiene n valores propios, entonces:
i) A tiene n vectores propios asociados a los valores propios.
ii) A es diagonalizable
iii) La matriz P cuyas columnas son los vectores propios, diagonaliza a A.
Esto es,
i) V ectores Propios = (u1, ..., un)
ii) P = (ut
1, ..., ut
n)
iii) D = PAP−1
PAP−1
=
λ1 0 ... 0
0 λ2 0... 0
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
0 0 ... λn
51. 51
Algoritmo de diagonalización
TEOREMA#7.8 (Ortogonalidad de vectores propios)
Si A es una matriz simétrica, entonces, los vectores propios asociados a valores propios diferentes son ortogonales.
TEOREMA#7.9 (Teorema espectral)
Toda matriz simétrica real se puede diagonalizar por medio de una matriz ortogonal.
