Este documento presenta información sobre análisis de regresión lineal múltiple. Explica que la regresión lineal múltiple permite predecir una variable dependiente en base a múltiples variables independientes. Detalla los pasos para construir un modelo de regresión lineal múltiple, incluyendo la notación matricial para calcular los coeficientes de regresión. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo interpretar los coeficientes de regresión.
2. • Actividad: Los estudiantes comparten con el docente las dudas que
hubieran existido en la sesión anterior.
• El estudiante responde con atención sobre los conocimientos que tiene
sobre Análisis de Regresión Lineal Múltiple
1. Que es un Modelo de Análisis de Regresión Lineal Múltiple?
2. Para que sirve un Modelo de Análisis de Regresión Lineal Múltiple?
Inicio (10min)
Inicio
3. SABERES PREVIOS
ANALISIS DE REGRESION MULTIPLE
1. Que es un Modelo de Análisis de Regresión Lineal
Múltiple?
2. Para que sirve un Modelo de Análisis de Regresión Lineal
Múltiple?
4. LOGRO DE SESION
Al finalizar la clase los alumnos aplican los conceptos de regresión lineal
múltiple e interpretan adecuamente los coeficientes de regresión que le
permiten poder construir el modelo de regresión y aplicarlo en el campo de las
ciencias y la ingeniería
5. • Actividad: A continuación el estudiante va revisar los conceptos básicos
correspondientes a Análisis de Regresión Lineal Múltiple y se van a
resolver ejercicios para poder desarrollar los conceptos revisados en
clase.
TRANSFORMACIÓN (60 min)
Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo y Aprendizaje colaborativo.
Transformación
6. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
El objetivo básico del Análisis de Regresión Lineal Múltiple es el de construir un
modelo que permita predecir o estimar el valor de una variable Y, en base a un
conjunto de variables X1, X2,....,Xk
A la variable Y se le llama variable dependiente, y es la que se quiere estimar o predecir.
Las variables X1, X2,....,Xk son las variables independientes o variables predictoras.
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2+𝜀𝑖
Los residuos tienen media 0.
La varianza de los residuos no depende de xi (homocedasticidad)
Los residuos son normales.
Los residuos son aleatorios.
Las variables x1, x2, etc. no están linealmente correlacionadas entre sí
Supuestos:
8. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
El modelo poblacional de regresión lineal múltiple, con k variables
independientes, es el siguiente:
Donde:
Son Parámetros desconocidos, llamados coeficientes de regresión. (i =0,1,2,3,...,k)
Son los errores del modelo, y se suponen independientes y normalmente
distribuidos con media 0 y varianza 𝜎2
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2+𝜀𝑖
Estos coeficientes son calculados a
partir del método de los mínimos
cuadrados.
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2+…+𝛽k𝑋k
9. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
Resolución de Regresión Lineal Múltiple: Notación Matricial
Para determinar la ecuación de regresión lineal múltiple muestral, debemos primero identificar la
variable dependiente y luego las variables independientes, una vez identificados, formaremos
nuestro sistema de matrices para cada uno de ellos, formando el siguiente sistema de ecuación
de regresión múltiple, y ubicándolos de esta forma:
Quedando el sistema de Matrices definida de la siguiente manera:
𝒀𝒊 = 𝜷𝐤𝑿𝐢𝐤+𝒆𝒊
Donde: Yi: es la Matriz de la Variable Dependiente
Xi: es la Matriz de la Variable Independiente
Bi: es la Matriz de los coeficientes predictores
ei : es la matriz del error de estimación
10. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
𝒀𝒊 = 𝜷𝐤𝑿𝐢𝐤+𝜺𝒊
NOTA:
En la primera columna de la matriz de la variable independiente se pone 1, que corresponde al valor de la constante
Notación Matricial
11. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
Para hallar el valor de cada uno de los coeficientes regresores B, resolveremos las
siguientes operaciones matriciales:
β =
𝛽0
𝛽1
.
.
.
𝛽𝑘
β = 𝑋𝑇𝑋 −1𝑋𝑇𝑌
β = 𝑋𝑇
𝑋 −1
𝑋𝑇
𝑌
Donde: 𝑋𝑇
: : es la matriz transpuesta de la variable independiente
𝑋𝑇
𝑋 −1
: es la matriz inversa
β : es la matriz de los coeficientes regresores.
13. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
𝑌 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2
𝑋1𝑌 = 𝛽0 𝑋1 + 𝛽1 𝑋1
2
+ 𝛽2 𝑋1𝑋2
𝑋2𝑌 = 𝛽0 𝑋2 + 𝛽1 𝑋1𝑋2 + 𝛽2 𝑋2
2
Coeficiente de regresión en el caso de dos variables independientes: Sistema de ecuaciones
14. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
y Tamaño Distancia
360 2 1
1000 6 1
450 3 2
525 4 3
350 2 10
300 1 4
Se ha reunido la siguiente información de una muestra aleatoria de arrendadores de
departamentos en una ciudad. Se intenta predecir la renta (en dólares por mes) con
base en el tamaño del departamento (número de habitaciones) y la distancia al centro
de la ciudad (en millas).
a) Determinar la ecuación de regresión estimada
b) Interpretar cada uno de los coeficientes
Ejercicios
16. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
0 1 2
0 1 2
0 1 2
2985 6 (18) (21)
11170 (18) (70) (50)
8535 (21) (50) (131)
b b b
b b b
b b b
Reemplazando en las ecuaciones normales
Resolviendo el sistema de Ecuaciones
𝑌 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2
𝑋1𝑌 = 𝛽0 𝑋1 + 𝛽1 𝑋1
2
+ 𝛽2 𝑋1𝑋2
𝑋2𝑌 = 𝛽0 𝑋2 + 𝛽1 𝑋1𝑋2 + 𝛽2 𝑋2
2
𝜷 =
𝛽0
𝛽1
𝛽2
=
96.481
136.485
−2.401
17. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
𝑌 = 96.481 + 136.485𝑁º ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡 − 2.401𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐
𝜷𝟎: La renta esperada(promedio), cuando el tamaño del departamento y la distancia al centro de la
ciudad toman el valor de cero será de 96.481$
𝜷𝟏: Por cada incremento de una habitación, la renta esperada(promedio) se incrementará en
136.485$ manteniendo constante la distancia al centro de la ciudad.
𝜷𝟐: Por cada incremento de una unidad de distancia al centro de la ciudad, la renta esperada
(promedio) disminuirá en -2,401$ manteniendo constante el número de habitación
Solución.
18. EJERCICIO ADICIONAL
a) Determinar la ecuación de regresión estimada
b) Interpretar cada uno de los coeficientes
𝑌 =
Σ
𝑋1 =
Σ
𝑋2 =
𝑋1𝑌 =
𝑋2𝑌 =
𝑋1𝑋2 =
𝑋1
2
=
𝑋2
2
=
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
19. Actividad:
• El estudiante responde en el chat sobre 2 principales preguntas del
docente sobre su aprendizaje en la clase de hoy.
CIERRE (15 min)
Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo.
Cierre
20. CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1.¿Cuándo se usa la regresión lineal y que
supuestos debe cumplir?
2.¿Cómo se interpreta el coeficiente de una
regresión lineal múltiple?