Fascículo 6 .Ecuaciones. El Mundo de la Matemática. Fundación Polar.

1. Puente autopista Caracas-La Guaira, En una competencia ciclística entre San Cristóbal y
Venezuela. La estructura principal de La Fría existen diversos aspectos que van cambiando
este viaducto está definida por parábolas, a medida que los participantes cubren dicho trayecto.
gráfica de la función cuadrática.
Es importante tomarlos en cuenta para llegar a ser el
ganador de ella.
Para poder predecir el desempeño de los ciclistas,
existen datos que se toman durante los entrenamientos:
la distancia recorrida, los tiempos para recorrerla, la
energía que el cuerpo consume, entre otros. También
hay aspectos constantes como la distancia a ser
cubierta y la diferencia de altura que existe entre estas
En el papiro Rhind, un antiguo dos ciudades.
documento egipcio de 1650 a.C., Podemos representar
se plantea un problema el cual como d la distancia
dice: “un montón y un séptimo recorrida, t el tiempo, E la
del mismo es igual a 19”. energía que consume; d,
¿Cómo es la expresión t y E son variables que
matemática de esta igualdad? describen aspectos de la
Esta ecuación se escribe así: situación planteada.
x + x = 19
7

2. Acto I, II, III. (1989)
Asdrúbal Colmenares (Trujillo 1936- ).
El lenguaje de las matemáticas
Las matemáticas, como muchas actividades humanas, requieren de un
lenguaje para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguaje
posee varios componentes.
Símbolos o signos Vocabulario
“ecuación”
÷ 9 + “variable”
“incógnita”
Componentes “despejar”
> “elevar al cuadrado”
Gráficos
Los diversos símbolos o signos presentes en este lenguaje tienen un significado preciso y cumplen diversas
funciones:
Símbolos que representan Signos que indican Signos para las operaciones:
números: relaciones:
> “mayor que” + para la adición, - para la sustracción;
0, 1, 2, ..., 9 < “menor que” x o • para la multiplicación, / o ÷ para la
= “igual a” división; para la radicación.
= “diferente de”.
Símbolos que aparecen en Para algunas constantes se Signos de agrupación:
matemáticas superiores: usan letras específicas ( ) paréntesis
como i , e y la letra griega [ ] corchetes
para la derivada.
π. { } llaves.
Letras del alfabeto para simbolizar constantes y variables.
Las primeras letras: a, b, c, d se suelen emplear para denotar
constantes. Las últimas letras: x, y, z se utilizan generalmente para
representar variables. También se utilizan con frecuencia las letras
griegas .
La historia del álgebra (Die Algebra der Griechen), según
el alemán G.H. Nesselmann (Berlin 1811-1881), pasó
por tres grandes fases. En la primera de ellas, llamada
En el siglo IX Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los
álgebra retórica, prácticamente no había simbología
números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos
y tanto el enunciado como la solución de un problema
algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
eran verbales; en la segunda, llamada álgebra
Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo. La
sincopada, se empleaban abreviaturas para designar
palabra álgebra deriva del título de su obra más importante,
conceptos y representar operaciones; y por último, el
que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal
álgebra simbólica, en la cual se usa una variedad de
muqabala.
símbolos para expresar las ideas matemáticas.
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3. Cruz de mayo. (1960)
Régulo Pérez (estado Bolívar 1936- ).
Los símbolos se pueden combinar de diversas maneras. Estas
combinaciones dan lugar a expresiones y fórmulas matemáticas. Una
expresión es una combinación de símbolos matemáticos. Una fórmula
es una expresión en forma de igualdad o desigualdad que representa
una ley, propiedad o condición.
(a+b)2
C+V=A+2
ax + b = 0 A=πR2
3 bh
x 3+ A=
2 2
4
an = 3 + nr Fórmulas V = 3 πR3
y
bn = 5rn expresiones hπR2
sen (ß) c 2= a 2+ b 2
at2 + bt + c = 0 -b ± b2 - 4ac
f(x) = ax + b 2a
f(x)=ax2+bx+c
No todas las combinaciones de símbolos que se nos ocurran son válidas. Sucede algo similar con nuestro
idioma: cualquier combinación de letras no es necesariamente una palabra; así, “casa” es una palabra bien
construida, mientras que “wxathz”, no lo es. En matemáticas, por ejemplo, las expresiones “(x+y) 2” y “f(x)=3e x+1”
están bien construídas. Sin embargo, “)3+x)”, “x+-3” y “3x-log” no lo están.
¡Para que obtengamos expresiones válidas tenemos que respetar ciertas reglas!
Notemos que aunque la expresión sea válida, ésta puede no representar el resultado correcto de una situación:
si queremos sumar 5 más 3 y multiplicar el resultado por 2, la expresión que representa correctamente lo planteado
es: (5+3)2. Si usáramos la expresión 5+3(2), ésta sería válida como expresión matemática pero no representa
al enunciado dado.
Una variable se representa mediante un símbolo, generalmente una letra. En una expresión
matemática cada variable representa un elemento cualquiera de un conjunto de valores
posibles. Por ejemplo, en la expresión f(x)=2x+3, x es una variable que puede tomar valores
en un conjunto numérico ( , , , , ); por su parte, 2 y 3 en la expresión anterior representan
constantes. En la expresión A(r)= πr 2, r es una variable que toma valores positivos en el
conjunto de los números reales; mientras que π es constante. También f(x) y A(r) son variables.
La distancia cubierta d y el tiempo empleado t en un recorrido en bicicleta también son
variables, las cuales sólo pueden tomar valores no negativos.
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4. Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas
El advenimiento y posterior evolución del simbolismo matemático fue un proceso lento.
Veamos una breve reseña:
Matemático Forma de escritura para la época Forma actual de escritura
Siglo II
Diofanto x 3= 5 x 2+ 8 x - 1
1494
Luca Pacioli x + x 2= 1 2
1521
Ghaligai x2 + 32x = 320
1577
Gosselin 12LM1QP48 aequalia 144M24LP2Q 1 2 x - x 2+ 4 8 = 1 4 4 - 2 4 x + 2 x 2
s. XVI
B 3 in A q + F 5 in A – AC aequatur
Viète D sólido 3 a x 2+ 5 b x - x 3 = D
1629
Girard 1 4 + 35 2 + 24 = 10 3 + 50 1 x 4+ 3 5 x 2 + 2 4 = 1 0 x 3 + 5 0 x
1637
1 1 1 1 2
Descartes x a+ aa + bb x = a+ a + b2
2 4 2 4
1693
Wallis x4 + bx3 + cxx + dx + e =0 x 4+ b x 3 + c x 2 + d x + e = 0
Notamos que en el período 1494-1693 (casi 200
años) se pasó de una escritura casi en lenguaje
natural al simbolismo actual, sin embargo este
proceso no se ha detenido. Por ejemplo, en el siglo
XX, el conocido grupo Bourbaki introdujo diversas “El algebra se apropia de pleno derecho el
notaciones y popularizó otras. Entre éstas utilizó el noble problema entre los problemas que
símbolo ø para denotar al conjunto vacío. es: no dejar ningún problema sin solución.”
F. Viète (s. XVI)
André Weil En Inartem analytican isagoge (1591). Primer
francés (1906-1998). Uno de los tratado moderno de álgebra que lo hizo famoso.
principales matemáticos del siglo XX,
miembro fundador del grupo Bourbaki.
Dos matemáticos del siglo XX, el polaco Hugo Steinhaus y el canadiense Leo Moser, idearon
una ingeniosa notación para escribir números muy grandes. La notación funciona así:
a = aa a = a dentro de a triángulos y a = a dentro de a cuadrados
2 = 2 = 2 = 22 = 44 = 256
El último número representa 256 dentro de 256 triángulos y cada vez que quitamos un triángulo tenemos
que tomar lo que está dentro de él como base y elevarlo a un exponente igual a la base. El resultado
Hugo Steinhaus es un número gigantesco.
matemático polaco (1887-1972).
Reto:
Trata de calcular el valor de 3
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5. Ecuaciones lineales
Consideremos la siguiente situación (con los números que utilizamos
para contar): se trata del juego o acertijo “Piensa un número...”
1- Piensa un número
2- Multiplícalo por 2
3- Agrégale a lo obtenido 5
4- Multiplica el resultado anterior por 5
5- Súmale 10 a la cantidad obtenida
6- Multiplica el nuevo resultado por 10
7- Dime el resultado y te diré el número que pensaste
¿Cómo funciona el truco?
Para ver que hay detrás de este acertijo, basta transformar las frases
anteriores en su equivalente simbólico: es decir, construir las expresiones
matemáticas que las representan.
Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el que
piensa nuestro adversario) con una letra. Pongamos por caso n.
A continuación traducimos todas las instrucciones a expresiones
matemáticas:
1- Piensa un número n
2- Multiplícalo por 2 2n
3- Agrégale a lo obtenido 5 2n+5
4- Multiplica el resultado anterior por 5 (2n+5)5
5- Súmale 10 a la cantidad obtenida (2n+5)5+10
6- Multiplica el nuevo resultado por 10 [(2n+5)5+10]10
7- Dime el resultado y te diré el número que pensaste R=[(2n+5)5+10]10
R R(n)=100n+350
es el resultado que
nos dan. Una vez escogido Esta dependencia se indica por
n el valor R queda determinado R(n) y es lo que en matemática
por las operaciones especificadas se denomina una función.
mediante la fórmula; R se denomina La
variable dependiente en razón variable n es el número
de que su valor depende del pensado. Como la variable
valor n. n es de libre escogencia, ella
se llama variable
independiente.
La incógnita ha recibido diversos nombres en la historia de la matemática. Ahmes (siglo XVII a.C.)
usaba la palabra “aha”, que significa montón” o “cantidad”, para designarla. El hindú Aryabhatta
(siglos V a VI d.C.) usó la abreviatura “ya” para representarla. En los siglos XV y XVI se emplearon
las palabras “res” (latín), “cosa” (italiano), “coss” (alemán) y “cossike” (inglés). En el siglo XV, el
matemático Nicolás Chuquet la denominó “premier”.
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6. “El álgebra es generosa, frecuentemente
da más de lo que pide”
Ecuaciones lineales Jean D’Alembert
matemático, físico y filósofo francés
(1717-1783).
¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n?
En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de
los números naturales, denotado por IN.
n N
El jugador que pensó el número n calcula el número R(n) que produce la fórmula:
es decir, está evaluando la función en n. Así, si n=3, entonces le corresponde
R(3)=650; si n=11, entonces R(11)=1450, etc.
Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n que produzca el R dado?
Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestro oponente da el valor de R y queremos
“adivinarle” el número que pensó. Esta nueva situación produce una ecuación y el valor desconocido n
pasa a llamarse incógnita.
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes y
una o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x3 - 8 = 0 ...
Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación.
Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posible encontar una fórmula mediante
la cual se establezca una relación entre el número de triángulos y el número de fósforos empleados?.
¡Exploremos el asunto!
Para el primer triángulo
requerimos tres fósforos.
Para poder anexar el
segundo se necesita
adicionar dos
fósforos. Para el
siguiente colocamos
dos más.
Denotemos con la letra n el número de fósforos (variable independiente)
y con T(n) el número de triángulos construídos con n fósforos (variable Nº Nº
dependiente).
Si observamos con un poco de cuidado podemos notar que los números
1 3
de la segunda columna son los números impares ≥ 3 y en la primera
aparecen los números naturales. La pregunta original se transforma en 2 5
¿cómo determinar un número de la primera columna conocido su 3 7
correspondiente en la segunda? En otras palabras, ¿Cómo saber que al 4 9
7 le corresponde el 3, al 11 el 5...? La respuesta es que dado un número
5 11
de la segunda columna, le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, la
fórmula buscada es: ... ...
n-1 n 1
T(n)= =
2 2 2
En las dos situaciones que acabamos de presentar, la expresión del lado derecho de la igualdad resultó
ser de la forma an + b. En otras ocasiones, como el caso del problema propuesto en el Papiro Rhind
cuando las cantidades que intervienen son números reales, se acostumbra emplear la letra x en lugar
de n.
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7. Funciones afín y cuadrática
Se dice que la expresión ax+b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de la
variable y la función definida por f(x)=ax+b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la función
afín es una línea recta no vertical.
y
Tn
Si representamos la sucesión T(n),
de los fósforos, se obtienen los
puntos que marcamos en la gráfica
y observamos que éstos están
alineados.
x 1
Si utilizamos en vez de n
f(x)=
2 2
una variable real x,
1 la representación de 1
1
n esta función da una recta. 1
0 0
x
El área del cuadrado de lado x es x2 y su
Veamos otra situación:
Al
número que perímetro es 4x.
corresponde al área de
un cuadrado le resto cinco Por lo que la ecuación queda de la siguiente
cuartos del número que forma:
corresponde a su perimetro.
5 5
Si resulta -6, ¿podré x2 - (4x) = -6 => x2- (4x) = -6
4 4
determinar las
dimensiones del x2 - 5x =-6
cuadrado?
Ecuación de segundo grado o cuadrática
2
Si aplicamos la fórmula -b ± b - 4ac para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado (a= 1,
2a
b=-5 y c=6), los valores resultantes, para nuestra ecuación x2 - 5x =-6, son x=2 y x=3. Hay dos cuadrados que
cumplen con la premisa dada, los cuadrados de lado 2 y lado 3.
y
-5x+6
La expresión ax2 + bx + c= 0 se dice
) = x2
que es una ecuación de grado 2 (o
de f(x
cuadrática) y f(x)=ax2+bx+c se
a
denomina función cuadrática. La
Gráfic
gráfica de la función cuadrática es una
parábola. Parábola Rock
Armenia.
En este caso ∆ = b2 - 4ac > 0
1
y a>0
x
0 1
Raíces de la ecuación x2-5x+6=0
Como podemos observar, la parábola corta al eje x en x=2 y en x=3. Estos
valores son las raíces que ya habíamos obtenido por métodos algebraicos. Las
raíces nos permiten localizar los puntos de corte de la parábola con el eje x.
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8. Ecuaciones cuadráticas
Grafiquemos algunas funciones de grado 2 a los fines de observar si las mismas cortan
el eje x en uno o más puntos, o no lo cortan. Esto da una idea de cómo son las raíces
correspondientes a la ecuación cuadrática.
f(x)=-x2-5x-7 y f(x)=(x-1)2
y
0 1
x
-1
1
1
0 x
Raíz de la ecuación (x-1)2 = 0
2
La ecuación -x -5x-7=0 no tiene raíces reales. ∆ = -3 < 0 La parábola toca un solo punto del eje x. ∆ = 0
y
f(x)=x2-3x-4 f(x)= -(2x)2-2x
y 1
x
0
Raíces de la ecuación -(2x)2-2x = 0
-1
1
0 x
1
Raíces de la ecuación x2-3x-4=0
∆ = 25 > 0 ∆=4>0
Las ecuaciones y los conjuntos numéricos.
Inicialmente cuando sólo se conocían los números naturales N: 0, 1, 2, 3,... x+3=5 Solución x = 2
y se planteaban ecuaciones del tipo x + a = b, algunas de éstas podían x+5=2 No tiene solución en IN
resolverse, es decir tenían solución en el conjunto N, mientras que otras no.
De esta manera se crea el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2,
-2, 0, 1, 2, 3,... donde tienen soluciones las ecuaciones del tipo x + a = b. 3x = 18 Solución x = 6
Pero ahora se plantean ecuaciones de la forma ax = b. Como no todas tienen 2x = 1 No tiene solución en
solución en , se construye el conjunto Q de los números racionales o
a
fracciones, b ,a b y b ≠ 0. Surgen ahora ecuaciones del tipo x2 - a = 0,
a > 0 que no tienen solución. De esta manera se crea el conjunto de los
números reales, donde están números como 2, π y e. Pero no todas las x2 - 2 = 0 Sin solución en Q
ecuaciones del tipo x2 + a = 0 tienen solución en . Finalmente se construye x2 + 1 = 0 Sin solución en
el conjunto C de los números complejos, donde todas las ecuaciones
algebraicas anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 tienen solución.
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