função

1. ANÁLISE DE ERROS EM TRIGONOMETRIA
Kaio Alexandre Pereira de Azevedo – Universidade do Estado do Pará(UEPA).
Roberta Fernanda Barros da Costa – Universidade do Estado do Pará(UEPA).
Resumo:
O presente trabalho apresenta um estudo de caráter diagnóstico, cujo intuito foi
investigar conhecimentos e os erros de estudantes de uma escola pública do
ensino médio sobre o conceito de trigonometria. A análise dos erros norteou-se
pela teoria de Pinto e Buriasco sobre conceitos imagem e definição constituída
na formação do pensamento científico do estudante. Foram analisados os
conhecimentos de vinte estudantes do 2° ano do ensino médio de uma Escola
pública do Estado do Pará. Os dados foram obtidos pela aplicação de um
questionário e obteve indicações de que havia elementos que compunham os
conceitos de figuras e definição dos sujeitos pesquisados sobre o conceito de
trigonometria.
Palavras-chave: conceito de figuras, conceito de definição, trigonometria.
1. Introdução
O erro, segundo a proposta construtivista de educação, é um construtor da
aprendizagem. Quem erra está tentando aprender, tentando acertar. O papel
do erro no processo de aprendizagem depende de como ele ocorreu nas
resoluções de tarefas.
As análises dos erros cometidos pelo aluno contribui para a compreensão
de como ele se apropriou de um conhecimento e quais as dificuldades que
ainda precisam ser superadas, ou seja, o erro do aluno deve ser compreendido
como um saber que ele possui, construído de alguma forma errada, sendo
necessário criar intervenções didáticas que desestabilizam suas certezas,
levando o a um questionamento sobre as suas respostas.
Segundo Pinto (1999) o erro é um dos elos mais resistentes da cadeia
avaliativa escolar, assim sendo considerado como elemento negativo e que
precisa ser apagado do contexto escolar, Pinto (1999) não faz propriamente

2. uma classificação dos erros, mas afirma que e difícil distingui-los, pois percebe
nas relações entre o saber e saber fazer, porque os erros estão ligados á
construção do conhecimento. Erro quando concebido diante de uma dimensão
construtivista, e oferece ao professor uma medida didática para um
planejamento de ensino melhor e um novo elemento para refletir suas ações
didáticas, no entanto a maioria dos professores age sobre os erros a partir de
uma ação corretiva, podendo até haver um diagnostico do erro, mas prevalece
a eliminação imediata do mesmo.
Santos e Buriasco (2008) ressaltam que ao tratarmos do erro, estamos
tratando do que os alunos não fizeram em relação ao que eles deveriam ter
feito, e estamos olhando para esses ‘erros’ pela perspectiva do acerto,
acreditando que nossos alunos estão fazendo as mesmas inferências e
significações que nós fazemos. Essa prática é muito presente na cultura
avaliativa das escolas e situam o rendimento do aluno quantitativamente
(notas), utilizando-se de processos de avaliação que não ajudam os alunos a
superar seus obstáculos cognitivos como as provas objetivas. Essa prática é
confirmada nos PCNs:
Para que a avaliação ocorra de forma adequada o professor deve ter
conhecimento dos tipos de erros, os motivos gerais, que podem ter ocorrido. A
dificuldade da linguagem, como o aluno interpretou de forma equivocada o
comando e/ou a situação problema. A falta de domínio dos pré-requisitos de
habilidades, fatos e conceitos, domínio básico necessário para resolução é
deficiente. Realização de associações incorretas ou a rigidez do pensamento,
uma ideia associada a outra e convicção que este raciocínio é o correto. E por
fim, os erros cometidos na aplicação de regras e estratégias irrelevantes.
A partir dessa análise que o professor poderá criar recursos possibilitando
mudanças. O professor organizará suas ideias tendo em mente: o respeito ao
aluno, estimulando deste a autoanálise e autocrítica; que os conteúdos a serem
trabalhados devem estar pautados nem planejamento de estratégias.
Diante o exposto nos propomos investigar os erros sobre Trigonometria,
pois o conteúdo de trigonometria possui relevância na formação matemática de
qualquer cidadão atuante na sociedade contemporânea. Além de estar ligado a
situações que envolvem abstrações, interpretações e resolução de problemas

3. relativos a diversos fenômenos estudados em várias áreas do conhecimento
humano, e vem sendo apontado por diversos pesquisadores.
A matriz de referência que norteia as provas de Matemática do Sistema
de Avaliação da Educação Básica (SAEB) e da Prova Brasil indica que o
conhecimento matemática ganha sentido quando os alunos têm situações
desafiadoras e podem desenvolver estratégias de resolução. A matriz de
referência de Matemática para 3º série do Ensino Médio apresenta, como um
de seus descritores no tema Espaço e Forma, “Resolver problema que envolva
razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente)”.
Alguns estudos apontam as dificuldades que muitos alunos apresentam no
estudo da trigonometria tais como: Kennedy (1992), Roxo (1937), Brito e Morey
(2004) Lindegger (2000), Nascimento (2005), Silva (2005), Martins (2009),
Barbosa (2009) e Borges (2009) Rosenbaum (2010).
Sendo assim queremos com este trabalho responder a seguinte questão:
Quais os erros que os alunos cometem ao resolver questões sobre
Trigonometria?
2. Estudo sobre Trigonometria
A trigonometria pode ser tratada como um tópico matemático independente
nas propostas curriculares (conteúdo programático de matemática) do ensino
fundamental ou médio. Há alguma conexão entre a trigonometria e outras
partes da matemática ou talvez, entre esta e as outras disciplinas das
propostas curriculares do ensino fundamental ou médio.
Estudos como de Brito e Morey (2004) evidenciam que a formação dos
professores é insuficiente quanto aos conhecimentos, competências e
habilidades para o desenvolvimento do tema Funções trigonométricas.
Resultados obtidos pelos pesquisadores apontam que a abordagem é
superficial e não prioriza a construção de conceitos relacionados ao tema.
Diversos estudos como de Lindegger (2000), Nascimento (2005), Costa
(1997), Briguenti (1994, 1998), Klein (2009), Brito e Morey (2004), Martins

4. (2009), Barbosa (2009) e Borges (2009) recomendam o uso de situações
problema significativo a partir de aplicações na vida cotidiana; a configuração
de trabalho em equipe de modo a permitir a troca de experiências entre os
alunos e o uso de recursos tecnológicos como softwares matemáticos para
visualização e compreensão das funções trigonométricas.
Barbosa (2009), ele procura “analisar a possibilidade de compatibilizar
perspectivas de aprendizagem com a planificação de ensino relacionada às
razões e às funções trigonométricas”, e percebe que não basta uma boa
sequência de atividades, mas uma postura atuante e reflexiva diante das
situações. Embasado por uma visão construtivista, desenvolve seu trabalho
tendo como referência a noção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem
(THA). Foi um trabalho que se desenvolveu em três salas de aula do 2º ano
médio, tendo como instrumento de coleta de dados, relatórios de observações.
Nos estudos de Silva (2005), pretendia introduzir as razões seno, cosseno e
tangente por meio de investigações. Com isso elaborou uma sequência de
quatro atividades, cujo foco era “responder se a produção de uma sequência
didática e ensino enfatizando as construções e transformações geométricas
articuladas ao tratamento figural proporciona uma apreensão significativa”. Tal
pesquisa foi explorada em sala de aula pelo próprio pesquisador
Rosenbaum (2010) teve o mesmo foco ele propôs atividades que
potencializassem a aprendizagem dos alunos sobre Funções Trigonométricas,
numa perspectiva construtivista, além disso, ela analisou diversas pesquisas
em Educação Matemática que trouxeram resultados importantes sobre o
assunto. A pesquisadora verificou ainda, “como a atuação do professor do
professor de matemática se revela, no que se refere às atividades de
planejamento do ensino de Funções Trigonométricas”.
Com isso ambos os autores verificaram que os alunos têm dificuldades em
identificar as diferentes representações da trigonometria com problemas
envolvendo seno, cosseno e tangente, em fazer cálculos referentes a essas
formas em identifica-las, pois aplicar e identificar problemas que envolvam
resoluções de problemas e com relações reais do dia a dia através de questões
praticas.

5. 3. Metodologia de Pesquisa.
A pesquisa é qualitativa do tipo descritiva, pois para Rudio (2007) o objetivo
da pesquisa descritiva é descobrir e observar fenômenos, tentando descrever,
classificar e interpretá-los sem interferir nos fatos observados.
Utilizaremos como instrumento de pesquisa um teste contendo 7 questões
de Trigonometria, que será aplicado a uma turma do 2º ano do Ensino Médio
de uma escola pública da cidade de Belém do Pará.
4. Análises dos erros cometidos nas questões de trigonometria.
Fundamentados nos estudos supracitados utilizamos as dificuldade e erros
apontados nestes estudos para criarmos três categorias de análise, quais
sejam:
C1 - Compreensão conceitual de trigonometria;
C2 - Compreensão do sistema posicional;
Apresentamos o quadro 1 que faz o comparativo do número de acertos,
erros e questões em branco.

6. Quadro 1 - comparativo de acertos e erros e não fez
Questões Acertos Erros Não Fez
1 90% 10% -
2 20% 50% 30%
3 5% 40% 55%
4 5% 35% 60%
5 12% 38% 50%
6 20% 39% 41%
A seguir apresentamos às questões que foram resolvidas pelos alunos e os
objetivos das mesmas, assim como, a análise de algumas respostas dadas
pelos alunos. Escolhemos para as análises as questões que apresentaram
erros significativos e que foram cometidos pelos demais alunos.
1. A função f, do 1° grau, e definida por f(x) = 3x+k. o valor de k para que
o gráfico do f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno Analisar os erros dos
alunos no calculo do valor numérico
Esta questão teve 75% de acerto, os erros cometidos foram em relação
à escolha errada da operação na hora do cálculo, ou a falta de compreensão
da questão. Nesta questão não houve questões em branco, como mostra o
quadro 1. Apresentamos a seguir alguns dos erros cometidos pelos alunos.

7. Figura resposta Aluno.
O aluno, além de não ter uma boa compreensão da questão, utilizando de
forma errada seus dados. Observe que ao utilizar o 5 como k ao invés de usá-
lo como x. este aluno mostra que ele não conhece os conceitos de funções.
3. Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(-3) = - 7.
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno Analisar as dificuldades na
representação de função
Esta questão teve 30% de acerto, os erros cometidos foram em relação à
escolha errada na representação de uma função, ou a falta de compreensão da
questão. Nesta questão houve 25% de questões em branco, como mostra o
quadro 1. Apresentamos a seguir alguns dos erros cometidos pelos alunos.
Figura Resposta do Aluno.
O aluno, além de não ter uma boa compreensão da questão, utilizando de
forma errada seus dados. Observe que ao utilizar o 5 como x ao invés de usar
o número 1. este aluno mostra que ele não conhece os conceitos de funções.
4. Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno Analisar as dificuldades na
representação de função

8. Esta questão teve 50% de acerto, 15% dos erros cometidos foram em
relação à escolha errada na representação de uma função, ou a falta de
compreensão da questão. Nesta questão houve 35% de questões em branco,
como mostra o quadro 1. Apresentamos a seguir alguns dos erros cometidos
pelos alunos.
6. Represente Graficamente a função definida por f(x) = 2x-1.
O objetivo dessa questão era verificar se Analisar a construção de gráficos
feita pelos alunos.
Esta questão teve 0% de acerto, 75% os erros cometidos foram em relação
à análise do gráfico, ou a falta de compreensão da questão. Nesta questão
houve 25% de questões em branco, como mostra o quadro 1. Apresentamos a
seguir alguns dos erros cometidos pelos alunos.
Figura Resposta do Aluno.
O aluno, além de não ter uma boa compreensão da questão, utilizando de
forma errada seus dados. Observe que o aluno não sabe basicamente nada
sobre construção de gráficos.
7. No gráfico a seguir. Determine o ponto P.
O objetivo dessa questão era verificar se analisar a interpretação gráfica.
Esta questão teve 10% de acerto, 60% dos erros cometidos foram em
relação à construção do gráfico, ou a falta de compreensão da questão. Nesta
questão houve 30% de questões em branco, como mostra o quadro 1.
Apresentamos a seguir alguns dos erros cometidos pelos alunos.

9. Figura Resposta do Aluno.
O aluno, além de não ter uma boa compreensão da questão, utilizando de
forma errada seus dados. Observe que o aluno não sabe basicamente nada
sobre análise de gráficos.
Nas análises das questões envolvendo conceitos e gráficos, percebemos que
os alunos apresentaram uma compreensão incompleta desses estudos e
principalmente quando utilizado com funções, pois parece não compreender
alguns conceitos básicos.
De um modo geral as análises sobre os erros que os alunos apresentam nas
questões com funções confirmam com as apresentadas pelos estudos
revisados. Em relação às categorias utilizadas neste estudo, temos que:
Categoria C1 - Compreensão conceitual de funções;
As respostas analisadas apontaram que os alunos têm deficiências
relacionadas ao conceito de funções, pois as ideias de substituições. não
fazem sentido para o aluno e isso foi observado em todas as respostas dos
alunos.
Categoria C2 - Compreensão do sistema posicional e construção de
gráficos
As respostas analisadas apontaram a falta de compreensão conceitual de
funções na hora de analisar e construir gráficos que levou os alunos a

10. cometerem erros do tipo não saber onde posicionar os pontos na armação dos
gráficos.
VOCÊ PRECISA COLOCAR NAS ANÁLISES DOS RESULTADOS AS
CATEGORIAS DE ERROS QUE APRESENTARAM ANTERIORMENTE. ASSIM, AS
ANÁLISES SERÃO POR CATEGORIA E NÃO POR QUESTÃO.
ENTÃO, VOCÊ PRECISA DIZER QUAIS AS RESPOSTAS QUE FORAM
CLASSIFICADAS COMO CATEGORIA 1 OU 2 OU 3? DESCREVA O ERRO
ESTABELECIDO PELO ALUNO E COMPARE COM OS ESTUDOS QUE
APRESENTOU NA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. TAL COMPARAÇÃO DEVE
APONTAR SE HOUVE SIMILARIDADE COM OS RESULTADOS DESSES
ESTUDOS OU SE OS RESULTADOS QUE VC ENCONTROU SÃO DIFERENTES.
5. Considerações Finais
O objetivo deste trabalho era realizar uma análise de alguns erros que
os alunos cometem quando resolvem questões sobre função. Ao realizarmos
uma revisão da literatura correlata podemos relacionar os resultados desses
estudos com nossas análises sobre as dificuldades e erros dos alunos em
relação ao assunto função.
Em nossas análises encontramos como um fator predominante e que
talvez seja a causa dos erros dos alunos em relação as funções polinomiais a
falta de compreensão conceitual e de análise e construção de gráficos, esta
mesma causa foi apontada em todos os estudos revisados.
Desse modo, é de suma importância que o professor fique atento a
esses erros e busque alternativas metodológicas para amenizar os mesmos.
6. Referencia.
RUDIO, F. V. Introdução ao projeto de pesquisa. 34. ed. Petrópolis - RJ:
Vozes, 2007.
CAIRES João e NASCIMENTO Jorge, Revista Eventos Pedagógicos.v.3,
n.3, p. 390 - 409, Ago. – Dez. 2012.

11. FILHO Mauricio e MENEZES Josinalva, X Encontro Nacional de Educação
Matemática, Cultura e Diversidade Salvador – BA, Julho de 2010.
Perrenoud, Ph. (1999). Avaliação. Da Excelência à Regulação das
Aprendizagens. Porto Alegre : Artmed Editora (trad. en portugais
de L'évaluation des élèves. De la fabrication de l'excellence à la
régulation des apprentissages. Bruxelles : De Boeck, 1998).