1) O documento apresenta 15 questões sobre matrizes, incluindo conceitos como determinantes, transpostas, semelhança e propriedades de matrizes.
2) As questões abordam cálculos e propriedades envolvendo operações com matrizes como soma, produto e potenciação.
3) Há também questões conceituais sobre inversibilidade, similaridade e propriedades de simetria de matrizes.
2. MATRIZES
1
01. (Epcar 2016) Seja A a matriz
1
0
2
2 0
. Sabe-se que n
n vezes
A A A A A
= . Então, o determinante da matriz
2 3 11
S A A A A
= + + + + é igual a
a) 1
b) 31
−
c) 875
−
d) 11
−
02. (Ita 2016) Se
1 1
M
2 0
−
=
e
2 1
N ,
1 3
=
−
então T 1
M N M N
−
− é igual a
a)
3 5
2 2
5 3
2 2
−
−
b)
3 1
2 2
7 5
2 2
−
−
c)
3 11
2 2
13 5
2 2
−
−
d)
3 5
2 2
13 3
2 2
−
−
e)
3 11
2 2
13 3
2 2
−
−
03. (Ime 2016) Seja
a b
A .
b a
=
−
O maior valor de a, com a 1
,
que satisfaz 24
A I
= é
Observação: I é a matriz identidade 2 2.
a)
1
2
b)
2
2
c)
3
2
d)
2
( 3 1)
4
−
e)
2
( 3 1)
4
+
3. MATRIZES
2
04. (Ita 2015) Seja ij 5 5
A (a )
= a matriz tal que i 1
ij
a 2 (2j 1),
−
= − 1 i,j 5.
Considere as afirmações a seguir:
I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão i
2.
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2.
III. tr A é um número primo.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas I b) apenas I e II c) apenas II e III d) apenas I e III e) I, II e III
05. (Acafe 2015) Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, marque com V as afirmações verdadeiras e com
F as falsas.
( ) Uma matriz A é quadrada de ordem 4, e seu determinante vale 3, então, o valor do determinante da matriz
2A é 48.
( ) O sistema
2x 3y 5
8x ay b
+ =
+ =
não admite solução para a 12
= e b 20.
=
( ) Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, det A 0.
( ) Para quaisquer matrizes A e B tais que existam os produtos AB e BA, tem-se 2 2 2
(A B) A 2AB B .
+ = + +
A sequência correta, de cima para baixo, é
a) V - F - V - F
b) V - F - V - V
c) F - V - F - V
d) F - V - F - F
06. (Esc. Naval 2014) Considere as seguintes matrizes
y
x
4 (16) 1
R ;
9 a 0
−
=
(2y 1) 1
x
1 (4) 2
S
3 b 1
− −
=
e
(2y 1)
b (2) 10 c
T .
27 13 6
−
−
=
−
A soma dos quadrados das constantes reais x, y, a, b, c que satisfazem à equação
matricial R 6S T
− = é
a) 23
b) 26
c) 29
d) 32
e) 40
07. (Espcex 2014) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz
1 0 1
2 1 0
0 1 1
é:
a)
2
3
b)
3
2
c) 0
d) 2
−
e)
1
3
−
4. MATRIZES
3
08. (Esc. Naval 2013) Sejam
1 1 2
A
4 3 0
=
−
e
5 0 3
B
1 2 6
−
=
−
e B' a transposta de B. O produto da matriz A pela
matriz B' é
a)
9 2 10
8 6 0
21 21 6
−
− −
b)
5 0 6
4 6 0
−
c)
5 4
0 6
6 0
−
d)
1 11
20 10
−
e)
1 10
2 1
−
−
09. (Epcar 2012) Uma montadora de automóveis prepara três modelos de carros, a saber:
MODELO 1 2 3
CILINDRADA (em litro) 1.0 1.4 1.8
Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada termo ij
a representa a distância percorrida, em km, pelo
modelo i, com um litro de combustível, à velocidade 10j km h.
6 7,6 7,2 8,9 8,2 11 10 12 11
,8
5 7,5 7 8,5 8 10,5 9,5 11
,5 11
3 2,7 5,9 5,5 8,1 7,4 9,8 9,4 13,1
Com base nisso, é correto dizer que
a) para motoristas que somente trafegam a 30 km h, o carro 1.4 é o mais econômico.
b) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 e um 1.8 trafegam a 50 km h, o 1.4 será o mais econômico.
c) para motoristas que somente trafegam a velocidade de 70 km h, o carro 1.8 é o de maior consumo.
d) para motoristas que somente trafegam a 80 km h, o carro 1.0 é o mais econômico.
10. (Ime 2012) São dadas as matrizes quadradas inversíveis A, B e C, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C
vale ( )
4 x ,
− onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale
1
3
− e que ( )t
t 1
CA P BP,
−
= onde
P é uma matriz inversível. Sabendo que
0 0 1
A 3 x 0 ,
1 0 0
=
determine os possíveis valores de x.
Obs.: (M)t
é a matriz transposta de M.
a) –1 e 3 b) 1 e –3 c) 2 e 3 d) 1 e 3 e) –2 e –3
5. MATRIZES
4
11. (Ita 2011) Considere as afirmações abaixo:
I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma
ordem, tal que M N é matriz nula.
II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det (M2
– M) = 0, então existe matriz não nula X, de
ordem n x 1, tal que MX = X.
III) A matriz 2
cos sen
é inversível, k , k .
tg
2
1 2sen
sec 2
−
+
−
Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas II
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) todas
12. (Ita 2001) Sejam A e B matrizes n × n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
(I) AB + BAt
é simétrica.
(II) (A + At
+ B) é simétrica.
(III) ABAt
é simétrica.
temos que
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (III) é verdadeira.
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
13. (Ita 1998) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma
matriz M inversível tal que: A = M-1
BM. Então
a) det (- At
) = det B
b) det A = - det B
c) det (2A) = 2 det B
d) Se det B ≠ 0 então det (- AB) < 0
e) det ( A - I) = - det (I - B)
14. (Ita 1995) Dizemos que duas matrizes n x n A e B são semelhantes se existe uma matriz n x n inversível P tal que
B = P-1
AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então
a) B é sempre inversível.
b) se A é simétrica, então B também é simétrica.
c) B2
é semelhante a A.
d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A2
.
e) det(ëI - B) = det(ëI - A), onde ë é um real qualquer.
6. MATRIZES
5
15. (Ita 1995) Sejam A e B matrizes reais 3 × 3. Se tr(A) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A,
considere as afirmações:
[(I)] tr(At
) = tr(A)
[(II)] Se A é inversível, então tr(A) ≠ 0.
[(III)] tr(A + ëB) = tr(A) + ëtr(B), para todo ë ∈ R.
Temos que
a) todas as afirmações são verdadeiras.
b) todas as afirmações são falsas.
c) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
d) apenas a afirmação (II) é falsa.
e) apenas a afirmação (III) é falsa.
GABARITO
1 - D 2 - C 3 - E 4 - E 5 - A
6 - B 7 - A 8 - D 9 - D 10 - D
11 - E 12 - E 13 - A 14 - E 15 - D
