Jawaban latihan soal bagian 2.4 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI cetakan : pertama, Juni 2010 penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162

1. Latihan Bagian 2.4 (Hal : 59)
7. Jika (𝑥 𝑛) barisan Cauchy dan 𝑥 𝑛 > 0 untuk semua 𝑛 ∈ 𝑁, apakah (
1
𝑥 𝑛
) barisan Cauchy?
Penyelesaian:
Misalkan 𝑋 =
1
𝑥 𝑛
untuk semua 𝑛 ∈ 𝑁 dan 𝑥 𝑛 > 0 dengan 𝑥 𝑛 barisan Cauchy. Diberikan
sembarang 𝜀 > 0. Dengan sifat Archimedes terdapat 𝐻 >
2
𝜀
. Akibatnya untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 𝐻.
| 𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑛| = |
1
𝑚
−
1
𝑛
| ≤
1
𝑚
+
1
𝑛
≤
1
𝐻
+
1
𝐻
<
𝜀
2
+
𝜀
2
= 𝜀
Karena 𝜀 > 0 sembarang, maka barisan
1
𝑥 𝑛
barisan Cauchy. Dengan kriteria Cauchy
1
𝑥 𝑛
konvergen.
8. Jika 𝑥1 < 𝑥2 sembarang bilangan Real dan 𝑥 𝑛 =
1
3
𝑥 𝑛−1 +
2
3
𝑥 𝑛−2 untuk 𝑛 ≥ 3, tunjukan bahwa
(𝑥 𝑛) barisan konvergen.
Penyelesaian :
Diberikan sembarang 𝜀 > 0. terdapat 𝐾 ∈ 𝑁 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku: | 𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛| <
𝜀
2
| 𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛| = |(
1
3
𝑥(𝑛+1)−1 +
2
3
𝑥(𝑛+1)−2) − (
1
3
𝑥 𝑛−1 +
2
3
𝑥 𝑛−2)|
= |(
1
3
𝑥 𝑛 +
2
3
𝑥 𝑛−1) − (
1
3
𝑥 𝑛−1 +
2
3
𝑥 𝑛−2)|
= |
1
3
𝑥 𝑛 +
1
3
𝑥 𝑛−1 −
2
3
𝑥 𝑛−2|
=
𝜀
2
> 0
Karena 𝜀 > 0 sembarang, maka 𝑥 𝑛 barisan konvergen.