Este documento presenta los conceptos fundamentales de vectores y planos. Explica cómo calcular los cosenos directores de un vector, la suma de vectores, el ángulo entre dos rectas, y la ecuación general de un plano. También incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas y conceptos para resolver problemas geométricos relacionados con vectores y planos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo Lara
Integrantes:
Victor Freitez
Andrés García
Karina Parra
Sección: 1T1IS

2.  Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema o de
coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los
ángulos a que el mismo forma con el sentido positivo de los ejes
coordenados.
 Sus formulas son:

3.  Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la
siguiente ecuación:
 Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ en
la formula correspondiente a su eje.
 Posteriormente se sustituye en la formula de suma de
cosenos.

4.  Ejemplo: Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, β, γ del
vector (4, 5, 3).

5.  Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos
que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
 Sus vectores:
 Sus pendientes:

6.  Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus
vectores directores son: = (-2, 1) y =(2, -3).
 Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo
obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo.

7.  Ecuación general del plano:
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:
El sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ. Por
ende, el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los
términos independientes tiene que ser igual a cero.
Se desarrolla el determinante:

8. Se le dan valores:
Se sustituye:
Se le da el valor a D y realizan las operaciones:
Obteniendo como resultado la ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:

9.  Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y
contiene a la recta de ecuación:
De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector .

10. Puntos Coplanarios
 Dos o más vectores son coplanarios si:
* Son linealmente dependientes, y por lo tanto sus componentes son
proporcionales y su rango es 2.
* Los vectores determinados por ellos también son coplanarios.
Ejemplo: Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y
(7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los
contiene.