1. CALCULO
PROPORCIONAL

2. Introducción
 Aprender matemáticas es algo difícil, para los estudiantes,
ya que esta ciencia exacta no la relacionan los
conocimientos que se tiene de la escuela como: leyes,
teoremas, formulas, entre otras. Con los problemas que se le
presentan en la vida real; pues el aprendizaje no es
significativo.
 La lógica estudia la forma del razonamiento y es
ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas,
computación, física. Para determinar si un razonamiento es
válido o no, ya que una frase puede tener diferentes
interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el
significado es correcto.

3. Objetivos
Objetivo General:
 El objetivo general del presente proyecto es incentivar al
alumno a que aprenda a resolver ejercicios de lógica
matemática utilizando el método directo, contradicción
tautología y tablas de verdad.
Objetivo Específico:
 Aprender a utilizar de manera correcta la lógica matemática en
la vida diría más no solo se quede en un simple concepto.
 Resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa
utilizando tabla de valores.
 Obtener mejores conocimientos sobre cada uno de estos temas
que serán de suma importancia en nuestra vida futura.

4. Tablas de verdad
 Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una
tabla que muestra el valor de verdad de una proposición
compuesta, para cada combinación de valores de verdad
que se pueda asignar a sus componentes.
 Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años
1880, pero el formato más popular es el que introdujo
 Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus,
publicado en 1921.

5. A B C2
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
A B C1
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V

6. Ejemplos:
 ENLAZA CADA PREPOSICIÓN CON SU FORMALIZACIÓN
“Llueve”= p “Hace sol”=q “Las brujas se penan”=r
1 Llueve y hace sol P ^ q
2 No es cierto que si llueve y hace sol las brujas no se
peinan
r<-> (p ^q)
3 Las brujas se peinan si únicamente llueve y hace sol ¬r->(¬ p v ¬ q)
4 Cuando las brujas no se peinan no llueve o no hace
sol
¬ 𝑝^𝑞 → 𝑟
5 Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las
brujas no se peinan
(p^¬r)v(q^¬r)

7. Tautologías y contradicción
 TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una
tautología si es verdadera para todas las asignaciones de
valores de verdad para sus proposiciones componentes.
A ¬ A AV ¬ A
V
F
F
V
V
V

8.  CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición
contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en
todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor
siempre es F.
A ¬ A A ^¬ A
V
F
F
V
F
F

9. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes Idempotentes: Leyes de Morgan:
p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p
p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p
Leyes conmutativa: Leyes del condicional:
p q ≡ q p p → q ≡ ~ p q
p q ≡ q p p → q ≡ ~ q → ~ p (contra recíproco)
Leyes de identidad o elemento
neutro:
p → q ≡ (p ~ q → 0) (reducción)
p 0 ≡ p Leyes del bicondicional:
p 1 ≡ p p ↔ q ≡ (p → q) (p → q)
Leyes de dominación: p ↔ q ≡ (p q) ( ~ p ~ q)
p 1 ≡ 1 p ↔ q ≡ ~ (p ⊻ q)
p 0 ≡ 0 Ley de la disyunción exclusiva:
Leyes de complementación: p ⊻ q ≡ (p ~ q) ( q ~ p)
p ~ p ≡ 1 (tercer excluido) Leyes de absorción:
p ~ p ≡ 0 (contradicción) p ( p q) ≡ p
~ ~ p ≡ p (doble negación) p ( p q) ≡ p
~ 1 ≡ 0 p (~ p q) ≡ p q
~ 0 ≡ 1 p (~ p q) ≡ p q
Leyes asociadas: Leyes distributivas:
(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)
(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)

10. Razonamientos
 Son proposiciones compuestas que pueden ser
representadas por la conjunción de proposiciones
denominadas premisas o hipótesis, la condicional como
operador lógico principal; y, una proposición final
denominada conclusión. Las premisas o hipótesis
corresponden al antecedente de la implicación, mientras que
la conclusión es su consecuente.
 [H1 ^ H2 ^ H3… ^ Hn] → C
 Conjunción de Hipótesis CONDICIONAL Conclusión
ANTECEDENTE Operador Lógico Consecuente

11. Validez de un razonamiento
 Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional
que representa su estructura lógica es una tautología. Si
dicha forma proposicional es una contradicción o
contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en
cuyo caso se denomina falacia.

𝒑 → 𝒒 𝒓 ~ 𝐪 → ~ 𝐩
 ~ 𝑝 → 𝑞 𝑟 ~ q ~ p
 ~ ~p q r ~ q ~ p
 ~ ~p q r ~ (~q) ~p
 ~ ~p ~(q r ) ~(~q) ~p
 𝑝 ~(q r) 𝑞 ~ 𝑝
 𝑝 (~ q ~ r) 𝑞 ~ 𝑝
 𝑝 ~ q) (p ~ r) 𝑞 ~ 𝑝
 𝑝 ~ q) (p ~ r) ~ 𝑝 ~ 𝑞
 𝑝 ~ q) ~(p ~ q (p ~ r)
 1 (p ~ r)
 1

12. Demostración matemática
 Son pasos sucesivos que permiten la coherencia de algún
problema relacionado a algo específico, se toma un conjunto
de premisas como algo verdadero, de las mismas se
obtienen una demostración que en sí, nos permiten
fortalecer la tesis, x hipótesis o Conclusiones. Debemos
acotar que para llegar a la conclusión se siguen una serie de
reglas o pasos con secuencia lógica.

13. ELEMENTOS DE LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
 Basarse en conocimientos previos.
 Probar su verdad.
 Empezar desde la hipótesis y llegar a la tesis.
 Encadenar una serie de razonamientos deductivos.
 Aplicar propiedades, principios o leyes.
 Es un razonamiento.
 Se debe verificar que una proposición matemática es
verdadera o es falsa.
 Es una cuestión lógica.
 Es para que nos demos cuenta que es algo que existe por
lógica.
 Es un procedimiento.
 Es encontrar la validez de un razonamiento lógico.

14. FUNCIONES DE LA DEMOSTRACION MATEMATICA
 Verificación (concerniente a la verdad de una afirmación).
 Explicación (profundizando en por qué es verdad).
 Sistematización (organización de resultados dentro de un
sistema axiomático).
 Descubrimiento (descubrimiento/invención de nuevos
resultados).
 Comunicación (transmisión del conocimiento matemático)

15. CONCLUSIONES:
 Se concluye que la lógica matemática no solo se aplica en
ejercicios prácticos sino también en la vida diaria.
 Además se aprendió a resolver ejercicios de una manera
más dinámica y directa utilizando tabla de valores y con
aplicación de la lógica.
RECOMENDACIONES:
 Se espera que este documento no solo se lo aplique como
un tema más sino se lo utilice de la mejor manera en la vida
diaria utilizando la lógica y siguiendo cada uno de los pasos
planteados.