good

1. 1
PHẦN BÀI TẬP
1. Tính các toán tử vi phân cấp I và cấp II sau
a. )( adiv

 b. )( arot


c. )( badiv

 d. )( barot


f. )( arotdiv

g. )( arotrot

h. )( graddiv i. )( gradrot
2. Tính các biểu thức sau với kzjyixr

 là bán kính véc-tơ
a. a

 )(  b. ba

 )(
c. ba

 )( d. ( ).a b
e. { ( )}div a r b  b. { ( )}rot a r b 
c. { ( )}div a r b  d. { ( )}rot a r b 
3. Tính các biểu thức sau với kzjyixr

 là bán kính véc-tơ và ,a b const
a. )( radiv

 , b. )( rarot

 ,
c. )( ragrad

 , d. { ( )}rot a r b  ,
e. )}({ bradiv

 , f. ))(( rba

 .
4. Chứng minh rằng, nếu n const thì ( )n n rotn n    .
5. Tính  ( ) ( )n grad a n rot a n    , với n là véc-tơ đơn vị.
6. Không gian có phân bố điện tích
3
0( ) r
r e 
  
  , ( 0,  là các hằng số dương).
Tính điện trường tại một điểm trong không gian.
Đáp án:
3
0 3
0
(1 )
3
r r
E e
r




 
7. Ở trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro, điện tích của electron được phân bố
đối xứng cầu với mật độ điện tích khối 3
( )
r
a
e
r e
a


  , a là bán kính Bohr, r là
khoảng cách từ tâm nguyên tử. Tính điện trường gây bởi electron tại một điểm
bên trong nguyên tử, cách tâm một khoảng r .
Đáp án:
2
2 3
0
(1 2 2 )
r
a
a a er
E e
r r a r

  
8. Một hình cầu bán kính R , tích điện đều mật độ khối  . Tính điện trường.
Đáp án: ( )
03
r R
r
E

  ,
3
( ) 3
03
r R
R r
E
r

 
9. Một mặt cầu bán kính a , tích điện đều mật độ mặt  . Tính điện trường.
Đáp án: ( ) 0r aE   ,
2
( ) 3
0
r R
a r
E
r

 

2. 2
10. Khoảng không gian giữa hai hình cầu đồng tâm có bán kính 1R và 2R ( 1 2R R )
được tích điện với mật độ điện khối là 2
r

  ( là hằng số).
a/ Tìm điện tích tổng cộng chứa trong không gian này.
b/ Tính cường độ điện trường.
Đáp án: 2 14 ( )Q R R  , 1( ) 0r RE   , 1 2
1
( ) 3
0
( )
R r R
r R r
E
r

 

 , 2( ) 3
04
r R
Qr
E
r  .
11. Bên trong quả cầu tích điện đều với mật độ điện tích khối  có một lỗ tròn
rỗng, tâm lỗ rỗng cách tâm quả cầu một khoảng là a . Tìm cường độ điện
trường bên trong lỗ rỗng, trong quả cầu và ngoài quả cầu. Các bán kính của quả
cầu và lỗ rỗng lần lượt là 1 2,R R .
Đáp án: *Bên trong lỗ rỗng:
03
a
E

 
 , *Bên trong quả cầu:
 
 
3
2
1
3
0
0 2
3 3
r O NO N
E
O N
 
   
  , *Bên ngoài quả cầu:
 
 
 
 
3 3
1 2
3 3
0 1 0 23 3
R O P r O P
E
O P O P
 
   
 
  .
12. Một dây dẫn mảnh thẳng dài vô hạn, tích điện đều với mật độ dài  . Sử dụng
định luật Gauss tính điện trường cách dây dẫn một khoảng r .
Đáp án: 2
02
r
E
r

 
 .
13. Sử dụng định luật Gauss, tính điện trường của:
a/ Mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt  const
b/ Một hình trụ dài vô hạn, bán kính thiết diện R , tích điện đều với mật độ
const .
c/ Một hình trụ dài vô hạn, bán kính thiết diện R , tích điện đều với mật độ
mặt const .
Đáp án: a/
02
n
E

 
 ; b/ ( )
02
r R
r
E

   ,
2
( ) 2
02
r R
R r
E
r

   ;
c/ ( ) 0r RE   , ( ) 2
0
r R
Rr
E
r

   .
14. Bên trong một hình trụ dài vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích khối  có
một hình trụ rỗng cũng dài vô hạn, trục hình trụ rỗng cách trục hình trụ một
khoảng là a . Tìm cường độ điện trường bên trong hình trụ rỗng, bên trong hình
trụ và bên ngoài hình trụ.
Đáp án: Bên trong lỗ rỗng:
02
a
E

 
 .
15. Một quả cầu điện môi đồng chất bán kính a, hằng số điện môi 1 , tích điện đều
với mật độ điện tích khối  , được bao bọc xung quanh bởi một điện môi vô
hạn, hằng số điện môi 2 . Xác định điện trường bên trong và bên ngoài quả cầu.

3. 3
Đáp án: ( )
0 13
r R
r
E

   ,
3
( ) 3
0 23
r R
R r
E
r

   .
16. Một dòng kín cường độ I là một đường tròn, bán kính R . Tính cường độ từ
trường tại một điểm trên trục đường tròn.
Đáp án:
2
2 2 3/2
2( )
z
IR
H
d R


.
17. Tìm B

tại một điểm bên ngoài một dây dẫn thẳng AB có dòng I chảy qua.
Đáp án: 0
1 2 0 0(sin sin )( )
4
I
B I r
R
 
 

   .
18. Một quả cầu bán kính a , tích điện đều với mật độ điện tích là  . Quả cầu quay
xung quanh trục của nó với vận tốc góc  .
a/ Tính véc-tơ cảm ứng từ tại tâm quả cầu.
b/ Tính moment từ của quả cầu.
Đáp án:
2
0
3
a
B
  
 ;
5
4
15
a
m
 
 .
19. Cho một mặt cầu bán kính R , tích điện đều theo mặt mật độ là  . Quả cầu
quay xung quanh trục với vận tốc góc  .
a/ Tính véc-tơ cảm ứng từ tại tâm quả cầu.
b/ Tính moment từ của quả cầu.
Đáp án: 02
3
R
B
  
 ;
4
3
R
m
 
 .
20. Một quả cầu bán kính a , tích điện với mật độ mặt  sin ( là hằng số, 
là gốc lập giữa trục oz với bán kính vectơ). Cho quả cầu quay xung quanh trục
của nó với vận tốc góc  .
a/ Tính véc-tơ cảm ứng từ B

tại tâm cầu.
b/ Tính véc-tơ moment từ m

của quả cầu.
Đáp án: 03
16
R
B
  
 ;
2 4
3
8
R
m
  
 .
21. Một dây dẫn uốn thành hình chữ nhật cạnh 2a và 2b , có dòng điện I . Xác định
từ trường tại một điểm trên trục đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng hình
chữ nhật.
Đáp án: 0
2 2 2 22 2 2
1 1
z
I
B
a z b za b z


 
  
   
.
22. Một dây dẫn uốn thành đa giác đều n cạnh nội tiếp trong vòng tròn bán kính R ,
có dòng điện I , Xác định từ trường tại một điểm nằm trên trục đa giác.
Đáp án:
2
0
2 2 2 2 2
sin cos
2 cos
z
IR
n nB n
z R z R
n
 
 



 
  
 
.
23. Tính điện thế của:

4. 4
a/ Một quả cầu bán kính a , tích điện đều trên thể tích với mật độ const
(hằng số điện môi bên trong và bên ngoài lần lượt là 1 và 2 ( hai cách).
b/ Một hình trụ dài vô hạn, bán kính thiết diện R , tích điện đều với mật độ
const (hằng số điện môi trong và ngoài hình trụ đều là  ) ( hai cách).
Đáp án: a/
2 2 2
( )
0 2 0 1
( )
3 6
r a
a a r 

   

  ,
3
( )
0 23
r a
a
r


   ,
b/
2
( )
0 14
r a
r

    ,
2
( )
0 1 0 2
ln
3 2
r a
R R
r
 

       .
24. Một điện tích điểm q đặt tại tâm một lớp điện môi hình cầu đồng chất, đẳng
hướng có hằng số điện môi  , bán kính trong ,a bán kính ngoài b . Tính năng
lượng điện trường tích lũy trong lớp điện môi này.
Đáp án:
2
0
1 1
8
q
W
a b 
 
  
 
.
25. Tính năng lượng của một quả cầu tích điện đều với mật độ khối  là hằng số,
bán kính a , hằng số điện môi  ( quả cầu đặt trong chân không) (2 cách).
Đáp án:
2 5
0
2 1
1
9 5
a
W

 
 
  
 
.
26. Tính năng lượng của một mặt cầu tích điện đều với mật độ mặt  là hằng số,
bán kính a , đặt trong môi trường có hằng số điện môi là  .
Đáp án:
2 3
0
2 a
W

 
 .
27. Tính điện dung của một quả cầu tích điện, bán kính R , đặt trong môi trường có
hằng số điện môi  .
Đáp án: 04C R  .
28. Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính 2 bản là 1R , 2R ( 1 2R R )
và điện môi giữa hai bản là  .
Đáp án: 1 2
0
2 1
4
R R
C
R R
 

.
29. Tính điện dung của một tụ điện hình trụ có chiều dài là d , hai bản là hai mặt trụ
đồng trục lồng vào nhau có bán kính thiết diện )(, 2121 RRRR  và ở giữa hai bản
chứa hai lớp điện môi với hằng số điện môi 21, .
Đáp án:
0 1 1 0 2 2
2
1 1
ln ln
d
C
a a
R R

   


.
30. Thế Yukawa trong chân không có dạng
/
0
r a
e
q
r



 . Tìm phân bố điện tích tạo
nên thế này.
Đáp án:
/
2
( )
r a
e
r q
a r


  .

5. 5
31. Một tụ điện rất dài bán kính trong là a , bán kính ngoài là c , khoảng giữa được
lấp đầy hai chất điện môi 1 và 2 đồng trục với tụ điện, bề mặt tiếp giáp của
hai lớp điện môi có bán kính là b . Bản ngoài của tụ điện có điện thế V , bản
trong của tụ điện có điện thế 0  . Tìm sự phân bố điện thế bên trong hai lớp
điện môi.
Đáp án: 1
1
2
ln
ln ln
r
V
a
b c
a a





;
1
2
1
1
2
ln
1
ln ln
c
r
V
b c
a b





 
 
  
  
 
.
32. Một mặt phẳng rộng vô hạn chia không gian thành hai nửa, hằng số điện môi ở
hai nửa này là 1 và 2 . Một quả cầu kim loại bán kính a có tâm nằm trên mặt
phân cách hai lớp điện môi. Tính điện dung của quả cầu.
Đáp án: 0 1 22 ( )C a    .
33. Điện tích trên các bản của hai tụ điện có điện dung 1C , 2C lần lượt là 1q và 2q .
a/ Chứng minh rằng, nói chung khi hai tụ điện được mắc song song với nhau thì
tổng năng lượng của chúng bị giảm đi.
b/ Tìm điều kiện để khi mắc song song năng lượng tổng cộng của các tụ điện
không bị thay đổi.
Đáp án: a/
 
2
2 1 1 2
1 2 1 2
0
2 ( )
C q C q
U
C C C C

   

;
b/ Điều kiện: 2 1 1 2C q C q .
34. Áp dụng định luật Ampère, tìm vectơ cảm ứng từ B gây bởi dòng điện thẳng
dài vô hạn.
Đáp án: 0
0 0( )
2
I
B I r
r
 

  .
35. Một dây dẫn hình trụ dài vô hạn, bán kính a , có dòng điện chạy qua với mật độ
dòng
r
j

 , r là khoảng cách đến trục dây dẫn. Tính vectơ cảm ứng từ trong 2
trường hợp sau:
a/ Độ từ thẩm trong và ngoài dây đều là  .
b/ Độ từ thẩm trong và ngoài dây lần lượt là 1 và 2 .
Đáp án: a/ ( ) 0 0 0( )r aB I r    ; 0
( ) 0 0( )r a
a
B I r
r
 
   ,
b/ ( ) 0 1 0 0( )r aB I r    ; 0 2
( ) 0 0( )r a
a
B I r
r
  
   .
36. Dây dẫn hình trụ rỗng, dài vô hạn, bán kính tiết diện )(, 2121 RRRR  , có dòng
điện chạy qua với mật độ dòng 2
r
j

 . Trong đó r là khoảng cách đến trục
hình trục,  là hằng số. Biết độ từ thẩm trong và ngoài hình trụ đều là  . Tính
véc-tơ cảm ứng từ B

tại một điểm cách trục hình trụ một khoảng r .

6. 6
Đáp án: 1( ) 0r RB   ; 1 2
0
( ) 0 0
1
ln ( )R r R
r
B I r
r R
 
    ; 2
0 2
( ) 0 0
1
ln ( )r R
R
B I r
r R
 
   .
37. Một dây dẫn hình trụ (dài vô hạn), bán kính 1R , có dòng điện chạy qua với mật
độ dòng j

phân bố đều theo tiết diện của nó. Bên trong có một hốc rỗng hình
trụ (cũng dài vô hạn), bán kính 2R . Trục của hốc rỗng hình trụ và của dây dẫn
song song với nhau và cách nhau một khoảng a . Tính cường độ từ trường tại
một điểm bên trong hốc rỗng, bên trong hình trụ nhưng bên ngoài hốc rỗng, bên
ngoài hình trụ.
Đáp án: *Trường hợp bên trong hốc rỗng
1
( )
2
H j a  .
38. Cho dòng điện một chiều I chạy qua một dây dẫn dài vô hạn, hình trụ tròn bán
kính a , hằng số từ thẩm là 0 , của môi trường xung quanh là  .
a/ Tính vectơ cảm ứng từ B tại một điểm cách trục hình trụ một khoảng r .
b/ Tính năng lượng từ trường tích lũy bên trong một đơn vị dài của dây dẫn.
Đáp án: a/ 0
( ) 0 02
( )
2
r a
Ir
B I r
a
 
   ; 0
( ) 0 0( )
2
r a
I
B I r
r
 
   ,
b/
2
0
16
I
W


 .
39. Một dây dẫn dạng cáp đồng trục có ruột là vật dẫn hình trụ bán kính là 1R , độ từ
thẩm 1 , có dòng điện chạy qua với mật độ dòng
r
j

 , r là khoảng cách đến
trục dây dẫn, vỏ bọc mỏng bán kính 2R , độ từ thẩm 2 . Tính năng lượng từ
trường tích lũy bên trong một đơn vị dài của dây cáp này.
Đáp án:
2 2
0 1 0 2 2
1
ln
16 4
I I R
W
R
   
 
  .
40. Một dây dẫn thẳng hình trụ dài vô hạn, bán kính a , có dòng điện không đổi I
chạy qua. Tìm thế véc-tơ A và cảm ứng từ tại một điểm ở bên trong và bên
ngoài dây. Biết độ từ thẩm trong và ngoài dây đều là  .
Đáp án:
2
0
( ) 1 2
4
r a z
Ir
A C e
a
 

 
  
 
; 0
( ) 2 ln
2
r a z
I
A C r e
 

 
  
 
;
0
( ) 2
2
r a
Ir
B e
a

 
  ; 0
( )
2
r a
I
B e
r

 
  .
41. Một dây dẫn thẳng hình trụ dài vô hạn, bán kính a , có dòng điện chạy qua với
mật độ dòng
r
j

 , (với  là hằng số, r là khoảng cách đến trục dây dẫn).
Tìm thế véc-tơ A và cảm ứng từ B tại một điểm ở bên trong và bên ngoài dây.
Biết độ từ thẩm trong và ngoài dây lần lượt là 1 và 2 .
Đáp án:  ( ) 1 0 1r a zA C r e    ;  ( ) 2 0 2 lnr a zA C a r e     ;
( ) 0 1r aB e   ; ( ) 0 2r a
a
B e
r
    .

7. 7
42. Dây dẫn hình trụ rỗng, bán kính trong a , bán kính ngoài
b , có dòng điện không đổi I (hình vẽ bên). Tìm thế
véc-tơ A và cảm ứng từ B trong các miền 1, 2 và 3.
Đáp án:
* ( ) 1r a zA C e  ;
2 2
0
(a ) 22 2 2
ln
2 ( ) 2
r b z
a r
A r C e
b a a
 
 
  
    
   
;
0
( ) 3 ln
2
r b z
I
A C r e
 

 
  
 
;
* ( ) 0r aB   ;
2
0
(a ) 2 2 2
2 ( )
r b
I a
B r e
b a r

 
 
 
  
  
; 0
( )
2
r b
I
B e
r

 
  .
43. Một tụ điện có điện dung C , được tích điện đến hiệu điện thế 0U . Cho tụ điện
phóng điện qua điện trở R . Xác định điện lượng q , cường độ dòng điện I và
hiệu điện thế U trên hai bản tụ điện.
Đáp án:
1
0( ) RC
q t CU e

  ;
1
0
( ) RC
U
I t e
R

   ;
1
0( ) RC
U t U e

  .
44. Xác định kháng phức của mạch gồm ,L C mắc song song.
Đáp án: * 1
1
Z
i C
L


 
 
 
 
.
45. Mạch kín , ,R L C mắc nối tiếp. Giả sử tích điện cho tụ điện C rồi cho phóng
điện trong mạch. Hãy tính tần số của dòng này.
Đáp án:
2
1
2 2
iR R
L LC L

 
   
 
;
*TH: 2
L
R
C
 : không dao động;
*TH: 2 :
L
R
C

2
1
2
R
LC L

 
  
 
.
46. Xác định tần số riêng của mạch , ,R L C mắc song song.
Đáp án:
1
:
2
L
R
C
 2 2
1 1
4LC C R
   .
a
b
1 2 3