1. 第七届华中地区大学生数学建模邀请赛
承 诺 书
我们仔细阅读了第七届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上
咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料
（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中
明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则
的行为，我们将受到严肃处理。
我们的参赛报名号为： 10504006
参赛队员 (签名) ：
队员 1： 王雪
队员 2： 赵双
队员 3： 邝振华
武汉工业与应用数学学会
第七届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会

2. 第七届华中地区大学生数学建模邀请赛
编 号 专 用 页
选择的题号： A
参赛的编号： 10504006
（以下内容参赛队伍不需要填写）
竞赛评阅编号：

3. 1
第七届华中地区大学生数学建模邀请赛
题目： 加速度检测仪数据校正
【摘 要】
随着列车速度的提升以及道路交通上车辆密度的增大，声屏障得到了广泛
应用。另一方面，如何有效的对声屏障失效部位进行诊断，是一个亟待解决的问
题。因此，通过对声屏障所搜集的加速度信号进行消噪、滤波等去除误差的处理，
实现对声屏障故障的快速、准确诊断是我们面对的课题。
对于第一问，我们首先基于物理公式，利用数值积分法求解出三种情况下的
速度、位移。然后将加速度信号进行傅里叶中心变换，从频域上进行滤波、消噪
处理。设计一个截止频率为 10Hz 的高通滤波器，对滤波之后的加速度信号进行
分段处理，提取出尾部信号进行多项式拟合。在速度上，去除多项式中的常数项；
在位移上，去除多项式中的一次项和常数项。结果发现该种模型下的仿真对误差
的去除并不理想，并总结出了 4 点原因。接着，我们采用基于 FFT 变换和频域
计算的仿真，将经过傅里叶变换之后的加速度采用同样的方式进行滤波，将频域
下的加速度分别除以 jwk 和(jwk)2
，然后再将其进行傅里叶逆变换则得到速度与位
移。结果发现该种仿真效果远优于第一种仿真，仿真符合实际情况，且保留了原
始数据的变化趋势。但该种仿真导致了振幅的缩小。最后，我们定义了仿真前后
的差值为误差，且将系统误差分为常值项误差和一次项误差进行讨论，对于随机
误差的分离与预测提出了 M 阶自回归模型的想法。
对于第二问，从系统误差方面，我们通过对比例误差项 k 和常值误差项δ的
计算，发现各种情况下，k 的值远大于δ，最终在“比值法”和“差值法”误差修正
方法中选取了“比值法”。得到了各种情况下的系统误差修正比值，并绘制出剔
除系统误差之后的速度-时间图与位移-时间图。从随机误差方面，我们通过对原
始误差进行去除系统误差处理之后，分别进行了傅里叶级数逼近模型和非线性最
小二乘模型，利用两种模型所得残差，根据随机误差平稳的特征，分离出了剩余
误差中的随机误差。但是在面对傅里叶级数逼近时，需要将波形进行分段处理，
并且每种情况下的分段区间和分段数量均不相等，由于能力及时间原因，我们没
有得到很好的结果。
对于第三问，我们分了四个方面进行说明。首先对前两问中的三个模型和结
果进行了综合评价；其次分析出了声屏障的加速度变化趋势与端点间往返次数相
关等特征；然后针对于本文中的模型，我们指出其可适用于汽车行车数据的分析
和故障预测，以及声呐系统中的信号处理上；最后我们指出了模型可优化指出，
例如将分离出的随机误差进行 M 阶自回归，利用时间序列分析的方法预测未知
随机误差，并对下一原始信号进行自动误差修正。
关键词： 数值积分 FFT 变换 滤波 仿真 系统误差 随机误差

4. 2
1 问题的背景和研究意义
1.1 问题的背景
声屏障是一种控制铁路、公路、高速铁路等各种道路行车对周围环境的噪声
污染有效措施之一，随着列车的大幅度加速，脉动风交替出现在列车两侧，从而
引起对声屏障的拉压作用，声屏障发生摆动。正常状态下，声屏障的摆动应当在
一定的范围内，当超过正常范围则需要对其进行加固维修。由于声屏障维修或重
建费用高昂，故需声屏障检测仪对声屏障的工作状态进行检测，有针对性的对声
屏障进行维修。
声屏障检测仪通过内部的加速度传感器来记录车辆经过时声屏障振动而产
生的加速度数值(密集采样)。将加速度数据通过数值积分，按照加速度-位移的
物理公式将加速度数据转化为震动的位移，并通过震动位移对声屏障状态进行判
断[1]。
传感器测得的数据通常会存在误差，使得声屏障的位移速度和位移与实际情
况不符。故需建立适当的数学模型判断声屏障检测仪是否存在明显误差，并对加
速度数据进行校正，尽量消除系统误差与随机误差，使得速度和位移的计算结果
基本符合物体运动事实。
1.2 文献综述
1997 徐庆华等人在其著作“试采用 FFT 方法实现加速度、速度与位移的相
互转换”中提出先对信号进行傅里叶变换，将变换后的低频成分幅值置零，然后
频域内根据简谐波的积分公式对每个频率成分进行分别积分，然后将各个成分积
分结果相叠加，最终得到位移信号。该方法可有效地控制一些测试工况的积分趋
势相误差，但计算过程过于繁琐，计算量大；并且其将低频信号幅值置零的算法
一定程度上也会对积分位移产生误差。
2010 年华中科技大学的陈为真，汪秉文等人针对实际振动位移难以获取的
问题，利用振动位移与加速度信号之间的关系，先对采样后的加速度信号采用时
域数值积分，得到含有趋势项的速度信号及位移信号，再采用拟合多项式极值的
方法,消除积分过程中产生的趋势项，从而得到更为精确的速度和位移信号。通
过算例表明，利用拟合多项式极值消除趋势项的方法，得到的位移时程曲线拟合
精度高。
2010 年王建峰，马建等人提出了利用加速度通过频域-时域混合积分法精确
测量动位移的方法。研究中称该方法克服了传统的时域内两次积分会产生较大累
积误差，从而频域内两次积分产生较大低频误差的弊端。实测加速度数据积分结
果与位移传感器实测数据的对比表明,采用加速度的频域时域混合积分法能够精
确测量动位移。
1.3 研究意义
由于我国经济越来越发达，人口密度也比较大，道路交通噪声的污染问题愈
来愈明显。声屏障作为防治道路交通噪声污染问题的有效途径，需检测仪对其工
作状态进行检测。对检测仪测得的加速度数据进行误差分析和校正，可以有针对
性的进行维修，避免不必要的维修或重修费用，节省开支，也可以保证声屏障更
好的工作状态。

5. 3
2 问题的提出与分析
对于第 1 问，建立适当的数学模型，基于关于加速度的物理公式，通过数值
积分的方法对声屏障的速度、位移进行计算和仿真。同时分析仿真之后的速度、
位移与原始速度、位移，判断误差的存在与否，并从随机误差、和系统误差来分
析。
本文拟对原始加速度数据采用梯形积分法进行积分，得到未经处理的速度-
时间图和位移-时间图。然后对原始数据进行傅里叶变换，从频域上进行分析，
设计高通滤波器，将原始加速度数据进行滤波。经过傅里叶逆变换后，即得到经
滤波之后的加速度数据。同原始加速度数据处理方法，进行积分后得到了新的速
度、位移图。分别对新速度、位移进行多项式拟合，然后去除速度拟合中的常数
项，以及位移拟合中的常数项和一次项，得到了关于速度、位移的仿真结果[2]。
通过比较原始速度、位移图与仿真后的速度、位移图，联系实际情况，从系统误
差和随机误差两个角度对其进行文字上的说明。其中拟认为系统误差包括定值系
统误差和线性系统误差，定义线性系统误差与声屏障往返振动的次数有关（不考
虑往返振动的幅值）。
对于第 2 问，基于速度、位移的数值积分和误差分析结果，建立数学模型以
修正加速度数据。我们拟按照第 1 问中的误差分析，从系统误差和随机误差两方
面对加速度数据进行修正。其中，对于系统误差，我们拟探讨“比值法”和“差
值法”的适用情况[3]，选取更适合声屏障的系统误差修正方法；对于随机误差，
我们拟在系统误差修正的基础上，利用 M 阶自回归模型，将其进行表示，并分离
出来。结合两种误差的修正模型[4]，则产生了最终修正后的加速度数据。并通
过积分，从速度和位移角度出发，联系实际情况，对修正结果进行探讨。
对于第 3 问，我们拟首先对自己前两问所解决的问题以及结果进行综合评价，
分析其优缺点。然后针对声屏障，我们对其加速度信号的特性进行分析，讨论该
种信号适用于何种方式的仿真及消噪。同时针对本文中所建模型，分析其在另外
领域中的应用。最后，提出对该模型进行优化的想法。
3 模型的假设
3.1 假设所给数据真实可靠，部分失真并不影响整体结果；
3.2 假设通过仿真前后定义的误差值与实际误差值相符；
3.3 假设对于总体误差的提取可以反应出系统误差和随机误差的关系；
3.4 假设随机误差总体上占总误差的比重较小，总误差可反映系统误差特征。
4 符号说明
符号 符号意义
v
t
物体在某一时刻的速度
物体运动所经历的时间
s 物体在某一运动过程中的位移
kX 加速度信号的频谱
N 采样数据量
X 被测量的期望真值

6. 4
5 模型的建立与求解
5.1 问题一：建立模型进行仿真，并分析误差
5.1.1 对问题一的分析
对于第 1 问，建立适当的数学模型，基于关于加速度的物理公式，通过数值
积分的方法对声屏障的速度、位移进行计算和仿真。同时分析仿真之后的速度、
位移与原始速度、位移，判断误差的存在与否，并从随机误差、和系统误差来分
析。本文拟对原始加速度数据采用梯形积分法进行积分，得到未经处理的速度-
时间图和位移-时间图。然后对原始数据进行傅里叶变换，从频域上进行分析，
设计高通滤波器[5]，将原始加速度数据进行滤波。经过傅里叶逆变换后，即得
到经滤波之后的加速度数据。同原始加速度数据处理方法，进行积分后得到了新
的速度、位移图。分别对新速度、位移进行多项式拟合，然后去除速度拟合中的
常数项，以及位移拟合中的常数项和一次项，得到了关于速度、位移的仿真结果。
具体流程图见图 1。
图 1 去除趋势误差的时域修正算法流程图
通过比较原始速度、位移图与仿真后的速度、位移图，联系实际情况，从系
统误差和随机误差两个角度对其进行文字上的说明。其中拟认为系统误差包括定
值系统误差和线性系统误差，定义线性系统误差与声屏障往返振动的次数有关
（不考虑往返振动的幅值）。
5.1.2 基础速度、位移模型的建立与求解
对于初速度为 0 的（变）加速运动，基于速度 v—加速度 a 公式和位移 s—
加速度 a 公式，分别见公式（1）与公式（2）。
v=at （1）
s= 2
2
1
at （2）
其中，当上式中的 t 取无限小，并且每个 t 时刻对应的加速度 a（t）已知，
则可以在不考虑加速度是否变动的情况下，通过积分的方式算出 t 时刻对应的速
度 v 与位移 s。得到基础速度、位移模型，见公式（3）与公式（4）。
一次积分
一次积分
可用位移信号
加 速 度
信号 a(t)
多项式拟合数
据去除趋势项
位移信号
高通
滤波
速度
信号
多项式拟合数
据去除趋势项
可用速度
信号

7. 5
v(t)= 
t
0
)( dtta （3）
s(t)= 
t
0
)( tdtta （4）
基于上述两个公式，将本题中的三种加速度数据导入 matlab 中，分离每种
情况下的加速度，趋势见图 2-4，然后利用梯形积分法，分别对加速度信号进行
一次积分和二次积分（部分代码见附录 1），得到了 3 种情况下声屏障的速度—
时间图和位移—时间图，见图 5-10.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
加 速 度 -时 间 图 （ A-B）
时 间 （ s）
加速度（m*s-2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
加 速 度 -时 间 图 （ C-D）
时 间 （ s）
加速度（m*s-2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
时 间 （ s）
加速度（m*s-2)
加 速 度 -时 间 图 （ E-F）
图 2 加速度-时间图（A-B）图 3 加速度-时间图（C-D）图 4 加速度-时间图（E-F）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
速 度 -时 间 图 （ A-B)
时 间 （ s）
速度（m/s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
速 度 -时 间 图 （ C-D）
时 间 （ s）
速度（m/s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
时 间 （ s）
速度（m/s)
速 度 -时 间 图 （ E-F）
图 5 速度-时间图（A-B） 图 6 速度-时间图（C-D） 图 7 速度-时间图（E-F）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
位 移 -时 间 图 （ A-B）
时 间 （ s）
位移（m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-0.16
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
位 移 -时 间 图 （ C-D）
时 间 （ s）
位移（m）
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
时 间 （ s）
位移（m）
位 移 -时 间 图 （ E-F）
图 8 位移-时间图（A-B） 图 9 位移-时间图（C-D） 图 10 位移-时间图（E-F）
通过对所得数据及图像的观察，我们发现以下规律：
1. 声屏障在从一端点到另一端点的过程中，加速度会呈现一组脉冲形式，
且脉冲数量与端点间往返次数相对应。例如：从 C-D，两端点往返一次，则脉冲
数量为 2；
2. 声屏障速度规律与加速度脉冲规律总体上一致；
3. 经过积分之后所得速度与理论速度存在一定差距，例如，从 C-D，经过
两次误差的累积，末态速度已经远偏于 0m/s，大致上形成一种非 0 匀速运动，

8. 6
与理论上末态速度为 0 相挬。表明产生了常数项误差；
4. 通过两次积分之后，所得位移图像末端不在成一条平行于 x 轴的直线，
而是一次直线，表示振动将无限偏离端点。之所以产生这样的原因，是由于在速
度上的误差进过积分之后产生了一次项误差，并且随着端点间往返的次数增多，
一次项误差的斜率越大。
5.1.3 对原始速度、位移的仿真分析
5.1.3.1 加速度的高通滤波处理
通过时域上的观察，我们发现直接对原始加速度进行积分处理，无法得到与
理论值相接近的速度、位移数据，因此，我们考虑将原始加速度数据进行傅里叶
变换，通过观察其在频域上的特征，设计合理的理想滤波器，对原始加速度进行
滤波、消噪处理[7]。
经过中心傅里叶变换（部分代码见附录 2）之后的 3 种情况下的加速度-频率
关系见图 11-13.
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0
50
100
150
200
250
加 速 度 -频 率 图 （ A-B）
频 率 （ Hz）
加速度幅值
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
加 速 度 -频 率 图 （ C-D）
频 率 （ Hz）
加速度幅值
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0
100
200
300
400
500
600
700
800
频 率 （ Hz)
加速度幅值
加 速 度 -频 率 图 （ E-F）
图 11 加速度-频率图（A-B） 图 12 加速度-频率图（C-D） 图 13 加速度-频率图（E-F）
我们发现，三种情况下的加速度频谱图，处于-50Hz-50Hz 下的幅值远远大
于其余频率段下的幅值，并且，其他频率下的幅值基本上为 0.
通过参阅文献，对于周期性振动的运动（声屏障的单摆运动）其噪音基本上
集中在低频波段。通常情况下，通过高频滤波器进行滤波，以达到消噪的目的。
因此，我们在 matlab 下，通过多次选取截止频率，最终设计了一个双向截止频
率为 10Hz（|f|<10）的理想高通滤波器(代码见附录 3）。
但是，我们发现若将低频数据进行全部截断，即认为其幅值为 0，无论如何
更改截断频率，最后积分后所得结果与理论相差甚远。例如，针对于 A-B 这种
情况，设计一个截断频率为 10Hz 的滤波器，滤波对比如图 13 所示，所得加速
度、速度、位移与时间关系如图 14-16 所示。

9. 7
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0
50
100
150
200
250
频 率 （ Hz）
加速度（m/s2）
加 速 度 -频 率 图 （ A-B）
原 始 加 速 度 频 谱
滤 波 后 加 速 度 频 谱
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
时 间 （ s）
加速度（m/s2）
加 速 度 -时 间 图 （ 滤 波 后 ）
图 13 加速度滤波前后频域对比图 图 14 加速度-时间图（滤波后）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10
-3
时 间 （ s）
速度（m/s）
速 度 -时 间 图 （ 滤 波 后 ）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x 10
-3
位 移 -时 间 图 （ 滤 波 后 ）
时 间 （ s）
位移（m）
图 15 速度-时间图（滤波后） 图 16 位移-时间图（滤波后）
根据上图，我们可以看出，速度原始规律遗失，而形成了脉冲不明显的震荡
波形，同时位移也不在有明显的实质意义，且设计滤波器过程中发现，改变截止
频率，甚至可以将位移与时间关系的趋势由该图中的上升变为下降。
因此，我们拒绝采用该种理想滤波器，而是定义一个在双向截止频率（10Hz）
内，幅值变为原始幅值三分之一的高通滤波器，对原始加速度数据在频域上进行
滤波。采用该种滤波器：一方面，保留了低频下的幅值变化趋势；另一方面，消
弱了低频下振幅峰值对整体趋势的影响。在一定程度上，实现了对原始加速度数
据的消噪处理。
经过第二种滤波器处理之后的加速度数据如图 17-20 所示。

10. 8
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0
50
100
150
200
250
频 率 （ Hz）
加速度（m/s2）
加 速 度 -频 率 图 （ A-B）
原 始 加 速 度 频 谱
滤 波 后 加 速 度 频 谱
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
时 间 （ s）
加速度（m/s2)
加 速 度 -时 间 图 （ 新 滤 波 ）
图 17 加速度滤波（新）前后频域对比图 图 18 加速度-时间图（新滤波）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
时 间 （ s）
速度（m/s）
速 度 -时 间 图 （ 新 滤 波 ）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
1
2
3
4
5
6
7
x 10
-3
时 间 （ s）
位移（m）
位 移 -时 间 图 （ 新 滤 波 ）
图 19 速度-时间图（新滤波） 图 20 位移-时间图（新滤波）
通过比较第一种滤波器和第二种滤波器，我们发现第二种滤波器更加符合实
际，保留了原始加速度经过积分之后的变化趋势。
通过比较未滤波和经过第二种滤波后的速度、位移，我们发现经过滤波器后，
y 轴上的数量级变小了。这样可以缩小误差值的大小，但是另一方面，缩小了速
度、位移的真实值。例如 A-B 情况下，滤波前后位移-时间的关系，如图 21 所示。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
位 移 -时 间 对 比 图 （ 滤 波 前 后 ）
时 间 （ s）
位移（m）
滤 波 后
滤 波 前
图 21 位移-时间对比图（A-B 滤波前后）
为了尽量减少对真实值的缩放，同时考虑到，对于声屏障的误差所引起的诊

11. 9
断错误主要由于尾部信号的失真所致。所以，我们打算截取尾部信号，并对其进
行多项式拟合。
5.1.3.2 尾部信号的去除趋势项修正
设振动加速度信号为 a(t),经一次数值积分得到速度信号为 )(tv ，经二次数值
积分得到位移信号为 )(td ,
1)()(v Ctvt  (5)
21)()( CtCtdtd  (6)
式中：v(t)、d(t)为积分后的动态分量； 21,CC 和 tC1 分别为数值积分后的静
态分量（零频项）和线性趋势项。为了实现对声屏障的有效诊断，我们需要采用
有效的方法将常数项误差和一次项误差去除，从而得到真实的速度值和位移值。
我们定义经过上述滤波之后，速度值最小（实部最小）处之后到信号终止阶
段为信号尾部，即我们需要拟合的部分。因为，通过观察发现，速度达到最小值
后会迅速上升，回至 0m/s 的位置，并上下小幅度徘徊。该阶段与文献中所提到
的循环振动机构失效诊断影响最大阶段相近。其次，通过本赛题中所给图例，发
现仿真过程中更注重尾部信号与理论数据的一致。故我们定义以最小速度值为尾
部信号起始点。
通过在 matlab 中提取尾部信号起始点，并定义新的矩阵，得到 3 条尾部速
度信号和 3 条尾部位移信号（代码见附录 4）。然后利用 matlab 中的工具箱，在
curve fitting 下对尾部信号进行拟合，其中对于速度-时间曲线，采用 4 阶多项式
拟合方法；对于位移-时间曲线，采用 5 阶多项式拟合方法。拟合效果如图 22-27
所示。
0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x 10
-3
时 间 （ s）
速度（m/s）
A-B尾 部 速 度 拟 合 图
v11 vs. t11
fit 1
0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
5.6
5.7
5.8
5.9
6
6.1
6.2
6.3
x 10
-3
时 间 （ s）
位移（m）
A-B尾 部 位 移 拟 合 图
s11 vs. t11
fit 1
图 22 A-B 尾部速度拟合图 图 23 A-B 尾部位移拟合图

12. 10
2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
时 间 （ s）
速度（m/s）
C-D尾 部 速 度 拟 合 图
v22 vs. t22
fit 2
2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1
-0.05
-0.048
-0.046
-0.044
-0.042
-0.04
-0.038
-0.036
-0.034
-0.032
-0.03
时 间 （ s）
位移（m）
C-D尾 部 位 移 拟 合 图
s22 vs. t22
fit 1
图 24 C-D 尾部速度拟合图 图 25 C-D 尾部位移拟合图
1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4
-0.09
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
时 间 （ s）
速度（m/s）
E-F尾 部 速 度 拟 合 图
v33 vs. t33
fit 2
1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
时 间 （ s）
位移（m）
E-F尾 部 位 移 拟 合 图
s33 vs. t33
fit 3
图 26 E-F 尾部速度拟合图 图 27 E-F 尾部位移拟合图
对于 3 种情况下的尾部速度拟合，4 阶多项式拟合统计参数见表 1，其基本
模型如下：
54
2
3
3
2
4
1)( pxpxpxpxpxf  （7）
上式中，f(x)表示拟合后尾部速度值，x 代表时刻 t。
表 1 三种情况下尾部速度拟合表
A—B C—D E—F
P1 0.02263 (-0.00684, 0.05209) -3.015 (-3.259, -2.771) -4.737 (-5.104, -4.371)
P2 -0.1223 (-0.2453, 0.0007376) 34.05 (31.35, 36.75） 40.14 (37.1, 43.17)
P3 0.2353 (0.04545, 0.4252) -143.9 (-155.1, -132.7) -127.2 (-136.6, -117.8)
P4 -0.1848 (-0.3131, -0.05654) 269.9 (249.2, 290.5) 178.7 (165.8, 191.5)
P5 0.04808 (0.01608, 0.08007) -189.4 (-203.6, -175.2) -93.89 (-100.5, -87.3)
SSE 0.0001538 0.01452 0.01175
R-Square 0.917 0.7989 0.874
RMSE 0.0004687 0.004481 0.004245
注：括号内为 95%置信区间
对于 3 种情况下的尾部位移拟合，5 阶多项式拟合统计参数见表 2，其基本
模型如下：

13. 11
xf ( 65
2
4
3
3
4
2
5
1)( pxpxpxpxpxpxf  （8）
上式中，f(x)表示拟合后尾部位移值，x 代表时刻 t。
表 2 三种情况下尾部位移拟合统计表
A—B C—D E—F
P1 0.005708 (0.00307, 0.008346) -0.3301 (-0.3552, -0.305) -0.5612 (-0.6044, -0.5181)
P2 -0.03568 (-0.04945, -0.02192) 4.645 (4.298, 4.993) 5.92 (5.473, 6.366)
P3 0.08672 (0.05832, 0.1151) -26.11 (-28.03, -24.19) -24.92 (-26.77, -23.08)
P4 -0.0985 (-0.1274, -0.06955) 73.25 (67.95, 78.56) 52.36 (48.56, 56.15)
P5 0.04996 (0.03539, 0.06453) -102.6 (-109.9, -95.32) -54.92 (-58.82, -51.02)
P6 -0.002563(-0.005461,0.0003341) 57.43 (53.4, 61.45) 23.02 (21.43, 24.62)
SSE 3.862e-008 5.128e-006 4.43e-006
R-Square 0.9986 0.9998 0.9998
RMSE 7.433e-006 8.428e-005 8.25e-005
注:括号内为 95%置信区间
通过以上两表中的各项 P 值，结合公式 7 和公式 8,，可分别得到每种情况下
速度、位移的拟合函数。根据以上分析，去除速度拟合函数的常数项，则可得到
更加准确的速度动态分量（即减少定值误差后的速度值）；去除位移拟合函数的
一次项和常数项，则可得到更加准确的位移动态分量（即减少线性误差后的位移
值）。
5.1.3.3 加速度信号的整体仿真
经过对全部加速度信号在频域上的滤波，然后傅里叶逆变换之后，实现了对
加速度的滤波。对于尾部信号，在滤波的基础上，进行了上节中的去除趋势项修
正。将两段信号进行结合，形成了经过误差处理后的仿真加速度数据，然后利用
梯形积分法，实现了对全部信号的速度仿真与位移仿真（代码请见附录 5 和附录
6）。
其中 3 种情况下的速度-时间仿真如图 28-30 所示，两段仿真速度信号的细
节如图 31 所示。
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-50
0
50
100
150
200
速 度 -时 间 仿 真 图 （ C-D）
时 间 （ s）
速度（m/s）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
X: 1.392
Y: -0.04621
速 度 -时 间 仿 真 图 （ A-B）
时 间 （ s）
速度（m/s）
图 28 速度-时间仿真图（A-B） 图 29 速度-时间仿真图（C-D）

14. 12
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-20
0
20
40
60
80
100
时 间 （ s）
速度（m/s）
速 度 -时 间 仿 真 图 （ E-F）
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.05
0
0.05
0.8 1 1.2 1.4
-0.052
-0.05
-0.048
-0.046
0 1 2 3
-0.1
0
0.1
2.6 2.8 3 3.2
189.4
189.6
189.8
0 0.5 1 1.5 2
-0.1
0
0.1
1.5 2 2.5
93.85
93.9
93.95
图 30 速度-时间仿真图（E-F） 图 31 速度-时间仿真细节图
3 种情况下的位移-时间仿真如图 32-34 所示，两段仿真位移信号的细节如图
35 所示。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
时 间 （ s）
位移（m）
位 移 -时 间 仿 真 图 （ A-B）
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-50
0
50
100
150
200
250
300
时 间 （ s）
位移（m）
位 移 -时 间 仿 真 图 （ C-D）
图 32 位移-时间仿真图（A-B） 图 33 位移-时间仿真图（C-D）
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-20
0
20
40
60
80
100
120
位 移 -时 间 仿 真 图 （ E-F）
时 间 （ s）
位移（m）
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.005
0.01
0.8 1 1.2 1.4
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0 1 2 3
-0.04
-0.02
0
0.02
2.6 2.8 3 3.2
150
200
250
300
0 0.5 1 1.5 2
-0.01
0
0.01
0.02
1.5 2 2.5
60
80
100
120
图 34 位移-时间仿真图（E-F） 图 35 位移-时间仿真细节图
对于速度、位移的仿真结果，我们发现，将尾部信号直接加到经过滤波后的
加速度前段数据，然后通过积分得到速度和位移，并不能很好的实现仿真。原因
是由于滤波前后数量级发生了变化，连接在一起之后，无法反应出各数量级下的
变化趋势。因此，我们提取出了仿真前后两段信号的细节图。分别观察其在各自
数量级下的变化趋势细节。

15. 13
但是经过去除项之后的拟合图形并没有如之前所期望的，尾部速度信号恒等
于 0，尾部位移信号平行于时间轴 t。且我们发现速度的值远偏离 0，位移呈现一
次函数形式，而不是常函数，且位移偏移量也远超过实际。
对于该失败结果的出现，我们分析认为可能由以下 4 点原因导致：
1. 速度/位移动态分量与真实速度/位移存在很大偏差，不能有效反映；
2. 滤波过程中，对低频信号的滤波仍然失去大量真实数据；
3. 文献中所提周期振动并不完全适用于去除趋势项修正；
4. 对于直接将前后两段信号的拼接导致了各部分的趋势未在一个坐标系下
反应出来（数量级的差异）。
5.1.4 基于 FFT 变换和频域计算的仿真
5.1.4.1 算法实现
谐波信号在时域和频域的表达对应关系可由离散傅里叶变换( DFT) 描述。
设加速度信号 a( t) 的频谱为 X( k) ，则





1
0
)/2(
)()(
N
n
Nnkj
enakX 
（9）




1
0
)/2(
)(
1
)(
N
k
Nnkj
ekX
N
na 
（10）
式中: N 为采样数据量; n、k 均为非负整数。
设 a( n) 、v( n) 、d( n) 分别为加速度信号 a( t) 、速度信号 v( t) 、位移信
号 d( t) 的离散化表示。每条谱线，对应时域中的一个正弦波;
tj
k
k
ekXta 
)()(  （11）
则
tjt tj
k
kk
e
j
kX
dtekXtv 
 
0
)(
)()( （12）
tj
k
t t tj
k
kk
e
j
kX
dtdtekXtd 
 20 0 )(
)(
])([)(    （13）
进而有
)/2(
1
0
)(1
)( Nnkj
N
k k
e
j
kX
N
nv 




 （14）
)/2(
1
0
2
)(
)(1
)( Nnkj
N
k k
e
j
kX
N
nd 




 （15）
式中: k = 2πkΔf; Δf = sF / N 为频率分辨率。

16. 14
5.1.4.2 仿真结果
我们分别对未经滤波处理和经过滤波处理的数据进行 FFT 变换仿真，其中，
由于未将傅里叶变换中心化，故我们选取截止频率为 20Hz，且在该频率范围内，
幅值变为原来的三分之一。滤波前后的速度-时间对比图见图 37-39.滤波前后的
位移-时间对比图见图 40-42.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
时 间 （ s）
速度（m/s）
FFT变 换 后 的 速 度 -时 间 图 （ A-B）
原 始 速 度
仿 真 速 度
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
时 间 （ s）
速度（m/s）
FFT变 换 后 的 速 度 -时 间 图 （ C-D）
原 始 速 度
仿 真 速 度
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
时 间 （ s）
速度（m/s）
FFT变 换 后 的 速 度 -时 间 图 （ E-F）
原 始 速 度
仿 真 速 度
图 37 仿真前后速度对比图（A-B） 图 38 仿真前后速度对比图（C-D） 图 39 仿真前后速度对比图（E-F）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-3
仿 真 前 后 位 移 对 照 图 （ A-B）
位移（m）
时 间 （ s）
原 始 位 移
仿 真 位 移
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x 10
-3
时 间 （ s）
位移（m）
仿 真 前 后 位 移 对 比 图 （ C-D）
原 始 位 移
仿 真 位 移
0 0.5 1 1.5 2 2.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x 10
-3
仿 真 前 后 位 移 对 比 图 （ E-F）
位移（m）
时 间 （ s）
原 始 位 移
仿 真 位 移
图 40 仿真前后位移对比图（A-B） 图 41 仿真前后位移对比图（C-D） 图 42 仿真前后位移对比图（E-F）
加速度信号 a(t)
加速度 DFT 频谱
令所关心频率范围之外的数据位 0
时域速度信号 速度 DFT 频谱 位移 DFT 频谱 时域位移信号
FFT
IFFT IFFT
除以
2
)( kjw除以
2
)( kjw
图 36 基于 FFT 变换和频域计算的方法流程

17. 15
通过观察速度、位移仿真前后的对照图（图 37-42），我们发现原始数据（蓝
线）与仿真之后的数据（红线）总体趋势上具有一致性，满足仿真的基本要求。
其次，根据从实际角度分析，仿真之后的速度线，尾部速度基本为 0m/s，与实
际中靠近端点时，速度降到 0 一致，同时速度的脉冲速与端点间往返次数也保持
一致；仿真之后的位移线，尾部呈现于时间轴平行的趋势，同时位移值的大小近
似为 0,与声屏障的振幅大小相近。
不过，仿真不足之处仍然存在，针对仿真之后的位移图，若按实际情况，其
尾部位移应该为 0，因为重新回到 C 点，但是该仿真结果上现实，其尾端有上升
趋势，并且数值大小也较 A-B、E-F 情况下更不满足实际情况。其次，该仿真对
速度、位移的幅值进行了缩小，虽然在绝对误差上，仿真之后误差更小，但是相
对于仿真之后的波形，误差可能并没有很有效的去除。
总体来说，基于 FFT 变换和频域计算的仿真效果符合实际情况，在一定程度
上，去除了对加速度信号直接积分和声屏障自身误差的影响。
5.1.5 误差分析
在测量过程中，由于测量设备、测量方法、测量环境和测量人员等因素的不
完善，测量误差总是客观存在的，并且系统误差和随机误差往往同时存在。因此，
我们分别从系统误差和随机误差两个角度对误差进行分析。其次，我们定义经过
加速度直接积分后所得速度、位移的误差值 速、 位为仿真前后尾部信号差值的
平均值。定义规则见公式（9）和公式（10）
)]()[
1
1
iviv
n
s
n
i
仿尾尾速 （  
（16）
)]()([
1
1
isis
n
s
n
i
仿尾尾位  
（17）
式中，n 为尾部信号的总长度， )iv（尾 为第 i 个点信号的原始速度值， )iv （仿尾
为第 i 个点信号的仿真速度值； )(is尾 为第 i 个点信号的原始位移值， )(is仿尾 为
第 i 个点信号的仿真位移值。
根据以上公式，得到 3 种情况下的速度误差和位移误差，见表 3
表 3 3 种情况下的速度、位移误差表
A—B C—D E—F
速度误差 -0.002948 0.0058436364 0.007556
位移误差 -0.003989 0.0020767 -0.001513
5.1.5.1 系统误差分析
我们拟将系统误差分为定值系统误差和变值系统误差。其中定值系统误差可
能是由于声屏障的材料特性（晶体间的振动）和固定位置等因素产生的，不随噪
音振动的频率和往返次数而变动；变值系统误差，则表示该误差随振动源的位置，
单摆往返次数等因素的变动而变动，此处，我们认为该变值系统误差与端点间往
返次数成正比关系。
针对系统误差的修正，我们将对其误差大小与原始振幅的比例，对其进行探
讨，最终在“差值法”和“比值法”间选取合适的修正方法。

18. 16
5.1.5.2 随机误差分析
对系统误差进行充分的修正之后，影响声屏障失效诊断的主要因素就是随机
误差。由于随机误差的产生没有一定的规律，既可能产生细微误差，也可能产生
零点漂移，从而对后续的速度、位移产生很大的影响。
我们拟在经过系统误差的修正之后，根据随机误差多为平稳随机的特性，通
过 M 阶自回归模型来表示随机误差，从而实现了对随机误差的分离，并利用时间
序列分析的方法对随机误差进行预测，这样就能实现对下一个未知加速度信号去
除随机误差的处理，使修正后数据更加符合实际值。
5.2 问题二：对加速度数据的修正
5.2.1 对问题二的分析
对于第 2 问，基于速度、位移的数值积分和误差分析结果，建立数学模型以
修正加速度数据。我们拟按照第 1 问中的误差分析，从系统误差和随机误差两方
面对加速度数据进行修正。其中，对于系统误差，我们拟探讨“比值法”和“差
值法”的适用情况，选取更适合声屏障的系统误差修正方法；对于随机误差，我
们拟在系统误差修正的基础上，利用 M 阶自回归模型，将其进行表示，并分离出
来。结合两种误差的修正模型，则产生了最终修正后的加速度数据。并通过积分，
从速度和位移角度出发，联系实际情况，对修正结果进行探讨。
5.2.2 对系统误差的修正
5.2.2.1 理论介绍
测量系统误差一般由两部分组成，一部分是随着被测量值呈线性变化的变值
系统误差，另一部分是固定不变的定值误差，具体形式为
  aX系统 （18）
式中:X 为被测量的期望真值：α与δ为常数，用以描述测量系统的固有特性。
则测量值可以写做
  KXXX 系统测 （19）
其中， )1( K 。
从公式(19)可以看出，K 和 分别描述了测量系统误差的两个部分，即比例
误差项与定值误差项。对于比例误差占主导地位的测量系统，K 对系统误差的贡
献较大，在这种情况下，通常会选用比值法(或比率法)，比值法计算公式为
S
S
X
X
X
X
测
测
 （20）
式中: 测sX 为标准物的测量值; 测X 为被测物的测量值; sX 为标准物的实际
值;X 比为采用比值法对被测物预测的期望真值。
对于定值误差的影响占主导地位的测量系统，s 对系统误差的贡献较大，这
时通常会选用差值法，差值法计算公式为
ss XXXX  测测差 - (21)
式中: 差X 为采用差值法对被测物预测的期望真值。

19. 17
在进行比值法与差值法的方法选择时，通常需要比较“比例误差项”与“定
值误差项”在系统误差中的贡献大小，同时针对不同测量系统的需求，选用不同
的方法来消除系统误差。在许多情况下，需要对两种误差来源作出定量的比较才
可以更好地确定测量方法;另外，有时甚至需要将所选择的测量方法对测量准确
度的改善程度进行定量的描述。针对这些需要，本节将比较比值法与差值法对测
量准确度的改善效果，用具体的关系表达式对测量方法有效性给出定量评价，并
对影响比较结果的因素进行探讨。
设 X 为被测量的“期望真值”(实际值)，那么采用差值法的相对误差为
差
    
X
XsXK
X
XXsKXsKX 

 1
（22）
采用比值法的相对误差为
比
 
 














KXsX
XXs
XXXs
KXs
KX
/ （23）
差值法与比值法的相对误差之比为
     








 11
1
r
K
K
KXsK




比
差
(24)
其中, Xr / 。在比较“差值法”与“比值法”有效性的时候，我们只关
心二者误差之比的绝对值:
r
a
r
aQ 
1
1
比
差


（25）
Q 值的大小就代表着两种方法的有效性对比。临界值为Q =１；当Q >1 时，比
值法效果优于差值法；当Q <1 时，差值法效果优于比值法。
那么， a 和ｒ具体满足什么样的关系才能使Q >１（或Q <1）呢？我们求解
不等式:
Q 1
1
1 
r
a
r
a （26）
得到













0,
1
)1(
0,
1
)1(
a
a
aa
ra
aar
a
aa
（27）
由上式结果可以看出，当 a 1 时，可以认为 ,
1
)1(
a
a
aa



因此当a 非常
小的时候，基本可以通过比较 a 和 r 来判断Q ＞１( 或Q ＜1) 。具体来讲，就是
当 ra  时，比值法优于差值法；而当 ra  时，差值法优于比值法。
应该注意的是，由于 Xr / ．所以除了描述测量系统的参数 a 和 以外，
参考标准物的实际值 Xs 也是在判断比值法与差值法优劣的时候必须考虑的因素

20. 18
5.2.2.2 修正方法的选取和结果
对于速度来说，由于尾端信号的期望值为 0，若带入上式中，则无法求出常
速 a，从而无法行进系统修正方法的选取。另一方面运动过程中的速度、位移信
号，我们无法得知其期望值。因此，我们假定第一问中的仿真结果为每个点信号
的期望值。在速度、位移仿真的尾端数据中各随机选取两组 X 值，并根据第一
问中的 FFT 变换图，得到其对应的误差值。在此，我们定义该误差为系统误差，
从而由公式(18)可以得到 a 和 的值。结果见表 4.
表 4 尾端信号统计量表
A-B C-D E-F
尾端速度期望值 X -0.0021 -0.0018 0.0010 0.0018 -0.0022 -0.0034
对应误差值 系统 -0.003071 -0.004211 0.0021611 0.003070 -0.002013 -0.003034
a  -3.8 -0.011051 0.905853 0.0014397 0.85083 -0.0001412
尾端位移期望值 X -0.0014 -0.002 0.0028 0.0041 0.0042 0.0030
对应误差值 系统 -0.003215 -0.003820 0.006147 0.007033 0.007955 0.0007634
a δ 1.0083 -0.001803 0.681538 0.004239 10.5987 -0.0365594
由表 4，我们发现常数项 a 的绝对值普遍远大于常数项 的绝对值。说明了
比例误差项 K ( aK 1 )对误差的影响因素大于定值误差因素 。因此，我们
采用了“比值法”进行系统误差的修正。
根据比值法的计算公式，我们从表 4 中选取第一组仿真前后数据，将其定义
为标准物的测量值 测sX 和标准物的实际值 Xs ；将第二组仿真前的数据作为被测
物的测量值 测X 。对于三种情况下的速度、位移的修正比值 K 及经比值法修正后
的期望值 比X 见表 5
表 5 比值法处理后的系统误差修正表
A-B C-D E-F
尾端速度期望值 X
对应误差值 系统
-0.0021 -0.0018 0.0010 0.0018 -0.0022 -0.0034
-0.003071 -0.004211 0.0021611 0.003070 -0.002013 -0.003034
比值 0.406111 0.316346 0.522193
期望值 -0.002441 0.001253 -0.003360
尾端位移期望值 X -0.0014 -0.002 0.0028 0.0041 0.0042 0.0030
对应误差值 系统 -0.003215 -0.003820 0.006147 0.007033 0.007955 0.0007634
比值 0.303359 0.312954 0.345537
期望值 -0.001766 0.003484 0.001300
得到比值之后，将其与原始误差相乘，然后用仿真之前的信号减去该乘积，
则得到经过比值法处理之后的信号。其中，我们定义原始误差为 FFT 变换之后得
到的波形差，即每一点上原始波形（蓝线）减去仿真之后波形（红线）的差值。
见公式（28)
）仿测测比 XXKXX -(- （28）
经过比值法处理之后得到的速度波形如图 43-45，（代码请见附录 9）
经过比值法处理之后得到的位移波形如图 46-48，（代码请见附录 10）

21. 19
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
时 间 （ s）
速度（m/s）
比 值 法 修 正 对 比 图 （ C-D）
原 始 速 度
仿 真 速 度
修 正 速 度
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
时 间 （ s）
速度（m/s）
比 值 法 修 正 对 比 图 （ E-F）
原 始 速 度
仿 真 速 度
修 正 速 度
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
时 间 （ s）
速度（m/s）
比 值 法 修 正 对 比 图 （ E-F）
原 始 速 度
仿 真 速 度
修 正 速 度
图 43 修正法速度对比图（A-B） 图 44 修正法速度对比图（C-D） 图 45 修正法速度对比图（E-F）
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-3
时 间 （ s）
位移（m）
比 值 法 修 正 对 比 图 （ A—B）
原 始 位 移
仿 真 位 移
修 正 位 移
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x 10
-3
比 值 法 修 正 对 比 图 （ C—D）
时 间 （ s）
位移（s）
原 始 位 移
仿 真 位 移
修 正 位 移
0 0.5 1 1.5 2 2.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x 10
-3
时 间 （ s）
位移（m）
比 值 法 修 正 对 比 图 （ E—F）
原 始 位 移
仿 真 位 移
修 正 位 移
图 46 修正法位移对比图（A-B） 图 47 修正法位移对比图（C-D） 图 48 修正法位移对比图（E-F）
通过以上六个图，我们可以看出经比值法修正后的速度、位移曲线（绿线）。
不过，对于不处于原始信号（蓝线）和仿真信号（红线）之间的修正信号（绿线），
我们也未发现其存在原因。我们初步认为是由于其信号经过复数域，可能在相减
和傅里叶变换过程中产生了影响。
由于时间原因，我们并未对“差值法”进行分析和处理。同时，我们对于“比
值法”所得结果也并未进行深入的分析。
5.2.3 对随机误差的修正
5.2.3.1 理论介绍
对于随机误差的修正，我们分为两步进行处理，第一步进行数据的预处理，
第二步进行随机误差的分离。
一、数据的预处理
随机误差修正的首要问题是从测试数据中分离出随机误差，建立其自回归模
型，因此应对测试数据进行预处理。
任意一台动态测试仪器，其测量结果皆可表示为
X  )()(  s iy 
X ( )—测量结果
s ( )—被测实际参数值
 —已定系统误差
n  21
i —各独立的已定系统误差 （ ni ,,2,1  ）

22. 20
 —未定系统误差
n  21
i —各独立的未定系统误差 （ ni ,,2,1  ）
iy —随机误差总和
第一个公式是误差修正的依据，若对已定系统误差修正后，该式则为
iysx   )()('
被测参数一般为确定性函数，随机误差多是平稳随机过程。可见，已定系统
误差修正后的结果  'x 表现为一个非平稳的随机过程。第二个公式称为组合模
型，通过对误差采样数据处理，可得到该公式所表示的动态数据序列。
二 随机误差的分离
对于可重复测试的动态测试数据，其一次测试结果由若干不同周期的谐波成
分构成了主要部分，则测试结果又可表示为
ij
K
j
j yjBAx  
 )sin(
2
1
)(
1
0
'
随机误差 iy 多是平稳随机过程，具有有理谱的平稳随机过程可用 M 阶自
回归模型来表示，即经中心化处理后， iy 可表示为
ii
M
i
Mii yay  

 1
1
可见，预处理后的动态数据序列表现为具有周期性成分的随机序列，用付里
叶级数逼近法和非线性最小二乘法可以将确定性成分分离出来，达到分离被测参
数值和随机误差的目的。
1.付里叶级数逼近法
考虑到实际处理数据为离散序列，  'x 又可表示为
iP
K
p
P ypBpAAx  
 sincos
2
1
)(
1
0
'
已知函数  'x 在  2,0 中的 1n2  个点  ni
n
i
i 2,,2,1,0
12
2
i 



 及其函数
值  ix ' ，用付里叶级数逼近法可求出 Ap 、 Bp 的近似值，其逼近的残差就是随
机误差成分。
2.非线性最小二乘法
根据上述公式表示的组合模型，给出既有确定性成分，又有随机成分的组合
模型的具体表达式，由这两部分的组合共同描述动态数据序列，能达到令人满意
的效果。建立起组合模型，也就将周期性成分分离出来了。
由于第三个公式中 j 很难用非线性最小二乘估计，现改写成如下形式

23. 21
ijj
K
j
j yjCjCBAx  
 )cos1sin(
2
1
)( 2
1
0
'
非线性最小二乘法采用 Marquadt 阻尼最小二乘法。建模的方法是:首先用最
小二乘法拟合数据序列的周期成分，从低阶开始，逐渐增加阶数，直到残差平方
和的减小不显著，然后对残量序列建立  MAR 模型。
5.2.3.2 修正过程及结果
基于上节中的系统误差的修正方法，我们对首先去除误差中的系统误差。如
公式（29）所示.
总系统总剩 )-1（-  k （29）
式中， 剩 表示剩余误差，即上述随机误差总和； 总 表示 FFT 变化之后仿真与否
曲线的差值（总误差）； 系统 表示系统误差。
对于傅里叶级数逼近和非线性最小二乘法进行随机误差的分离，总体上来说
处理方法一样。首先需将剩余残差矩阵给拟合成函数，然后将该函数进行分段处
理。之后利用傅里叶三角函数/最小二乘函数将其拟合，通过改变三角函数/最小
二乘函数的级数以实现拟合效果的递增。但是每种情况下残差矩阵的拟合都需要
根据其相应的变化规律选取特定的拟合函数，对于段数的选取和拟合函数的选取
都将影响最终残差，即随机变量。由于其工作量太大，时间上不允许，本文并未
对其做细致的划分和拟合。为了后面的说明，此处对于该方法下所得残差记为ε。
经过上述方法，得到随机变量ε后，为了校正加速度，则需要去除其系统误
差和参与误差，去除模型如公式（30）.
aa aakaa -）-(- 仿原原校  （30）
式中， 校a 表示的是校准之后的加速度， ak 表示的是加速度系统误差的修正
比值， 原a 表示的是原始加速度数据， 仿a 表示的是经过仿真后的加速度数据， a
表示的是加速度的随机误差。
通过公式（30）则可得到校正之后的加速度数据。由于随机误差并未分离
出，所以，此处无法给出校正之后的数据及图形。
5.3 问题三：模型的推广与运用
5.3.1 对问题三的分析
对于第 3 问，我们拟首先对自己前两问所解决的问题以及结果进行综合评价，
分析其优缺点。然后针对声屏障，我们对其加速度信号的特性进行分析，讨论该
种信号适用于何种方式的仿真及消噪。同时针对本文中所建模型，分析其在另外
领域中的应用。最后，提出对该模型进行优化的想法。
5.3.2 对问题三的探讨
针对本文以上两问中的去趋势项修正模型、FFT 变换和频域计算模型、比值
法系统误差修正模型等。其中去趋势项修正模型的结果由于分段处理，使得信号
前后的趋势在同一坐标轴上无法显现出来，并且该模型并不是适用于全部周期性
振动。FFT 变换和频域计算模型的结果相较于第一次仿真结果来说更加显著，保

24. 22
留了原始模型的趋势和符合实际情况，但是存在的不足之处是，经过 FFT 变换
和滤波前后，系统的信号幅值会缩小，使得信号部分失真。比值法系统误差修正
模型是针对该声屏障的误差特性，通过与差值法对比之后产生的方法，该模型结
果存在与实数域中不符的部分，但是总体趋势仍不错，是一种比较适合该波形的
系统误差修正方法。
针对声屏障的加速度信号特征，我们发现两端点间的往返运动，能够很明显
的通过加速度变化趋势看出，基本上每一次端点间运动就会产生一次对应的波
形，与单摆运动次数成正比例关系。同时，声屏障的运动有一定规律，其加速度
信号振幅比较小，且呈现先稳定再快速上升再快速下降最后在稳定的过程。利用
加速度仿真前后提取的误差变化，我们发现了比例项误差修正系数远大于常数项
误差修正系数。因此，在系统误差的修正方面，声屏障更适合用比值法系统误差
的修正。
针对本文所建模型可应用领域，我们认为，可以广泛利用于需积分处理以获
取更多有效参数量的精度振动仪上。例如，对于汽车减震装置分析仪，本文中的
模型可以很好的进行动态过程中行车数据的分析和发动机故障的预报。其次，对
于声呐装置，本系统仍可以对其返回数据中的噪音进行一定程度上的消噪，从而
分析低声波返回端的地形、物理属性等特征。
针对优化本文中的模型，我们认为有好多地方没有很好的将波形图进行细微
的分段处理，其次，对于随机误差的处理，本文中的模型仅限于将随机误差进行
分离。其实我们可以通过自动收集前端随机误差，并且利用 M 阶自回归模型，
结合时间序列分析，从而可以实现对随机误差的一种预测，这样，在处理未知信
号的误差修正上，我们可以提前剔除系统误差和随机误差，实现了修正的自动化、
智能化。
参考文献：
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制造业自动化,2011,06:149-154.
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[J]. 机械科学与技术,2011,04:522-526.
[3]商佳尚. 差值法与比值法的误差修正效果比较研究及应用[J]. 计测技术,20
09,04:12-16+21.
[4]费业泰,刘小君. 精密仪器随机误差分离与修正技术的研究[J]. 仪器仪表学
报,1990,02:171-178.
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计量学报,1997,04:19-23.
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[J]. 继电器,2003,09:49-51.
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[9]朱敏. MATLAB 数字信号处理工具箱的开发和应用——数字滤波器 FIR 的设计
[J]. 信息与电脑(理论版),2010,02:154-155.

25. 23
附录：
附录 1 原始加速度、速度、位移代码
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
figure(1);
plot(t1,a1);
figure(2);
plot(t2,a2);
figure(3);
plot(t3,a3);
v1=cumtrapz(t1,a1);
v2=cumtrapz(t2,a2);
v3=cumtrapz(t3,a3);
figure(1);
plot(t1,v1);
figure(2);
plot(t2,v2);
figure(3);
plot(t3,v3);
s1=cumtrapz(t1,v1);
s2=cumtrapz(t2,v2);
s3=cumtrapz(t3,v3);
figure(1);
plot(t1,s1);
figure(2);
plot(t2,s2);
figure(3);
plot(t3,s3);
附录 2： 原始加速度频域分析
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fftshift(fft(a1));
y2=fftshift(fft(a2));
y3=fftshift(fft(a3));
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
figure(1);
plot(w1,abs(y1));
figure(2);
plot(w2,abs(y2));
figure(3);
plot(w3,abs(y3));
附录 3 理想高通滤波器
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
y1=fftshift(fft(a1));
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
figure(1)
plot(w1,abs(y1))
hold on
for i=1:length(y1)
if abs(w1(i))<10
y1(i)=0;
end
end
plot(w1,abs(y1),'r')
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
aa1=ifft(ifftshift(y1));

26. 24
figure(2);
plot(t1,aa1);
figure(3)
vv1=cumtrapz(t1,aa1);
plot(t1,vv1)
ss1=cumtrapz(t1,vv1);
figure(4)
plot(t1,ss1)
滤波(高通：10Hz) 并 y/3
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
y1=fftshift(fft(a1));
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
figure(1)
plot(w1,abs(y1))
hold on
for i=1:length(y1)
if abs(w1(i))<10
y1(i)=y1(i)/3;
end
end
plot(w1,abs(y1),'r')
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
aa1=ifft(ifftshift(y1));
figure(2);
plot(t1,aa1);
figure(3)
vv1=cumtrapz(t1,aa1);
plot(t1,vv1)
ss1=cumtrapz(t1,vv1);
figure(4)
plot(t1,ss1)
附录 4 尾部数据提取
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fftshift(fft(a1));
y2=fftshift(fft(a2));
y3=fftshift(fft(a3));
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
for i=1:length(y1)
if abs(w1(i))<10
y1(i)=y1(i)/3;
end
end
for i=1:length(y2)
if abs(w2(i))<10
y2(i)=y2(i)/3;
end
end
for i=1:length(y3)
if abs(w3(i))<10
y3(i)=y3(i)/3;
end
end
aa1=ifft(ifftshift(y1));
aa2=ifft(ifftshift(y2));
aa3=ifft(ifftshift(y3));
vv1=cumtrapz(t1,aa1);
vv2=cumtrapz(t2,aa2);
vv3=cumtrapz(t3,aa3);
ss1=cumtrapz(t1,vv1);
ss2=cumtrapz(t2,vv2);

27. 25
ss3=cumtrapz(t3,vv3);
[m1,n1]=min(real(vv1));
[m2,n2]=min(real(vv2));
[m3,n3]=min(real(vv3));
t11=n1*t:t:length(a1)*t;
t22=n2*t:t:length(a2)*t;
t33=n3*t:t:length(a3)*t;
v11=vv1(n1:length(vv1));
v22=vv2(n2:length(vv2));
v33=vv3(n3:length(vv3));
s11=ss1(n1:length(ss1));
s22=ss2(n2:length(ss2));
s33=ss3(n3:length(ss3));
附录 5 速度仿真
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fftshift(fft(a1));
y2=fftshift(fft(a2));
y3=fftshift(fft(a3));
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
for i=1:length(y1)
if abs(w1(i))<10
y1(i)=y1(i)/3;
end
end
for i=1:length(y2)
if abs(w2(i))<10
y2(i)=y2(i)/3;
end
end
for i=1:length(y3)
if abs(w3(i))<10
y3(i)=y3(i)/3;
end
end
aa1=ifft(ifftshift(y1));
aa2=ifft(ifftshift(y2));
aa3=ifft(ifftshift(y3));
vv1=cumtrapz(t1,aa1);
vv2=cumtrapz(t2,aa2);
vv3=cumtrapz(t3,aa3);
ss1=cumtrapz(t1,vv1);
ss2=cumtrapz(t2,vv2);
ss3=cumtrapz(t3,vv3);
[m1,n1]=min(real(vv1));
[m2,n2]=min(real(vv2));
[m3,n3]=min(real(vv3));
t11=n1*t:t:length(a1)*t;
t22=n2*t:t:length(a2)*t;
t33=n3*t:t:length(a3)*t;
v11=vv1(n1:length(vv1));
v22=vv2(n2:length(vv2));
v33=vv3(n3:length(vv3));
v111=vv1(1:n1-1);
v221=vv2(1:n2-1);
v331=vv3(1:n3-1);
for i=1:length(t11)
v112(i)=0.02263*t11(i)^4-0.1223*t11(i
)^3+0.2353*t11(i)^2-0.1848*t11(i);
end
for i=1:length(t22)
v222(i)=-3.015*t22(i)^4+34.05*t22(i)^
3-143.9*t22(i)^2+269.9*t22(i);
end
for i=1:length(t33)
v332(i)=-4.737*t33(i)^4+40.14*t33(i)^

28. 26
3-127.2*t33(i)^2+178.7*t33(i);
end
v112=v112';
v222=v222';
v332=v332';
v113=[v111;v112];
v223=[v221;v222];
v333=[v331;v332];
figure(1)
plot(t1,v113);
figure(2)
plot(t2,v223);
figure(3)
plot(t3,v333);
subplot(3,2,1)
plot(0:t:(length(t1)-length(t11)-1)*t
,v111);
subplot(3,2,2)
plot(t11,v112)
subplot(3,2,3)
plot(0:t:(length(t2)-length(t22)-1)*t
,v221);
subplot(3,2,4)
plot(t22,v222)
subplot(3,2,5)
plot(0:t:(length(t3)-length(t33)-1)*t
,v331);
subplot(3,2,6)
plot(t33,v332)
附录 6 位移仿真
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fftshift(fft(a1));
y2=fftshift(fft(a2));
y3=fftshift(fft(a3));
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
for i=1:length(y1)
if abs(w1(i))<10
y1(i)=y1(i)/3;
end
end
for i=1:length(y2)
if abs(w2(i))<10
y2(i)=y2(i)/3;
end
end
for i=1:length(y3)
if abs(w3(i))<10
y3(i)=y3(i)/3;
end
end
aa1=ifft(ifftshift(y1));
aa2=ifft(ifftshift(y2));
aa3=ifft(ifftshift(y3));
vv1=cumtrapz(t1,aa1);
vv2=cumtrapz(t2,aa2);
vv3=cumtrapz(t3,aa3);
ss1=cumtrapz(t1,vv1);
ss2=cumtrapz(t2,vv2);
ss3=cumtrapz(t3,vv3);
[m1,n1]=min(real(vv1));
[m2,n2]=min(real(vv2));
[m3,n3]=min(real(vv3));
t11=n1*t:t:length(a1)*t;
t22=n2*t:t:length(a2)*t;

29. 27
t33=n3*t:t:length(a3)*t;
v11=vv1(n1:length(vv1));
v22=vv2(n2:length(vv2));
v33=vv3(n3:length(vv3));
s11=ss1(n1:length(ss1));
s22=ss2(n2:length(ss2));
s33=ss3(n3:length(ss3));
s111=ss1(1:n1-1);
s221=ss2(1:n2-1);
s331=ss3(1:n3-1);
for i=1:length(t11)
s112(i)=0.005708*t11(i)^5-0.03568*t11
(i)^4+0.08672*t11(i)^3-0.0985*t11(i)^
2;
end
for i=1:length(t22)
s222(i)=-0.3301*t22(i)^5+4.645*t22(i)
^4-26.11*t22(i)^3+73.25*t22(i)^2;
end
for i=1:length(t33)
s332(i)=-0.5612*t33(i)^5+5.92*t33(i)^
4-24.92*t33(i)^3+52.36*t33(i)^2;
end
s112=s112';
s222=s222';
s332=s332';
s113=[s111;s112];
s223=[s221;s222];
s333=[s331;s332];
figure(1)
plot(t1,s113);
figure(2)
plot(t2,s223);
figure(3)
plot(t3,s333);
subplot(3,2,1)
plot(0:t:(length(t1)-length(t11)-1)*t
,s111);
subplot(3,2,2)
plot(t11,s112)
subplot(3,2,3)
plot(0:t:(length(t2)-length(t22)-1)*t
,s221);
subplot(3,2,4)
plot(t22,s222)
subplot(3,2,5)
plot(0:t:(length(t3)-length(t33)-1)*t
,s331);
subplot(3,2,6)
plot(t33,s332)
附录 7 FFT 变换与速度仿真
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fft(a1);
y2=fft(a2);
y3=fft(a3);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
fs=1000;
N1=length(a1);
N2=length(a2);
N3=length(a3);
ff1=fs/N1;
ff2=fs/N2;
ff3=fs/N3;
for k=1:N1

30. 28
w(k)=2*pi*k*ff1;
v1(k)=y1(k)/(w(k)*i);
end
v1=ifft(v1);
figure(1)
plot(t1,v1)
hold on
for k=1:N1
if k*ff1<20
y1(k)=y1(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff1;
v1(k)=y1(k)/(w(k)*i);
end
v1=ifft(v1);
plot(t1,v1,'r')
for k=1:N2
w(k)=2*pi*k*ff2;
v2(k)=y2(k)/(w(k)*i);
end
v2=ifft(v2);
figure(2)
plot(t2,v2)
hold on
for k=1:N2
if k*ff2<20
y2(k)=y2(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff2;
v2(k)=y2(k)/(w(k)*i);
end
v2=ifft(v2);
plot(t2,v2,'r')
for k=1:N3
w(k)=2*pi*k*ff3;
v3(k)=y3(k)/(w(k)*i);
end
v3=ifft(v3);
figure(3)
plot(t3,v3)
hold on
for k=1:N3
if k*ff3<20
y3(k)=y3(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff3;
v3(k)=y3(k)/(w(k)*i);
end
v3=ifft(v3);
plot(t3,v3,'r')
附录 8 FFT 变换与位移仿真
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fft(a1);
y2=fft(a2);
y3=fft(a3);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
fs=1000;
N1=length(a1);
N2=length(a2);
N3=length(a3);
ff1=fs/N1;
ff2=fs/N2;
ff3=fs/N3;
for k=1:N1

31. 29
w(k)=2*pi*k*ff1;
v1(k)=y1(k)/((w(k)*i)^2);
end
v1=ifft(v1);
figure(1)
plot(t1,v1)
hold on
for k=1:N1
if k*ff1<20
y1(k)=y1(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff1;
v1(k)=y1(k)/((w(k)*i)^2);
end
v1=ifft(v1);
plot(t1,v1,'r')
for k=1:N2
w(k)=2*pi*k*ff2;
v2(k)=y2(k)/((w(k)*i)^2);
end
v2=ifft(v2);
figure(2)
plot(t2,v2)
hold on
for k=1:N2
if k*ff2<20
y2(k)=y2(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff2;
v2(k)=y2(k)/((w(k)*i)^2);
end
v2=ifft(v2);
plot(t2,v2,'r')
for k=1:N3
w(k)=2*pi*k*ff3;
v3(k)=y3(k)/((w(k)*i)^2);
end
v3=ifft(v3);
figure(3)
plot(t3,v3)
hold on
for k=1:N3
if k*ff3<20
y3(k)=y3(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff3;
v3(k)=y3(k)/((w(k)*i)^2);
end
v3=ifft(v3);
plot(t3,v3,'r')
附录 9 比值法修正速度图
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fft(a1);
y2=fft(a2);
y3=fft(a3);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
fs=1000;
k1=0.406111;
k2=0.316346;
k3=0.522193;
N1=length(a1);
N2=length(a2);
N3=length(a3);
ff1=fs/N1;

32. 30
ff2=fs/N2;
ff3=fs/N3;
for k=1:N1
w(k)=2*pi*k*ff1;
v1(k)=y1(k)/(w(k)*i);
end
v1=ifft(v1);
figure(1)
plot(t1,v1)
hold on
for k=1:N1
if k*ff1<20
y1(k)=y1(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff1;
v11(k)=y1(k)/(w(k)*i);
end
v11=ifft(v11);
plot(t1,v11,'r')
plot(t1,v1-k1*(v1-v11),'g')
for k=1:N2
w(k)=2*pi*k*ff2;
v2(k)=y2(k)/(w(k)*i);
end
v2=ifft(v2);
figure(2)
plot(t2,v2)
hold on
for k=1:N2
if k*ff2<20
y2(k)=y2(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff2;
v22(k)=y2(k)/(w(k)*i);
end
v22=ifft(v22);
plot(t2,v22,'r')
plot(t2,v22-k2*(v2-v22),'g')
for k=1:N3
w(k)=2*pi*k*ff3;
v3(k)=y3(k)/(w(k)*i);
end
v3=ifft(v3);
figure(3)
plot(t3,v3)
hold on
for k=1:N3
if k*ff3<20
y3(k)=y3(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff3;
v33(k)=y3(k)/(w(k)*i);
end
v33=ifft(v33);
plot(t3,v33,'r')
plot(t3,v33-k3*(v3-v33),'g')
附录 10 比值法修正位移
a=xlsread('1');
a1=a(1:1395,1);
a2=a(1:3134,2);
a3=a(1:2397,3);
y1=fft(a1);
y2=fft(a2);
y3=fft(a3);
t=1/1000;
t1=0:t:(length(a1)-1)*t;
t2=0:t:(length(a2)-1)*t;
t3=0:t:(length(a3)-1)*t;
w1=linspace(-1000/2,1000/2,length(a1)
);
w2=linspace(-1000/2,1000/2,length(a2)
);
w3=linspace(-1000/2,1000/2,length(a3)
);
fs=1000;
k1=0.303359;

33. 31
k2=0.312954;
k3=0.345537;
N1=length(a1);
N2=length(a2);
N3=length(a3);
ff1=fs/N1;
ff2=fs/N2;
ff3=fs/N3;
for k=1:N1
w(k)=2*pi*k*ff1;
s1(k)=y1(k)/((w(k)*i)^2);
end
s1=ifft(s1);
figure(1)
plot(t1,s1)
hold on
for k=1:N1
if k*ff1<20
y1(k)=y1(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff1;
s11(k)=y1(k)/((w(k)*i)^2);
end
s11=ifft(s11);
plot(t1,s11,'r')
plot(t1,s1-k1*(s1-s11),'g')
for k=1:N2
w(k)=2*pi*k*ff2;
v2(k)=y2(k)/((w(k)*i)^2);
end
v2=ifft(v2);
figure(2)
plot(t2,v2)
hold on
for k=1:N2
if k*ff2<20
y2(k)=y2(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff2;
v22(k)=y2(k)/((w(k)*i)^2);
end
v22=ifft(v22);
plot(t2,v22,'r')
plot(t2,v2-k2*(v2-v22),'g')
for k=1:N3
w(k)=2*pi*k*ff3;
v3(k)=y3(k)/((w(k)*i)^2);
end
v3=ifft(v3);
figure(3)
plot(t3,v3)
hold on
for k=1:N3
if k*ff3<20
y3(k)=y3(k)/3;
end
w(k)=2*pi*k*ff3;
v33(k)=y3(k)/((w(k)*i)^2);
end
v33=ifft(v33);
plot(t3,v33,'r')
plot(t3,v3-k3*(v3-v33),'g')