Espaces vectoriels<br />Sous-espaces et<br />
Ensemble<br />Collection d’objets<br />Quête de la théorie des ensembles<br />Symboles :<br />Appartenance :  		∉<br />I...
Exemples<br />Soit l’ensemble A = { 1,  3, j  ,  # ,• }<br />1  __    A<br />j ____   A<br />{ 1 } ____   A<br />{ 1, 3}...
Opération<br />Processus visant à obtenir un résultat à partir d’un ou de plusieurs objets appelés opérandes.<br />Synonym...
Opération interne<br />Processus impliquant uniquement un ou des éléments <br />	d’un ensemble.<br />
Propriété<br />Constat  fait sur tous les éléments d’un ensemble mis en relation à l’aide d’opérations.<br />Exemples :<br...
Commutativité<br />
Associativité<br />A (B   C ) = A   B   C  =  (A   B )   C  <br />
Fermeture<br />∀(x ∈V ,  y∈V),  x   y ∈ V<br />Ce qui se passe dans l’ensemble, reste dans l’ensemble !<br />
Éléments remarquables<br />Le neutre<br />Le symétrique<br />
Opération externe<br />Processus impliquant un ou des éléments d’un ensemble avec un élément provenant d’un autre ensemble...
Propriété : Distributivité<br />k ◊ ( A   B ) = (k ◊  A)     (k ◊ B ) <br />
Espace vectoriel<br />Ensemble V<br />Opération interne : ⊕<br />Opération externe : ⊗<br />Qui répondent à 10 conditions<...
Conditions :<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de <br />Fe...
Dimension<br />Tous les espaces vectoriels peuvent être engendrés par une base.<br />Dimension = Nombre de vecteurs de la ...
Exemples<br />
Vecteurs du plan+ vectorielle et * par un scalaire<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br ...
Matrice d’ordre 2+ matricielle et * par un scalaire<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br...
Polynômes de degré 2+ fonctions et * par un scalaire<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <b...
À quoi ça sert ???<br />
Sous-espace vectoriel<br />
Sous-espace vectoriel<br />Espace vectoriel inclus dans un espace vectoriel.<br />
Soit &lt;V ; ; &gt; tel que :<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />...
Soit U ⊂ V…  à voir :<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de ...
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  1. 1. Espaces vectoriels<br />Sous-espaces et<br />
  2. 2.
  3. 3. Ensemble<br />Collection d’objets<br />Quête de la théorie des ensembles<br />Symboles :<br />Appartenance :   ∉<br />Inclusion :   <br />
  4. 4. Exemples<br />Soit l’ensemble A = { 1, 3, j , # ,• }<br />1 __ A<br />j ____ A<br />{ 1 } ____ A<br />{ 1, 3} ____ A<br />{ 1, 2, 3} ____ A<br /><br /><br /><br /><br /><br />
  5. 5. Opération<br />Processus visant à obtenir un résultat à partir d’un ou de plusieurs objets appelés opérandes.<br />Synonyme : Loi de composition <br />
  6. 6. Opération interne<br />Processus impliquant uniquement un ou des éléments <br /> d’un ensemble.<br />
  7. 7. Propriété<br />Constat fait sur tous les éléments d’un ensemble mis en relation à l’aide d’opérations.<br />Exemples :<br />Commutativité<br />Associativité<br />Fermeture<br />
  8. 8. Commutativité<br />
  9. 9. Associativité<br />A (B   C ) = A   B   C = (A   B )   C <br />
  10. 10. Fermeture<br />∀(x ∈V , y∈V), x   y ∈ V<br />Ce qui se passe dans l’ensemble, reste dans l’ensemble !<br />
  11. 11. Éléments remarquables<br />Le neutre<br />Le symétrique<br />
  12. 12. Opération externe<br />Processus impliquant un ou des éléments d’un ensemble avec un élément provenant d’un autre ensemble (corps).<br />Par exemple : <br />La multiplication de matrices par un scalaire<br />La multiplication de vecteurs par un scalaire<br />
  13. 13. Propriété : Distributivité<br />k ◊ ( A   B ) = (k ◊ A)   (k ◊ B ) <br />
  14. 14. Espace vectoriel<br />Ensemble V<br />Opération interne : ⊕<br />Opération externe : ⊗<br />Qui répondent à 10 conditions<br />Dans le cadre de ce cours, l’opération externe impliquera le corps des réels.<br />
  15. 15. Conditions :<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de <br />Fermeture de <br />Associativité mixte de <br />Distributivité à gauche de  sur <br />Distributivité à droite de  sur <br />Neutre de <br />Page 405<br />
  16. 16. Dimension<br />Tous les espaces vectoriels peuvent être engendrés par une base.<br />Dimension = Nombre de vecteurs de la base<br />
  17. 17. Exemples<br />
  18. 18. Vecteurs du plan+ vectorielle et * par un scalaire<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de <br />Fermeture de <br />Associativité mixte de <br />Distributivité à gauche de  sur <br />Distributivité à droite de  sur <br />Neutre de <br />L’addition de deux vecteurs du plan donne un vecteur du plan.<br />u + v = v + u<br />(u + v) + w = u + (v + w)<br />0 + u = u + 0 = u<br />u + (-u) = 0<br />La multiplication d’un vecteur par un scalaire donne un vecteur du plan.<br />(km) u = k (mu)<br /> k(u + v) = ku + kv<br /> (k + m) u = ku + mu<br /> 1 u = u<br />
  19. 19. Matrice d’ordre 2+ matricielle et * par un scalaire<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de <br />Fermeture de <br />Associativité mixte de <br />Distributivité à gauche de  sur <br />Distributivité à droite de  sur <br />Neutre de <br />L’addition de deux matrices d’ordre 2 donne une matrice d’ordre 2.<br />A + B = B + A<br />(A + B) + C = A + (B + C)<br />0 + A = A + 0 = A<br />A + (-A) = 0<br />La multiplication d’une matrice d’ordre 2 par un scalaire donne une matrice d’ordre 2<br />(km) A = k (mA)<br /> k(A + B) = kA + kB<br /> (k + m) A = kA + mA<br /> 1 A = A<br />Base ? Dimension ?<br />
  20. 20. Polynômes de degré 2+ fonctions et * par un scalaire<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de <br />Fermeture de <br />Associativité mixte de <br />Distributivité à gauche de  sur <br />Distributivité à droite de  sur <br />Neutre de <br />NON<br />
  21. 21. À quoi ça sert ???<br />
  22. 22. Sous-espace vectoriel<br />
  23. 23. Sous-espace vectoriel<br />Espace vectoriel inclus dans un espace vectoriel.<br />
  24. 24. Soit &lt;V ; ; &gt; tel que :<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de <br />Fermeture de <br />Associativité mixte de <br />Distributivité à gauche de  sur <br />Distributivité à droite de  sur <br />Neutre de <br />
  25. 25. Soit U ⊂ V… à voir :<br />Fermeture de <br />Commutativité de <br />Associativité de <br />Neutre de <br />Opposé de <br />Fermeture de <br />Associativité mixte de <br />Distributivité à gauche de  sur <br />Distributivité à droite de  sur <br />Neutre de <br />

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