1. Cálculo Diferencial e Integral
II
Disciplina: Cálculo Integral
Prof. Dr. Osmar Pedrochi Junior
2. Suponha que 𝑓(𝑥) seja definido quando está próximo
ao número 𝑎. (Isso significa que 𝑓 é definido em
algum intervalo aberto que contenha 𝑎 , exceto
possivelmente no próprio 𝑎.) Então escrevemos
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳
e dizemos “o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎, é
igual a 𝐿” se pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥)
arbitrariamente próximos de 𝐿 (tão próximos de 𝐿
quanto quisermos), ao tomar 𝑥 suficientemente
próximo de 𝑎 (por ambos os lados de 𝑎), mas não
necessariamente igual a 𝑎.
2
3. Noção intuitiva de limites
Vamos analisar o comportamento da função
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 𝑥 + 2
para valores de 𝑥 próximos de 2.
3
6. Exemplo
Sejam a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 e 𝑎 = 2.
Quando 𝑥 se aproxima de a = 2, então 3𝑥 se aproxima
de 6 e 3𝑥 − 1 se aproxima de 5.
Consequentemente,
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2
3𝑥 − 1 = 5.
6
7. Limite lateral à esquerda
Escrevemos
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
e dizemos que o limite à esquerda de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende a 𝒂 é igual a 𝐿 se
pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿, para 𝑥
suficientemente próximo de 𝑎 e 𝑥 menor que 𝑎.
Indica o sentido, isto é,
aproximar pela esquerda do
número 𝑎
7
8. Limite lateral à direita
Escrevemos
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
e dizemos que o limite à direita de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende a 𝒂 é igual a 𝐿 se
pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿, para
𝑥 suficientemente próximo de 𝑎 e 𝑥 maior que 𝑎.
Indica o sentido, isto é,
aproximar pela direita do
número 𝑎
8
9. O lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)existe se e somente se os limites laterais são
iguais, isto é,
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
9
Limites laterais e bilaterais
10. Como podemos
interpretar os limites
laterais a partir de um
estudo gráfico?
Fonte: https://image.freepik.com/vetores-gratis/menina-feliz-crianca-fofa-com-
balao-e-livro_97632-1272.jpg
10
11. Função 𝑓 e o estudo dos limites laterais
(BARBA, 2020, p. 12)
O limite
bilateral não
existe porque os
limites laterais
diferem entre si.
11
12. (Stewart, 2016) Para a função 𝑓, cujo gráfico é dado, diga o
valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir,
explique o por quê.
• lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 =
• lim
𝑥→3−
𝑓 𝑥 =
• lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥 =
• lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 =
• 𝑓 3 = https://bit.ly/2xEzV0z
(acesso 09 jul. 2019)
12
14. Propriedades de Limites
lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
[𝑐𝑓 𝑥 ] = 𝑐 ⋅ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 ] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ⋅ lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
Seja c uma constante
e suponha que
existam os limites
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) e
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥).
14
15. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
, se lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑛
= lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑛
onde 𝑛 é um inteiro positivo
lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 e lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛
= 𝑎𝑛
onde 𝑛 é um inteiro positivo
15
16. lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑥 = 𝑛
𝑎 onde 𝑛 é um inteiro positivo
(Se n for par, supomos que 𝑎 > 0)
lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 onde 𝑛 é um inteiro
positivo. (Se n for par, supomos que lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 > 0)
16
19. Função polinomial e limite
Para uma função polinomial 𝑃(𝑥) qualquer, e para uma
constante real 𝑎 qualquer, temos que
lim
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎)
A partir desse resultado, é possível investigar os limites
associados, por exemplo, à soma, diferença, produto e
quociente de funções polinomiais.
19
22. Atenção!
Em alguns casos quando substituímos o valor
de 𝑎 na função podemos encontrar resultados
como:
• Divisão por zero: isso significa que a medida
que se aproxima de 𝑎 a função tende ao
infinito ou a menos infinito.
• Indeterminações do tipo
𝟎
𝟎
e
∞
∞
: utilizamos
métodos específicos para resolver esse tipo
de indeterminação.
22
24. O cálculo de limites
Exemplo: determine lim
𝑥→0
1
𝑥
, com 𝑥 ≠ 0.
𝒙 → 𝟎+ 𝒚 =
𝟏
𝒙
0 Não se
define
0,1 10
0,01 100
0,001 1 000
0,0001 10 000
𝒙 → 𝟎− 𝒚 =
𝟏
𝒙
0 Não se
define
−0,1 −10
−0,01 −100
−0,001 −1 000
−0,0001 −10 000
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25. Observamos que:
Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela direita, 𝑦 cresce
indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a mais infinito:
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞
Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela esquerda, 𝑦 decresce
indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a menos infinito:
lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞
25
27. Limites infinitos
Seja 𝑓(𝑥) uma função definida em todo número de um
intervalo aberto 𝐼 contendo 𝑎, exceto possivelmente no
próprio 𝑎. Quando 𝑥 tende a 𝑎, 𝑓(𝑥) cresce (ou decresce)
indefinidamente escrevemos:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = −∞
27
32. Continuidade
Uma função 𝑓 é contínua em um número 𝒂 se:
1) 𝑓(𝑎) está definida (isto é, 𝑎 está no domínio de 𝑓)
2) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe
3) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
34. Exemplo
Dada a função 𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
2 𝑠𝑒 𝑥 = 1
investigue se ela é
contínua em 𝑥 = 1.
𝑓 1 = 2.
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 5
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(1)
𝑓 𝑥 é descontínua
em 𝑥 = 1
(Adaptado - LEITHOLD, 1994, p. 100)
35. Derivada de uma função
A derivada de uma função 𝒇 em relação a 𝒙, denotada por
𝑓′(𝑥) é
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Se o limite existir.
35
36. Exemplo
A derivada da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 é dada por:
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
2(𝑥 + ℎ) − 2𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + 2ℎ − 2𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
2ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
2 = 2
Logo a derivada de
𝑓 𝑥 = 2𝑥 é dada
por 𝑓′
𝑥 = 2
36
37. Notação
Se usarmos a notação tradicional 𝑦 = 𝑓 𝑥 para indicar
que a variável independente é 𝑥 e a variável dependente é
𝑦, então algumas notações alternativas para a derivada são
as seguintes:
𝑓′
𝑥 = 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
Para indicar o valor da derivada em um número
específico 𝑎 denotamos 𝑓′ 𝑎 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥=𝑎
37
38. 𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
Derivada de uma função constante
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛
= 𝑛𝑥𝑛−1
Derivada de uma função potência
38
39. 𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
A Regra da Multiplicação por Constante
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
Derivada da soma ou diferença de duas
funções deriváveis.
39
42. Regra do produto
A derivada de um produto de duas funções é a derivada
da primeira função vezes a segunda função mais a
primeira função vezes a derivada da segunda função.
Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
44. Regra do quociente
A derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada
do numerador menos o numerador vezes a derivada do
denominador, todos divididos pelo quadrado do denominador.
Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
[𝑔(𝑥)]2
46. Regra da cadeia
Na notação de Leibniz, se 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = 𝑔 𝑥 temos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Se 𝑔 for derivável em 𝑥 e 𝑓 for derivável em𝑔(𝑥), então a função
composta 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 definida por 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) é derivável em 𝑥 e
𝐹′ é dada pelo produto
𝐹′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′ 𝑥
48. Exemplo
Seja 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 1. Determine 𝐹′(𝑥).
A função 𝐹(𝑥) pode ser expressa como 𝐹 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥
= 𝑓(𝑔 𝑥 )
Em que 𝑦 = 𝑢 = 𝑢
1
2 e 𝑢 = 𝑥2 + 1
𝐹′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2 𝑥2 + 1
⋅ 2𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 1
50. Derivada de função Exponencial
A derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
é dada por :
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥
= 𝑎𝑥
ln 𝑎
Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 . A sua derivada é dada por
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥.
51. Exemplo
Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥
. Determine 𝑓′(𝑥).
Seja 𝑦 = 𝑒𝑢
e 𝑢 = 2𝑥
𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥
⋅ 2 = 2𝑒2𝑥
52. Derivada de função Logarítmica
A derivada do logaritmo geral é dada por:
𝑑
𝑑𝑥
log𝑎 𝑥 =
1
𝑥 ln 𝑎
A função 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 é diferenciável para todo 𝑥 > 0.
Assim temos que:
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥 =
1
𝑥
, x > 0.
53. Exemplo
Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = ln(𝑥3
+ 2𝑥) .
Seja 𝑦 = ln 𝑢 e 𝑢 = 𝑥3
+ 2𝑥
𝑓′
𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
→ 𝑓′
𝑥 =
1
𝑢
𝑑𝑢