Matematicas

1. LA ELIPSE
Y
LA HIPÉRBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS
UNIDAD 14

2. Ejercicios Resueltos
OBJETIVO 1
OBJETIVO 2
OBJETIVO 3

3. Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la
definición de la elipse como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.

4. 1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0,
3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a
9.
Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal
es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio
entre ellos: C(0, 0).
• La distancia c es:
• El lado recto es:
330 c
2 2 2
b a c 
922
 ab
,
9
2 2

a
b
LR

5. • Sustituyendo:
• El valor negativo de a no se considera puesto que
a es una longitud. Por tanto a = 6.
  9
92 2


a
a
01892 2
 aa       
 22
182499
2

a
4
159
4
144819 


a 6
4
24
1 a
2
3
4
6
2 a

6. • La ecuación de la elipse es:
922
 ab
279362
b
1
3627
22

yx

7. 2) Los focos de una elipse son los puntos
F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la
elipse, las coordenadas de sus vértices y su
excentricidad.
• El eje focal es paralelo al eje y.
• El centro tiene la misma abscisa que los focos:
h = 3.
La distancia entre los focos es:
k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)
2b = 8 b = 4
8 2
3
2
c

 
222
cba  259162
a

8. • Ecuación de la elipse:
• Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);
V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
• Excentricidad:
    1
25
5
16
3
22



 yx
c
e
a
 
5
3

9. 3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es
igual a la mitad de su distancia a la recta x –
16 = 0 e interpreta el resultado.
• Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
• Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16
= 0:
1d     22
04  yx
2d 
2
1
16

x

10. El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con
centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje
menor igual a
1 2
1
2
d d  
2 2
4x y    
1
16
2
x 
   
2 22 1
4 16
4
x y x   
 25632
4
1
168 222
 xxyxx
21
8 64
4
x x  
2 23
48
4
x y 
 
2 2
3
1
4 48 48
x y
  1
4864
22

yx
482

11. 4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una
altura máxima de 45m y un claro de 150m.
Encuentra la longitud de dos soportes verticales
situados de manera que dividan en claro en tres
espacios iguales.
Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la
elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación
es del tipo , con el
semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45.
Para que el claro se divida en tres partes iguales,
la distancia de los soportes a cada vértice y entre
ellos debe ser de 50m.
12
2
2
2

b
y
a
x

12. • La ecuación es:
1
20255625
22

yx

13. Para determinar la altura de los soportes, se hace
x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:
Puesto que y es una longitud (la altura de los
postes), se toma sólo la raíz positiva.
 
2 2
25
1
5625 2025
y
  1
20255625
625 2

y
1
20259
1 2

y
9
8
2025
2

y
1800
9
162002
y 230y

14. Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la
definición de la hipérbola como un
lugar geométrico y su ecuación en la
forma canónica.

15. 1) Encuentra los elementos de la
hipérbola 1
169
22

xy
92
a
2
16 a = 3; b = 4b  
222
bac  251692
c
5 (la raíz negativa se descarta)c 
Centro C(0, 0)
Eje focal El eje y
Vértices V(0, 3), V’(0, –3)
Focos F(0, 5), F’(0, –5)
Distancia focal 10
Longitud del eje transverso 6
Longitud del eje conjugado 8
Longitud de cada lado recto
Excentricidad
Asíntotas
a
b2
2
3
32
a
c
e 
5
3

xy
4
3
 xy
4
3


16. 2)Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal
que tiene su centro en (0, 0), su lado recto mide 6
unidades y su excentricidad es 7
2
2
2
6
b
LR
a
   ab 32

2 2
7
2
c a b
e
a a

   
4
7
2
22


a
ba   22
734 aaa 
01247 22
 aaa 0123 a 4
3
12
a 162
a
12)4(32
b
1
1216
22

yx
12
2
2
2

b
y
a
x

18. 3) Determina la ecuación de la hipérbola con
C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que pasa
por los puntos (4, 6) y (1, –3)
Hipérbola vertical:
Se sustituyen las coordenadas de los puntos por
los que pasa:
12
2
2
2

b
x
a
y
2 2
2 2
(6) (4)
1
a b
   1
1636
22

ba
2222
1636 baab 
2 2
2 2
( 3) (1)
1
a b

   1
19
22

ba
2222
9 baab 

19. Se despeja a2 en la segunda ecuación:
y se sustituye en la primera:
2222
9baba 
  222
91 bba 
1
9
2
2
2


b
b
a
2
2
2
2
2
2
1
9
1
9
1636 b
b
b
b
b
b 














 
1
9
1
144139
2
4
2
222




b
b
b
bbb
4224
91443636 bbbb  010827 24
 bb

20. Se resuelve para b y se sustituye
para calcular a:
La ecuación de la hipérbola es:
10827 2
b
4
27
1082
b
5
36
14
)4(92


a
1
4
5
36
22

xy

21. 4) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3,
2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6.
Encuentra la ecuación de la hipérbola, las
coordenadas de sus focos y su excentricidad.
V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es
vertical:
Centro de la hipérbola:
h = –3,
    12
2
2
2




b
hx
a
ky
 2 2 4
2 ( 3,0)
2 2
k C
 
    

22. Semieje transverso:
Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3
Ecuación de la hipérbola:
Focos:
Excentricidad:
a = 0 2 2 
    1
9
3
4
0
22



 xy
2 2
c a b   1394 
 13,3  13,3 
2
13
e

23. Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma
general de la ecuación de una elipse o de
una hipérbola y las características de los
coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una elipse o a una
hipérbola.

24. 1) Comprueba que el lugar geométrico de la
ecuación
es una elipse y encuentra las coordenadas del
centro, de los vértices y focos.
A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.
D = 3, E = –12, F = 6;
la ecuación sí representa una elipse. Por los
valores de A y de C, tiene su eje focal paralelo
al eje x.
0612342 22
 yxyx
2 2
4CD AE ACF          642412234
22

= 36 + 288 - 192 = 132 > 0

25. Por lo tanto:
a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b =
2
bA  2
aC  hbD 2
2 kaE 2
2 222222
bakahbF 
2
2 2 2
c a b   2242
c
2
2b
D
h 
3
4
 2
2a
E
k 
12 3
8 2

   






2
3
,
4
3
C
3 3
2,
4 2
V
 
   
 






2
3
,
4
5 11 3
' ,
4 2
V
 
 
 
3 3
2,
4 2
F
 
  
 
3 3
' 2,
2 2
F
 
  
 

26. 2) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el
producto de las pendientes de las rectas que los unen con los
puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):
El lugar geométrico es una hipérbola.
 1
1
m =
2
y
x

 
2
5
m =
4
y
x


1 2
1 5
m m = 3
2 4
y y
x x
   
  
   
3
842
55
2
2



xxx
yyy
 82356 22
 xxyy 029663 22
 yxyx

27. 3) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el
producto de las pendientes de las rectas que unen el punto P con los
puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es igual a .
Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):
Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):
Es una elipse.
1m 
3
2


x
y
2m 
2
1


x
y
1 2m m  6
2
1
3
2
















x
y
x
y
6
6
2
2
2



xx
yy  662 22
 xxyy
03866 22
 yxyx

28. 4) Encuentra todos los elemento de la elipse
• A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9,
ambos son positivos y C > A. La ecuación no
tiene términos en x ni en y por lo que el centro
está en el origen.
C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0);
01892 22
 yx
01892 22
 yx
1892 22
 yx
1
29
22

yx 7292
c
( 7,0)F '( 7,0)F 
3
4
LR
3
7
e 2a = 6 2b = 2 2