Modélisation du signal et photométrie : application à l'astrophotographie

1. Modélisation du signal et photométrie : application à l’astrophotographie Laurent Devineau

2. Introduction ▪ L’objectif de ce support est de présenter à travers un cas pratique les notions clés de photométrie et de modélisation du signal appliquées à l’astrophotographie. ▪ Après une introduction aux différents types de signaux et de bruits captés par une caméra, nous traitons de l’optimisation des temps de pose d’une session d’astrophotographie. ▪ Nous détaillons les méthodologies de dominance du bruit de lecture, de gestion de l’erreur de suivi et de la perte de dynamique. Ceci permet de disposer de temps unitaires optimaux au regard de ces différents critères. ▪ Nous présentons également les techniques de calcul du ratio signal / bruit d’une image empilée et formalisons une méthode permettant de déterminer la durée d’exposition totale à considérer pour atteindre un rapport signal / bruit cible. ▪ Des développements théoriques sont également proposés pour justifier la nature poissonnienne du signal photonique et pour montrer l’égalité espérance / variance des photoélectrons générés par le capteur. 2

3. Description du cas pratique ▪ Les techniques détaillées dans le présent support sont illustrées au moyen d’un cas pratique. ▪ Ce cas pratique a consisté à imager la Galaxie du Triangle (M33) avec le dispositif suivant : ▪ Appareil Photo Numérique (APN) Canon 500 D défiltré pourvu d’un capteur CMOS de taille de pixel égale à 4,68 µm ▪ Télescope de type Newton(*) de focale 1000 mm et dont le diamètre du miroir primaire est de 200 mm (ouverture à 𝐹/𝐷 = 5) ▪ Ci-dessous le détail des images réalisées : ▪ 80 images unitaires brutes de 240 secondes à 400 ISO, soit 5h20’ d’exposition au total ▪ Une série de DOF (Darks Offsets Flats) composée de : • 45 images dark de 240 secondes à 400 ISO • 31 images flats de 1/3 seconde avec une sensibilité à 100 ISO (de manière à concentrer l’histogramme aux deux tiers) • 101 offsets de durées 1/4000 seconde à 400 ISO 3 Image prétraitée après intégration Exemple d’une image brute (*) Afin de réduire la pollution lumineuse, un filtre Optolong L-Pro a été intégré au chemin optique.

4. Sommaire ▪ Modélisation du signal ▪ Photométrie ▪ Annexes ▪ Bibliographie 4

5. Rappels sur le fonctionnement d’un capteur numérique (1/2) 5 Photons Les photons frappent le photosite Des d’électrons sont émis, ils tombent dans le puits de potentiel 1 2 Mesure A la fin de l’exposition, la tension électrique est mesurée et le CAN la convertit en valeur numérique (ADU) 3 CAN(*) (*) Convertisseur analogique / numérique 214 − 1 0 11 000 11 000 ADU Affichage Les valeurs numériques de chaque photosite sont enregistrées dans un fichier 4 ▪ Processus de génération des photoélectrons et encodage numérique :

6. Rappels sur le fonctionnement d’un capteur numérique (2/2) ▪ Le terme ADU (Analog to Digital Units) correspond à la valeur numérique produite par le CAN (Convertisseur Analogique Numérique) à partir de la tension électrique du dispositif. ▪ Les ADU sont chiffrées sur une échelle qui dépend de la dynamique du capteur exprimée en bits. Dans le cas pratique, le capteur encode en 14 bits, les ADU prennent donc des valeurs (entières) entre 0 et 214 − 1. ▪ La valeur ADU se déduit du nombre d’électrons générés à partir d’un paramètre de gain noté 𝑔𝐴𝐷𝑈/𝑒−. Réciproquement lorsqu’on connaît la valeur ADU du pixel, on estime le nombre d’électrons générés avec un paramètre de gain noté 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈. On a : 𝑔𝐴𝐷𝑈/𝑒− = 1/𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 ▪ La capacité en électrons (full well capacity) représente le nombre maximal d’électrons qui peuvent être stockés dans le puits de potentiel. Plus cette grandeur est faible, plus l’image sature rapidement. ▪ Le rendement quantique (Quantum Efficiency) est le rapport entre le nombre d’électrons générés et la quantité de photons atteignant le capteur. 6 Illustration Profil de gain de l’EOS 500D

7. Des signaux et des bruits ▪ Les signaux enregistrés dans le processus de captation de l’image ne sont pas déterministes mais aléatoires (présence d’un bruit autour de la valeur attendue). ▪ On dénombre différents types de signaux (mesurés en ADU) : • Le signal 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝐴𝐷𝑈 (𝑡) de l’objet photographié, • Le signal 𝑆𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 (𝑡) associé à la pollution lumineuse (luminosité du Fond du Ciel), • Le signal thermique 𝑆𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 (𝑡) du capteur (souvent dénommé DC pour Dark Current), • Le signal de biais (offset) 𝑆𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 associé à un décalage entre le noir absolu et la valeur non nulle renvoyée par le capteur. Le composante de bruit relative à ce signal est dénommée bruit de lecture (Read Noise). ▪ En notant 𝑆𝑡𝑜𝑡 𝐴𝐷𝑈 𝑡 le signal total, on a donc : 𝑆𝑡𝑜𝑡 𝐴𝐷𝑈 𝑡 = 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝐴𝐷𝑈 (𝑡) + 𝑆𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 (𝑡) + 𝑆𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 (𝑡) + 𝑆𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ▪ Sous les mêmes notations pour les écarts-types, et en supposant l’indépendance des sources d’aléas, il vient : 𝜎𝑡𝑜𝑡 𝐴𝐷𝑈 = 𝜎𝑜𝑏𝑗 𝐴𝐷𝑈 (𝑡)2 + 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 (𝑡)2 + 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 (𝑡)2 + 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ² 7

8. Relations entre les lois de nombres et les mesures ADU ▪ Les signaux introduits précédemment peuvent également se mesurer en nombre d’électrons (e-). A titre d’exemple considérons le signal (en e-) de l’objet photographié, noté 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 . On a donc la relation : 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 = 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 × 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝐴𝐷𝑈 𝑡 ▪ Il est possible de montrer sous de bonnes hypothèses (cf. annexes) que pour les signaux 𝑂𝑏𝑗 et 𝐿𝑃, l’espérance et la variance du nombre d’électrons générés sont égales et linéaires en 𝒕, le temps d’exposition. ▪ Ce qui s’écrit : 𝐸 𝑆𝑋 𝑒− 𝑡 = 𝑉 𝑆𝑋 𝑒− 𝑡 = 𝜆𝑋 𝑒− . 𝑡 avec 𝑋 = 𝑂𝑏𝑗, 𝐿𝑃 ▪ De l’égalité précédente, il est aisé de déduire que : 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 = 𝐸 𝑆𝑋 𝐴𝐷𝑈 𝑡 𝑉 𝑆𝑋 𝐴𝐷𝑈 𝑡 ▪ Sous les mêmes hypothèses on montre que les quantités 𝑬 𝑺𝑿 𝑨𝑫𝑼 𝒕 𝑒𝑡 𝑽 𝑺𝑿 𝑨𝑫𝑼 𝒕 sont linéaires en 𝒕. On a : 𝐸 𝑆𝑋 𝐴𝐷𝑈 𝑡 = 𝜆𝑋 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 × 𝑡 et 𝑉 𝑆𝑋 𝐴𝐷𝑈 𝑡 = 𝜆𝑋 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 × 𝑡 Remarque : la variance 𝑉 𝑆𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 𝑡 est également supposée linéaire en 𝑡. 8 Taux instantané associé au signal 𝑋

9. Estimation sur les images brutes, darks et offsets (1/6) ▪ L’estimation de l’espérance et l’écart-type des différents signaux a été effectuée à l’aide du process Statistics du progiciel PixInsight. ▪ Pour le signal d’offset, l’écart-type a été évalué sur 2 images : 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 = 1 2 𝜎 𝐼𝑜𝑓𝑓𝑠𝑒𝑡 1 − 𝐼𝑜𝑓𝑓𝑠𝑒𝑡 2 + 𝐶 • Où 𝐶 est un facteur de translation permettant d’éviter de tronquer les données négatives ▪ Estimation de l’espérance et de l’écart-type du signal d’offset : 9 Signal d’offset Canal R Canal G Canal B 𝜇𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 13,7 9,9 11,5 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 10,5 6,6 8,3

10. Estimation sur les images brutes, darks et offsets (2/6) ▪ Le signal de dark intègre implicitement le signal d’offset. Pour estimer son espérance et son écart- type, on procède aux ajustements suivants : 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 = 1 2 𝑉 𝐼𝑑𝑎𝑟𝑘 1 − 𝐼𝑑𝑎𝑟𝑘 2 + 𝐷 − 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈2 Et 𝜇𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 = 𝜇 𝐼𝑑𝑎𝑟𝑘 𝑘 − 𝜇𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 , 𝑘 = 1 𝑜𝑢 2 ▪ Estimation de l’espérance et de l’écart-type du signal de dark : 10 Signal de dark Canal R Canal G Canal B 𝜇𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 18,6 13 15,2 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 10,7 8,3 9,7

11. Estimation sur les images brutes, darks et offsets (3/6) ▪ On souhaite par ailleurs disposer d’une estimation du signal moyen 𝜇𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 et du bruit de fond du ciel (FdC) 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 ▪ Le signal de FdC intègre les signaux de dark et d’offset. Pour estimer son espérance et son écart-type, on procède aux ajustements suivants : 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 = 𝜎𝐴 𝐴𝐷𝑈2 − 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈2 − 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈2 Et 𝜇𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 = 𝜇 𝐼𝑏𝑟𝑢𝑡𝑒ȁ𝐴 − 𝜇𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 − 𝜇𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ▪ L’élément 𝜇 𝐼𝑏𝑟𝑢𝑡𝑒ȁ𝐴 correspond à la valeur moyenne du signal mesurée sur une zone de FdC dans l’image brute considérée. Il s’agit d’un mesure de la pollution lumineuse : 11 Signal de FdC Canal R Canal G Canal B 𝜇𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 1694,6 1706,3 1763,6 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 67,9 57,5 65,4

12. Estimation sur les images brutes, darks et offsets (4/6) ▪ Il est possible d’estimer le signal de l’objet photographié. Nous privilégions une luminosité de pic plutôt qu’une luminosité moyenne car cela constitue un critère plus pertinent pour l’évaluation du rapport signal / bruit. ▪ Pour estimer la luminosité de pic, on sélectionne la zone de l’objet la plus brillante (ici le cœur de la galaxie) que l’on retraite en retirant le signal de l’étoile centrale (noté 𝜇∗ 𝐴𝐷𝑈) ainsi que les autres signaux (pollution lumineuse, RN et DC) : 𝜇𝑂𝑏𝑗 𝐴𝐷𝑈 = 𝜇 𝐼𝑏𝑟𝑢𝑡𝑒ȁ𝑝𝑖𝑐 − 𝜇∗ 𝐴𝐷𝑈 − 𝜇𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 − 𝜇𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 − 𝜇𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 ▪ Ci-dessous les luminosités de pic obtenues : 12 Signal de l’Objet Canal R Canal G Canal B 𝜇𝑂𝑏𝑗 𝐴𝐷𝑈 342,9 354,5 379,2

13. Estimation sur les images brutes, darks et offsets (5/6) ▪ Pour les sources 𝑌 = 𝐿𝑃 𝑜𝑢 𝑂𝑏𝑗, on peut déduire l’espérance du nombre de photons 𝜇𝑌 𝑝ℎ qui atteignent le capteur, en exploitant les mesures ADU effectuées : 𝜇𝑌 𝑝ℎ = 1 𝑄𝐸 × 𝜇𝑌 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 × 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 × 1 𝑅 × 𝑅𝐵𝑎𝑦𝑒𝑟 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑌 = 𝐿𝑃 𝑜𝑢 𝑂𝑏𝑗 ▪ Sous les notations : 𝑄𝐸 = 38% le rendement quantique, 𝑡𝑟𝑒𝑓 = 240" le temps de pose unitaire, 𝑅 = 73% le taux de transmission du filtre L-Pro, 𝑅𝐵𝑎𝑦𝑒𝑟 = 1/3 le taux de transmission associé à la matrice de Bayer, 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 = 0,44 le gain en e-/ADU ▪ Les nombres moyens de photons par seconde et par photosite sont les suivants : 13 Photon Probabilité de génération d’un photoélectron ≡ rendement quantique 𝑸𝑬 = 𝟑𝟖% Nombre de photons Canal R Canal G Canal B 𝜇𝐿𝑃 𝑝ℎ 34,0 34,3 35,4 𝜇𝑂𝑏𝑗 𝑝ℎ 6,9 7,1 7,6

14. Estimation sur les images brutes, darks et offsets (6/6) ▪ Afin de valider la nature poissonnienne du signal photonique du Fond du Ciel, on cherche à vérifier la relation ci-dessous précédemment introduite : 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 = 𝐸 𝑆𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡 𝑉 𝑆𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡 ▪ Sous les notations et retraitements introduits, cela revient à montrer que le terme ෡ 𝑮 ci-après est équivalent au gain 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 = 0,44 : ෠ 𝐺 = 𝜇 𝐼𝑏𝑟𝑢𝑡𝑒ȁ𝐴 − 𝜇𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 − 𝜇𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 𝜎𝐴 𝐴𝐷𝑈2 − 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈2 − 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈2 ▪ Les résultats obtenus ci-dessous permettent de valider l’hypothèse poissonnienne : 14 Paramètre de gain Canal R Canal G Canal B ෠ 𝐺 0,37 0,52 0,41 Moyenne 0,43 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 0,44 Résultat très proche de la valeur cible

15. Rapport signal / bruit et optimisation du temps unitaire (1/5) ▪ On cherche à optimiser le temps unitaire d’exposition par image en fonction de différents critères associés au rapport signal / bruit (SNR pour Signal to Noise Ratio) ▪ Nous proposons d’effectuer l’analyse en plusieurs étapes : ▪ Rappels sur la croissance du SNR en fonction du nombre d’images ; ▪ Sensibilité du SNR à la durée d’exposition unitaire ; ▪ Optimisation de la durée de pose unitaire par critère de dominance du bruit de lecture. ▪ Pour développer ces différentes notions nous considérerons des SNR simplifiés que nous compléterons dans la suite de la présentation. 15

16. Rapport signal / bruit et optimisation du temps unitaire (2/5) ▪ On rappelle ici les résultats sur la croissance du SNR en fonction du nombre d’images considérées. ▪ Le SNR d’une image unitaire composé uniquement du signal de l’objet et du bruit de lecture s’écrit : 𝑆𝑁𝑅1(𝑡) = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 + 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² Où 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− représente le taux instantané associé au signal de l’objet ▪ Supposons que l’on empile 𝑵 images de durée de pose 𝑡. Le signal est donc le suivant : 𝑆𝑎 = 1 𝑁 ෍ 𝑘=1 𝑁 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑘 + 𝑆𝑅𝑁 𝑒− (𝑘) ▪ On a : 𝑆𝑁𝑅𝑁 𝑁. 𝑡 = 𝐸 𝑆𝑎 𝑉 𝑆𝑎 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 1 𝑁 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 + 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² = 𝑁 × 𝑆𝑁𝑅1(𝑡) 16 Le SNR augmente d’un facteur 𝑵 par rapport au 𝑺𝑵𝑹𝟏 => on retrouve un résultat bien connu des astrophotographes Supposé centré par suppression du signal moyen d’offset : E 𝑆𝑅𝑁 𝑒− (𝑘) = 0

17. Rapport signal / bruit et optimisation du temps unitaire (3/5) ▪ Soit un budget de temps d’exposition global de 𝑇 => ce budget peut être segmenté de différentes manières. ▪ Considérons deux durées de pose 𝑡1 et 𝑡2 avec 𝑡1 < 𝑡2. Les nombres d’images unitaires associés sont notés 𝑛1 et 𝑛2 et vérifient : 𝑛1. 𝑡1 = 𝑛2. 𝑡2 = 𝑇 𝑒𝑡 𝑛2 < 𝑛1 ▪ Cas où le bruit de lecture est nul : 𝑆𝑁𝑅𝑛1 (𝑇) = 𝑛1 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡1 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡1 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑛1. 𝑡1 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑇 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑛2. 𝑡2 = 𝑆𝑁𝑅𝑛2 (𝑇) ▪ Cas général : 𝑆𝑁𝑅𝑛1 𝑇 = 𝑛1 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡1 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡1 + 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑛1𝑡1 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑛1𝑡1 + 𝑛1. 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑇 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑇 + 𝑛1. 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² < 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑇 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑇 + 𝑛2. 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² = 𝑆𝑁𝑅𝑛2 (𝑇) 17 La stratégie de segmentation n’a pas d’impact. Seul le temps d’exposition total compte. Le bruit de lecture est comptabilisé autant de fois que l’on réalise d’images unitaires. En conclusion, il faudrait effectuer des poses les plus longues possibles (i.e. 𝑇) même si en pratique c’est impossible pour des raisons techniques liées à la réalisation de l’image (erreurs de suivi, traces d’avions ou de satellite,…).

18. Rapport signal / bruit et optimisation du temps unitaire (4/5) ▪ On cherche ici à optimiser la durée de pose unitaire par critère de dominance du bruit de lecture(*). Soit l’expression du SNR ci-dessous dans laquelle nous introduisons le bruit associé à la pollution lumineuse : 𝑆𝑁𝑅1 𝑡 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 + 𝜆𝐿𝑃 𝑒− . 𝑡 + 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡 + 𝜆𝐿𝑃 𝑒− . 𝑡. 1 + 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² 𝜆𝐿𝑃 𝑒− . 𝑡 ▪ L’objectif est de se donner un niveau de tolérance 𝜶 et de trouver le temps minimum, noté 𝑡𝑚𝑖𝑛, tel que pour 𝑡 ≥ 𝑡𝑚𝑖𝑛 on ait : 𝜆𝐿𝑃 𝑒− . 𝑡. 1 + 𝜎𝑅𝑁 𝑒− ² 𝜆𝐿𝑃 𝑒− . 𝑡 ≤ 1 + 𝛼 𝜆𝐿𝑃 𝑒− . 𝑡 ▪ On montre que : 𝒕𝒎𝒊𝒏 = 𝟏 𝟏 + 𝜶 𝟐 − 𝟏 × 𝝈𝑹𝑵 𝒆− 𝟐 𝝀𝑳𝑷 𝒆− 18 (*) Méthode implémentée par Robin Glover le développeur du logiciel d’astrophotographie SharpCap Pour 𝑡 ≥ 𝑡𝑚𝑖𝑛 le bruit résiduel (i.e. s’ajoutant à la variance du signal de l’objet) est au plus égal au bruit induit par la pollution lumineuse majoré du seuil 𝜶.

19. Rapport signal / bruit et optimisation du temps unitaire (5/5) ▪ Pour estimer 𝑡𝑚𝑖𝑛, on exploite les mesures ADU détaillées précédemment à partir de la relation : 𝑡𝑚𝑖𝑛 = 1 1 + 𝛼 2 − 1 × 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈2 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 /𝑡𝑟𝑒𝑓 Où 𝑡𝑟𝑒𝑓 représente le temps de référence de l’image unitaire utilisée pour estimer 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 (dans le cas pratique 𝑡𝑟𝑒𝑓=240sec). ▪ Ci-dessous les valeurs associées aux seuils de 2% et 5% : 19 Seuils 𝑡𝑚𝑖𝑛(𝑅) 𝑡𝑚𝑖𝑛(𝐺) 𝑡𝑚𝑖𝑛(𝐵) 𝑀𝒂𝒙 𝑀𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆 𝜶 = 𝟐% 141 79 95 141 105 𝜶 = 𝟓% 56 31 38 56 41 Une valeur de pose unitaire de 141sec permet de satisfaire le critère de dominance pour les seuils ≥ 2%

20. Critère de dynamique de l’image (1/2) ▪ Le signal du fond du ciel induit par la pollution lumineuse (qui représente la zone de plus faible intensité sur chaque image) augmente avec le temps de pose et donc réduit la plage de signal collecté (perte de la dynamique). On propose ici un critère de détermination d’un 𝑡𝑚𝑎𝑥 permettant de contrôler la perte en dynamique. ▪ La dynamique d’une image en bits se calcule comme suit : 𝐷 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑆𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑚𝑖𝑛 20 Où 𝑆𝑚𝑎𝑥 correspond à la saturation (différence entre la valeur maximale en ADU et la plus petite valeur de signal enregistrée) et 𝑆𝑚𝑖𝑛 une référence de signal minimum (le plus souvent on choisit 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑅𝑁). ▪ Dans notre cas pratique on calcule la dynamique par la relation : 𝐷 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔2 2𝑏 − 𝑡 × 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 × 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 /𝑡𝑟𝑒𝑓 𝜎𝑅𝑁 ▪ Conséquence : en se donnant une hypothèse de tolérance de perte de dynamique, notée ∆𝑫 (exprimée en bits), on peut alors déterminer le temps d’exposition unitaire maximal, noté 𝑡𝑚𝑎𝑥, par le biais du critère de dynamique de l’image. La dynamique est décroissante en 𝑡

21. Critère de dynamique de l’image (2/2) ▪ On définit alors 𝑡𝑚𝑎𝑥 comme suit : 𝐷 𝑡𝑚𝑖𝑛 − 𝐷 𝑡𝑚𝑎𝑥 = ∆𝐷 ▪ Pour calculer 𝑡𝑚𝑎𝑥, on utilise la relation ci-dessous : 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 2𝑏 − 2𝐷 𝑡𝑚𝑖𝑛 −∆𝐷 × 𝜎𝑅𝑁 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 × 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 /𝑡𝑟𝑒𝑓 ▪ Le plus souvent les experts préconisent une valeur de ∆𝑫 de l’ordre de 0,8 bit. Ci-dessous le détail de l’estimation de 𝑡𝑚𝑎𝑥 : 21 Estimation de 𝒕𝒎𝒂𝒙 𝑡𝑚𝑖𝑛 𝑒𝑛 𝑠 (*) 30 ∆𝐷 (𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑡𝑠) 0,8 𝒕𝒎𝒂𝒙 (𝒆𝒏 𝒔) 225 (*) La valeur 𝑡𝑚𝑖𝑛 considérée est le plus petit élément admissible (31 sec exactement) parmi les valeurs obtenues précédemment

22. Critère de taux de déchet sur les images unitaires (1/2) ▪ En pratique la mise en œuvre de l’autoguidage peut parfois - sur une faible part des photographies réalisées - produire des images unitaires présentant des défauts (erreurs de suivi faisant apparaître des filés d’étoiles). ▪ On cherche dans cette partie à objectiver un temps de pose unitaire optimal au sens d’un critère de minimisation du taux de déchet des images réalisées. ▪ Le nombre d’incidents d’autoguidage est supposé suivre un processus de Poisson de paramètre 𝜆 qui peut être estimé à partir des taux de succès 𝑻𝑺 = #𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑑é𝑓𝑎𝑢𝑡 #𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 observés. ▪ Ci-dessous un tableau synthétisant les 𝑇𝑆 de différentes sessions : 22 Historique NGC869 IC405 IC1805 M33 M31 M31 M31 M31 NGC281 NGC6888 NGC7023 Nom Double cluster Flaming Star Heart Nebula Triangulum Andromeda Andromeda Andromeda Andromeda PacMan Crescent Iris Temps de pose (s) 60 180 240 240 180 180 180 180 300 180 240 #Brutes retenues 108 76 53 80 36 25 67 44 49 135 72 #Non retenues 4 6 9 9 4 7 5 5 1 14 8 #Total brutes 112 82 62 89 40 32 72 49 50 149 80 Taux de succès 96% 93% 85% 90% 90% 78% 93% 90% 98% 91% 90%

23. Critère de taux de déchet sur les images unitaires (2/2) ▪ L’estimateur መ 𝜆 de 𝜆 est défini comme la moyenne empirique des estimateurs associés à chaque session : መ 𝜆 = − 1 𝑀 ෍ 𝑘=1 𝑀 1 𝑡𝑘 𝑙𝑛 𝑇𝑆𝑘 ▪ Ci-dessous les résultats d’estimation : ▪ En notant 𝛼 le taux de défection maximum toléré, on déduit le temps unitaire maximum, noté 𝑡𝑑𝑒𝑓, satisfaisant le critère 𝑇𝑒−𝜆𝑡𝑑𝑒𝑓 ≥ 𝑇 1 − 𝛼 . Ce temps est estimé au moyen de la relation : 𝑡𝑑𝑒𝑓 = − 1 𝜆 𝑙𝑛 1 − 𝛼 ▪ Pour 𝛼 = 10%, on a 𝑡𝑑𝑒𝑓 = − 1 0,056% 𝑙𝑛 1 − 10% , soit 𝒕𝒅𝒆𝒇 = 𝟏𝟖𝟖 𝒔𝒆𝒄 23 Lambda synthétique Moyenne 0,056% Médiane 0,055% Pour plus de prudence, on retient la valeur ෠ 𝝀 =0,056%

25. Bande spectrale, énergie et flux de photons (1/2) ▪ On s’intéresse dans la présente étude aux réponses spectrales de trois spectres (Bleu, Visible et Rouge) ▪ Pour chacune de ces bandes une densité de flux (en W/m²/nm) exprimée dans le référentiel Véga permet d’évaluer un flux de photons pour chaque pixel du capteur. ▪ On rappelle la formule de calcul de l’énergie d’un photon : 𝐸 = ℎ 𝑐 𝜆 Avec ℎ la constante de Planck égale à 6,6262. 10−34 𝐽. 𝑠 et 𝑐 la vitesse de la lumière égale à 2,9979. 108 𝑚/𝑠 ▪ Le tableau suivant détaille les propriétés des bandes spectrales considérées : 25 Soit 𝑤(𝜆) 𝜆les taux de transmission d’une bande spectrale, alors la largeur de la bande correspond à la quantité 𝑳𝑩𝑺 ≜ ‫׬‬𝝀𝒎𝒊𝒏 𝝀𝒎𝒂𝒙 𝒘(𝝀)𝒅𝝀 et la longueur d’onde moyenne se calcule à l’aide de la relation 𝟏 𝑳𝑩𝑺 ‫׬‬𝝀𝒎𝒊𝒏 𝝀𝒎𝒂𝒙 𝝀. 𝒘(𝝀)𝒅𝝀. Bande Densité flux W / m²/ nm Longueur d'onde moyenne (nm) Largeur bande spectrale (nm) Energie photon (J) Flux de photons (photon / s / cm²) B 6,60085E-11 422 66 4,70489E-19 926048 V 3,60994E-11 549 102 3,62E-19 1017951 R 2,28665E-11 662 141 3,0003E-19 1075977

26. Bande spectrale, énergie et flux de photons (2/2) ▪ Dans la suite, pour l’ensemble des 3 spectres, on se référera uniquement à la densité de flux 𝑭𝑽 associée au spectre visible, et on considérera une unique largeur spectrale. ▪ La largeur de la bande spectrale retenue (notée ∆) correspond aux largeurs des bandes unitaires (notées 𝐿𝐵𝑆𝐵, 𝐿𝐵𝑆𝑉 𝑒𝑡 𝐿𝐵𝑆𝑅) pondérées des densités de flux associées (notées 𝐹𝐵, 𝐹𝑉 𝑒𝑡 𝐹𝑅). On retient : ∆= 𝐿𝐵𝑆𝐵 × 𝐹𝐵 𝐹𝑉 + 𝐿𝐵𝑆𝑉 + 𝐿𝐵𝑆𝑅 × 𝐹𝑅 𝐹𝑉 ▪ A partir des hypothèses considérées, on obtient : ∆≈ 66 × 6,60085. 10−11 3,60994. 10−11 + 102 + 141 × 2,28665. 10−11 3,60994. 10−11 ≈ 312 𝑛𝑚. ▪ On retiendra dans la suite le paramétrage : ∆≈ 𝟑𝟎𝟎 𝒏𝒎. 26

27. Lien entre flux et magnitude apparente ▪ On rappelle ci-dessous la formule permettant d’évaluer le flux 𝑭𝒎 d’un corps céleste en fonction de sa magnitude apparente 𝒎 exprimée dans le référentiel de Véga (de magnitude nulle dans ce référentiel) : 𝑭𝒎 = 𝑭𝑽 × 𝟏𝟎−𝒎/𝟐,𝟓 Avec pour rappel, 𝐹𝑉 = 3,60994. 10−11 𝑊/𝑚2/𝑛𝑚. ▪ Les quantités 𝐹𝑚 𝑒𝑡 𝐹𝑉 ci-dessus correspondent à des flux ponctuels qui peuvent être ajustés en flux de surface exprimés par exemple en 𝑊/𝑚2/𝑛𝑚 /𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐² sans modification de la formule de calcul. 27

28. Comptage des photons (1/3) ▪ Introduisons un dispositif optique constitué d’un télescope et d’un capteur au foyer de l’instrument. Soit 𝐹 (resp. 𝐷) la focale en 𝑚𝑚 (resp. le diamètre en 𝑚𝑚) du télescope et 𝑃 la taille d’un pixel (en 𝜇𝑚) du capteur. ▪ Le nombre de photons, noté 𝑵𝒑, provenant d’une source étendue de magnitude 𝒎 et d’angle solide 𝛀 exprimé en 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐², pour chaque pixel et par seconde peut être estimé au moyen de la relation : 𝑵𝒑 = 𝟏𝟎−𝒎/𝟐,𝟓 × ∆. 𝑭𝑽 𝑬 × 𝝅. 𝑫𝟐 𝟒 × 𝛀 ▪ L’échantillonnage se calcule par la formule : 𝐸𝑐ℎ(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐) = 206 × 𝑃(𝜇𝑚) 𝐹(𝑚𝑚) ▪ On considère l’approximation : Ω(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐²) = 𝐸𝑐ℎ2, d’où : 𝑁𝑝 = 10−𝑚/2,5 × ∆. 𝐹𝑉 𝐸 × 𝜋. 𝐷2 4 × 206 × 𝑃(𝜇𝑚) 𝐹(𝑚𝑚) 2 = 10−𝑚/2,5 × ∆. 𝐹𝑉 𝐸 × 𝜋. 2062 4 × 𝑃(𝜇𝑚) 𝑓 2 ▪ Soit l’expression synthétique de calcul du nombre de photons : 𝑵𝒑 = 𝑪 × 𝟏𝟎−𝒎/𝟐,𝟓 × 𝑷(𝝁𝒎) 𝒇 𝟐 D’après les hypothèses retenues, on obtient : 𝐶 ≈ 9,98. 108 28 𝑓 ≜ 𝐹 𝐷 est le rapport d’ouverture du télescope

29. Comptage des photons (2/3) ▪ On applique la formule précédente au signal de Fond du Ciel et au signal de l’objet. ▪ Luminosité du Fond du Ciel ▪ Supposons que le lieu d’observation où l’image est réalisée présente un SQM (Sky Quality Meter) égal à 18,16 mag / arc sec². Le flux de photons par seconde associé au signal de Fond du Ciel (FdC) 𝜇𝐿𝑃 𝑝ℎ est le suivant : 𝜇𝐿𝑃 𝑝ℎ = 9,98. 108 × 10−18,16/2,5 × 4,68 5 2 = 𝟒𝟕, 𝟔𝟏 𝒑𝒉𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 / 𝒔 ▪ Luminosité de l’objet ▪ La luminosité de surface de l’objet étudié (galaxie M33) est de 23,25 mag / arc sec². On lui préfère néanmoins la luminosité de pic(*) égale à 20,1 mag / arc sec² pour le calcul du signal de l’objet. Le flux de photons par seconde associé au signal de l’objet 𝜇𝑂𝑏𝑗 𝑝ℎ est le suivant : 𝜇𝑂𝑏𝑗 𝑝ℎ = 9,98. 108 × 10−20,1/2,5 × 4,68 5 2 = 𝟕, 𝟗𝟕 𝒑𝒉𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 / 𝒔 29 (*) Cf. le catalogue Messier proposé par Tony Flanders : https://tonyflanders.wordpress.com/messier-guide-index-by-number/

30. Comptage des photons (3/3) ▪ Le tableau ci-dessous reprend les estimations empiriques de nombre de photons par canaux ainsi que les estimations théoriques : ▪ Les nombres de photons empirique et théorique associés au signal de l’objet sont très proches. ▪ En revanche il y a un écart sur les nombres de photons du signal de Fond du Ciel qui provient en grande partie de l’hypothèse de SQM considérée. Cette dernière n’a pas été évaluée sur le lieu d’observation mais a été extraite du site Light Pollution Map(*). ▪ A titre d’exemple un SQM de 18,5 mag / arc sec² conduit à un nombre moyen de 34,81 photons / s beaucoup plus proche des valeurs empiriques calculées. La sensibilité de cette hypothèse est donc particulièrement conséquente. 30 (*) https://www.lightpollutionmap.info/ Nombre de photons Canal R Canal G Canal B Calcul théorique 𝜇𝐿𝑃 𝑝ℎ 34,0 34,3 35,4 47,61 𝜇𝑂𝑏𝑗 𝑝ℎ 6,9 7,1 7,6 7,97

31. Valeur et profil du SNR (1/2) ▪ Il est possible d’exploiter les résultats de photométrie précédents pour évaluer le rapport signal / bruit du site d’observation 𝐻 (pour Home) où a été réalisée l’image. ▪ En notant 𝑡𝐻 le temps total d’exposition, 𝑡𝑢 le temps de pose unitaire, le rapport signal/ bruit est égal à : 𝑆𝑁𝑅𝑛𝐻 (𝑡𝐻) = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 + 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ² 𝑡𝑢 × 𝑡𝐻 Avec : 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− = 𝑄𝐸 × 𝑅 × 𝑅𝐵𝑎𝑦𝑒𝑟 × 𝐶 × 10−𝑚𝑂𝑏𝑗/2,5 × 𝑃(𝜇𝑚) 𝑓 2 31 Pour 𝑡𝑢 = 240𝑠, le rapport signal / bruit est le suivant : 𝑺𝑵𝑹 = 𝟒𝟔, 𝟗 On rappelle que le temps total d’exposition du cas pratique est de 5h20’

32. Valeur et profil du SNR (2/2) ▪ En fixant un SNR cible noté 𝑆𝑁𝑅𝑡𝑔𝑡 , le temps d’exposition total 𝑡𝑡𝑔𝑡 requis se calcule comme suit : 𝑡𝑡𝑔𝑡 = 𝐶𝐻 𝑆𝑁𝑅𝑡𝑔𝑡. 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 2 Où 𝐶𝐻 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 + 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ² 𝑡𝑢 32 Les experts en astrophotographie considèrent souvent une cible de 𝑺𝑵𝑹 = 𝟓𝟎. Pour atteindre un tel SNR le temps d’exposition doit être de 6h07’ (en lieu et place des 5h20’ du cas pratique).

33. Méthode alternative de dominance du RN ▪ Cette technique alternative vise à améliorer la méthode de dominance du bruit de lecture introduite précédemment, en prenant comme base de calcul la totalité du rapport signal / bruit. ▪ Posons 𝑉 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 + 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 × 1 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 × 1 𝑡𝑟𝑒𝑓 ▪ On cherche à résoudre l’inéquation ci-dessous : 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡/𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑉 + 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ² ≥ 1 + 𝛼 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− . 𝑡/𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑉 ▪ La résolution de l’inéquation conduit à la solution 𝑡𝑚𝑖𝑛 ∗ suivante : 𝑡𝑚𝑖𝑛 ∗ = 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈2 𝑉 × 1 1 + 𝛼 2 − 1 33 Seuils Méthode alternative Méthode initiale 𝜶 = 𝟐% 116 141 𝜶 = 𝟓% 46 56 Valeurs de 𝑡𝑚𝑖𝑛 en sec (canal R) SNR hors RN

34. Synthèse des contraintes de temps unitaires (1/2) 34 Temps de pose maximal associé au critère de taux de déchet 𝒕𝒅𝒆𝒇 = 𝟏𝟖𝟖 𝒔 Temps de pose maximal associé au critère de perte de dynamique 𝒕𝒅𝒚𝒏 = 𝟐𝟐𝟓 𝒔 Temps de pose unitaire du cas pratique 𝒕𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒂𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝟐𝟒𝟎 𝒔 Temps de pose minimal associé au critère de Read Noise (méthode standard 𝛼 = 2%) 𝒕𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟒𝟏 𝒔 Temps de pose minimal associé au critère de Read Noise (méthode alternative 𝛼 = 5%) 𝒕𝒎𝒊𝒏 = 𝟒𝟔 𝒔 Temps de pose minimal associé au critère de Read Noise (méthode alternative 𝛼 = 2%) 𝒕𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟏𝟔 𝒔 Temps de pose préconisé satisfaisant l’ensemble des critères 𝒕𝒖 = 𝟏𝟓𝟎 𝒔 Temps unitaire maximum Temps unitaire minimum

35. Synthèse des contraintes de temps unitaires (2/2) 35 ▪ Le graphique ci-dessous reprend les contraintes induites par les méthodes de dominance du RN, la gestion du taux de défaut et de la dynamique : Plage d’admissibilité des temps unitaires

36. Comparaison des rapports signal / bruit de 2 sites d’observation (1/3) ▪ Le praticien peut être amené à comparer les durées d’exposition totales entre un lieu où la pollution lumineuse est intense et un lieu bénéficiant d’un fond de ciel relativement pur. ▪ On peut par exemple se poser la question suivante => Quel est le temps d’exposition nécessaire (noté 𝑡𝐻) sur un lieu de forte pollution lumineuse (dénommé H pour Home) pour obtenir le même rapport signal / bruit que celui résultant d’une durée d’exposition fixée (notée 𝑡𝑂𝑆) sur un site faiblement pollué (dénommé OS pour Other Site) ? ▪ Introduisons les SNR de chacun des sites : 𝑆𝑁𝑅𝑛𝐻 𝑡𝐻 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 𝐶𝐻 × 𝑡𝐻 𝑜ù 𝐶𝐻 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 + 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ² 𝑡𝑢 Et 𝑆𝑁𝑅𝑛𝑂𝑆 𝑡𝑂𝑆 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 𝐶𝑂𝑆 𝑡𝑂𝑆 𝑜ù 𝐶𝑂𝑆 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 + 𝑂𝑆 𝜆𝐿𝑃 𝑒− 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 + 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 𝑡𝑟𝑒𝑓 + 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ² 𝑡𝑢 Avec 𝑛𝐻 = 𝑡𝐻 𝑡𝑢 et 𝑛𝑂𝑆 = 𝑡𝑂𝑆 𝑡𝑢 36

37. Comparaison des rapports signal / bruit de 2 sites d’observation (2/3) ▪ Dans les expressions précédentes le signal de l’objet est estimé au moyen de la relation : 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− = 𝑄𝐸 × 𝑅 × 𝑅𝐵𝑎𝑦𝑒𝑟 × 𝐶 × 10−𝑚𝑂𝑏𝑗/2,5 × 𝑃(𝜇𝑚) 𝑓 2 ▪ Par ailleurs on suppose que le bruit de FdC est calculé empiriquement pour 𝐻 (sur image brute) et est estimé théoriquement pour 𝑂𝑆 à partir d’un indice 𝑺𝑸𝑴𝑶𝑺 = 𝟐𝟏, 𝟐𝟑 mag / arc sec² avec la relation : 𝑂𝑆𝜆𝐿𝑃 𝑒− = 𝑄𝐸 × 𝑅 × 𝑅𝐵𝑎𝑦𝑒𝑟 × 𝐶 × 10−𝑆𝑄𝑀𝑂𝑆/2,5 × 𝑃(𝜇𝑚) 𝑓 2 ▪ On obtient l’équation des temps suivante : 𝑡𝐻 ∗ = 𝐶𝐻 𝐶𝑂𝑆 × 𝑡𝑂𝑆 Et le résultat : 37 Grandeurs intermédiaires Valeur Signal (ADU / s) : 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− /𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 1,7 Variance Signal (ADU / s) : 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− / 𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 3,7 Variance FdC (ADU / s) au lieu 𝐻 : 𝜎𝐿𝑃 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 /𝑡𝑟𝑒𝑓 19,2 Variance DC (ADU / s) : 𝜎𝐷𝐶 𝐴𝐷𝑈 𝑡𝑟𝑒𝑓 2 / 𝑡𝑟𝑒𝑓 0,48 Variance RN (ADU / pose) : 𝜎𝑅𝑁 𝐴𝐷𝑈 ² 110 Variance FdC (ADU / s) au lieu 𝑂𝑆 : 𝑂𝑆 𝜆𝐿𝑃 𝑒− . 𝑡𝑂𝑆/𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 1,3 Temps unitaire (s) : 𝑡𝑢 150 Ratio des temps Valeur Variance totale (ADU / s) au lieu 𝐻 : 𝐶𝐻 24 Variance totale (ADU / s) au lieu 𝑂𝑆 : 𝐶𝑂𝑆 6 Durée exposition totale au lieu 𝑂𝑆 (s) : 𝑡𝑂𝑆 1 Durée exposition totale au lieu 𝐻 (s) : 𝑡𝐻 ∗ 3,86 𝒕𝑯 ∗ ≈ 𝟑, 𝟖𝟔 × 𝒕𝑶𝑺

38. Comparaison des rapports signal / bruit de 2 sites d’observation (3/3) Comparaison des temps d’atteinte d’un SNR cible : 38 Temps requis pour l’obtention d’un SNR = 50 Lieu 𝑂𝑆 : 𝑡𝑂𝑆 1h35’ Lieu 𝐻 : 𝑡𝐻 6h07’ D’un point de vue opérationnel ces ordres de grandeurs induisent des contraintes très différentes. Par exemple, dans le cas d’une nuit astronomique dont la durée est inférieure à 5h, il est impossible d’obtenir un ratio SNR de 50 au lieu 𝑯 alors même que ce dernier est atteint en 1h35 au lieu 𝑶𝑺.

39. Sensibilité du SNR à l’hypothèse de signal de l’objet 39 ▪ Les calculs présentés précédemment découlent d’une hypothèse théorique de luminosité apparente dite de « pic » égale à 20,1 mag / arc sec². Cette hypothèse conduit à un flux de 7,97 photons / s, émanant de la partie la plus brillante de l’objet photographié. ▪ Or nous avons vu par ailleurs que la mesure empirique du signal dans le cœur de M33 directement réalisée sur une image unitaire, nous a permis d’estimer une valeur de 7,21 photons / s (moyenne des canaux R, V et B). ▪ Nous présentons ici une analyse de sensibilité du SNR à cette estimation. Grandeurs intermédiaires Signal (ADU / s) - valeur initiale : 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− /𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 1,7 Variance Signal (ADU / s) - valeur initiale : 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− /𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 3,7 Signal (ADU / s) - calcul empirique : 𝑎𝑙𝑡 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− /𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 1,5 Variance Signal (ADU / s) - calcul empirique : 𝑎𝑙𝑡 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑒− /𝑔𝑒−/𝐴𝐷𝑈 2 3,4 Temps requis pour l’obtention d’un SNR = 50 𝑡𝐻 valeur initiale 6h07’ 𝑡𝐻 calcul empirique 7h20’

41. Loi de probabilité du nombre de photons : introduction ▪ On suppose le plus souvent que le nombre de photons émis par les objets astronomiques ou le signal du Fond du Ciel suit un processus de Poisson. En général deux raisonnements sont développés pour justifier ce phénomène. ▪ Le premier consiste à considérer un jeu d’hypothèses similaires à la définition mathématique du processus de Poisson. Ci-dessous les hypothèses : • La probabilité de détection d’un photon sur un intervalle de temps infinitésimal est proportionnelle à un paramètre d’intensité : 𝑃 𝑁𝑡+∆𝑡 − 𝑁𝑡 = 1 = 𝜆∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 ; • La probabilité de détection d’une quantité supérieure à un photon est négligeable : 𝑃 𝑁𝑡+∆𝑡 − 𝑁𝑡 > 1 = 𝑜 ∆𝑡 ; • Les détections de photons associées à des intervalles de temps disjoints sont indépendantes du point de vue statistique. ▪ Sous ces hypothèses le nombre de photons émis par l’objet considéré suit un processus de Poisson. En mathématique un processus de Poisson est exactement défini par les 3 hypothèses formulées ci-dessus. ▪ Une stratégie alternative consiste à montrer que la nature poissonnienne de la lumière provient de propriétés intrinsèques du rayonnement électro-magnétique. Ainsi il est possible (sous de bonnes hypothèses) de démontrer à l’aide de résultats de mécanique quantique associés à l’oscillateur harmonique quantique que le nombre de photons est bien poissonnien. 41

42. Loi de probabilité du nombre de photons : mécanique quantique (1/3) ▪ En optique quantique, une source de lumière d’intensité constante peut être modélisée comme un état cohérent d’un oscillateur harmonique quantique. ▪ On rappelle l’expression du hamiltonien quantique : 𝐻 = 1 2 ℏ𝜔 𝑄2 + 𝑃2 Avec 𝑄 = 𝑚𝜔 ℏ ො 𝑞 𝑒𝑡 𝑃 = 1 𝑚𝜔ℏ Ƹ 𝑝 ▪ On définit les opérateurs d’annihilation et de création notés respectivement 𝑎 et 𝑎∗ comme suit : 𝑎 = 1 2 𝑄 + 𝑖𝑃 𝑒𝑡 𝑎∗ = 1 2 𝑄 − 𝑖𝑃 ▪ L’opérateur de nombre, noté 𝑁, vérifie : 𝑁 = 𝑎∗𝑎 ▪ On montre sans difficulté que : 𝐻 = ℏ𝜔 𝑁 + 1 2 42 Théorème : (i) Le spectre de 𝑁 est ℕ. Il en résulte que le spectre de 𝐻 est 𝑛 + 1 2 ℏ𝜔ȁ 𝑛 ∈ ℕ (ii) Si ۧ ȁ𝜓𝑛 est un vecteur propre de 𝑁 associé à la valeur propre 𝒏, alors 𝑎∗ ۧ ȁ𝜓𝑛 est un vecteur propre de 𝑁 associé à la valeur propre 𝒏 + 𝟏 (iii) Si ۧ ȁ𝜓𝑛 est un vecteur propre de 𝑁 associé à la valeur propre 𝒏, alors si 𝑛 ≠ 0, 𝑎 ۧ ȁ𝜓𝑛 est un vecteur propre de 𝑁 associé à la valeur propre 𝒏 − 𝟏 et si 𝑛 = 0, 𝑎 ۧ ȁ𝜓0 = 0

43. Loi de probabilité du nombre de photons : mécanique quantique (2/3) ▪ On notera que les états propres de 𝑵 et de 𝑯 sont identiques. Ces états sont également dénommés états de Fock. ▪ On montre que si 𝝍𝒏 est un état propre de 𝑵 - ou de manière équivalente de 𝐻 - associé à la valeur propre 𝑛 ou 𝐸𝑛 = 𝑛 + 1 2 ℏ𝜔 alors : 𝜓𝑛 𝑢 = 1 𝜋 1 4 1 2𝑛𝑛! 𝑒− 𝑢2 2 𝐻𝑛 𝑢 Avec 𝐻𝑛 𝑢 le polynôme de Hermite d’ordre 𝑛. 𝐻0 𝑢 = 1, 𝐻1 𝑢 = 2𝑢, 𝐻𝑛+1 𝑢 = 2𝑢𝐻𝑛 𝑢 − 2𝑛𝐻𝑛−1 𝑢 𝑛 ≥ 2. ▪ Le plus souvent on note ۧ ȁ𝒏 ≡ 𝝍𝒏, l’état de Fock associé à la valeur propre 𝑛 de l’opérateur 𝑁 et à la valeur propre 𝐸𝑛 = 𝑛 + 1 2 ℏ𝜔 de l’opérateur 𝐻. 43 On suppose que le système est dans un état cohérent. Ces états, dénommés également états quasi- classiques, correspondent aux états les plus purs que l’on puisse définir. Ils minimisent notamment le principe d’incertitude et se rapprochent des solutions de l’oscillateur harmonique classique.

44. Loi de probabilité du nombre de photons : mécanique quantique (3/3) ▪ Les états cohérents sont définis comme les états propres de l’opérateur 𝒂. Soit 𝑧 ∈ ℂ , on a ainsi : 𝑎 ۧ ȁ𝑧 = ۧ 𝑧ȁ𝑧 ▪ Et on peut démontrer l’égalité suivante : ۧ ȁ𝑧 = σ𝑛 𝑧𝑛 𝑛! 𝑒− 𝑧 2/2 ۧ ȁ𝑛 ▪ Si le système est dans l’état cohérent ۧ ȁ𝒛 , alors on peut déterminer la probabilité associée à la mesure d’énergie 𝑬𝒏 = 𝒏 + 𝟏 𝟐 ℏ𝝎. Cette probabilité, notée 𝑷𝒏 𝒛 , correspond au module au carré de la projection sur l’état de Fock associé à 𝐸𝑛. On a donc : 𝑃𝑛 𝑧 = 𝑧𝑛 𝑛! 𝑒− 𝑧 2/2 2 = 𝑧 2 𝑛 𝑛! 𝑒− 𝑧 2 ▪ On reconnait la probabilité élémentaire d’une loi de Poisson (de paramètre 𝑧 2) associée au comptage de 𝑛 occurrences. ▪ Sous les notations usuelles de la mécanique quantique, on peut donc écrire que : 𝑁 ۧ ȁ𝑧 = 𝑧 2 𝑒𝑡 ∆𝑁 ۧ ȁ𝑧 = 𝑧 2 = 𝑧 44 On conclut donc que le nombre de photons mesurés depuis un état cohérent est distribué selon une loi de Poisson. Une conséquence immédiate est que, sur un intervalle de temps fixé, l’espérance et la variance du nombre de photons observés sont identiques.

45. Egalité espérance / variance du nombre de photoélectrons (1/2) ▪ Le nombre de photons atteignant le capteur est donc supposé suivre une loi de Poisson. A titre d’exemple, considérons 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 le processus associé au nombre de photons émis par l’objet photographié. On a donc : 𝐸 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 = 𝑉 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 = 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ . 𝑡 ▪ Remarque : l’espérance et égale à la variance et elles sont linéaires en 𝑡. ▪ Le nombre d’électrons générés par le capteur n’est pas exactement égal au nombre de photons atteignant ce dernier. Les nombres moyens d’électrons et de photons diffèrent d’un facteur dénommé rendement quantique (Quantum Efficiency), noté QE. On a en effet : 𝑄𝐸 = 𝐸 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 𝐸 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 ▪ Une autre manière de le formuler et de dire que lorsqu’un photon atteint le photosite il génère un électron avec la probabilité 𝑸𝑬 et ne produit rien avec la probabilité 𝟏 − 𝑸𝑬. Ceci peut être formalisé de la manière suivante : 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 = ෍ 𝑘=1 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 𝑋𝑘 45 Où 𝑋𝑘 suit une loi de Bernoulli de probabilité 𝑄𝐸 et 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 un processus de Poisson.

46. Egalité espérance / variance du nombre de photoélectrons (2/2) ▪ Sous un tel modèle (appellé « Poisson composé »), on peut donc calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 : 𝐸 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 = 𝐸 𝐸 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 = 𝐸 𝑄𝐸 × 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 = 𝑸𝑬 × 𝝀𝒐𝒃𝒋 𝒑𝒉 . 𝒕 Et, 𝑉 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 = 𝐸 𝑉 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 + 𝑉 𝐸 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 = 𝐸 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 × 𝑄𝐸 × (1 − 𝑄𝐸) + 𝑉 𝑄𝐸 × 𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ 𝑡 = 𝑄𝐸. 1 − 𝑄𝐸 . 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ . 𝑡 + 𝑄𝐸2 . 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ . 𝑡 = 𝑄𝐸. 𝜆𝑜𝑏𝑗 𝑝ℎ . 𝑡 × 1 − 𝑄𝐸 + 𝑄𝐸 = 𝑸𝑬. 𝝀𝒐𝒃𝒋 𝒑𝒉 . 𝒕 = 𝐸 𝑆𝑜𝑏𝑗 𝑒− 𝑡 46 En conclusion, même si le processus de comptage des électrons n’est pas poissonnien, on peut montrer que sa moyenne est égale à sa variance et qu’elles sont linéaires en 𝒕.

48. Bibliographie (1/2) Conférence de Robin Glover (développeur du logiciel SharpCap) - Practical Astronomy Show 2019 Deep Sky Astrophotography With CMOS Cameras https://www.youtube.com/watch?v=3RH93UvP358&list=WL&index=46 Didier Walliang (2018) - Le bruit en astrophotographie Présentation RCE novembre 2018 https://media.afastronomie.fr/RCE/PresentationsRCE2018/Walliang-RCE2018.pdf Thierry Legault - Astrophotographie Editions Eyrolles Support de cours de l’université Stanford sur l’imagerie numérique et la théorie des capteurs https://isl.stanford.edu/~abbas/ee392b/lect08.pdf Henry Joy McCracken (2017) - Institut d’Astrophysique de Paris An introduction to photometry and photometric measurements http://www2.iap.fr/users/hjmcc/hjmcc-photom-ohp-2017.key.pdf 48

49. Bibliographie (2/2) Calculateur de signal de Fond du Ciel en nombre d’électrons - RobinGlover (développeur du logiciel SharpCap) http://tools.sharpcap.co.uk/ Site de l’ESO (European Southern Observatory) détaillant dans la section « Exposure Time Calculators », la méthodologie de mesure des flux de photon de sources ponctuelles et étendues https://www.eso.org/observing/etc/doc/formulabook/index.html La photométrie pour amateur d'astronomie Conférence de Pierre Strock - Nuit Astronomique de Touraine 2017 http://strock.pi.r2.3.14159.free.fr/Ast/Art/Photometrie/Photometrie__Article__PS__2017.05.23.pdf Fabien Besnard (2013) - Introduction à la mécanique quantique Cours d’ouverture, EPF 3eme année http://fabien.besnard.pagesperso-orange.fr/cours/EPF/mecaq.pdf Nana Engo (2019) – Oscillateur harmonique quantique Department of Physics, Faculty of Science, University of Yaounde I https://www.researchgate.net/publication/337479704_Oscillateur_harmonique_quantique 49

Modélisation du signal et photométrie : application à l'astrophotographie

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