Integrales Definidas.pdf

ENSEÑAR INTEGRALES EN EL PARADIGMA TECNOLÓGICO 2
1. EXPLORAR, CUESTIONAR Y DEBATIR COMO PUNTO DE PARTIDA 2
1.1 ACTIVIDAD DISPARADORA 2
1.2 AULA INVERTIDA 4
1.3 UNA PRIMERA REFLEXIÓN 4
1.4 EL DOCENTE COMO CURADOR DE CONTENIDOS 4
2. EJERCITACIÓN Y REPASO, ACTIVIDAD 2 6
3. HERRAMIENTAS DIGITALES QUE PERMITEN RESOLVER INTEGRALES 7
4. ACTIVIDAD 3. SE PONE EN PRÁCTICA LO TRABAJADO 8
5. ACTIVIDAD INTEGRADORA 8
6. PRIMERAS CONCLUSIONES 9
7. METODOLOGÍAS APLICADAS 9
REFERENCIAS 10
DISTRIBUCIÓN DEL TRABAJO 11
1

ENSEÑAR INTEGRALES EN EL PARADIGMA TECNOLÓGICO
1. EXPLORAR, CUESTIONAR Y DEBATIR COMO PUNTO DE PARTIDA
El abordaje de la enseñanza del contenido integrales en la escuela secundaria suele ser muy mecanizado,
lo cual impide la posibilidad de que los estudiantes incorporen un cierto contenido como propio, en
consecuencia el camino que se propone en la siguiente secuencia didáctica es el de explorar, cuestionar y
debatir. La secuencia se desarrolla en base a los modelos Aula Invertida, Taxonomia de Bloom y TPACK.
1.1 ACTIVIDAD DISPARADORA
La primera actividad de la secuencia consiste en la presentación de la siguiente situación problemática:
Figura 1. Esquema de la pileta. Propia autoría.
Se pide calcular el área que ocupa la parte “curva” de la pileta de la Figura 1. La búsqueda del valor de esa
área se realiza por medio de completar con rectángulos, por exceso y defecto, esa zona. Los rectángulos
deben tener la misma base, dicha condición está presente en la consigna (la cual no se incluye en el
presente documento).
Para realizar la actividad se utiliza GeoGebra1
, en dicho software los alumnos completan el área con los
rectángulos, para ello se dispone de un videotutorial sobre cómo dibujar rectángulos en Geogebra. El
esquema de la pileta se comparte como archivo de Geogebra por medio de Classroom2
, en un aula en la
cual ya está ingresado el alumnado, pues es de uso común en la materia. Se obtienen trabajos parecidos al
presentado en Figura 2.
2
Herramienta de Google para crear y gestionar clases.
1
Software matemático dinámico que se puede utilizar en todos los niveles educativos. Reúne varias áreas
de la matemática, en este caso se utiliza la geometría.
2

Figura 2. Una manera posible de realizar la actividad. Propia autoría.
Luego se realiza una captura de pantalla de lo realizado y se comparte en un tablero de Padlet3
, donde el
alumnado puede observar las diferentes formas de realizar lo pedido en la consigna, un ejemplo de un
tablero en Padlet es el de la Figura 3. El acceso al tablero es por medio del aula de Classroom, donde se
dispone de un tutorial sobre como publicar en Padlet.
Figura 3. Captura de pantalla de un tablero de Padlet. Propia autoría.
El docente debe impulsar y regular un debate sobre los trabajos en exposición. El debate se centra en la
cantidad de rectángulos necesaria para conocer el área de esa zona de la pileta. En este primer
acercamiento al concepto de integrales no se incluye el valor real del área, solo se busca una aproximación
visual, la cual se focaliza en la idea de que a mayor rectángulos utilizados el área se acerca más al valor
real, aunque se desconoce el mismo.
Este primer acercamiento al concepto de integral está basado en la suma de Riemann4
, la cual realiza una
aproximación al valor de una integral mediante la división del área bajo la curva en figuras más simples de
áreas conocidas,en este caso rectángulos.
4
Es la aproximación al valor de una integral a través de sumas finitas. Recibe dicho nombre por el
matemático alemán Bernhard Riemann. Véase: Bernhard Riemann
3
Plataforma digital que permite crear tableros colaborativos, en los cuales se pueden publicar videos, fotos,
documentos o audios.
3

1.2 AULA INVERTIDA
Luego de trabajar con la actividad disparadora, con la intención de que los chicos se familiaricen con la idea
de aproximación, se utiliza el método de Aula Invertida, el cual fue desarrollado por Eric Mazur5
en la
década de 1990. Dicho método consiste en proporcionar material didáctico para que los estudiantes revisen
y analicen en sus casas, de esta manera los estudiantes adquieren un conocimiento individual que luego
trasladan al entorno grupal, en el cual el docente actúa como curador de contenidos y moderador de un
debate sobre el material enviado, asi como tambien las dudas y conjeturas de los estudiantes.
Por medio de Classroom se comparte un Tik Tok6
, en el cual pueden ver a la profesora Baragatti7
quien
acerca la noción de integral definida, su definición y la relación con la suma de Riemann, que es algo similar
a lo que los alumnos venían haciendo en las actividades.
1.3 UNA PRIMERA REFLEXIÓN
Al aprender un nuevo conocimiento es necesario realizar una recopilación sobre lo aprendido. Después de
atravesar la actividad disparadora y ver el video de Tik Tok, es imperativo que el docente tenga acceso a las
dudas que pueden poseer el alumnado, así como también a las certezas. En esta primera etapa de reflexión
se emplea la rutina de pensamiento “3 2 1 PUENTE”, la cual permite realizar una introspección sobre lo
trabajado. La rutina actúa como un anotador con una guía, debido a que permite anotar 3 ideas, 2 preguntas
y 1 analogía. A su vez, la rutina se da en dos tiempos, en principio solo se utiliza la parte nombrada como
“TU RESPUESTA INICIAL”.
Figura 4. Rutina 3 2 1 puente por Santillana en el Blog Santillana. CC-BY-SA
1.4 EL DOCENTE COMO CURADOR DE CONTENIDOS
Luego de ver el video de la profesora Baragatti sobre el área bajo la curva, se debate sobre él y se lo
relaciona con lo trabajado en las actividades anteriores.
7
Profesora universitaria que se destaca en el departamento de matemáticas de la Universidad de La Plata.
6
Red social para compartir videos cortos.
5
Profesor de Fisica en la Universidad de Harvard. Véase: Eric Mazur, Académico en Harvard, Experto en
Física y Educación.
4

¿De qué manera se puede aproximar el área bajo una curva, usando lo que se tiene disponible hasta el
momento?. En este momento el docente debe recuperar lo visualizado en el video y gestionar dudas, así
como también los nuevos conocimientos emergentes.
Al continuar la idea expresada por la docente Baragatti, y vincularla con las producciones de la actividad 1,
se llega a la conclusión de que si se quiere obtener una aproximación aún mejor, se debe seguir
aumentando la cantidad de rectángulos. Es decir, cuanto mayor sea la cantidad de rectángulos que se
utilicen, y se calcule la suma de sus áreas, dicho valor será más próximo al área exacta bajo la curva. Ésto
es lo que se conoce como suma de Riemann.
Figura 5. Área bajo la curva, por Khan Academy CC-BY-NC-SA
Finalmente, se puede establecer en el aula que el área exacta bajo la curva se puede obtener de calcular la
suma infinita de áreas de rectángulos, lo cual se escribe de ésta manera.
Figura 6. Captura de pantalla de Youtube “Integrales”, por El Traductor de Ingeniería.Propia autoría.
Siendo ∆x la base de los rectángulos y f(Xi) la altura (Xi es un x determinado dentro del intervalo AB).
El límite representa la suma infinita de esos rectángulos. n es la cantidad de particiones, y que tienda a
infinito quiere decir que son infinitas las bases, ya que son infinitos rectángulos.
A partir de acá, el docente puede institucionalizar la definición de Integral Definida, la cual es utilizada en los
ejercicios siguientes.
5

Figura 7. Captura de pantalla de Youtube “Integrales”, por El Traductor de Ingeniería.Propia autoría.
El símbolo de la integral es una especie de S alargada, y ésto representa el símbolo sigma de la sumatoria,
Σ.
Luego de la explicación se pasa a calcular integrales definidas como se hace tradicionalmente. Sin
embargo, la innovación está presente en el uso de herramientas útiles que están disponibles en la web.
2. EJERCITACIÓN Y REPASO, ACTIVIDAD 2
Luego de haber trabajado sobre la suma de Riemann, se propone un nuevo problema para comenzar con el
cálculo de áreas exactas, esta vez ya utilizando las integrales definidas. En este ejercicio es importante el
planteo del problema. Se pide calcular el área del sector de área del arco AB.
Figura 8. Actividad 2. Propia autoría.
−2
2
∫ −
1
8
𝑥
4
+ 2 = 𝐴
Dónde A es el área de la región sombreada bajo la curva acotada entre -2 y 2, siendo estos últimos los
límites de integración.
6

Con el problema anterior se busca generalizar que:
- Cuando la cantidad de rectángulos tiende a infinito, la sumatoria de sus áreas será igual al área bajo
la curva.
- Esa sumatoria es equivalente a la integral definida
- Para calcular el área bajo una curva se debe utilizar integrales definidas.
- Las integrales definidas tienen un límite inferior y superior, que representa la parte que se quiere
calcular.
- Lo Pudiendo tomarse cualquier límite inferior (a) y cualquier límite superior (b)
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) = 𝐴
Para obtener el valor del área simplemente hay que resolver la integral que se planteó anteriormente:
- Encontrar la Antiderivada
- Evaluar la función en el límite superior y restar la misma función evaluada en el límite inferior (Regla
de Barrow8
)
- El resultado de la resta es el área bajo la curva desde -2 hasta 2 de y
−
1
8
𝑥
4
+ 2
corresponde al área de la región buscada.
3. HERRAMIENTAS DIGITALES QUE PERMITEN RESOLVER INTEGRALES
A modo de desprenderse del trabajo en lápiz y papel, se pueden utilizar diversas herramientas/aplicaciones
para calcular integrales:
- GeoGebra: Mediante el comando "Integral(" permite calcular las antiderivadas, resolver integrales
definidas y graficar la región insertando 3 datos: Función, Límite inferior y Límite superior.
Videotutorial
- Calculadora de Integrales: Es una página web en la cual se puede insertar la función a integrar con
o sin los límites de integración. La calculadora muestra el paso a paso de como llegar a la
antiderivada y la representación del sector que se calcula, junto con la aproximación de la medida
del mismo. Videotutorial
- PhotoMath: Esta aplicación tiene como particularidad que permite tomar una foto del problema
matemático que se quiere resolver y muestra la solución del mismo. Para el cálculo de integrales es
una buena opción, ya que también muestra algunos pasos para la resolución y el resultado final.
Respecto de las otras aplicaciones, tiene algunas desventajas:
- No es completamente gratuita, puesto que no se muestran los pasos más “complejos” de
las resoluciones.
8
Véase: Regla de Barrow - EcuRed
7

- No resuelve algunas integrales de alta complejidad, muestra errores.
- Solo está disponible para dispositivos móviles.
Videotutorial
4. ACTIVIDAD 3. SE PONE EN PRÁCTICA LO TRABAJADO
Se les presenta a los alumnos un problema similar al anterior para que ellos planteen la integral que les
permite calcular el valor del área solicitada y utilicen una de las aplicaciones anteriores para resolverla.
Figura 9. Actividad 3. Propia autoría.
Para calcular el área que ilumina el farol se necesita plantear la siguiente integral:
30
50
∫−
3
10
· (𝑥 − 40)
2
+ 30 = 𝐴
La propuesta será utilizar cualquier aplicación mencionada anteriormente y calcular el valor del área
solicitada.
5. ACTIVIDAD INTEGRADORA
La actividad integradora se realiza en Khan Academy9
, a la cual se puede acceder a través del aula de
Classroom. También se presenta un video para dar un primer acercamiento a la plataforma, el mismo
también se puede encontrar en el aula.
9
Khan Academy es un sitio web que ofrece ejercicios de práctica, videos instructivos y un panel de
aprendizaje personalizado que permite a los estudiantes aprender a su propio ritmo, dentro y fuera del salón
de clases.
8

En esta se busca seguir trabajando las áreas y los límites de integración, pero de una manera más ágil y
dinámica. Se presentan distintas funciones en las cuales se indica en qué valor se deben evaluar para luego
identificar el valor del área.
.
Figura 10. Recorte de la actividad de Khan Academy
Una vez identificados los límites de integración, utilizando el gráfico, se debe averiguar el área de la misma
y la respuesta ser colocada en una casilla para luego enviarla. En caso de que la respuesta no sea correcta,
la página solicita que se vuelva a intentar.
6. PRIMERAS CONCLUSIONES
A modo de cierre se realiza la segunda, y última, parte de la rutina de pensamiento, en este caso se utilizan
las casillas de “TU NUEVA RESPUESTA”, la cual se puede observar en Figura 4. En esta instancia los
alumnos deberán conectar con su nueva forma de pensar acerca del tópico luego de haberlo estudiado.
7. METODOLOGÍAS APLICADAS
Además del Aula Invertida, también se han implementado otras metodologías, como lo es la Taxonomía de
Bloom10
, esta forma parte del desarrollo de la secuencia, siendo la actividad disparadora y la primera
instancia de la rutina de pensamiento la base de la pirámide donde se trabaja el “CONOCIMIENTO” y la
“COMPRENSIÓN” siendo que en esta etapa se van a construir las primeras ideas, surgirán las primeras
preguntas. Continuando con los siguientes niveles de la pirámide aparece la “APLICACIÓN” en donde con
las actividades que continúan en la secuencia se empieza a llevar a práctica el conocimiento que se tiene
del tema. Por último, llegando a la cima de la pirámide se encuentra la “SÍNTESIS” y la “EVALUACIÓN” las
cuales se llevan a cabo con la actividad integradora y la segunda y última parte de la rutina de pensamiento,
en este nivel el estudiante puede crear un juicio crítico y verificar los contenidos.
10
Véase: Diapositiva 2 de modelos y metodologías para el trabajo por proyectos.
9

Otra metodología utilizada en la presente secuencia didáctica es el modelo TPACK11
, el cual dicta que los
docentes poseen tres áreas de conocimiento: contenidos de la materia que imparten, las distintas formas de
aplicarlo en el aula y las herramientas tecnológicas que utilizan para enseñar los contenidos. El modelo
expone que esas tres áreas se utilizan de forma interrelacionada, por lo cual se obtienen:
● El conocimiento pedagógico del contenido o PCK: busca distintas vías pedagógicas para enseñar
la materia. En este caso, la propuesta pedagógica se relaciona con el trabajo sobre problemas
extramatemáticos (actividad 1).
● El conocimiento tecnológico del contenido o TCK: comprensión sobre las necesidades tecnológicas
para lograr el aprendizaje. En esta secuencia, se utilizan herramientas tales como Geogebra,
calculadora de integrales.
● El conocimiento tecnológico pedagógico o TPK: comprender la optimización, o no, de las
herramientas utilizadas. En este caso, se utilizaron Classroom, Padlet, TikTok, entre otros.
REFERENCIAS
Las ilustraciones de los problemas fueron realizadas con GeoGebra.
(https://www.geogebra.org/)
PMK Digital Learning. (29 de enero de 2021). Soluciones digitales de aprendizaje.
https://pmkvirtual.com/blog/aula-invertida/.
Redin, M. (2022). Modelos y metodologías para el trabajo por Proyectos. [Diapositiva de Presentaciones de
Google]. Repositorio Material Instituto Superior de Formación Docente Nº 41.
https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vQdl5cZby40oJvN7SfFL0lKjSxxg9NA3HlO_VYtA4gutq9a
vKX9wWCUjcU-_o8Dzi5Om4VhNkHDOt6N/pub?start=false&loop=false&delayms=60000&slide=id.p
UNIR. La universidad en internet. (17 de diciembre de 2020). La metodología TPACK: en qué consiste este
modelo y cuáles son sus ventajas. https://www.unir.net/educacion/revista/tpack-que-es/.
Rocío Gaona. [Rocio Milagros Gaona]. (31 de julio de 2022). Tutorial: como publicar en Padlet. Youtube.
https://www.youtube.com/watch?v=0fR7JOuW2bM&ab_channel=RocioMilagrosGaona.
INACAP. Eric Mazur, Académico en Harvard, Experto en Física y Educación Soluciones digitales de
aprendizaje.
https://portales.inacap.cl/revista-mundo-inacap/revista-mundo-inacap/eric-mazur-academico-de-harvard#:~:t
ext=Eric%20Mazur%20naci%C3%B3%20en%20Holanda,en%20la%20escuela%20John%20A.
Blog Santillana. Rutina 3 2 1 puente. https://blog.santillana.com.ec/rutina-1-2-3-puente/
Christian CDAM. [@christiancdam]. (Junio de 2021). AREA BAJO LA CURVA Profesora Baragatti.
#matematicas #integrales #calculomatematico #julioprofe. [Video]. Tik Tok.
https://www.tiktok.com/@christiancdam/video/7111632821298400518?_r=1&_t=8US0OeaERNt&is_from_we
bapp=v1&item_id=7111632821298400518
11
Véase: TPACK: en qué consiste este modelo y cuáles son sus ventajas.
10

Khan Academy. La integral definida como el límite de una suma de Riemann.
https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-3/a/definite-integral-as-the-limit-of-
a-riemann-sum
[El Traductor de Ingeniería]. (3 de enero de 2019) INTEGRALES - Clase Completa: Explicación Desde Cero
| El Traductor.. Youtube. https://youtu.be/Ec-cGjh0Fr0
Las integrales fueron resueltas con la Calculadora de Integrales.
(https://www.calculadora-de-integrales.com/).
Rodrigo Gonzalo Podoba. [Rodrigo Podoba]. (31 de julio de 2022). Integrales definidas - GeoGebra.
Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=4jp9Z5k6MJ8&ab_channel=RodrigoPodoba.
Rodrigo Gonzalo Podoba. [Rodrigo Podoba]. (31 de julio de 2022). Integrales definidas - Calculadora de
Integrales. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=dgDIBzGLKFg&ab_channel=RodrigoPodoba.
Barbara Aragón. [Barbara Aragón]. (1 de agosto de 2022). Cómo utilizar Photomath. Youtube.
https://www.youtube.com/watch?v=p9EbzovY3RI&ab_channel=B%C3%A1rbaraArag%C3%B3n.
Regla de Barrow.
(https://www.ecured.cu/Regla_de_Barrow).
Actividad en Khan Academy.
(https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-4/e/fundamental-theorem-of-calcu
lus-graphically).
Leandro Leonard. [Leandro Leonard]. (1 de agosto de 2022). Un primer vistazo a Khan Academy. Youtube.
https://www.youtube.com/watch?v=yI695vZuf-U&ab_channel=LeandroLeonard.
Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografía de Bernhard Riemann. En Biografías y Vidas. La enciclopedia
biográfica en línea. https://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/riemann.html.
Evaluación
11

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