Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica cómo aproximar el área bajo una curva usando sumas de Riemann y cómo definir la integral definida como el límite de dichas sumas. También describe propiedades clave de las integrales definidas como la regla de Barrow y el teorema fundamental del cálculo.
3. Área bajo una curva
Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX
en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).
4. Sumas de Riemann
Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)
s(f; Pn) = m1 . ∆x1 + m2 . ∆ x2 + ... + mn . ∆ xn
Las sumas superiores (suma de los rectángulos
superiores) se expresan así
S(f; Pn) = M1 . ∆ x1 + M2 . ∆ x2 + ... + Mn . ∆ xn
Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Como la función es contínua en cada
intervalo existen un mínimo y un máximo
(Tª de Weiersstra)
5. Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante
aproximaciones
Área (Trapecio rectilíneo) =
=
f(a) + f(b)
2
.
(b – a)
Área (Trapecio curvilíneo) ≈
≈
f(a) + f(b)
2
.
(b – a)
Error que se comete al
tomar una por otra
6. Integral definida
Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva)
en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la
partición Pn.
s(f; Pn) = m1 . ∆ x1 + m2 . ∆ x2 + ... + mn . ∆ xn
S(f; Pn) = M1 . ∆ x1 + M2 . ∆ x2 + ... + Mn . ∆ xn
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
7. Integral definida y área bajo una curva I
f(x) ≥ 0 ∀x∈[a, b] f(x)
A(R) = ⌡
⌠
a
b
f(x) dx
f(x)
R
f(x) ≤ 0 ∀x∈[a, b]
A(R) = ⌡
⌠
a
b
– f(x) dx =
– ⌡
⌠
a
b
f(x) dx =
= |⌡
⌠
a
b
f(x) dx |
8. A(R) = ⌡
⌠
a
c
f(x) dx – ⌡
⌠
c
d
f(x) dx + ⌡
⌠
d
e
f(x) dx – ⌡
⌠
e
b
f(x) dx
Integral definida y área bajo una curva II
Si f(x) toma valores
positivos y negativos
en el intervalo [a, b],
se calculan cada una
por separado y se
suman los resultados
teniendo en cuenta los
signos.
9. Propiedades de la integral definida
2. ( ) 0.
a
a
f x dx =∫
3. ( ) siendo un número real.
b
a
kdx k b a k= −∫
( )4. ( ) ( ) ( ) ( ) .
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
5. ( ) ( ) siendo un número real.
b b
a a
kf x dx k f x dx k=∫ ∫
1. ( ) ( ) .
a b
b a
f x dx f x dx= −∫ ∫
10. Propiedades de la integral definida
8. Si ( ) ( ) para todo [ , ],
( ) ( ) .
b b
a a
f x g x x a b
f x dx g x dx
≤ ∈
≤∫ ∫
9. Si ( ) para todo [ , ],
( ) ( ) ( ).
b
a
n f x m x a b
n b a f x dx m b a
≤ ≤ ∈
− ≤ ≤ −∫
.)()(.10 ∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf
7. Si ( ) 0 para todo [ , ], ( ) 0.
b
a
f x x a b f x dx≥ ∈ ≥∫
6. ( ) ( ) ( ) para cualquier [ , ].
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a b= + ∈∫ ∫ ∫
11. Función área o función
integral
Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral
F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
∫ =
x
a
xFdttf )()(
12. Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y
abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área
del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).
Por tanto R1 = R2
Teorema del valor medio: interpretación geométrica
Enunciado: Si f es continua existe c∈[a,b] en el que ∫ −=
b
a
)c(f)·ab(dx)x(f
13. Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los
valores entre m y M. Por tanto existe un c ∈ [a, b]
tal que:
1
b – a ⌡
⌠
a
b f(x) dx = f(c)
Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función
integral
Enunciado:
Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c ∈ [a, b] en el que ⌡
⌠
a
b f(x) dx = (b – a) f(c).
m (b – a) ≤
⌡
⌠
a
b
f(x) dx ≤M (b – a)
m ≤
1
b – a ⌡
⌠
a
b
f(x) dx ≤ M
a b
m
M
1
b – a ⌡
⌠
a
b
f(x) dx
c
¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los
que la función alcanza el valor medio.
Teorema del valor medio para integrales
Demostración: área pequeña < A.curva < área grande
14. x x+h
Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica
Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).
Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite
cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)
( ) ( )
( ) ( )
F x h F x
f x f x h
h
+ −
≤ ≤ +
Sea ( , ) y 0.x a b h∈ >
( )f x
( )f x h+
( ) ( )F x h F x+ −
( ) ( ) ( )h f x F x h F x≤ + − ( )h f x h≤ +
X
Y
área pequeña < A.curva < área grande
15. Teorema fundamental del cálculo
Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el
intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la
primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).
=
+
=
−
=
−+
=
∫ ∫∫ ∫
+
→
+
→→
h
dt)t(fdt)t(f
lim
h
dt)t(fdt)t(f
lim
h
)x(F)hx(F
lim)x('F
hx
a
a
x
0h
hx
a
x
a
0h0h
Dem.:
)x(f)c(flim
h
h)c(f
lim
h
)xhx)·(c(f
limmediovalordelteoremaelpory
h
dt)t(f
lim
0h0h
0h
hx
x
0h
===
=
−+
==
→→
→
+
→
∫
a c b
Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)
16. Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)
en [a, b], entonces ⌡
⌠
a
b f(x) dx = G(b) – G(a).
• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)
se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.
• Como F(a) = 0 ⇔ C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).
• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).
Que también se puede poner así: = G(b) – G(a) =
F(x)
b
a
Demostración:
Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)∫
b
a
dxxf )(
17. El método de «cambio de variable» para integrales definidas
Cambio u = 5 + x2
= g(x)→ du = 2xdx
g(–5) = 30; g(8) = 69
–1
2u 30
69
1
2 ⌡
⌠
30
69
du
u2 dx = =
–1
138
+
1
60
=
13
1380Ejemplo:
⌡
⌠
–5
8
x
(5 + x2
)2 dx=
18. Área del recinto limitada por una función
Área (R) = ⌡
⌠
a
c
f(x) dx -
⌡
⌠
c
d
f(x) dx +
⌡
⌠
d
e
f(x) dx -
⌡
⌠
e
b
f(x) dx
–
+
–
+
X
Y f(x)
c d e
a
b
R
19. Área del recinto limitado por dos funciones
Área (R) = ⌡
⌠
a
c
[g(x) – f(x)] dx +
⌡
⌠
c
b
[f(x) – g(x)] dx
20. Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo
Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3
– 6x2
+ 9x e y = x.
Área (R) = ( )
0
3
2
2
6 9x x x xx d−− +∫
2
0
23
4
42
4
+−= xx
x
4
2
23
4
42
4
−+−+ xx
x
R
0 2 4
y = x3
– 6x2
+ 9x y = x
2
4 4 8u= + =
( )
4
2
x3
+6x2
-9x dxx+ −∫
