VI CONGRESO LATINOAMERICANO DE BIOLOGÍA. MATEMÁTICA. XV CLAB y X ELAEM. Acapulco, México. 16/11/2009 – 20/11/2009.

1.
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XV CLAB‐X ELAEM
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Del 16 al 20 de noviembre del 2009
Unidad Académica de Matemáticas Nodo Acapulco
Acapulco, México

2. Comité Organizador:
José Geiser Villavicencio Pulido (Coordinador)
Juan Carlos Hernández Gómez
Crisólogo Dolores Flores
Efrén Marmolejo Vega
Claudia Nila Luévano
Ignacio Miranda Vargas
Comité Científico
Ignacio Barradas Bribiesca (UG., México)
Rodney Bassanezi (Universidad. Estadual de Campinas, Brasil)
Jorge González Guzmán (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile)
Josefina Hernández (Universidad Central de Venezuela, Venezuela)
Jaime Mena Lorca (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile)
Joao Frederico Meyer (Universidad Estadual de Campinas, Brasil)
Faustino Sánchez Garduño (UNAM, México)
Jorge X. Velasco Hernández (Instituto Mexicano del Petróleo, México)
Graciela Canziani (Exactas, UNCPBA)
José Geiser Villavicencio Pulido (Universidad Autónoma de Guerrero, México)
Juan Carlos Hernández Gómez (Universidad Autónoma de Guerrero, México)
Daniel Olmos Liceaga (Universidad de Sonora, México)
Brenda Tapia de los Santos (Universidad Veracruzana, México)
Fernando Momo (Universidad Nacional de General Sarmiento, Argentina)
Comité de Apoyo
Vicente Castro Salgado
José Guadalupe de la Torre Suárez
Conferencistas convidados:
Dr. Jorge X. Velasco-Hernández - Inst. Mexicano del Petróleo, México
Dr. Fernando Momo – UNGS, Argentina
Dr. Rodney C. Bassanezi – UFABC, Brasil
Dr. Ignacio Barradas Bribiesca –UG, México
Dr. Faustino Sánchez Garduño – UNAM, México
Dr. Michel de Lara – CERMICS, Francia
Dr. Jorge González Guzmán –UPCV, Chile

3. Temas Principales
Dinámica Poblacional
Ecología Matemática
Biomedicina
Epidemiología
Biología Computacional

4. Actividades
Conferencias Magistrales
Conferencias
Sesión de Posters
Asamblea
Reseña Histórica
El VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática surge a partir un compromiso
asumido por investigadores latinoamericanos para desarrollar y fortalecer el trabajo
interdisciplinario de modelación matemática en las biociencias, promoviendo el intercambio
de conocimientos a través de las fronteras, uniendo esfuerzos en proyectos conjuntos y
participando en la formación de recursos humanos a escala regional.
La propuesta tuvo sus inicios en las actividades desarrolladas por la Asociación Latino
Americana de Biomatemática (ALAB) por un lado y la Red Latino Americana de Ecología
Matemática por el otro. Luego de varios años de desarrollar actividades paralelas, una con los
Congresos Latino Americanos de Biomatemática (CLAB) y la otra con los Encuentros Latino
Americanos sobre Ecología Matemática (ELAEM), y a propuesta de los colegas brasileños, se
planteó la posibilidad de unir a los respectivos miembros en una única entidad. En 2001 se
llevó a cabo en Campinas, Brasil, el primero de estos Congresos (X CLAB y V ELAEM). En 2002,
el Congreso tuvo lugar en Guanajuato, México, en 2003 en Armenia, Colombia, en 2005 en
Tandil, Argentina y en 2007 en Campinas, Brasil.
Durante el Congreso 2002 en Guanajuato, se sentaron las bases de la nueva Sociedad
Latinoamericana de Biología Matemática (SOLABIMA) según las cuales la Comisión Directiva
será integrada por colegas de un único país. Durante la Asamblea Anual, se eligen el país y los
integrantes de la Comisión Directiva que actuará durante el año subsiguiente y que a ella le es
encomendada la organización del Congreso. En la Asamblea realizada durante el Congreso
2007 se eligió a Acapulco, México, como sede del Congreso 2009, siendo integrantes de la
Comisión Directiva
Presidente: Dr. José Geiser Villavicencio Pulido
(Unidad Académica de Matemáticas, UAG)
Vice‐presidente: Dr. Jorge X. Velasco Hernández
(Instituto Méxicano del Petróleo)
Secretaria: M. en C. Claudia Nila Luévano
(Unidad Académica de Matemáticas, UAG)
Tesorero: M. en C. Ignacio Miranda Vargas
(Unidad Académica de Matemáticas, UAG)

5. Anclado de Ondas en Espiral en el regimen divagador en obstáculos para las
ecuaciones de Fitzhugh-Nagumo y Beeler Reuter.
Dr. Daniel Olmos Liceaga
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
La interacción de ondas en espiral y obstáculos en tejido cardiaco es un problema de
suma importancia en la transición de diferentes tipos de arritmias cardiacas. Cuando una
espiral en régimen divagador se ancla a un obstáculo se obtiene una arritmia más
localizada y controlable.
En esta plática, se presentan cuatro propiedades necesarias para que una onda en espiral
se ancle al obstáculo. Dichas propiedades se basan en conceptos de excitabilidad del
medio, el tamaño y la geometría del obstáculo; y que por tanto no dependen del modelo
iónico considerado. En esta plática se consideran dos modelos, como lo son una versión
modificada de la ecuación de Fitzhugh-Nagumo (FHN) y la ecuación de Beeler-Reuter.

6. Analisis cualitativo de modelos de depredación
considerando efecto Allee en una de las
poblaciones
Ana Romina Vicencio-Cumillaf, Eduardo González Olivares
Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias
Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
email: ana.vicencio.c@mail.ucv.cl, ejgonzal@ucv.cl
julio de 2009
1 INTRODUCCIÓN
En este trabajo se hace un estudio de dos modelos depredador-presa tiempo
continuo propuestos en [8], considerando que el crecimiento de las presas es de
tipo malthusiano y alguna de las poblaciones está afectada por el efecto Allee
[1, 5].
Existen muchas formas matemáticas para expresar este importante fenómemo
ecológico [4] pero en este trabajo emplearemos la función
dx x
dt = r x+n x (01)
x
donde x = x (t) indica el tamaño poblacional; el factor a (x) = x+n ,
modela
el efecto Allee, fenómeno que puede ser producido por diferentes causas [1, 2]
Uno de los objetivos del trabajo será determinar la naturaleza de los puntos
de equilibrio, de acuerdo a los diferentes parámetros del modelo.
2 LOS MODELOS
Los modelos a estudiar son modi…caciones del conocido modelo de Lotka-Volterra,
y el primer de ellos es del tipo Gause [3] o de transferencia de masa, descrito
por el siguiente sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales no lineales
autónomo del tipo Kolmogorov [3].
dx x
dt = r x+n x qxy
X : dy (1)
dt = (px c ) y
1

7. donde x = x (t) e y = y (t) son los tamaños poblacionales de las poblaciones
presa y depredador, respectivamente; la función h (x) = qx es la respuesta
funcional o tasa de consumo de los depredadores del tipo Holling I o lineal
[6, 7].
Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r; n; q; p; c) 2 R5 y tienen
+
diferentes signi…cados ecológicos.
El segundo modelo es
( dx
dt = r x qxy
Y : dy y (2)
dt = px y+b c y
donde = (r; q; p; b; c) 2 R5 , esto es, los parámetros son todos positivos y
+
tienen diferentes similares signi…cados ecológicos a los del modelo (1).
En particular, se estudia el acotamiento de las soluciones porque de acuerdo
a las simulaciones que aparecen en [8], habría soluciones que tienden al punto
(0; 1), obteniendose una situación que no es ecológicamente sustentable.
En trabajos futuros revisaremos otros de los modelos propuestos en [8], o
otro donde se incorpore la función de crecimiento logística para las presas.
References
[1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and population
management,Trends in Ecology and Evolution Vol. 22 (2007) 185-191.
[2] F. Courchamp, L. Berec and J. Gascoigne, Allee e¤ ects in Ecology and Con-
servation, Oxford University Press 2008.
[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Models in Population Ecology,
Marcel Dekker 1980.
[4] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos-
Jiliberto. Modelling the Allee e¤ect: are the di¤erent mathematical forms
proposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 Inter-
national Symposium on Mathematical and Computational Biology BIOMAT
2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro (2007) 53-71.
[5] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?,
Oikos 87 (1999) 185-190.
[6] R. J. Taylor. Predation. Chapman and Hall, 1984.
[7] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthesis,
Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.
[8] S-R. Zhou, Y-F. Liu, G. Wang, The stability of predator-prey systems sub-
ject to the Allee e¤ect, Theoretical Populations Biology 67 (2005) 23-31.
2

8. MODELACIÓN DE LA RED REGULATORIA GENÉTICA INDUCIDA POR
ETILENO EN RESPUESTA A INFECCIÓN POR PATÓGENOS EN Arabidopsis
thaliana.
Rafael Verduzco Vázquez & José Díaz
Grupo de Biología Teórica y Computacional, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de
Morelos, Av. Universidad 1001, Colonia Chamilpa, Cuernavaca, Morelos. CP: 62209.
Los mecanismos que permiten a un organismo realizar toda clase de funciones están
basados en la compleja interacción de proteínas y ARN. El ADN de cada célula
contiene un conjunto de genes que, a través de los procesos de traducción y
transcripción hacen posible la expresión. Algunas proteínas actúan como factores de
transcripción, que regulan la tasa de transcripción de otros genes, de modo que al
analizar las relaciones entre factores y genes se llega a una estructura llamada
red regulatoria genética. Se han propuesto distintos modelos para poder entender tanto
las propiedades estructurales como la dinámica de estas redes. Esta dinámica
corresponde a patrones de expresión genética que producen un fenotipo particular.
Abundan técnicas de modelado que permiten estudiar dicha dinámica desde varios
enfoques teóricos. Dentro de estos enfoques, las redes Booleanas consideran a cada gen
en uno de dos estados posibles a un tiempo discreto dado. En una red Boolena los
genes -o nodos en terminología de redes– actualizan su estado de acuerdo a un conjunto
de reglas lógicas que suelen inferirse a partir de datos experimentales de expresión
genética. Esta clase de modelos requiere relativamente poca información acerca del
conjunto de genes y sus interacciones, a la par que brinda resultados biológicamente
relevantes. En este trabajo se presenta un modelo de red Boolena para una pequeña red
de regulación genética relacionada con la defensa contra patógenos en Arabidopsis
thaliana estimulada por las hormonas etileno y jasmonato. Uno de los aspectos
relevantes del modelo propuesto es que tras revisar la literatura se incorporó ERF4, un
factor de transcripción de la familia de factores de respuesta a etileno ERF que no había
sido incluido en la vía de señalización de etileno en trabajos anteriores. Tras analizar las
configuraciones del sistema en el conjunto de puntos estacionarios para diferentes
condiciones iniciales, tanto en WT como en mutantes, se obtuvieron resultados que tras
su interpretación coinciden con algunos fenotipos reportados en la literatura.

9. Modelo matemático del proceso mecanobiológico de reparación del
ligamento
Rosy Paola Cárdenas Sandoval*
Liliana Mabel Peinado Cortés
Diego Alexander Garzón Alvarado
* National University of Colombia
Carrera 30 N°45-03 Edificio 407
rpcardenass@unal.edu.co
ABSTRACT: Coagulation, inflammation, proliferation and remodelling are the stages performed in the
wound healing in connective tissues injured, one of these is the ligament. The wound healing depends of
biological and mechanical manifold factors, they release key elements and stimulate the right fibers
organization. The aim of this work is to provide a mathematical model based in hyperelasticity equations of the
continuum mechanics for to describe the biological changes and the mechanotransduction process happened in
the ligament wound healing when it is subjected to mechanical load. The model proposed is solved using the
finite elements method. The results obtained simulate the ligament answer in the remodeling phase in presence
of mechanical loads, which is to enlarge the cellular and extracellular size components, increase the fibroblast
proliferation, collagen production and other proteins, and the formation of the new fibers net, more
homogeneous and mostly dense. This model offers a biological and mechanical framework about the effect of
the tension load in the ligament wound healing for the health care professionals that make use of the mechanical
loads prescription as tool’s work.
RESUMEN: Coagulación, inflamación, proliferación y remodelación, son las fases llevadas a cabo en el
proceso de reparación en la mayoría de los tejidos conectivos lesionados, uno de ellos es el ligamento. La
cicatrización de este tejido depende de múltiples factores biológicos y mecánicos, los cuales estimulan la
síntesis de componentes claves en la reparación y la organización correcta del ligamento. El objetivo de este
trabajo es proporcionar un modelo matemático fundamentado en las ecuaciones de hiperelasticidad de la
mecánica de medio continuo para describir los cambios biológicos y los mecanismos de mecanotransducción
ocurridos en el ligamento en reparación cuando está sometido a carga mecánica. El modelo propuesto está
resuelto mediante el método de elementos finitos. Los resultados obtenidos simulan la respuesta del ligamento
ante cargas mecánicas en la etapa de remodelación, es decir, incremento en el tamaño de los componentes
celulares y extracelulares del tejido, aumento de la proliferación de fibroblastos, producción de colágeno y otras
proteínas, y la formación de una nueva red de fibras más homogénea y densa. En conclusión, este modelo
ofrece un marco de referencia mecánico y biológico, del efecto de la carga de elongación en la reparación del
ligamento, útil para los profesionales de las ciencias de la salud que utilizan la prescripción de cargas mecánicas
como herramienta de trabajo.

10. FITOREMEDIACIÓN DE AGUAS RESIDUALES SECUNDARIAS CON
PLÁNTULAS DE Rhizophora mangle BAJO CONDICIONES EXPERIMENTALES
C. Chan-Keb*, C. M. Agraz-Hernández**, J. Osti-Saenz**, C. García-Zaragoza**
Miguel A. Valera Pérez*, Gladys Linares Fleites*.
*Posgrado en Ciencias Ambientales, Instituto de Ciencias. Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla. karloschank2@hotmail.com
** Centro de Ecología, Pesquerías y Oceanografía del Golfo de México. UAC. Av.
Agustín Melgar s/n entre Juan de la Barrera y Calle 20. Col. Buenavista. San
Francisco de Campeche; Campeche, México. Tel (981) 8119800. Ext. 62309.
RESUMEN
Los bosques de manglar son considerados como ecosistemas de gran valor
económico, ecológico y social, debido a los múltiples usos y beneficios que estos
proporcionan. Es por ello que esta halófita es reconocida a nivel mundial en su
función como agentes de remediación de contaminación de descargas de aguas
residuales con altas concentraciones de metales pesados, herbicidas, plaguicidas o
con exceso de nutrientes, esto como una alternativa de tratamiento de agua en la
zona costera. Por lo cual, esta investigación tuvo como propósito el evaluar el uso de
la forestación y fitorremediación con plántulas de Rhizophora. mangle para mitigar la
eutrofización causada por las descargas de aguas residuales secundarias, bajo
condiciones controladas de temperatura ambiental, humedad, hidroperiodo y nivel
microtopografico en un invernadero, con salinidad de 25 ± 5 ups. A través de la
colecta de hipocotilos de R. mangle en bosques de manglar sin impacto antrópico y
mediante la forestación de seis estanques (100 hipocotilos por estanque), con
dimensiones de:1.5 x 0.45 x 0.95 m y un filtro compuesto de grava gruesa (0.081 m3)
y fina (0.081 m3), de arena (0.081 m3) y turba natural (0.222 m3) del mismo bosque
de colecta de los propágulos. Cada estanque presento un reservorio individual de
0.250 m3 para efectuar por gravedad el flujo y por bombeo el reflujo de la marea. Se
establecieron dos tipos de vertidos, donde en tres estanques se vertieron con agua
residual y tres con agua de mar. La intensidad de muestreo fue semanal para
determinar la concentración de los nutrientes, la salinidad y el valor de pH y potencial
redox del agua intersticial. Para evaluar la respuesta fisiológica de las plántulas
simultáneamente a los parámetros químicos, se monitoreo el incremento diametral,
longitud total, inter nodal y la producción de las hojas. Al realizar mediante la prueba
ANOVA de una vía entre los dos tipos de vertido, se encontraron diferencias
significativas (p‹0.05) entre la concentración de NO2-, NH4+ y el valor de redox,
observándose acumulación de los nutrientes y condiciones más anaeróbicas en el
gua intersticial de los estanques con agua residual. Con respecto a la respuesta
fisiológicas, se observo mayor tasa de crecimiento diametral (0,014 mm.dia-1) y
disminución en la longitud total (0.049 cm.dia-1) para las plántulas tratadas con agua
residual, que con respecto a las tratadas con agua de mar (0.0057 mm.dia-1 y 0.064

11. cm.dia-1, respectivamente). El incremento internodal y la producción de hojas no
presentaron diferencias significativas entre los vertidos. Estos resultados indican que
la función de los manglares como agentes fitoremediador es una alternativa para
tratar cuerpos de agua costeras eutrofizados, utilizando la forestación. Sin embargo,
a su vez los resultados obtenidos para esta investigación indican estrés en las
plántulas al incrementar el número de vertidos y al acumularse los nutrientes en el
agua intersticial. Es por ello que se recomienda considerar durante el uso del
manglar como fitoremediador, el control de la concentración de nutrientes en el
vertido y la intensidad de los vertidos, así como la extensión disponible de cobertura
del bosque de mangle.

12. Análisis del modelo general de Lotka-Volterra
considerando comportamientos sociales del
depredador
Sebastián Valenzuela-Figueroa, Ruth Becerra-Klix, Eduardo González-Olivares
Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias
Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
email: sebastiancvf@gmail.com; rbecerraklix@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl
http://ima.ucv.cl
julio de 2009
1 Introducción
Es ampliamente conocido el hecho que en el modelo general de Lotka-Volterra
[5] (considerando crecimiento logístico en las presas), cuando existe un punto
de equilibrio al interior del primer cuadrante este es global asintóticamente
estable [2] y esta propiedad se mantiene cuando existe colaboración entre los
depredadores.
El objetivo fundamental de este trabajo es describir el comportamiento
matemático de un modelo de depredación, considerando colaboración entre los
depredadores.
De acuerdo a los resultados obtenidos, planteamos que la incorporación de
este fenómeno ecológico en este modelo derivado del modelo general de Lotka-
Volterra, no es adecuado porque se obtienen conclusiones ecológicas incompati-
bles.
2 El modelo
El modelo a estudiar es descrito por el sistema bidimensional de ecuaciones
diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [3]:
dx x
dt = r(1 K ) qy x
X ; : dy (1)
dt = (px c + y ) y
con = (r; K; q; p; c; ) 2 R5 , donde los parámetros tienen diferente signi…-
+
cados ecológicos y 2 R. Si > 0, el parámetro expresa la colaboración entre
1

13. los depredadores, si = 0, se tiene el modelo de Lotka-Voltera usual y si < 0,
el sistema representa un modelo con interferencia entre los depredadores.
En particular, si 1 el sistema fue estudiado parcialmente por Pacheco
& al. [4] y en [6] consideraron el caso en que = 1, demostrando que existe
condiciones para la existencia de un centro.
En este trabajo se muestra, entre otros resultados, que si > 0, existe un
subconjunto en el espacio de parámetros, donde el sistema no tiene soluciones
acotadas, concluyendo que el sistema no representa adecuadamente un modelo
de depredación.
Sin embargo, es posible determinar condiciones en los parámetros para las
cuales el único punto de equilibrio al interior del primer cuadrante este es global
asintóticamente estable
References
[1] A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of interacting populations, World Sci-
enti…c, 1998.
[2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap-
plied Mathematics 34 Springer, 2006.
[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Model in Population Ecology,
Marcel Dekker, 1980.
[4] J. M. Pacheco, C. Rodríguez and I. Fernández, Hopf bifurcations in
predator–prey systems with social predator behaviour, Ecological Modelling
105 (1997) 83–87.
[5] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe-
sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.
[6] M. Uribe y M. Wallace, The period function in a class of quadratic Kol-
mogoro¤ systems, Proyecciones Vol 19 (2000) 197-205.
2

14. Mauro A.E. Chaparro
Un modelo matemático de la fase parasitaria de Ostertagia ostertagi
basado en sistemas de inferencia difusa, con especial referencia a
hipobiosis
Ostertagia ostertagi es un nematodo que se encuentra muy frecuentemente en el ganado bovino de la
región pampeana argentina. La fase parasitaria de Ostertagia comienza cuando la larva infectante (L3)
es ingerida por los bovinos al alimentarse en las pasturas contaminadas. Continúa su desarrollo en el
sistema digestivo durante aproximadamente tres semanas hasta iniciar la puesta de huevos.
Dependiendo de las condiciones climáticas a las que estuvieron expuestas las L3 durante su vida libre,
éstas pueden inhibir su proceso de desarrollo (hipobiosis) extendiendo el período de prepatencia hasta
cinco meses. Así la hipobiosis permite al parásito “saltar” períodos del año en los que las condiciones
climáticas son adversas para la supervivencia de la progenie. Desde el punto de vista sanitario, es
importante destacar que las larvas hipobióticas están deprimidas metabólicamente y por lo tanto son
menos susceptibles a ciertos antihelmínticos.
En la región de la Pampa Húmeda en Argentina este fenómeno se produce mayoritariamente en la
primavera. Ensayos realizados a campo determinaron tres factores que acondicionan a las larvas
infectantes a detener su desarrollo: tiempo de espera en las pasturas, temperatura ambiente y cantidad
de horas de luz (fotoperíodo) diarias.
Se construyó un modelo matemático que describe la dinámica poblacional de los parásitos adultos
dentro del hospedador, en relación con el grado de infección de las pasturas y las condiciones
climáticas. Para describir la dinámica de los adultos se utilizó una ecuación en diferencias con paso
diario mientras que para el proceso de inhibición se usó un sistema de inferencia difuso. Con la
combinación de estos dos modelos se describe la dinámica poblacional satisfactoriamente. Los
resultados obtenidos fueron comparados con ensayos realizados en condiciones naturales, obteniéndose
un coeficiente de bondad de ajuste de R2=0.85, siendo este un buen indicador de la calidad de ajuste
del modelo.
A mathematical model based on a fuzzy logic inference system for the
parasitic stage of Ostertagia ostertagi, including to hypobiosis
Ostertagia ostertagi is a nematode frequently found in cattle in the pampean region of Argentina. The
parasitic phase of Ostertagia initiates when the infecting larvae (L3) are ingested by cattle feeding on
infected pastures. The larva continues its development in the digestive tract of the animal for about
three week until it starts producing eggs. Depending on the climatic conditions to which the L3 larvae
were exposed during their free living stage, they can inhibit their development (hypobiosis) by
extending the prepatent period for up to five months. Thus hypobiosis allows them to skip some
periods during which weather conditions are negative for their offspring in the free living cycle. From
the sanitarian perspective, it is important to point out that hypobiotic larvae are metabolically depressed
and thus are less susceptible to antihelmintics.
In the Humid Pampas of Argentina, this phenomenon occurs mostly in spring. Field trials helped
identify three factors that condition the development arrestment of ingested larvae: waiting time in the
pasture, environmental temperature, and photoperiod.
A mathematical model was built for describing the population dynamics of adult parasites inside the
host, depending on the degree of infection of the pasture and on the weather conditions. Difference
equations with daily time-step were used for describing the adult population dynamics, while the
inhibition process was modeled using a fuzzy inference system. The combination of both models yields
a satisfactory description of the dynamics. The simulation results were compared to field trials under
natural conditions and the goodness-of-fit coefficient R2=0.85 was obtained, indicating the quality of
the model.

15. Captura óptima en un modelo depredador-presa
con respuesta funcional sigmoidea y efecto Allee
en las presas
Alejandro Rojas-Palma 1 , Eduardo González-Olivares 2
1
Instituto de Matemática, Universidad Austral de Chile
Casilla 567, Valdivia, Chile
alejandro.rojas@docentes.uach.cl
http://www.ciencias.uach.cl/instituto/matematicas
2
Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas,
Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso.
Casilla 4059 Valparaíso, Chile
ejgonzal@ucv.cl
http://ima.ucv.cl
Julio 2009
1 Introducción
La modelación bioeconómica de la explotación de recursos renovables como
pesquerías y bosques, los conceptos esenciales requeridos y las herramientas
matemáticas necesarias han sido dadas en detalle por Clark [5], en especial
cuando una sola especie es sometida a captura. Sin embargo, modelos que con-
sideran más especies han sido estudiados solamente en algunos trabajos, debido
a las complicaciones propias del análisis cualitativo de los sistemas de ecuaciones
diferenciales no lineales [5, 3].
Este trabajo considera el análisis de la captura no selectiva de dos pobla-
ciones en donde una de ellas es depredadora de la otra. Se asume que el esfuerzo
de pesca es el mismo para ambas poblaciones y la captura por unidad de esfuerzo
(CPUE) es proporcional a los tamaños poblacionales de cada población, es de-
cir, se asume la bien conocida hipótesis de Schaefer de explotación pesquera.
Basados en el análisis cualitativo, se establece la política de control óptima que
la industria pesquera debe aplicar con el …n de la maximización de los bene…-
cios económicos presentes. Entonces, se de…ne un problema de control óptimo
consistente en maximizar los ingresos netos totales que la sociedad deriva de la
pesquería, sujeto a las ecuaciones de estado aplicando el Principio del Máximo
de Pontragyn [11].
1

16. 2 El Modelo
Se considera un modelo depredador-presa de tipo Gause [6] en el cual la presa
es afectada por el fenómeno biológico conocido como efecto Allee [1, 13, 14] y
la respuesta funcional es sigmoidea [15]. Existen muchas formas de expresar el
efecto Allee [8], pero se empleará la más usual y la interacción es dada por un
sistema de ecuaciones diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [6, 7].
( dx x s x2
dt = r 1 K (x m) x x2 + a2 y
X : dy p x2 (1)
dt = x2 + a2 c y
donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de la presa y el
depredador respectivamente, los parámetros son todos positivos, esto es, =
(r; K; m; p; a; c; s) 2 R7 , y tienen distintos signi…cados ecológicos y por razones
+
biológicas a; m < K.
Este sistema fue analizado en [12] y ahora se asumirá que ambas poblaciones
son explotadas y la captura es proporcional al stock corriente, obteniendo el
sistema
( dx x s x2
dt = r 1 K (x m) x x2 + a2 y q1 Ex
Y : dy p x2 (2)
dt = x2 + a2 c y q2 Ey
donde E = E(t) representa el esfuerzo de pesca, 0 < E < Emax y q1 , q2 son
cantidades positivas.
El funcional objetivo, que representa el valor presente J de un ‡ de gana-
ujo
cias continuo en el tiempo, es dado por
Z1
t
J= (x; y; E; t) e dt (3)
0
donde es la tasa anual de descuento instantanea y
(x; y; E; t) = p1 q1 Ex + p2 q2 Ey CE (4)
es el ingreso económico neto del pescador o renta percibida y es representado
como la diferencia entre el ingreso total y el costo total asociado al esfuerzo de
pesca.
References
[1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and pop-
ulation management. Trends in Ecology and Evolution Vol. 22, 185-191.
(2007).
[2] F. Brauer and C. Castillo-Chávez, Mathematical models in Population Bi-
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17. [3] K. S. Chaudhuri. A bioeconomic model of harvesting a multispecies …shery,
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[4] C. Chicone. Ordinary di¤ erential equations with applications, Texts in Ap-
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[5] C. W. Clark, Mathematical Bioeconomic: The optimal management of re-
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[6] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology.
Marcel Dekker, 254 pp., (1980).
[7] B-S. Goh. Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier
Scienti…c Publishing Company, (1980).
[8] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos-
Jiliberto. Modelling the Allee exect: are the dixerent mathematical forms
o o
proposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 In-
ternational Symposium on Mathematical and Computational Biology BIO-
MAT 2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro, 53-71. (2007).
[9] E. González-Olivares, H. Meneses-Alcay and B.González-Yañez, Metastable
dynamics in a Gause type predator-prey model considering Allee e¤ect on
prey. in preparation, (2008).
[10] T.K. Kar, K.S. Chaudhuri.On non-selective harvesting of a multispecies
…shery. int. j. math. educ. sci. technol.,33, (2002).
[11] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze and E. F.
Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes. London:
Pergamon Press. (1964).
[12] A. Rojas-Palma, E. González-Olivares and B. González-Yañez. Metastabil-
ity in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional response
and multiplicative Allee e¤ect on prey. In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of
International Symposium on Mathematical and Computational Biology,E-
papers Serviços Editoriais Ltda. 295-321. (2007) .
[13] P. A. Stephens and W. J. Sutherland. Consequences of the Allee e¤ect for
behaviour, ecology and conservation. Trends in Ecol. Evo., Vol. 14 No 10
401-405.(1999).
[14] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, and R. P. Freckleton, What is the Allee
e¤ect?, Oikos 87, 185-190. (1999).
[15] P. Turchin. Complex population dynamics. A theoretical/empirical syn-
thesis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press.
(2003).
3

18. Análisis del modelo de depredación de
Holling-Tanner modi…cado considerando un
alimento alternativo para los depredadores
Analysis of the modi…ed Holling-Tanner
predator-prey model considering an alternative
food for predator
Claudio Arancibia-Ibarra, Eduardo González-Olivares
Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas,
Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso.
Casilla 4059 Valparaíso, Chile
clanarib@gmail.com, ejgonzal@ucv.cl
http://ima.ucv.cl
julio 2009
1 Resumen
En este trabajo analizamos un modelo depredador-presa tiempo continuo asum-
iendo que:
i) la respuesta funcional es de tipo Holling II,
ii) el crecimiento de los depredadores es de tipo logístico [4].
Este último supuesto caracteriza a los modelos del tipo Leslie-Gower [1], en
los cuales la capacidad de soporte convencional de los depredadores es propor-
cional a la abundancia de presas x = x (t), es decir, Ky = K(x) = nx, tal como
es asumida en el modelo de May-Holling-Tanner model [6, 5].
Aqui, consderaremos que K(x) = nx + c, suponiendo que los depredadores
tienen un alimento alternativo cuando las presas disminuyen, esto es, cuando
x ! 0.
El modelo es descrito por el siguiente sistema bidiemnsional de ecuaciones
diferenciales del tipo Kolmogorov [3]:
8
< dx
= r 1 x q
dt K x+a y x
X : (1)
: dy
= s 1 y
y
dt nx+c
1

19. donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de presas y
depredadores, respectivamente; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , y los parámetros
+
tienen diferentes signi…cados ecológicos, pero a, m < K.
Mediante una reparametrización y un reescalamiento del tiempo, obtenemos
el sistema
du
d = (u + C) ( (1 u) (u + A) Qv) u
Y : dv (2)
d = S (u + A) ( u + C v) v
que es topológicalmente equivalente al sistema(1) [2]; los puntos de equilibrio
son (0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), dependient de la intersección entre
1
las isoclinas v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); entonces el sitema puede
tener uno, dos o ningún punto de equilibrio positivo.
Uno de los principales objetivos es determinar la cantidad de ciclo límites
del sistema bifurcando de un centro-foco al interior del primer cuadrante.
2 Summary
In this work we analyze a continuous-time predator-prey model assuming that:
i) the functional response or predator consumption rate is Holling type II or
hyperbolic [6], and
iii) the growth of the predator population is of logistic form [4].
This last assumption characterize the Leslie-Gower type models [1], in which
the conventional environmental carrying capacity Ky measuring their resources,
is proportional to prey abundance x = x (t), that is Ky = K(x) = nx, such as
is assumed in the May-Holling-Tanner model [6, 5].
We will consider that K(x) = nx + c, assuming that the predators have an
alternative food when the quantity of prey diminish, this is, when x ! 0.
The model is describe by the following bidimensional di¤erential equations
systems of Kolmogorov type system [3]:
8
< dx
= r 1 x q
dt K x+a y x
X : (1)
: dy
= s 1 y
y
dt nx+c
where x = x(t) and y = y(t) indicate the predator and prey population
sizes, respectively; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , the parameters have di¤erent
+
ecological meanings, but a, m < K.
By mean of a reparameterization and time rescaling we obtain the polyno-
mial system
du
d = (u + C) ( (1 u) (u + A) Qv) u
Y : dv (2)
d = S (u + A) ( u + C v) v
which is topologically equivalent to original [2]; the equilibrium points are
(0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), which dependent of the intersection of
2

20. 1
the isoclines v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); then, the system can have
two, one, or none positive equilibrium point.
One of the main objectives is establish the quantity of limit cycles bifurcating
of a center-focus at interior of the …rst quadrant.
References
[1] M. A. Aziz-Alaoui and M. Daher Okiye, Boundedness and global stability
for a predator-prey model with modi…ed Leslie-Gower and Holling-type II
schemes, Applied Mathematics Letters 16 (2003) 1069-1075.
[2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap-
plied Mathematics 34, Springer, 2006.
[3] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology.
Marcel Dekker, 1980.
[4] R. May, Stability and complexity in model ecosystems (2nd ed.), Princeton
University Press, 2001.
[5] E. Sáez and E. González-Olivares. Dynamics on a Predator-prey Model.
SIAM Journal of Applied Mathematics 59(5) (1999) 1867-1878.
[6] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe-
sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press 2003.
3

21. Modelamiento Matemático y Análisis Dinámico del
Proceso de Edición del ARN en Leishmania sp.
Autores
Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3,
Diego A. Muñoz3
1
Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET.
Universidad de Antioquia.
2
Grupo de Automática, GAUNAL,
Universidad Nacional-sede Medellín.
3
Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat.
Universidad Pontificia Bolivariana
Correo electrónico: Andres_Florez@hms.harvard.edu
Introducción
La leishmaniasis es una enfermedad tropical que constituye un problema de
salud pública debido a su alta morbilidad y que en la forma clínica visceral
puede ser letal. Adicionalmente, no existen medicamentos seguros, ni vacunas
efectivas [1]. El proceso de edición del RNA del kinetoplasto (kRNA) consiste
en la modificación post-transcripcional mediante la inserción y/o delección de
uracilos para generar transcritos funcionales [2]. Este proceso, además, no
ocurre de la misma forma en el ser humano. Esto genera el interés de
proteínas involucradas en este proceso como blanco de nuevos fármacos que
puedan inhibirlo y por tanto eliminar al patógeno.
La descripción de dicho proceso biológico puede ser expresada como el arreglo
o acomodo de mecanismos y dinámicas para el procesamiento de materia y
energía “cruda” con el fin de obtener un producto con especificaciones
deseadas [3]. En tal sentido, si se dispone de un modelo que describa los
mecanismos y dinámicas factibles para realizar el proceso, es posible usar
dicho modelo para encontrar condiciones de operación del proceso, de modo
que con esos valores se logre el producto deseado sin violentar las
restricciones que el proceso mismo impone.
Basado en la anterior premisa, se construye un modelo matemático del proceso
de edición del RNA basado en el conjunto de reacciones que lo describen, con
la intención de establecer el comportamiento dinámico de este. Adicionalmente
se hace el análisis de sensibilidad para predecir posibles blancos de
medicamentos, es decir, identificar los parámetros más susceptibles a las
perturbaciones y que bloquen la generación del producto final que es el ARN
mensajero editado. Con éste análisis se identificó una enzima responsable de
una reacción muy sensible, y que se convierte en un blanco atractivo para un
futuro desarrollo de medicamentos inhibidores.
Cuando se aborda el análisis de un proceso biológico, aparece un grupo
disponible de modelos diferentes, que van desde los simbólico simples

22. (diagrama de bloques) hasta los matemáticos sofisticados (modelo dinámico
del proceso basado en principios fenomenológicos). Tal evolución en la
complejidad de la representación usada va de la mano con la complejidad de la
tarea que se desarrolla y con lo cual se espera del modelo. En tal sentido, el
modelo se plantea con una estructura basada en principios físicos utilizando
parámetros determinados mediante experimentos de las cinéticas de reacción.
Modelamiento y análisis
A partir de una revisión extensa de la literatura se construyó un esquema
cualitativo de las reacciones involucradas en el proceso y de las cuales
existieran parámetros cinéticos determinados experimentalmente [4]. Con base
en este esquema se construyó un modelo matemático basado en ecuaciones
diferenciales ordinarias que representan cinéticamente las reacciones químicas
involucradas. Las leyes cinéticas de las reacciones fueron asignadas de
acuerdo a la literatura, donde 5 fueron asignadas como Michaelis-Menten
irreversible y la restante por la ley de acción de masas. El análisis de
sensibilidad para la detección de blancos moleculares se hizo realizando
cambios en los vectores de parámetros y analizando las perturbaciones del
modelo mediante los coeficientes de sensibilidad. El análisis de sensibilidad y
las simulaciones fueron realizados utilizando el Toolbox de Matlab “SimBiology”
[5].
Resultados
Las simulaciones realizadas con el modelo demuestran una correspondencia
con lo descrito en los datos experimentales de manera cualitativa, pues la
información paramétrica es incompleta y no existen datos de perturbaciones
experimentales del modelo que permitan su validación. El análisis de
sensibilidad muestra que la reacción de unión del RNA guía (gRNA) con el
RNA mensajero (mRNA) es la más susceptible a la perturbación con respecto
al producto, lo cual sugiere a las proteínas MRP1/MRP2 como probables
blancos. Estas predicciones serán refinadas en futuros proyectos que permitan
la validación experimental del modelo.
Referencias
[1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9.
[2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial
genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-
99.
[3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in
control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control,
Salvador Bahía-Brazil, 2006.
[4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro
editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p.
4712-7.
[5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/

23. Title
Mathematical modeling and dynamic analysis of RNA
editing process in Leishmania sp.
Authors
Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3,
Diego A. Muñoz3
1
Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET.
Universidad de Antioquia.
2
Grupo de Automática, GAUNAL,
Universidad Nacional-sede Medellín.
3
Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat.
Universidad Pontificia Bolivariana
Introduction
Leishmaniasis is a tropical disease that constitutes a public health problem for
its high morbidity and which can be fatal in the visceral form. In addition, there is
lack of safe drugs and of an effective vaccine [1]. The process of kRNA edition
in the kinetoplast (kRNA) consists of the posttranscriptional modification by the
insertion and/or deletion of uracils for generating functional transcripts [2]. On
the other hand, this process does not occur similarly in humans. This has raised
the interest of studying this process for finding new potential drugs that can
inhibit this process and therefore to remove the pathogen.
The description of such biological process can be expressed by the
arrangement of mechanisms and dynamics to process matter and energy with
the intention to get a product with the desired specifications [3]. In this sense, if
we have a process model describing the feasible mechanisms and dynamics, it
is possible to use such model to find operation conditions, which can be
obtained the desired product without violate the constraints that the process
itself imposes.
Based on the former premise, a mathematical model is constructed for the
processing of the RNA edition in a set of reactions that best describe it, in order
to set up the dynamical behavior of the process. Furthermore, the analysis of
sensitivity is carried out to predict potential or candidate drug targets, in order to
identify the most susceptible parameters to disturb the final product, the
messenger RNA. With this analysis, an enzyme responsible of a very sensitive

24. reaction was identified, which render it as an attractive drug target for future
experimental evaluation.
When the analysis of a biological process is studied, an available group of
different models arise, span from the simple symbolism (diagram of blocks) to
the mathematics sophisticated (dynamic model of the process supported in
phenomenological principles). Such evolution in the complexity of the used
representation is articulated with the complexity of the developed task and from
which the model is expected. In this way, the model is proposed with a structure
based on physical principles using specified parameters through experiments
taken of the kinetics of reaction.
Modeling and Analysis
From an extensive literature revision, a qualitative scheme of the reaction
involved was built taking into account that kinetic parameters experimentally
determined were available [4]. From this scheme, a mathematical model was
built based on ordinary differential equations, which kinetically represent, the
chemical reactions involved. The kinetic laws of the reactions were assigned
according to the literature, where 5 were assigned as irreversible Michaelis
Menten and the remaining by the law of action of masses. The sensitivity
analysis for molecular targets detection was made carrying out changes in the
parameter vectors and analyzing the perturbations of the model through the
sensivity coefficients. The sensitivity analysis and simulations were carried out
using the toolbox of Matlab “SimBiology” [5].
Results
The simulations carried out with the model show a correspondence with the
experimental data described in a qualitative way, since the parametric
information is incomplete and there are not data of experimental perturbations
of the model that allow its validation.
The sensitivity analysis shows that the joint reaction of the gRNA with the
mRNA is the most susceptible to the perturbation regarding the product, which
identified to the proteins MRP1/MRP2 as possible drug targets. These
predictions will be refined in future projects that allow the experimental
validation of the model.
References
[1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9.
[2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial
genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-
99.
[3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in
control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control,
Salvador Bahía-Brazil, 2006.

25. [4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro
editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p.
4712-7.
[5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/

26. Modelamiento matemático del potencial larvicida de algunas especies de la
familia Asteracea frente a larvas de Aedes aegypti
1 2 3
Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos
4
Álvarez Londoño
Los mosquitos son vectores de agentes causales de enfermedades humanas con gran
importancia, como es el caso del dengue, cuyo vector es el mosquito Aedes aegypti. El control
del vector con insecticidas en principio produjo resultados, pero debido a la resistencia a los
pesticidas, la contaminación ambiental y los altos costos, se hace necesaria la búsqueda de
alternativas de solución con menos riesgos, como lo es el control biológico, particularmente el
uso de extractos vegetales.
Este trabajo evaluó el potencial larvicida de extractos vegetales de algunas especies de la
familia Asteraceae presentes en el Departamento del Quindío, Colombia, frente a larvas de
tercero y cuarto instar de A. aegypti .Se recolectaron 24 especies , obteniendo extractos
crudos etanólicos, analizados mediante marcha fitoquímica preliminar para la identificación de
metabolitos secundarios. Estos extractos se concentraron para preparar diluciones de 1000,
500, 100, 10, 1 y 0,1 ul/L, que finalmente fueron evaluadas según protocolo estandarizado por
la OMS. Las especies analizadas fitoquímicamente mostraron una presencia alta de alcaloides,
terpenos, entre otros metabolitos secundarios. De las 24 especies evaluadas sólo algunas
mostraron actividad biológica a 500 y 1000 ul/L, con mortalidades a las 48 horas del 100% de
la población. Además, se calcularon las dosis CL 50 y 95 en 24 y 48 horas para todas las
plantas analizadas.
Se escogieron las dos especies con más alta actividad biológica y en ellas se evaluó la
actividad biológica de alcaloides frente a larvas de A. aegypti. Para ello, se realizó un extracto
a partir de 500 gramos de peso. Se hizo una extracción líquido-líquido con solventes polares a
los alcaloides, estando en esta fase los alcaloides. Se realizó un análisis de confirmación del
contenido para proceder a la separación e identificación de fracciones de algunos de los
alcaloides presentes. Por medio de cromatografía de placa delgada (TLC),espectrofotometría
de infrarrojo (FT-IR ) y el uso de reactivos específicos se identificaron preliminarmente
fracciones de alcaloides, los que finalmente fueron evaluados en larvas de tercero-cuarto instar
de A. aegypti. Se determinó la susceptibilidad en las larvas, dando mortalidad de
aproximadamente 100% para la fase que contiene los alcaloides.
Posteriormente, se construyó un modelo matemático en ecuaciones diferenciales, que usó los
datos arrojados por estos trabajos experimentales, para describir el comportamiento de las
poblaciones.
1
Escuela de Investigación en Biomatemática, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.
iduarte@uniquindio.edu.co
2
Licenciatura en Biología y Educación Ambiental, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.
oscaraguirre@uniquindio.edu.co
3
Maestria en Ciencias Biomédicas. Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia,
Colombia.jorjinmon@gmail.com
4
Programa de Biología, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia. ayoira21@gmail.com

27. Mathematical model for the larvicidal potential of some species of the family
Asteracea against larvae of Aedes aegypti
1 2 3
Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos
4
Álvarez Londoño
The mosquitos are vectors of causal agents of human diseases with great importance, as it is
the case of the dengue, which vector is the mosquito Aedes aegypti. The control of the vector
with insecticides at first produced results, but due to the resistance to the pesticides, the
environmental pollution and the high costs, there becomes necessary the search of alternatives
of solution by fewer risks, as it is the biological control, particularly the use of plant extracts.
This work evaluated the potential larvicidal of plant extracts of some species of the family
Asteraceae present in the Department of the Quindío, Colombia, against to larvas of third and
fourth state of A. aegypti, they gathered 24 species obtaining raw Ethanol extracts analyzed by
means of preliminary phytochemistry march for the identification of secondary methabolyts.
These extracts centered to prepare dilutions of 1000, 500, 100, 10, 1 and 0,1 ul/L, that finally
were evaluated according to protocol standardized by the WHO. The analyzed species
phytochemistry showed a high presence of alkaloids, among other secondary metabolits.The
24 species evaluated only some of them showed biological activity to 500 and 1000 ul/L, with
mortalities at 48 hours of 100 % of the population. In addition, the doses calculated LD 50 and
95 in 24 and 48 hours for all the analyzed plants.
We chose two species with the highest biological activity and are assessed the biological
activity of alkaloids against larvae of A. aegypti. To do this was performed extract from 500
grams in weight.
It was a liquid-liquid extraction with polar solvents for alkaloids and was performed the analysis
of the contents confirmation, with the separation and identification of fractions of some of the
present alkaloids. Through thin plate chromatography (TLC), infrared spectrometry (FT-IR) and
the use of specific reagents were identified preliminarily fractions of alkaloids, which were finally
evaluated in third-fourth larval instar A. aegypti. Susceptibility was determined in larvae, with
mortality of approximately 100% for the phase that contains the alkaloids.
A differential equations model was constructed in, which it used the information thrown by these
experimental works, to describe the behavior of the populations.

28. Modelos Matemáticos de la epidemia de
Influenza Humana A(H1N1) de origen
porcino en el 2009 en México.
Alavez Justino1, Gómez Guillermo2, Hernández Luis2,
López Jesús3, Vargas Cruz2
1
UJAT, 2FC-UNAM, 3IM(Cuernavaca)-UNAM
gomal@servidor.unam.mx
Resumen
Se reportará los resultados de dos tipos de modelación de la epidemia de
Influenza Humana A(H1N1) de origen porcino en el 2009 en México. El
primero se refiere a un modelo de tipo inglés en el que se estiman
parámetros y se estudia la estabilidad local y global de sus soluciones. El
segundo modelo está referido al modelo tipo soviético donde se logran
resultados a medio plazo prediciendo un total de 4 brotes epidémicos que
cualitativamente deberían aparecer durante su primer año de aparición.

29. Does density dependency in
predator-prey models with Allee e¤ect
create periodic oscillations?
Jaime Mena-Lorca1 ;Eduardo González-Olivares1 , Jaime Mena-Lorca1 ;
Pilar Carrasco Espinoza1
1
Grupo de Ecología Matemática,
Instituto de Matemáticas,
Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
ejgonzal@ucv.cl; jmena@ucv.cl; pilar.carrasco.e@gmail.com
Julio 2009
Abstract
El principal propósito de este trabajo es analizar la denso dependen-
cia en modelos predador presa con efecto Allee en cuanto ella produce o
no soluciones periódicas, para eso se hará un estudio comparativo entre
modelos con denso dependencia y modelos sin denso dependencia, ambos
con la población presa con efecto Allee. Ocuparemos modelos tipo Gause
y Modelos tipo Leslie similares (con respuesta funcional y Allee) a los
que se ha probado la existencia de soluciones periódicas, pero sin denso
dependencia. Las respuestas funcionales y la forma de modelar el efecto
Allee que se ocupan en los nuevos modelos estudiados son las que más son
utilizadas en los trabajos del área.
Abstract
The central aim of this work is to analyze whether density dependency
in predator prey models with Allee e¤ect creates or not periodic solutions.
To achieve this we will do a comparison among models with and without
density dependency, in both cases prey population with allee e¤ect. We
will use Gause and Leslie type models (with functional response and Allee)
similar those where the existence of periodic solutions has been proved
(except for the density dependency). The functional response and the
manner used to model the Allee e¤ect used in the new models studied are
the most commonly used in this area.
Palabras claves: Efecto Allee, depredador-presa, ciclos límites.
1

30. 1 Introducción
En la literatura de relativa a predador-presa podemos encontrar una gran var-
iedad de modelos, pero los más utilizados son los llamados modelos tipo Gause
y los modelos tipo Leslie, cuya diferencia fundamental está en la forma que es
modelado en la ecuación de depredador el "input" que este logra como fruto
de la depredación sobre la presa. Una buen resumen del estado del arte en
el caso modelos tipo Gause lo encontramos en [6], varios de estos modelos
han sido estudiado por González-Olivares con el grupo de ecología matemática
([1],[2],[5],[3],[20],[4]), quienes se han dedicado últimamente al estudio de este
tipo de modelos introduciendo el efecto Allee en la presas. Por otra parte una
muy buena referencia para modelos con efecto Allee lo tenemos en Courchamp
[11], que corresponde a la visión que tiene el otro grupo que ha estudiado el efecto
Allee desde una perspectiva más cercana a la ecología debido principalmente a
la línea que desarrolla con su grupo y Berec [10], la misma visión la tenemos en
los trabajos de Stephens ([9],[8]). Otros que han abordado esta problemática,
pero en una mirada más matemática, son Zhou and Wang ([18],[16],[17]). Sin
duda hay otros trabajos que han cooperado en el entendimiento de este tipo
de modelos tanto en sus consecuencias ecológicas como matemática, ellos han
usado distintas formas de modelar estos procesos y la mayoría de ellos están
citados por Berec o González-Olivares.
En los modelos bidimensionales plasmados en ecuaciones diferenciales ordi-
narias, es claro que el hecho de poner denso dependencia en la ecuación de las
presas hace que se cree en el espacio de fase una región acotada por la capacidad
de carga de presas que soporta el hábitat, que junto con la variedad inestable
producida por el efecto Allee podría de…nir una región acotada compacta, que
junto a otros elementos del modelos puede ayudar a generar soluciones per-
iódicas. En este trabajo se estudian modelos sin denso dependencia, la región
compacta invariante no se creará y por lo tanto la posibilidad de ciclos límites
no es factible como antes y de existir estos deberían provenir de otras causas.
Este estudio de carácter teórico se hace en base al análisis comparativos de
modelos con denso dependencia y que tienen ciclos, creemos que el hecho que la
población de las presas puedan crecer sólo hasta cierto valor se conjugada con
la respuesta funcional respectiva para obtener ciclos límites, es así que estudi-
amos dos clases de modelos en donde el crecimiento de la población, después
de superar el umbral Allee, es "tipo" exponencial, así tenemos los siguientes
modelos:
TIPO GAUSE
8
> dx
< = r (x m) x x (x) y
G : dt (Gause 1)
> dy
: = px (x) y y
dt
8
> dx
< rnx
= rx x+b x (x) y
G : dt (Gause 2)
> dy = px (x) y
: y
dt
2

31. TIPO LESLIE
8
> dx
< = r (x m) x x (x) y
L : dt (Leslie 1)
> dy
: = s 1 nx+q yy
dt
8
> dx
< rnx
= rx x+b x (x) y
L : dt (Leslie 2)
> dy = s 1
: y
dt nx+q y
Donde x = x (t) e y = y (t) son el tamaño de la población de presas y
depredadores respectivamente para t > 0, los parámetros r; m; s; n; b; p; ; q
tienen diferentes signi…cados ecológicos.
La función h (x) = x (x) es la respuesta funcional y satisface las siguientes
condiciones [12]:
0 0
(x) 0; (x) 0; (x (x)) 0 y x (x) es acotada cuando x ! 1 .
Se estudian analíticamente los modelos con las funciones genéricas dadas
más arribas, el estudio comparativo se hace con respuestas funcionales concretas
correspondiente a los modelos ya estudiados por González-Olivares et al.
Se concluye que realmente estos modelos no tiene soluciones periódicas, a
diferencia de los modelos con efecto Allee estudiados anteriormente, esto quiere
decir que para modelar situaciones en que se presente ‡ uctuaciones periódicas
se debe incluir otros elementos en el modelo que de cuenta de ellos, por ejemplo
el crecimiento no puede ser de "tipo" como los planteados en los modelos de
arriba.
2 Referencias
References
[1] P. Aguirre, E. González-Olivares and E. Sáez, Three limit cycles in a Leslie-
Gower predator-prey model with additive Allee e¤ect, SIAM Journal on
Applied Mathematics 69 (5) (2009), 1244-1269.
[2] J.D. Flores, J. Mena-Lorca, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares.
Consequences of Depensation in a Smith´s Bioeconomic Model for Open-
Access Fishery, In (R. Mondaini and R. Dilao Eds.) Proceedings of Interna-
tional Symposium on Mathematical and Computational Biology, E-papers
Serviços Editorial Ltda. (2007), 219-232.
[3] E. González-Olivares, J. Mena-Lorca, H. Meneses-Alcay, B. González-
Yañez, J. D. Flores, Allee e¤ect, emigration and immigration in a class
of predator-prey models, Biophysical Reviews and Letters (BRL), 3 (1/2)
(2008) 195 –215.
3

32. [4] A. Rojas-Palma, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares. Metastability
in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional response and
Multiplicative Allee e¤ect on prey (2006).
[5] B. González-Yañez and E. González-Olivares, Consequences of Allee ef-
fect on a Gause type predator-prey model with nonmonotonic functional
response, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the Third Brazilian Sym-
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5

34. Una situación paradójica en que hay variables predictoras perfectas
de la presencia de una enfermedad pero el modelo falla
Elia Barrera Rodriguez, he-lya@hotmail.com; Flaviano Godínez Jaimes,
fgodinezj@gmail.com; Francisco Julian Ariza Hernandez, fjah@colpos.mx;
Ramón Reyes Carreto, rcarreto1@yahoo.com,
Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero
Resumen
En epidemiologia es común que la presencia o ausencia de una enfermedad se trate de
predecir a partir de una variable explicatoria o una combinación lineal de variables
explicatorias. Si para valores de una variable explicatoria menores que una constante los
individuos están sanos y para valores mayores que la constante están enfermos entonces la
variable explicatoria predice perfectamente la presencia de la enfermedad. El modelo
apropiado para modelar respuestas binarias es el de regresión logística. En presencia de una
variable explicatoria perfecta el estimador de máxima verosimilitud del modelo de
regresión logística produce resultados incorrectos. La colinealidad en las variables
explicatorias es otro problema que puede presentarse en regresión logística binaria y cuyos
efectos también pueden llevar a resultados erróneas. Ambos problemas causan que los
estimadores sean sesgados y se presentan con más frecuencia cuando se utiliza el modelo
de regresión logística en el análisis de microarreglos. En este trabajo se hace una revisión
de los estimadores existentes en presencia de ambos problemas mediante simulación se
comparan en función del sesgo y error cuadrático medio.

35. Influˆncia dos fatores intr´
e ınsecos e extr´
ınsecos na dinˆmica da C´lera
a o
Rosˆngela Peregrina Sanchesa , Claudia Pio Ferreira1b e Roberto Andre Kraenkelc
a
a Programa de P´s Gradua¸˜o em Biometria, IBB, UNESP, Brasil
o ca
b Depto de Bioestat´ ıstica, IBB, UNESP, Brasil
c Instituto de F´ısica Te´rica - IFT, UNESP, Brasil
o
A c´lera ´ uma infec¸˜o intestinal aguda caracterizada por diarr´ia severa, cuja
o e ca e
´ ´
distribui¸˜o espacial abrange o sub-continente indiano, Asia, Africa e Am´rica Latina.
ca e
O agente etiol´gico ´ o Vibrio cholerae, o qual coloniza o intestino delgado e produz
o e
uma enterotoxina respons´vel pela doen¸a. Sem tratamento imediato um indiv´
a c ıduo
infectado podem morrer de desidrata¸˜o em quest˜o de horas. O tratamento reduz o
ca a
n´ mero de mortes para 1% dos casos diagn´sticados. No entanto, 50% dos indiv´
u o ıduos
infectados s˜o assintom´ticos e constituem uma importante fonte de infec¸˜o.
a a ca
A transmiss˜o pode ocorrer de duas formas, pelo contato direto com o vibri˜o via
a a
fezes contaminadas ou atrav´s do contato indireto com ´gua e/ou comida contaminada.
e a
Nas regi˜es onde a c´lera ´ endˆmica, sua dinˆmica exibe um ou dois picos anuais com
o o e e a
pronunciada variabilidade inter-anual. A ` semelhan¸a de outras doen¸as endˆmicas, os
c c e
surtos de c´lera est˜o associados a sazonalidade, a deteriora¸˜o do meio ambiente, a
o a ca
virulˆncia da bact´ria e a imunidade do indiv´
e e ıduo. Portanto, a intera¸˜o entre esses
ca
fatores determina a dinˆmica da c´lera em uma regi˜o espec´
a o a ıfica.
Uma tarefa dif´ na preven¸˜o desta doen¸a reside na concep¸˜o de alternativas
ıcil ca c ca
de baixo custo que s˜o eficazes e sustent´veis. O controle cl´ssico engloba melho-
a a a
rias no sistema de saneamento, tratamento da ´gua e campanhas de divulga¸˜o sobre
a ca
a transmiss˜o da doen¸a, as quais ressaltam a importˆncia da higiene pessoal e ali-
a c a
mentar no controle da c´lera. V. cholerae resistentes ao tratamento por antibi´ticos
o o
foram identificadas pela primeira vez no M´xico em 1991 e rapidamente se espalharam
e
pela Am´rica Central. Desde ent˜o, resistˆncia bacterial se tornou um problema na
e a e
preven¸˜o e controle da c´lera. Vacina¸˜o constitue uma op¸˜o real para o controle
ca o ca ca
da c´lera, entretando uma vacina efetiva e de baixo custo ainda n˜o foi desenvolvida.
o a
Efeitos colaterias, baixa eficiˆncia, alto custo, existˆncia de bact´rias resistentes e baixa
e e e
imunidade tornam as campanhas de vacina¸˜o impratic´veis. Por ultimo, a tendˆncia
ca a ´ e
global do aumento de viagens para regi˜es endˆmicas para a c´lera consititue um risco
o e o
para a dissemina¸˜o desta doen¸a para outras regi˜es.
ca c o
Um desafio impotante na epidemiologia da c´lera ´ explicar como os surtos podem
o e
ser t˜o explosivos e, ao mesmo tempo, limitados ao ponto de epidemias ocorrerem
a
duas vezes ao ano. Alguns trabalhos associam este fato a estados hiper-infecciosos da
1
pio@ibb.unesp.br
1

36. bact´ria, outros as infec¸˜es assintom´ticas e outros a fatores clim´ticos. A possibili-
e co a a
dade de que o V. cholerae possa sobreviver em ambientes aqu´ticos por meses ou anos,
a
em um estado vi´vel mas n˜o cultiv´vel, sugere ainda que o ambiente aqu´tico pode
a a a a
agir como um reservat´rio deste pat´geno em regi˜es endˆmicas.
o o o e
Neste trabalho ´ proposto um modelo de equa¸˜es diferenciais ordin´rias para a
e co a
dinˆmica de c´lera, com o objetivo de explorar e caracterizar o car´ter sazonal da
a o a
doen¸a e discutir poss´
c ıveis mecanismos de controle.
2

37. Titulo: Análisis y Control de Bifurcaciones Estacionarias.
M.C. David Baca Carrasco.
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
davidbc@hades.mat.uson.mx
davidbaca_12@hotmail.com
Resumen.
En los sistemas biológicos se presentan con mucha frecuencia diversos tipos de bifurcaciones, las cuales
tienen una interpretación de acuerdo al modelo que las presenta. Por otro lado, el control de
bifurcaciones se refiere a la tarea de designar un control que pueda modificar las propiedades de la
bifurcación de un sistema dado, así como alcanzar algún comportamiento deseable en la dinámica.
Los objetivos típicos del control de bifurcaciones incluye el retraso del inicio de una bifurcación
inherente introduciendo una nueva bifurcación en un valor de parámetro deseado; cambiando el valor
del parámetro en un punto de bifurcación existente; modificando la forma o el tipo de una bifurcación
en cadena; estabilizando una solución bifurcada o rama; monitoreando la multiplicidad; amplitud y/o
frecuencia de algunos ciclos límite que emergen de bifurcaciones; optimizando el funcionamiento del
sistema cerca de un punto de bifurcación, o una combinación de alguno de estos objetivos.
En el trabajo que a continuación se presenta, se hace un estudio sobre el análisis y el control de las
bifurcaciones estacionarias: silla‐nodo, transcrítica y trinche. Así mismo, se presentan algunas
aplicaciones a modelos biológicos.

38. Simulation of Calcium Oscillations and the Electrical Activity of
the Pancreatic β Cells During an Oral Glucose Tolerance Test
´
Roberto Avila-Pozos 1 , J. Azpiroz Leehan 2 , H. Trujillo 2 and J.R. God´ 2,∗
ınez
´
1. Area Acad´mica de Matem´ticas y F´
e a ´
ısica, UAEH, Pachuca, Hgo., MEXICO
2. Departamento de Ingenier´ El´ctrica, UAM-Iztapalapa, M´xico, D.F., MEXICO
ıa e e ´
∗
e-mail: ravila@uaeh.edu.mx
Introduction
The Type 2 Diabetes Mellitus constitutes a serious problem of public health. For a precise
diagnosis of the diabetes, a denominated Oral Glucose Tolerance test is made. Diabetes
Mellitus is diagnosed when the levels of the glucose concentration in the blood exceed a
certain limit after ingesting a standard glucose load. This excess in the glucose concentration
in the blood is caused fundamentally by an insufficient liberation of the insulin, released by
the pancreatic β-cells. Electrophysiological studies of the β-cells have shown the mechanisms
by which the insulin is secreted to the circulatory torrent. The β-cells store the insulin in
packages, and when the glucose concentration in blood arises, the insulin is released by
exocytosis. So that the exocytosis process goes off is required as well of a pulsating elevation
of the concentration of the intracellular Ca++ ([Ca++ ]). The source of Ca++ comes from
i
the extracellular medium, and enter to the β-cell via voltage dependent Ca++ channels
[1, 6]. The pulsating elevation of the [Ca++ ] in the β-cell is product of the burst of electrical
i
activity, that consists of action potentials over a depolarized plateau [2, 6]. The action
potentials are generated by currents of Ca++ that increase the [Ca++ ] [1, 7]. When the
i
glucose concentration is in its basal level, the β-cells shown a resting potential without
electrical activity. The resting potential is mediated by K+ channels, such as the KAT P
channels. KAT P channels are open in absence of ATPi and they close on depending by the
concentration of intracellular ATPi ([ATPi]) [9]. When [glucose] in blood is increased, and
introduces into the β-cells causing an increase in the basal level of ATPi [1], which diminishes
the fraction of opened KAT P channels, depolarized the cell [9]. This depolarization reaches
a level threshold that generates burst of action potentials with the consequent pulsating
elevation of Ca++ and insulin liberation [7]. Electrophysiological techniques have contributed
i
to a detailed description of the voltage dependence and the kinetic of the ionic channels in
the β-cells, which has allowed to formulate equations that describe their behavior. Also,
has been reported functions that describe the behavior of KAT P channels with respect to
[ATPi ] [7]. Furthermore, experimental graphs offer information about the temporary course
of the increase on ATPi before an extracellular glucose load. In this work, we described the
simulation of the electrical activity of the β-cells induced during an oral glucose tolerance test
in normal subjects. The model describes the glucose level in blood, the increase of associated
ATPi , the burst of action potentials and the pulsating elevation of Ca++ indispensable for
i
the liberation of insulin. The model reproduces experimental data at systemic and cellular
level. The model predicts a basal level of optimal ATPi for a suitable electrical answer before
an extracellular glucose load. This could indicate that the alteration in the basal level of
ATPi can be one of the mechanisms that generate Type 2 Diabetes Mellitus.

39. Methods
Simulations were developed in MatLab v.7 (The MathWorks, Inc.). For the quantitative
description of [glucose] in blood during the oral glucose tolerance test, we used the model
developed by Trujillo [8]. Mathematical model for the description of the electrical activity
of the β-cells was taken from Godinez [6], that is a modified version of Chay [4, 3, 5] which
describes the electrical properties of the β-cells and also considere the changes in [Ca++ ]. To
i
this model, we incorporate the change in the membrane resistance generated by the action of
the glucose, for which the mathematical description reported by Fridlyand [7] was used. The
model completed when incorporating the increase of the ATPi according to the extracellular
glucose levels, for which the data published by Ainscow [1] were used. To the experimental
graph of the temporary course of the change in the basal level of ATPi that reports these
authors, we fit an exponential function with time constant of 100 seconds.
Results
We simulate the electrical activity of a β-cells in absence of extracellular glucose (not shown);
the membrane potential VM is greater than -50 mV and the concentration of Ca++ was 150i
nM.
Fig 1A, shows the results obtained at the beginning of the OGTT after a glucose load. At
t=0 with normal glycemia, the β-cells are silent but show a reduction in the resting potential
and increases the basal level of Ca++ .
i
At t=60 min, when the maximum glucose is reached (Fig 1B), burst activity causes a depo-
larization. Associated to this type of electrical activity, an increase in the Ca++ is induced.
i
The level average of the Ca++ was increased and it was accompanied by oscillations at the
i
end of each burst of action potentials.
Discussion
Several models have seen used to describe the electrical activity of pancreatic β-cells. Each
one of them makes emphasis in some topic related to some recent experimental finding. Nev-
ertheless, there is not a model of the electrical activity and the changes in [Ca++ ] in terms of
i
the values of [glucose] in blood. The electrophysiological studies at cellular level report a de-
polarization and increase in the electrical activity of the β-cells when increasing extracellular
glucose. Our model reproduces these results. Due the importance of the oscillation of Ca++ i
in the pulsating insulin liberation, diverse mechanisms have seen proposed to explain the
transitory of Ca++ . Our results indicate that the increase average of the ATPi induced by
i
hiperglycemia, is the factor generates burst of action potentials and the oscillating increase
of the Ca++ is product of the activation and inactivation of ionic channels. In addition, basal
i
[ATPi ] is critical for a suitable induction of the insulin release in response to an increase of
glucose.

40. Figure 1: A. Reduction of resting potencial (top), increase of Ca++ (bottom) due an increase in
i
blood glucose (5 mM) in oral glucose tolerance test at t=0 min. B. Burst of action potential (top),
oscillations in Ca++ (bottom) at maximum glycemia (15 mM), 60 min after a glucose load.
i
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42. Manejo óptimo de un recurso pesquero
considerando un área marina protegida
Jaime Huincahue-Arcos y Eduardo González-Olivares
Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias
Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso
email: jhuincahuearcos@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl
http://ima.ucv.cl
Julio 2009
1 INTRODUCCIÓN
En este trabajo analizamos el comportamiento de modelos determinista tiempo
continuo considerando la optimización del manejo de un recurso pesquero [3, 4].
Se asume que la población está dividida en dos áreas separadas espacialmente:
una parte de la población se desarrolla en una zona marina protegida (MPA)
[2, 6, 11] y otra está en una zona donde se efectúa la pesca o explotación del
recurso en acceso abierto [5].
Si se establece prohibición de explotación en el área protegida se transforma
en una reserva marina [12, 14, 17], la puede asumirse como un refugio de la
especie explotada [9, 16]. Si la población se reproduce sólo en la reserva marina
se tiene un modelo fuente-sumidero, en el cual el área marina protegida se puede
considerar como la fuente y el área de explotación como un sumidero [1, 13].
En este trabajo consideraremos que existe un ‡ de población sólo desde la
ujo
zona protegida hacia la zona de libre explotación, pero también podría consider-
arse un ‡ en ambos sentidos, dejando de ser así un modelo fuente-sumidero.
ujo
Uno de los objetivos del trabajo será la determinación de la política de
captura optimal de la industria pesquera considerando que se debe maximizar
el valor presente de las ganancias netas de la industria.
Se efectuarán comparaciones de los resultados obtenidos en modelos sin reser-
vas marinas o con los resultados obtenidos para modelos diferentes [1, 2, 6].
2 EL MODELO
El modelo a analizar es descrito por el sistema bidimensional de ecuaciones
diferenciales no lineales autónomo
1

43. (
dx1 x1 m x1
dt = r1 1 K x1 x1 + a x1 q1 x1 E1
X : dx2 x2 m x1 (1)
dt = r2 1 L x2 + x1 + a x1 q2 x2 E2
donde x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) son los tamaños poblacionales de las pobla-
m x
ciones fuente y sumidero, respectivamente, la función m (x1 ) = x1 +1 a es la
función de migración, h (xi ) = qi xi Ei con i = 1; 2, indica la función de captura
o extracción y el crecimiento de la población explotada es del tipo logístico,
dejando de ser un sistema del tipo Kolmogorov [7, 8].
Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r1 ; K; m; a; q1 ; s; L; r2 ; q2 ) 2
R9 y tienen diferentes signi…cados ecológicos.
+
Si se considera q1 = 0, el sistema representa un modelo de reserva marina
en la cual no es permitida la pesca, mientras que si 0 < q1 E1 < q2 E2 , el sistema
representa un modelo de extracción en áreas marinas protegidas, es decir, en
la primera podría ser destinada a pesquería artesanal o de orilla, y la segunda
representar una pesquería de alta mar, representando una pesquería no selectiva
del recurso.
2.1 EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
Para establecer la determinación de la política de captura optimal de la industria
pesquera se buscará maximizar el valor presente de la industria descrito por el
funcional de costo o índice de desempeño [10, 15]
Z 1
J= e t (x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) dt (2)
0
donde
(x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) = p1 q1 x1 E1 c1 E1 + p2 q2 x2 E2 c2 E2 ,
es la ganancia neta de la industria.
Usando el Principio del Máximo de Pontryagin [3] se deberá obtener el
Hamiltoniano con el objeto de determinar la política optimal. Posteriormente
se mostrarán algunas simulaciones para evidenciar los resultados obtenidos.
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