1. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ ΩΣ
ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗΣ
ΚΙΝΔΥΝΩΝ
ΣΟΥΛΙΩΤΗΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ (Σ11168)
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ

2. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ
Σύμφωνα με πηγές, η Κατανομή Γάμμα επινοήθηκε από τον Karl Pearson. Η
Συνάρτηση Γάμμα ,η οποία είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό της
κατανομής, εμφανίστηκε στο χώρο της Θεωρίας και των Πιθανοτήτων στα
μέσα του 18ου
αιώνα, από τον μαθηματικό Leonard Euler. Σκοπός της
συνάρτησης ήταν,αρχικώς, μια γενίκευση της παραγοντικής συνάρτησης για
μη-ακέραιους αριθμούς.
Στη θεωρία Πιθανοτήτων, η κατανομή Γάμμα είναι μια διπαραμετρική
οικογένεια κατανομών. Υπάρχουν 3 δυνατές παραμετροποιήσεις της
κατανομής:
1. Παράμετρος σχήματος α και παράμετρος κλίμακας β
2. Παράμετρος σχήματος α και αντίστροφη παράμετρο κλίμακας θ=1/β
3. Παράμετρος σχήματος α και παράμετρος μέσης τιμής μ=α/β
(Στα πλαίσια της συγκεκριμένης εργασίας θα γίνει χρήση της 1ης
παραμετροποίησης)
 Στην ειδική περίπτωση όπου το α είναι Φυσικός Αριθμός, τότε η
κατανομή καλείται Κατανομή Erlang (συνήθως, αυτό προκύπτει από
άθροισμα α Εκθετικών Κατανομών με παράμετρο β)
 Στην ειδική περίπτωση που το α ισούται με 1, τότε η Κατανομή Γάμμα
με παραμέτρους α=1 και β=θ είναι Εκθετική Κατανομή με παράμετρο
θ.
 Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ που ακολουθεί την κατανομή
Γάμμα(α=ν/2,β=1/2), ταυτίζεται με την κατανομή Χ2
(ν)
Εαν μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθέι την κατανομή Γάμμα,
τότε η συνάρτηση πυκνότητας-πιθανότητας (Probability-Density Function)
της Χ θα είναι:
𝑓( 𝑥) =
𝛽 𝛼
𝛤(𝛼)
𝜒 𝛼−1
𝑒−𝛽𝜒

3. Όπου Γ(α) η συνάρτηση Γάμμα, η οποία ορίζεται ως:
𝛤( 𝛼) = ∫ 𝜒 𝛼−1
𝑒−𝜒
𝑑𝑥
∞
0
Η Συνάρτηση Γάμμα, παρουσιάζει κάποιοες πολύ σημαντικές ιδιότητες, που
καθιστούν τον υπολογισμό της μια εύκολη διαδικασία. Μερικές από αυτές
είναι:
 𝛤( 𝑛) = ( 𝑛 − 1)!, 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝑛 𝛷𝜐𝜎𝜄𝜅ό 𝛢𝜌𝜄𝜃𝜇ό
 𝛤(1) = 1
 𝛤( 𝑡 + 1) = 𝑡𝛤(𝑡)
 𝛤 (
1
2
) = √ 𝜋
Να σημειωθεί πως δεν υπάρχει κλειστός τύπος για τον υπολογισμό της
συνάρτησης κατανομής (Cumulative-Density Function) της Κατανομής
Γάμμα για μη ακέραιες τιμές του α.
Η ροπογεννήστρια συνάρτηση ΜΧ(t) ορίζεται ως
Μχ(t) = (
𝛽
𝛽 − 1
) 𝛼
ενώ η μέση τιμή της κατανομής Γάμμα ορίζεται ως:
𝛦( 𝜒) = ∫ 𝜒𝑓( 𝜒) 𝑑𝑥 = ∫ 𝜒
𝛽 𝛼
𝛤(𝛼)
∞
0
𝜒 𝛼−1
∞
0
𝑒−𝛽𝜒
𝑑𝑥 =
𝛼
𝛽
και η διακύμανση της κατανομής είναι η:
𝑉( 𝜒) =
𝛼
𝛽2
Η Κατανομή Γάμμα βρίσκει πολλές εφαρμογές σε πολλές επιστήμες και
πεδία. Πιο συγκεκριμένα:
 Στην Αναλογιστική επιστήμη, όπου μοντελοποιούνται οι απαιτήσεις
ενός χαρτοφυαλακίου μιας ασφαλιστικής εταιρίας

4.  Στις Νευροεπιστήμες (και στον νεοσύστατο κλάδο της
Νευροστατιστικής), όπου χρησιμοποιείται για την περιγραφή των
χρόνων απόκρισης των νευρώνων
 Στη Γενετική, χρησιμοποιείται στην περιγραφή της βακτηριακής
έκφρασης ενός γονιδίου (όπου η παράμετρος α δηλώνει τον μέσο
αριθμό εκρήξεων αν κύκλο και το β το μέσο αριθμό πρωτεϊνών που
παράγονται από ένα mRNA)
 Στη Θεωρία Ουρών, όπου χρησιμοποιείται σαν μοντέλο για την
περιγραφή ουρών αναμονής
 Στη Μπεϋζιανή Στατιστική, αφού χρησιμοποιείται ως εκ των
προτέρων κατανομή (prior distribution) σε μοντέλα όπου η εκ των
υστέρων κατανομή (posterior distribution) είναι κατανομή Poisson ή
Γάμμα
 Στη Στατιστική Υδρολογία,όπου παρέχει πληροφορίες για το ύψος
των βροχοπτώσεων (σχετικό παράδειγμα θα δοθεί στη συνέχεια)
Περιγραφή του κινδύνου
Σε πολλές χώρες της Αφρικής παρατηρούνται συχνά φαινόμενα λειψυδρίας
που δημιουργούν τεράστια προβήματα στις τοπικές κοινωνίες. Έτσι, γίνεται
προσπάθεια να γίνει μια μοντελοποίηση αυτού του φαινομένου, με σκοπό
την καλύτερη αξιοποίηση του νερού, τόσο για πόση, όσο και για αρδευτική
χρήση. Γι αυτό, οι αναλυτές του συγκεκριμένου κινδύνου χρειάζεται να
κατανοήσουν βαθύτερα το εύρος και τη συχνότητα εμφάνισης των
βροχοπτώσεων που θα προκύψουν. Κατάλληλα στατιστικά μοντέλα, με
δεδομένα διαφόρων περιόδων, είναι πολύ χρήσιμα εργαλεία στα χέρια των
αναλυτών.
Η τυπική προσέγγιση, έτσι ώστε να πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες
για τα κατά τόπους επίπεδα των βροχοπτώσεων, είναι μέσα από τα
ιστορικά στοιχεία των βροχοπτώσεων. Αυτά τα στοιχεία βοηθούν τους
αναλυτές του κινδύνου να έχουν μια γενικά ιδέα για το ύψος, το χρόνο και
το χώρο των βροχοπτώσεων. Σύνηθες φαινόμενο αποτελεί (ορισμένες
φορές) η έλλειψη στοιχείων κάποιων περιοχών , λόγο μη ακριβούς ή
ημιτελούς έρευνας.
Με όσα στοιχεία διαθέτει ο αναλυτής, και με τη χρήση των κατάλων
παραμετρικών στατιστικών μοντέλων, μπορεί να εκτιμήσει την ένταση της

5. βροχόπτωσης. Αυτό μπορεί να γίνει σε ημερήσια, μηνιαία ή ετήσια βάση,
ανάλογα με τα δεδομένα που έχει συλλέξει. Ως καταλληλότερο μοντέλο1
για
την περιγραφή του συγκεκριμένου κινδύνου, έχει αποδειχθεί η Κατανομή
Γάμμα.
Η Κατανομή Γάμμα ως μοντέλο εκτίμησης του
κινδύνου της λειψυδρίας (Αριθμητική Εφαρμογή)
Με την προϋπόθεση πως έχει γίνει η συλλογή των απαραίτων δεδομένων, ο
αναλυτής θα ξεκινήσει την αξιοποίηση τους με σκοπό να εξάγει χρήσιμα
συμπεράσματα. Το 2014, κατά μέσο όρο, σημειώθηκαν τα εξής ύψη
βροχοπτώσεων (σε mm) κάθε μήνα, στην πόλη Johannesburg.
4 , 6 , 27 , 7 , 11 , 103 , 125 , 94, 90 , 54 , 13 , 9
Για να γίνει χρήση του μοντέλου της Γάμμα Κατανομής, πρέπει πρώτα να
εκτιμηθούν οι παράμετροι α και β,μέσα από τα διαθέσιμα δεδομένα. Με τη
χρήση των μεθόδων Μέγιστης Πιθανοφάνειας2
, οι εκτιμήσεις για τα α και β
είναι οι εξής:
α=0.7532 & β=60.0723
Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή η οποία περιγράφει το ύψος της βροχόπτωσης
που σημειώθηκε στην περιοχή του Johannesburg το 2014. Έτσι, σύμφωνα με
τα παραπάνω στοιχεία:
𝛸~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝛼 = 0.7532 , 𝛽 = 60,0723)
Το ιστόγραμμα της συγκεκριμένης κατανομής είναι:
1
Η συγκεκριμένη κατανομή, προτιμάται από παρόμοιες κατανομές με βαριά δεξιά ουρά
(Weibull, Lognormal) λόγω της απλότητας των υπολογισμών της
2
Οι υπολογισμοί παραλείπονται για λόγους πρακτικότητας

6. Να σημειωθεί πως το ιστόγραμμα είναι παρόμοιο με το ιστόγραμμα της
Εκθετικής Κατανομής με παράμετρο β=60,0723. Αυτό συμβαίνει λόγω του
ότι η παράμετρος α προσεσεγγίζει τη μονάδα.
Σύμφωνα με σχετικές μελέτες, το ιδανικό ύψος βροχόπτωσης (έτσι ώστε να
μην σημειωθεί ούτε πρόβλημα έλλειψης, αλλά ούτε και πρόβλημα
υπερχείλησης) για κάποιν συγκεκριμένο μήνα είναι μεταξύ 40 και 100
mm/μήνα.
Έτσι, η πιθανότητα ένας μήνας του επόμενου έτους να παρουσιάσει
λειψυδρία είναι:
𝑃( 𝑋 ≤ 10) = 𝐹(10) = 0.2625 = 26.25%
Αντίθετα, η πιθανότητα να υπάρξει βροχή μεγαλύτερης έντασης από ότι
μπορούν τα τοπικά συστήματα ύδρευσης να αντέξουν είναι:
𝑃( 𝑋 > 100) = 1 − 𝐹(100) = 0.1237 = 12.37%
Η συνολική πιθανότητα ακραίων ενδεχομένων στην περιοχή, είναι:
𝑃( 𝑋 ≤ 10) + 𝑃( 𝑋 > 100) = 0.2625 + 0.1237 = 0.3862 = 38.62%
Το συμπέρασμα από την παραπάνω μοντελοποίηση είναι ότι μέσα στον
επόμενο χρόνο, (περίπου) 1 στους 3 μήνες θα παρουσιάσουν κάποιο ακραίο
φαινόμενο λειψυδρίας ή έντονης βροχόπτωσης. Αυτό δίνει τη δυνατότητα
στις τοπικές αρχές να πράξουν αναλόγως και να κατασκευάσουν τα
απαραίτητα μέτρα, έτσι ώστε να εξαλειφθεί εντλώς ο κίνδυνος.

7. Αναφορές-Βιβλιογραφία
 Wikipedia.org
 Use of the gamma distribution to represent monthly rainfall
In Africa for drought monitoring applications, Gregory J. Husak, Joel
Michaelsen and Chris Funk, 2005
 Johannesburg.climatemps.com