Bài 6 sự tương giao

1. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 57 -
2
2

+ 
+
+ 0
0
2
1 + 
∞
f (x)
f '(x)
x

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Cho hai đồ thị ( ) : ( )
C y f x và ( ) : ( )
C y g x
 Phương trình hoành độ giao điểm của ( )
C và ( )
C là ( ) ( ) ( )
f x g x
 Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng với số giao điểm của ( )
C và ( )
C .
 ( )
C và ( )
C cắt nhau tại 0 0
0 0
0 0
( )
( ; )
( )
y f x
M x y
y g x
Ví dụ: Cho đường cong 3
( ) : 2 1
C y x x và đường thẳng : 1
d y x có đồ thị như hình bên.
a) Dựa vào đồ thị xác định tọa độ giao điểm của ( )
C và d .
b) Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm xác định tọa độ
giao điểm của ( )
C và d .
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Ví dụ 1.1: Cho hàm số ( )
f x có bảng biến thiên như bên. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình
2 ( ) 3 0
f x .
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO – GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ( ) 0 ( )
af x b
 Bước 1: Phương trình ( ) ( )
b
f x
a
 Bước 2: Số nghiệm của phương trình ( ) là số giao điểm của đường cong ( ) : ( )
C y f x và
đường thẳng :
b
d y
a
(cùng phương trục hoành).

2. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 58 -
+  + 
1
3
2
1 0 1
 + 
y
x
3
2
1
x
y
O
Ví dụ 1.2: Cho hàm số ( )
f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình
4 ( ) 3 0
f x .
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Ví dụ 1.3: Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như bên. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương
trình 3 ( ) 2 0
f x .
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Ví dụ 1.4: Cho hàm số ( )
f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình
( ) 4 0
f x ?
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Ví dụ 1.5: Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình
2 ( ) 5 0
f x ?
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Ví dụ 1.6: Cho hàm số 3 2
( ) ( , , , )
f x ax bx cx d a b c d  có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số
nghiệm thực của phương trình 3 ( ) 10 0
f x ?
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
x
y
1
1 1
O


x
y'
y
 + 
2 2
0 0
+ +
1
0
0
3
3
x
y
O
1
1

3. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 59 -
1
O
2 1
y
x
Ví dụ 2.1: Xác định tọa độ các giao điểm (nếu có) của đồ thị hàm số 3
3 1
y x x với trục hoành?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 2.1: Xác định tọa độ các giao điểm (nếu có) đồ thị hàm số 4 2
5 4
y x x với trục Ox ?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 2.3: Gọi ,
M N là các giao điểm của đường thẳng 4 5
y x với đồ thị hàm số 3 2
4 5
y x x
Tính độ dài đoạn thẳng MN ?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 2.4: Gọi A và B là giao điểm của đường cong
7 6
2
x
y
x
và đường thẳng 2
y x . Tìm hoành
độ trung điểm I của đoạn AB ?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 2.5: Cho 2
( ) :
P y x và đồ thị hàm số 3 2
2
y ax bx cx (hình vẽ). Tính giá trị biểu thức
3 5
P a b c .
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ ( )
y f x VÀ ( )
y g x
 Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 0
f x g x f x g x
 Bước 2: Hai đồ thị cắt nhau tại 0 0
0 0
0 0
( )
( ; )
( )
y f x
M x y
y g x

4. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 60 -
Ví dụ 3.1: Cho hàm số ( )
y f x , liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Dựa vào đồ thị hàm số
( )
y f x , biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình ( ) 2 1
f x m .
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Ví dụ 3.2: Cho hàm số ( )
y f x , liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình ( ) 2 3 0
f x m .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 3.3: Giải và biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 3 2
3 1 0
x x m .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
3 3
+ 
0
0
5
+ 
+
+ 0
0
1
1 + 

y
y'
x
DẠNG 3: BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ( , ) 0
f x m
 Bước 1: Phương trình ( , ) 0 ( ) ( ) ( )
f x m f x g m
 Bước 2: Số nghiệm của phương trình ( ) là số giao điểm của đồ thị ( ) : ( )
C y f x và đường
thẳng ( ) : ( )
d y g m (đường thẳng cùng phương với trục Ox ).
O
x
y
1
1
1

5. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 61 -
y
x
O
2
2
1
2


x
y'
y
 + 
1 1
0 0
+ +
0
0
0
2
2
C. DẠNG TOÁN NÂNG CAO:
Ví dụ 4.1: (THPT 2019) Cho hàm số bậc ba ( )
y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của
phương trình 3 2
( 3 )
3
f x x ?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 4.2: (Minh họa 2020) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau:
Tìm số nghiệm thuộc đoạn
5
[0; ]
2
của phương trình (sin ) 1
f x ?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP

6. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 62 -
y
x
O
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1. (Minh họa 2020) Cho hàm số ( )
f x có bảng biến
thiên như sau. Số nghiệm thực của phương trình
3 ( ) 2 0
f x là
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1.
Câu 2. (Minh họa 2020) Cho hàm số bậc bốn ( )
y f x có đồ thị trong hình
bên. Số nghiệm của phương trình ( ) 1
f x là
A. 3 .
B. 2 .
C. 1.
D. 4 .
Câu 3. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có bảng biến
thiên như sau. Số nghiệm thực của phương trình
2 ( ) 3 0
f x là
A. 2 .
B. 1.
C. 4 .
D. 3 .
Câu 4. (THPT QG 2018) Cho hàm số 3 2
( ) ( , , , )
f x ax bx cx d a b c d  . Đồ thị của hàm số
( )
y f x như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 ( ) 4 0
f x là
A. 0 .
B. 2 .
C. 1.
D. 3 .
Câu 5. Cho hàm số ( )
f x có bảng biến thiên như sau. Số
nghiệm thực của phương trình ( ) 4
f x là?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1.
Câu 6. (THPT QG 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số 4 2
y ax bx c , với , ,
a b c là
các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình 0
y vô nghiệm trên tập số thực.
B. Phương trình 0
y có đúng một nghiệm thực.
C. Phương trình 0
y có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
D. Phương trình 0
y có đúng ba nghiệm thực phân biệt.
x
y
O
2
2
1
3
0
1

+ 
+
+ 0
0
3
2 + 
∞
y
y'
x


x
y'
y
 + 
2 2
0 0
+ +
1
0
0
3
3
x
2
2
y
2
O

7. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 63 -
O
1
1
1
y
x
Câu 7. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x bảng biến
thiên như sau. Số nghiệm thực của phương trình
2 ( ) 3 0
f x là
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
D. 2 .
Câu 8. (THPT QG 2018) Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên [ 2;2] và có
đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 ( ) 4 0
f x
trên đoạn [ 2;2] là
A. 4 .
B. 3 .
C. 1.
D. 2 .
Câu 9. (THPT QG 2018) Cho hàm số 4 2
( ) ( , , )
f x ax bx c a b c  . Đồ thị của hàm số ( )
y f x như
hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 4 ( ) 3 0
f x là
A. 2 .
B. 0 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 10. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có bảng
biến thiên như sau. Số nghiệm thực của phương trình
2 ( ) 3 0
f x là
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Câu 11. (THPT QG 2017) Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên đoạn [ 2;4]
và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
3 ( ) 5 0
f x trên đoạn [ 2;4] là
A. 2 .
B. 1.
C. 0 .
D. 3 .
Câu 12. Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau. Số nghiệm của phương trình ( ) 2 0
f x là
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1.
x
f '(x)
f (x)
 + 
1 2
0 0
+
+

1
2
y
3
x
2
1
1
1
2 O
2
2

+
+
+ 0
0
2
1 +

f (x)
f '(x)
x
2
2
3
O 2
1
x
4
6
y
2
4

+
+
+ 0
0
3
1 +

f (x)
f '(x)
x

8. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 64 -
Câu 13. (THPT QG 2017) Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả
các giá trị thực của tham số m để phương trình ( )
f x m có bốn nghiệm thực phân biệt.
A. 1
m .
B. 0
m .
C. 0 1
m .
D. 0 1
m .
Câu 14. Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như
sau. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
( ) 0
f x m có ba nghiệm phân biệt là
A. (4; ).
B. ( ; 2).
C. [-2;4].
D. ( 2;4).
Câu 15. Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
2 ( ) 3 0
f x m có 4 nghiệm phân biệt ?
A. 6 .
B. 7 .
C. 5 .
D. 4 .
Câu 16. (Minh họa 2017) Cho hàm số 3
3
y x x có đồ thị ( )
C . Số giao điểm của ( )
C và trục hoành là
A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .
Câu 17. (Minh họa 2017) Biết rằng đường thẳng 2 2
y x cắt đồ thị hàm số 3
2
y x x tại điểm
duy nhất; kí hiệu 0 0
( ; )
x y là tọa độ của điểm đó. Tìm 0
y ?
A. 0
4
y . B. 0
0
y . C. 0
2
y . D. 0
1
y .
Câu 18. Cho hàm số 4 2
3
y x x có đồ thị ( )
C . Số giao điểm của đồ thị ( )
C và đường thẳng 2
y là
A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 4 .
Câu 19. Số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2
5 4
y x x với trục hoành là
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 20. Biết rằng đồ thị hàm số 3 2
2
y x x x và đồ thị hàm số 2
5
y x x cắt nhau tại
điểm duy nhất có tọa độ 0 0
( ; )
x y . Tìm 0
y ?
A. 0
0
y . B. 0
4
y . C. 0
1
y . D. 0
3
y .
Câu 21. Đường thẳng 2 1
y x có bao nhiêu điểm chung với đồ thị hàm số
2
1
1
x x
y
x
.
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 22. Số giao điểm của đường thẳng 2
y x và đường cong 3
2
y x là
A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .
Câu 23. Biết đường thẳng 3
y x cắt đồ thị
2 1
2
x
y
x
tại hai điểm phân biệt ,
A B có hoành độ lần
lượt là ,
A B
x x , tính tổng A B
x x .
A. 7
A B
x x . B. 6
A B
x x . C. 5
A B
x x . D. 7
A B
x x .
Câu 24. Số giao điểm của đường thẳng 2
y x và đường cong 3
2
y x là
A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .
O
1
1
1
y
x
2
4

+
+
+ 0
0
3
1 +

f (x)
f '(x)
x

9. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 65 -
Câu 25. Số giao điểm của đồ thị hàm số
5
1
x
y
x
và đường thẳng 2
y x là
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .
Câu 26. Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
A.
3 2
1
x
y
x
. B.
2 3
3 1
x
y
x
. C.
4 1
2
x
y
x
. D.
4
1
x
y
x
.
Câu 27. Biết rằng đồ thị hàm số 3 2
2 5 3 2
y x x x chỉ cắt đường thẳng 3 4
y x tại một điểm
duy nhất ( ; )
M a b . Tổng của a b bằng
A. 6 . B. 3 . C. 6 . D. 3 .
Câu 28. Số giao điểm của đường cong 3
( ) : 2 1
C y x x và đường thẳng : 1
d y x là
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 29. Cho hàm số 3 2
2 2
y x x x có đồ thị ( )
C và parabol 2
6 4 4
y x x có đồ thị ( )
P .
Biết ( )
C cắt ( )
P tại một điểm duy nhất. Kí hiệu 0 0
( ; )
x y là tọa độ điểm đó. Tính giá trị biểu thức 0 0
x y .
A. 1. B. 1 . C. 22 . D. 4 .
Câu 30. Biết đường thẳng : 2
d y x cắt đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
tại hai điểm phân biệt A và B
có hoành độ lần lượt là A
x và B
x . Giá trị của biểu thức A B
x x bằng
A. 5. B. 1. C. 3 . D. 2 .
Câu 31. Gọi ,
A B là các giao điểm của đồ thị hai hàm số
3
x
y
x
và y x . Độ dài AB là
A. 26 . B. 2 13 . C. 13 . D.
7
2
.
Câu 32. Cho hàm số 4 2
6 3
y x x có đồ thị ( )
C . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )
C tại điểm A (có
hoành độ 1
A
x ) cắt đồ thị hàm số ( )
C tại điểm B (B khác A ). Tọa độ điểm B là
A. (0; 3). B. ( 3;24). C. ( 1; 8). D. (3;24).
Câu 33. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 2
2 3 12 2 1 0
x x x m có ba
nghiệm phân biệt là
A.
21
3;
2
. B.
21
3;
2
. C. 3; . D.
21
;
2
.
Câu 34. Cho hàm số 4 2
( ) 4 8 1
f x x x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình
( )
f x m có đúng hai nghiệm phân biệt.
A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 35. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 2
2 3 2 1
x x m có
đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng
A.
1
2
. B.
3
2
. C.
5
2
. D.
1
2
.
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình 2
2 2 2 4 2 3 0
x x x m
có nghiệm.
A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 37. Cho hàm số 3
( ) 3 1
f x x x . Số nghiệm của phương trình 3
[ ( )] 3 ( ) 1 0
f x f x là
A. 1. B. 6 . C. 5 . D. 7 .

10. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 66 -
y
x
O
2
2
1
2
Câu 38. (THPT 2019) Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của
phương trình 3 4
( 3 )
3
f x x ?
A. 7 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 8 .
Câu 39. Cho hàm số ( )
y f x , liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình
2 (sin ) 1 0
f x trên đoạn
5
;
2 2
là
A. 6 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 3 .
Câu 40. Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau.
Số nghiệm của phương trình
4 2
(3 6 1) 1
f x x là
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 3 .
Câu 41. Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm
thuộc đoạn [ ;2 ] của phương trình 2 (2 | sin |) 1 0
f x là
A. 6 .
B. 2 .
C. 8 .
D. 12 .
Câu 42. Cho hàm số ( )
y f x là hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Số
nghiệm thuộc đoạn [0;3 ] của phương trình
3 1
2 sin 1 0
2 2
f x là
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .
Câu 43. Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau.
Số nghiệm thuộc đoạn [ ;2 ] của phương trình
2 | (sin ) | 3 0
f x là
A. 6 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 8 .
( )
y f x
O
x
1
1
1
1
y
1
2

+
+
+ 0
0
1
2 +

f (x)
f '(x)
x
O
x
y
2
1
1
1
3
2 2
+
0
0
1
+
+
+ 0
0
1
1 +

y
y'
x