Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7
1
Ngày soạn : 16/1/2012
Buổi 1
Đề khảo sát
Cõu 1: a, cho A = 4 + 22
+ 23
+ 24
+ … + 220
Hỏi A có chia hết cho 128 không?
b, Tính giá trị biểu thức
104.2
65.213.2
10
1212

+ 49
1010
2.3
5.311.3 
Bài 2 : a, Cho A = 3 + 32
+ 33
+ …+ 32009
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục
bằng trung bình cộng của hai chữ số kia
Bài 3 : Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,
ƯCLN của chúng bằng 6.
Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ;
OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .
So sánh AB với AC
Hướng dẫn chấm
Bài Hướng dẫn chấm Điểm
1
a, 2A – A = 221
 27
A 128
b, =
104.2
78.2
10
12
+
16.3
16.3
9
10
= 3 + 3 = 6
0.5
0.5
0.5
0.5
2
a, Tìm được n = 2010
b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b +
c  9 và
1
0.5

2
2b = a + c nên 3b  9  b  3 vậy b  9;6;3;0
abc  5  c 5;0
Xét số abo ta được số 630
Xét số 5ab ta được số 135 ; 765
0.5
3
P có dạng 3k + 1; 3k + 2 kN
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
p = 3k + 1  p + 8 = 3k + 9  3
 p + 8 là hợp số
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Gọi 2 số phải tìm là a và b ( ab) ta có (a,b) = 1 nên
a = 6a/
b= 6b/
trong đó (a/
,b/
) = 1 ( a,b,a/
,b/
N)
 a/
+ b/
= 14
a/
1 3 5
b/
13 11 9
a 6 18 30
b 78 66 54
0.5
0.5
1
5
Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6)
nên điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB – OA
AB = 6 – 4 = 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 )
nên điểm A năm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm)
Vậy AB > AC ( 2 >1)
0.5
0.5
0.5
0.5
xO BC A

3
Ngày soạn : 23/1/ 2012
Buổi 2:
Ôn tập số hữu tỉ số thực
Phần 1: Lý thuyết
1. Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ
Với x=
a
m
, y=
b
m
( a,b,m Z m 0 )
a b a b
x y
m m m
a b a b
x y
m m m

   

   
, ( 0)
.
. .
.
.
: : .
.
a c
x y y
b d
a c a c
x y
b d b d
a c a d a d
x y
b d b c b c
  
 
  
2,Giá tri tuyệt đối của một số hữu tỉ
+/ Với x Q Ta có
 x neỏu x  0
x = 
 -x neỏu x < 0
Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x  Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
+/ Với x,y Q Ta có
x y x y   ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y 0 )
x y  x y ( // ….. // )
Phần II: Bài tập vận dụng
Bài 1. Thực hiện phép tính:
1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
    
   

4
1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
    
   
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 ... 49)
( ... ).
5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
     
       
=
1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).
5 4 49 89 5.4.7.7.89 28
 
    
Bài 2: Thực hiện phộp tớnh:
   
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 32 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .142 .3 8 .3
 
 

   
 
 
 
 
 
10
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 32 4 5
12 5 12 4 10 3 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
12 4 10 3
12 5 9 3 3
10 312 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .142 .3 8 .3
2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2
5 .7 . 62 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
 
 

 
 
 
 
 
 

 

  
:
Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x  Khi x thay đổi
Giải
a) Tìm x biết: 2x3x2 
Ta có: x + 2  0 => x  - 2.
+ Nếu x  -
2
3
thì 2x3x2  => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2  x < -
2
3
Thì 2x3x2  => - 2x - 3 = x + 2
=> x = -
3
5
(Thoả mãn)

5
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x  Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006  x  2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006  x  2007
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tỡm x biết:
a.  
1 4 2
3,2
3 5 5
x     
b.    
1 11
7 7 0
x x
x x
 
   
- GV: Hướng dẫn giải a,
 
1 2
3
1 2
3
1 72
3 3
1 52
3 3
1 4 2 1 4 16 2
3,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2
3
x
x
x
x
x x
x
x
 
 
  
  

         
   

   







b)
   
   
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
 

   
     
 

6
  
 
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x x
x x
x x

 
 
 

 
  
   
   
     
 





 

Bài tập về nhà : Bài 1,Cho
1,11 0,19 1,3.2 1 1
( ): 2
2,06 0,54 2 3
7 1 23
(5 2 0,5): 2
8 4 26
A
B
 
  

  
a, Rút gọn A và B
b, Tìm x Z để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M= 2002 2001x x  

7
Ngày soạn : 2 /2/2012
Buổi 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
I.Lý thuyết
1/ Định nghĩa
 x neỏu x  0
x = 
 -x neỏu x < 0
2, Tính chất : Vụựi moùi x  Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
x y  x y ( // ….. // )
II.Bài tập
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a, A= 3x2
- 2x+1 với x=
1
2
Ta có x=
1
2
suy ra x=
1
2
hoặc x=
1
2

HS tính giá trị trong 2 trường hợp +/ Với x=
1
2
thì A=
3
4
+/ Với x=
1
2
 thì A=
11
4
b, B= 3 2
6 3 2 4x x x   với x= -2/ 3
c, C= 2 3x y với x=1/2 và y=-3
d, D=2 2 31x x   với x=4
e, E=
2
5 7 1
3 1
x x
x
 

với x=
1
2
(về nhà )
Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c
KQ: B=20/ 9
C= -8
D = -5
Bài 2: Tìm x biết
a, 6527  xx 7x =1-2x
Do 7x 0 với mọi x nên xét với 1 – 2x 0
2
1
 x
C

8
Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=
3
8
(loại do không thoả mãn điều kiện
x
2
1
 )
Trường hợp 2:
x – 7 = 2x -1 x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
b, 2 3 2x x x   
c, xxx 313 
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày
Bài 3: Tìm x và y biết
a,
1
2 2 3
2
x  
b, 7,5 3 5 2 4,5x   
c, 3 4 5 5 0x y   
GV: Tổ chức cho học sinh làm bài
- Học sinh lên bảng trình bày
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a, A=3,7 4,3 x 
Ta có
4,3 0x  với mọi x
4,3 3,7 3,7x    Hay A 3,7
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4,3 0
4,3 0
4,3
x
x
x
 
 

Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3
Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c
b, B= 3 8,4 24,2x  
c, C= 4 3 5 7,5 17,5x y   
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
, 5,5 2 1,5
, 10,2 3 14
, 4 5 2 3 12
a D x
b E x
c F x y
  
   
    
`

9
Ngày soạn : 10 /2/2012
Buổi 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết
1/ Định nghĩa
 x nếu x  0
x = 
 -x neỏu x < 0
2, Tính chất
Vụựi moùi x  Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
x y  x y ( // ….. // )
II. Bài tập :
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|;
d) |a| = - a; e) a |a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng:
a) |a| = |b| a = b; b) a > b |a| > |b|.
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
a) x2
y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0;
d) d)
Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a;
e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|;
c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20.
Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu để các khẳng định sau đúng với
mọi a và b.

 
;0
11

yx
.01
y
x
 ,,

10
Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu
đẳng thức ?
a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| với |a| |b|;
c) |ab|…|a|.|b|; d)
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1;
c) C = x2
+ 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 5 - |2x – 1|; b) B =
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chứng minh rằng: |a – b| < 5.
Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.

.
||
||
...
b
a
b
a
;
3|1|
1
x

11
Ngày soạn : 18 /2/ 2012
Buổi 5: Luỹ thừa của số hữu tỉ
A--Lý thuyết
.
1, .
2, : ( 0, )
3, ( )
4, ( . ) .
5, ( ) ( 0)
1
6,
m n m n
m n m n
m n m n
m m m
m
m
m
n
n
x x x
x x x x m n
x x
x y x y
x x
y
y y
a
a




  


 

- GV: Cho học sinh ghi lại nội dung các công thức
B – Bài tập
Bài 1:
a,Có thể khẳng định được x2
luôn luôn lớn hơn x hay không ?
Không khẳng định được như vậy chẳng hạn x=1/2 thì 21 1
( )
2 2

b, Khi nào x2
< x
x2
< x 2
0 ( 1) 0x x x x      xảy ra nếu x và x-1 trái dấu
Vì x-1 < x nên x-1 < 0 và x > 0 suy ra 0 < x <1
Vậy 0 < x <1 thì x2
< x
Bài 2: Tính
2 2 3 2 2 2
3 0 2 2
5 3
,(3 ) (2 ) ( 5 )
1 1 1
,2 3.( ) ( ) .4 ( 2) : :8
2 2 2
1
,(4.2 ):(2 . )
16
a
b
c
  
 
      
GV : Yêu cầu học sinh làm và gọi học sinh lên bảng trình bày
Bài 3: Thực hiện phép tính :
a- 1
3
1
(:1
3
1
.3
3
1
.6
2






















b-
 
32
2003
23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2

























12
? Hãy nêu thứ tự thực hiện phép tính
- GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tính
a,
b,
675.4
15.1681.10
4
24

Gv: Hướng dẫn học sinh giải
a, =1. 48
88
3.2
3.2
.
3
1
= 35
b,
675.4
15.1681.10
4
24

= 238
224444
5.3.2
5.3.23.5.2 
= 238
22224
5.3.2
)13.5(5.3.2 
=….
=
3.2
124
4 =
3.2
7.2
4
5
=
3
2
4
3
14

Bài 5:
a,Tính tổng A = 1+5+52
+53
+… +52008
+52009
b , B= 2100
-299
+298
-297
+…..+22
suy ra 2B = 2101
-2100
+299
-298
+…+23
-22
suy ra
2B+B= 2101
-2
3B = 2( 2100
-1)
Suy ra B = 2(2100
-1)/3
C, Bài tập về nhà
Bài 1: Chứng minh rằng: 76
+ 75
– 74
chia hết cho 55
Bài 2: Tính tổng C = 3100
- 399
+ 398
- 397
+…. +32
- 3 + 1
Bài 3: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2
+ x4
+ x6
+ x8
+ … + x100
  4
80
15
12
6
.
3
1
.9.
3
1
15
4
.
7
3





  4
80
15
12
6
.
3
1
.9.
3
1
15
4
.
7
3






13
Tuần 12- Buổi 6
Ngày dạy :10/11
Chuyên đề : Luỹ thừa của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Mục tiêu.
- Kiến thức: Nắm được các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến
đổi các lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao
- Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức
lũy thừa của một số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập
- Kỹ năng :- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình
bày chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
- Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu
thức có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
II. Chuẩn bị :
- Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
- Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề
III. Tiến trình tiết dạy:
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính
cộng, trừ,
nhân, chia.
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3
.32; b) (-0,125)3
.804
; c) ; d) .
Bài 3: Cho x  Q và x ≠ 0. Hãy viết x12
dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9
?
b) Luỹ thừa của x4
?
2 5
20
8 .4
2
11 17
10 15
81 .3
27 .9

14
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15
?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9)
;
b) B = (1000 - 13
).(1000 - 23
).(1000 - 33
)…(1000 – 503
).
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 1002
– 992
+ 982
– 972
+ … + 22
– 12
;
b) N = (202
+ 182
+ 162
+ … + 42
+ 22
) – (192
+ 172
+ 152
+ … + 32
+ 12
);
c) P = (-1)n
.(-1)2n+1
.(-1)n+1
.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3
= 27; b) x2
+ x = 0; c) (2x + 1)2
= 25; d) (2x – 3)2
= 36;
e) 5x + 2
= 625; f) (x – 1)x + 2
= (x – 1)x + 4
; g) (2x – 1)3
= -8.
h) = 2x
;
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n
 128; b) 2.16 ≥ 2n
 4; c) 9.27 ≤ 3n
≤ 243.
Bài 8: Cho biểu thức P = . Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 9920
và 999910
; b) 321
và 231
; c) 230
+ 330
+ 430
và 3.2410
.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x3
y; b = x2
y2
; c = xy3
thì với bất kì số hữu tỉ x
và y nào ta
cũng có: ax + b2
– 2x4
y4
= 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22
+ 23
+ … + 299
+ 2100
= 2101
– 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết
bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2.
1 2 3 4 5 30 31
. . . . ... .
4 6 8 10 12 62 64
( 5)( 6)( 6)
( 5)
( 4)
xxx
x
x




15
Ngày dạy : 17/11 Buổi 7
Chuyên đề: biểu thức đại số ( tiết 1)
I. Mục tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :
- Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài
toán về dãy có quy luật
- Một số bài toán khác về biểu thức đại số
Kĩ năng : Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản. Biết
vận dụng vào các bài toán khác tương tự. Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và
tổng quát hóa cho các bài toán
Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến,
không nao núng khi làm bài
IIChuẩn bị:
GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các
bài tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan .
III.Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật
A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập ỏp dụng
I. Dãy số cộng
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ
1; 3; 5; 7;...
Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số
b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh: với
d) Tớnh: với
Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4.
Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
1 3 5 2 1S n      ( )n N
2 4 6 2S n     *
( )n N
1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;...     
( 1)
2
n n 

16
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành
một số A. Tính tổng các chữ số của A
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng
làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xột số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50
cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18. Tổng cỏc
chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1.
ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
Bài 5: Cho
Tớnh ?
Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S100 = 515100
Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với
số mũ băng bao nhiờu?
Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8; ...
b) 1.4; 4.7; 7.10;...
Bài 8: Cho ;
Tớnh
Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau:
Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a) , với ( )
b) , với ( )
c) , với ( )
Bài 11: Cho . Chứng minh rằng: .
Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
1
2
3
4
1 2,
3 4 5,
6 7 8 9,
10 11 12 13 14,
...
S
S
S
S
 
  
   
    
100S
2 3 20
1 3 3 3 ... 3A       21
3 : 2B 
B A
2 3 2007 2 3 2 4 2008
2 4 2 3 5 2007 3 5 2 1
1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2
1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 
                
              
n
n n
A B C
D E F
2 3
1 ... n
S a a a a      2,a n N 
2 4 6 2
1 1 ... n
S a a a a      2,a n N 
3 5 2 1
2 ... n
S a a a a 
     *
2,a n N 
2 3 99 100
1 4 4 4 ... 4 , 4A B      
3
B
A 
50 200
) 9 99 999 ... 999...9 ) 9 99 999 ... 999...9
ch÷ sè ch÷ sè
         a A b B

17
Tuần 14- Buổi 8
Ngày dạy :24/11
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật ( tiếp )
II. Dãy phân số có quy luật
1. Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo
qui luật:
1) .
2) .
3) .
4) .
5) .
6) .
7) .
(Trong đú: , )
2. Bài tập
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tớnh tổng :
Lời giải :
Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn
chút xíu.
1 1 1
( 1) 1n n n n
 
 
1 1
( 1) 1
k
k
n n n n
 
   
  
1 1 1 1
( )n n k k n n k
 
   
  
1 1
( )
k
n n k n n k
 
  
  
1 1 1 1 1 1 1 1
2 (2 2) 4 ( 1) 2 2 2 2 4 1n n n n n n n n
   
         
      
1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n n
 
   
    
2
1 1 1
.( 1) ( 1).n n n n n
 
 
, Nn k 
 1n 

18
Bài 1 : Tớnh tổng :
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :
Hơn nữa ta có :
ta cú bài toỏn
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
khụng phải là số nguyờn.
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là cỏc số tự nhiên lớn hơn 1 và
khác nhau thỡ
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khú sau :
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44
< a45 và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài toỏn 2: Tớnh nhanh:
a) .2 3 4 7 8
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
A       

19
b) .
c) .
Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2)
Tớnh nhanh: .
Bài toỏn 3: Tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của cỏc dóy saug:
a) b)
Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đú số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toỏn 4: Tớnh tổng:
a) .
b) .
c) .
Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
a) . b)
.
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
b) Biến đổi số chia:
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy .
Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy:
2 3 4 2007 2008
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
B       
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
;
3 3 3 3 3 3n n
C n N

       
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
; ( ; 0)n n
S n N a
a a a a a a


        
1 1 1 1
; ; ; ;...
1.2 2.3 3.4 4.5
1 1 1 1
; ; ; ,...
6 66 176 336
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
S     
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008
S     
1 1 1 1
; ( )
1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1).( 2)
S n N
n n n

     
 
1 1 1 1
1
3 5 97 99
1 1 1 1 1
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1
A
    

    
1 1 1 1 1
2 3 4 99 100
99 98 97 1
1 2 3 99
B
    

   
1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100
(1 ) ( ) ( ) ( )
99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
           
100 1 100 2 100 3 100 99
1 2 3 99
100 100 100 100 1 2 3 99
1 2 3 99 1 2 3 99
1 1 1 1 1 1 1
100 100 99 1 100
2 3 99 2 3 99 100
   
    
   
             
   
   
              
   
1
100
B 

20
Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng:
Hay
Do đú số hạng thứ 98 cú dạng .
Ta cần tớnh:
Bài toỏn 7: Cho . Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số
tự nhiờn.
Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu cỏc phõn số của A ta chọn mẫu chung là tớch của 26
với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1, k2, …, k100 là cỏc thừa số phụ tương ứng,
tổng A cú dạng:
. Trong 100 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất phõn số 1/64
cú mẫu chứa 26
nờn trong cỏc thừa số phụ k1,..., k100 chỉ cú k64 là số lẻ, cũn cỏc
thừa số phụ khỏc đều chẵn.
Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 7: Cho . Hóy chứng minh rằng
A khụng phải là số tự nhiờn.
1 1 1 1 1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
3 8 15 24 35
4 9 16 25 36
; ; ; ; ;...
3 8 15 24 35
2 2 2 2 2
2 3 4 5 6
; ; ; ; ;...
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
2
99
98.100
2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6 99 99
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50
A      
100
1
3
1
2
1
1  A
99...9.7.5.3.26
21 nkkk
B



n
A
1
3
1
2
1
1  

21
Tuần 15- Buổi 9
Ngày dạy :1/12
Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui luật ( tiếp )
Phần 2 . Các dạng khác.
Các bài toán
Bài 2: Tớnh a) b) c)
Bài 2: So sỏnh 224
và 316
Bài 3: Tớnh giỏ trị biểu thức
a) b) c) d)
Bài 1: Khai triển các tích sau:
a) (x – 2)(y + 3);
b) ; c) .
Bài 3: Viết các tổng sau thành tích:
a) ax2
- bx2
+ bx - ax + a - b; b) y2
– 5y + 6;
c) x2
- 7x + 12; d) 2a2
+ 4a + 2.
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
M = ax + ay + bx + by + x + y biết x + y = -9/4 và a + b = 1/3;
N = ax + ay - bx - by - x - y biết x - y = -1/2 và a - b = 1/2.
 
2(2 )
22
148
124
1
5
7
( 1)
5
7
n
n
n

 
 
  
 
 
 
10 10
10
45 .5
75
 
 
5
6
0,8
0,4
15 4
3 3
2 .9
6 .8
10 10
4 11
8 4
8 4


1 3
5 1
2 2
x y
  
   
  
3 2 10 27
5 3 7
x
x y
 
 
 

22
P = + + + … + - - - -
Q = - + - + … + -
Bài 7: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:
C =
Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:
K =
Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
H =
Bài 10: Tìm mối quan hệ giữa các số nguyên a; b; c (b ≠ 0; c ≠ 0) để có đẳng
thức sau:
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3
.32; b) (-0,125)3
.804
; c) ; d) .
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9)
;
b)B=(1000 - 13
).(1000 - 23
).(1000 - 33
)…(1000 - 503
)
Bài 5: Tính giá trị của:
M = 1002
– 992
+ 982
– 972
+ … + 22
– 12
;
N = (202
+ 182
+ 162
+ … + 42
+ 22
) – (192
+ 172
+ 152
+ … + 32
+ 12
);
P = (-1)n
.(-1)2n+1
.(-1)n+1
.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3
= 27; b) x2
+ x = 0;
c) (2x + 1)2
= 25; d) (2x – 3)2
= 36;
e) 5x + 2
= 625; f) (x – 1)x + 2
= (x – 1)x + 4
;
g) (2x – 1)3
= -8. h) = 2x
;
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n
 128; b) 2.16 ≥ 2n
 4;
c) 9.27 ≤ 3n
≤ 243.
Bài 8: Cho biểu thức P = . Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
1
3.10
1
10.17
1
17.24
1
73.80
1
2.9
1
9.16
1
16.23
1
23.30
1
1.3
1
2.4
1
3.5
1
4.6
1
97.99
1
98.100
1 1 1 1 1 1
x x x x x x
2 5 10 2 3 6
3 5
   
        
   
   3x x y 6 x y 1
x 2
   

1996x 1
1997x 1997


a a a
b c b.c
 
2 5
20
8 .4
2
11 17
10 15
81 .3
27 .9
1 2 3 4 5 30 31
. . . . ... .
4 6 8 10 12 62 64
( 5)( 6)( 6)
( 5)
( 4)
xxx
x
x




23
Bài 9: So sánh:
a) 9920
và 999910
; b) 321
và 231
; c) 230
+ 330
+ 430
và 3.2410
.
Bài 10: Chứng minh nếu a = x3
y; b = x2
y2
; c = xy3
thì với bất kì số hữu tỉ x và
y nào ta cũng có:
ax + b2
– 2x4
y4
= 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22
+ 23
+ … + 299
+ 2100
= 2101
– 1.
Tuần 16 -Buổi 10
Ngày dạy : 08/12
Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
I. Mục tiêu
- Kiến thức :- Nắm được các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy
tỉ số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp
- Kỹ năng :- Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau
trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học
sáng sủa và đúng khi đứng trước một bài tập đã biết được đường lối giải quyết
- Thái độ :- Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong
những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình toán 7 từ đó có thái độ
nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề
II. Chuẩn bị :
- Giáo án bồi giỏi toán 7
- Các tài liệu tư liệu sưu tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn
III. Tiến trình tiết dạy :
Bài 1: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng:
a) ; b) ;
Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34;
Bài 3: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a) và 5x + y – 2z = 28; b) ; và 2x + 3y – z = 186;
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32; d) và x + y + z = 49;
a c
b d

a b c d
b d
 

a b c d
b d
 

x 7
y 3

x y
19 21

x y z
10 6 24
 
x y
3 4

y z
5 7

2x 3y 4z
3 4 5
 

24
e) và 2x + 3y – z = 50;
a) và xyz = 810; b) và x2
+ y2
+ z2
= 14.
a) ;
b) ; c)
Bài 7: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 8: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: .
Bài 9: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng:
a) ; b) .
Bài 10: Cho dãy tỉ số : . Chứng minh rằng:
.
Bài 11: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a2
2
= a1.a3 và a3
2
= a2.a4.
Chứng minh rằng: .
Bài 12*: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
x 1 y 2 z 3
2 3 4
  
 
x y z
2 3 5
 
3 3 3
x y z
8 64 216
 
y z 1 x z 2 x y 3 1
x y z x y z
     
  
 
1 2y 1 4y 1 6y
18 24 6x
  
 
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
   
 
a b c
, ,
b c c a a b  
2a 13b 2c 13d
3a 7b 3c 7d
 

 
a c
b d

a c
b d

5a 3b 5c 3d
5a 3b 5c 3d
 

 
2 2
2 2 2 2
7a 3ab 7c 3cd
11a 8b 11c 8d
 

 
bz cy cx az ay bx
a b c
  
 
x y z
a b c
 
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
 

 
2 2
2 2
a b ab
c d cd



a c
b d


25
Tuần 18 - Buổi 11
Ngày dạy :22/12/10
Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (Tiếp theo ).
I. Mục tiêu
- Kiến thức : - Nắm được các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy
tỉ số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp
- Kỹ năng : - Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau
trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học
sáng sủa và đúng khi đứng trước một bài tập đã biết được đường lối giải quyết
- Thái độ : - Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong
những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình toán 7 từ đó có thái độ
nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề
- II. Chuẩn bị :
- Giáo án bồi giỏi toán 7
- Các tài liệu tư liệu sưu tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn
II. Tiến trình tiết dạy :
Bài 1: Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và
mẫu thì giá trị
của phân số đó không thay đổi ?
Mở rộng: Với một phân số bất kỳ ta cộng thêm vào a số x, cộng thêm vào b số
y.
Hãy tìm quan hệ của x và y để giá trị của phân số không thay đổi sau khi
cộng ?
Bài 2: Cho CMR: a = b = c; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.
a
b
a
b
a
b
a b c
;
b c a
 

26
Bài 3: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 4: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng :
a) ; b) .
Bài 5: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: .
Bài 6: Cho . CMR: ; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.
Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
CMR: Ta có đẳng thức:
Bài 8: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a2
2
= a1.a3 và a3
2
= a2.a4.
Chứng minh rằng: .
Bài 9: Cho dãy tỉ số : ; CMR: .
Bài 10: Cho biết : . CMR: abc + a’
b’
c’
= 0.
Bài 11*: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
Bài 12: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2
– 3x2
– 2y2
= 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
Bài 13: Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b
và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Bài 14: Cho 2002 số tự nhiên, trong đó cứ 4 số bất kỳ trong chúng đều lập nên
một tỉ lệ thức.
CMR: trong các số đó luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau.
Bài 15: Có 130 học sinh thuộc ba lớp 7A, 7B, 7C của một trường cùng tham gia
trồng cây.
Mỗi học sinh của 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng được 2 cây, 3 cây, 4 cây.
Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết rằng số cây trồng được
của
ba lớp bằng nhau ?
Hướng dẫn giải :
Bài 11:
Ta có : = ;
a b c
, ,
b c c a a b  
a c
b d

5a 3b 5c 3d
5a 3b 5c 3d
 

 
2 2
2 2 2 2
7a 3ab 7c 3cd
11a 8b 11c 8d
 

 
2a 13b 2c 13d
3a 7b 3c 7d
 

 
a c
b d

a b c
b c d
 
3
a b c a
b c d d
  
 
  
3 20081 2
2 3 4 2009
a aa a
...
a a a a
   
2008
1 2 3 20081
2009 2 3 4 2009
a a a ... aa
a a a a ... a
    
  
    
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
 

 
bz cy cx az ay bx
a b c
  
 
x y z
a b c
 
' '
' '
a b b c
1; 1
a b b c
   
2 2
2 2
a b ab
c d cd



a c
b d

cd
ab
dc
ba



22
22
 
 
  
   dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
.
.
2
2
2
2
2
2
22
22











27
Bài 12: a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y.
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 13: Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 14: Nhận xét: Trong 2002 số đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau.
Thật vậy: Giả sử có nhiều hơn 4 giá trị khác nhau, ta gọi a1 < a2 < a3 < a4 < a5 là 5
số
khác nhau bất kỳ.
Khi đó với 4 số đầu tiên ta có: a1.a2 khác a3a4;
a1a3 khác a2a4;
Chỉ có thể a1a4 = a2a3 (1)
Nhưng khi đó với 4 số a1, a2, a3, a5 thì cũng có a1a5 = a2a3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a1a4 = a1a5 suy ra a4 = a5 vô lý.
Vậy có ít nhất 2002 div 4 + 1= 501 số bằng nhau.
 
 
 
  d
c
b
a
adcbadaccbca
bdca
bdca
dbda
bdbc
adac
cbca
bad
dcb
dca
bac















 1

28
Tuần19 – Buổi12
Ngày dạy :29/12/10
/ Mục tiêu
- Kiến thức : - Kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh qua đề thi tham khảo,
đánh giá việc nắm kiến thức của học sinh.
- Kỹ năng : - Rèn cho học sinh kĩ năng tính toán , kĩ năng trình bày .
- Thái độ : - Có ý thức tự học tự nghiên cứu nghiêm túc.
II/ Chuẩn bị
- Thày : soạn đề kiểm tra.
- Trò : Ôn tập lại nội dung các kiến thức
III/ Tiến trình tiết dạy :
học sinh giỏi huyện ( trực ninh )
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.1
A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5điểm):
a. (0,75đ) Tính tổng B = 1+5+52
+53
+… +52008
+52009
b. (0,75đ) Thực hiện phép tính 











 1
25
1
25
1
:1
5
1
625
1
Câu 2 (2điểm):
a. (1đ) Tìm x, y biết :
x
yxyx
6
132
7
23
5
12 




b. (1đ) Tìm x biết
14
1
13
1
12
1
11
1
10
1 







 xxxxx
Vẽ đồ thị hàm số: y = - x
3
2
Câu 4 (3điểm):
a. (1,5đ) Hiện nay anh hơn em 8 tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm và tuổi của em
sau 8 năm nữa tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi hiện nay anh bao nhiêu tuổi? Em bao nhiêu tuổi?
b. (1,5đ) Cho ABC (góc A=900
). Kẻ AH BC, kẻ HP AB và kéo dài để có
PE = PH. Kẻ HQ  AC và kéo dài để có QF = QH.

29
a./ Chứng minh  APE =  APH và  AQH =  AQF
b./ Chứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng.
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm): (Dành cho học sinh chuyên toán)
a. (1,5đ) Tính tổng
S = 1 + 2 + 5 + 14 + …+
2
13 1
n
(với n Z+)
b. (0,5đ) Cho đa thức f(x) = x4
+ 2x3
– 2x2
– 6x + 5
Trong các số sau: 1, -1, 5, -5 số nào là nghiệm của đa thức f(x)
Câu 5 B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán)
a. (1,5đ) Tìm x  Z để A có giá trị nguyên
A =
2
25


x
x
b. (0,5đ) Chứng minh rằng: 76
+ 75
– 74
chia hết cho 55
đáp án 1.1
I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Nhân 2 vế tổng B với 5
- Lấy 5B - B rút gọn và tính được B =
4
152010

b. (0,75đ) - Khai căn rồi quy động 2 ngoặc
- Thực hiện phép chia được kết quả bằng -1
29
2
Câu 2 (2đ)
a. (1đ) - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (2) được tỉ số (4)
- Từ tỉ số (3) và tỉ số (4) ta có 6x + 12  x = 2 tù đó tính được y = 3
b. (1đ) - Chuyển các số hạng ở vế phải sang vế trái
- Đặt thừa số chung đưa về 1 tích bằng 0
- Tính được x = -1
Câu 3 (1,5đ) (Mỗi đồ thị cho 0,75đ)
y = - x
3
2
= -
3
2
x với x  0
3
2
x với x < 0
Câu 4 (3đ)
a. (1,5đ) - Gọi tuổi anh hiện nay là x (x > 0), tuổi em hiện nay là y (y>0)
 tuổi anh cách đây 5 năm là x – 5
Tuổi của em sau 8 năm nữa là y + 8

30
Theo bài có TLT:
4
8
3
5 

 yx
và x - y = 8
Từ đó tính được: x = 20; y = 12
- Vậy tuổi anh hiện nay là 20 tuổi em là 12
b. (1,5đ)
- APE = APH (CH - CG )
- AQH = AQF (CH - CG )
- góc EAF = 1800
E, A, F thẳng hàng
II. Phần đề riêng
Câu 5A (2đ)
a. (1,5đ) - Biến đổi S = n
2
1
+ ( )
2
3
...
2
3
2
3
2
3 120 

n
- Đưa về dạng 3S – S = 2S
- Biến đổi ta được S =
4
132  n
n
(n Z )
b. (0,5đ)
- Nghiệm lại các giá trị 1, -1, 5, -5 vào đa thức
- Giá trị nào làm cho đa thức bằng 0 thì giá trị đó là nghiệm
Câu 5 B (2đ)
a. (1,5đ) A = 5 +
2
8
x
A nguyên 
2
8
x
nguyên  x – 2  ư (8)
Lập bảng
x
-
2
-
8
-
4
-
2
-
1
1 2 4 8
x -
6
-
2
0 1 3 4 6 10
Vì x  Z  x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} thì A  Z
b. (0,5đ) 76
+ 75
– 74
= 74
(72
+ 7 – 1)
= 74
. 55 55

31
Tuần 20 – Buổi13
Ngày dạy : 05/ 1/11
I. Mục tiêu
- Kiến thức : - Kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh qua đề thi tham khảo, đánh giá
việc nắm kiến thức của học sinh.
II/ Chuẩn bị
- Giáo viên: Soạn đề kiểm tra.
- Học sinh: Ôn tập lại nội dung các kiến thức
Đề thi học sinh giỏi huyện
Môn: Toán 7
Đề 1.2
Câu 1 (1,5điểm)
a. (1đ) Tính tổng: M = -
 nn 4
4
13.9
4
9.5
4
5.1
4

 
b. (0,5đ) Tìm x biết: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3
Câu 2 (1,5điểm)
a. (1đ) Tìm x, y, z biết:

32
216648
333
zyx
 và x2
+ y2
+ z2
= 14
b. (0,5đ) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = 0
và x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = 1
tính x50
Câu 3 (2điểm)
a. (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho 2 điểm M(-3;2) và N(3;-2). Hãy giải thích vì sao
gốc toạ độ O và hai điểm M, N là 3 điểm thẳng hàng?
b. (1đ) Cho đa thức: Q(x) = x 











 243
2
2
1
2
1
2
1
2
xxxx
x
a./ Tìm bậc của đa thức Q(x)
b./ Tính Q 






2
1
c./ Chứng minh rằng Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x
Câu 4 (3điểm)
a. (1đ) Ba tổ công nhân A, B, C phải sản xuất cùng một số sản phẩm như nhau. Thời gian
3 tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tự là 14 ngày, 15 ngày và 21 ngày. Tổ A nhiều
hơn tổ C là 10 người. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động của
các công nhân là như nhau)
b. (2đ) Cho hình vuông ABCD. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AD
vẽ tia AM (M CD) sao cho góc MAD = 200
. Cũng trên nửa mặt phẳng này vẽ tia
AN (N BC) sao cho góc NAD = 650
. Từ B kẻ BH  AN (H AN) và trên tia
đối của tia HB lấy điểm P sao cho HB = HP chứng minh:
a./ Ba điểm N, P, M thẳng hàng
b./ Tính các góc của  AMN
Câu 5 A. (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
a. (1đ) Chứng minh rằng: 222333
+ 333222
chia hết cho 13
b. (1đ) Tìm số dư của phép chia 109345
cho 7
Câu 5 B. (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) Tìm số nguyên dương n biết
55
555555
555
5555
22
666666
333
4444





= 2n
b. (1đ) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
3n+3
+ 2n+3
– 3n+2
+ 2n+2
chia hết cho 6
đáp án 1.2
Câu 1 (1,5đ)
a. (1đ)- Đưa dấu “ – “ ra ngoài dấu ngoặc

33
- Tách một phân số thành hiệu 2 phân số rồi rút gọn được A = 1
1

n
b. (0,5đ) Biến đổi rồi rút gọn ta được x = -
4
3
Câu 2 (1,5đ)
a. (1đ)- Biến đổi các mẫu dưới dạng lập phương đưa về dạng
f
e
d
c
b
a

- áp dụng tính chất dãy TSBN rồi tìm x, y, z
b. (0,5đ) Kết quả x50 = 26
Câu 3 (2đ)
a. (1đ)
Gọi đường thẳng (d) đi qua O và M(-3;2) là đồ thị hàm số dạng y = ax (a 0) từ đó
tính a để xác định hàm số  OM là đồ thị hàm số.
- Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không?
 kết luận: O, M, N thẳng hàng
b. (1đ) - Thu gọn Q(x) =
2
23
xx 
 bậc Q(x) là 3 (0,25đ)
- Q(-
2
1
) =
2
)
2
1
()
2
1
( 23

=
16
3
2
4
1
8
1




(0,25đ)
- Q(x) =
2
)1(2
xx
là một số chẵn Q(x)  Z (0,5đ)
Câu 4(3đ)
a. (1đ) Gọi số người tổ A, tổ B, tổ C lần lượt là x, y,z tỉ lệ nghịch với 14, 15, 21
x, y, z TLT với
21
1
;
15
1
;
14
1
Từ đó tính được x = 30; y = 28; z = 20
b. (2đ)
* - BNA = PNA (c.c.c)
góc NPA = 900
(1)
-  DAM =  PAM (c.g.c)
 góc APM = 900
(2)
Từ (1) và (2) góc NPM = 1800
Kết luận
* Góc NAM = 450
; góc ANP = 650
; góc AMN = 700
II. phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ) 222333
+ 333222
= 111333
.2333
+ 111222
.3222
= 111222
[(111.23
)111
+ (32
)111
] = 111222
(888111
+ 9111
)
Vì 888111
+ 9111
= (888 + 9)(888110
– 888109
.9 + … - 888.9109
+ 9110
)
= 13.69 (888110
– 888109
.9 + …- 888109
+ 9110
)13 KL
b. (1đ) Ta có 109345
= (109345
– 4345
) + (4345
– 1) + 1. vì 109345
– 4345
7
4345
– 1 7 109345
chia hết cho 7 dư 1
Câu 5 B (2đ) Đáp án 2
a. (1đ)

34
VT: - Đưa tổng các luỹ thừa bằng nhau dưới dạng tích
và biến đổi được 212
n = 12
b. (1đ)
- Nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ 3 rồi đặt TSC. Số hạng thứ 2 với số hàng
thứ 4 rồi đặt TS C
- Đưa về một tổng có các số hạng cho 2 và 3 mà UCLN(2;3) = 1
 tổng 6
Tuần 21 – Buổi14
Ngày dạy : 12/1/11
I. Mục tiêu
II/ Chuẩn bị
Đề thi học sinh giỏi
Môn: Toán 7
Đề 1.3
a. (1,75đ) Tính tổng: M = 3
1 1 1 761 4 5
4
417 762 139 762 417.762 139
    
b. (0,75đ) Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2
+ x4
+ x6
+ x8
+ … + x100
Câu 2 (1điểm):
a. (0,5đ) Cho tỉ lệ thức
4
33



yx
yx
tính giá trị của
y
x
b. (0,5đ) Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
 chứng minh rằng
dc
dc
ba
ba
32
32
32
32





a. (1,5đ) Cho hàm số y = - x
3
1
và hàm số y = x -4
* Vẽ đồ thị hàm số y = -
3
1
x

35
* Chứng tỏ M(3;-1) là giao của hai đồ thị hàm số trên
* Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ)
b. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A  B, vận tốc ôtô con là
40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trước 45
phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 4 (2điểm): Cho  ABC có góc A = 900
, vẽ phân giác BD và CE (DAC ; E AB)
chúng cắt nhau tại O.
a. (0,5đ) Tính số đo góc BOC
b. (1đ) Trên BC lấy điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA chứng minh EN// DM
c. (0,5đ) Gọi I là giao của BD và AN chứng minh  AIM cân.
Câu 5 A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên
b. (1đ) Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm:
P(x) = 2x2
+ 2x +
4
5
c. (1đ) Chứng minh rằng: 2454
.5424
.210
chia hết cho 7263
Câu 5 B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) Tìm nghiệm của đa thức 5x2
+ 10x
b. (1đ) Tìm x biết: 5(x-2)(x+3)
= 1
đáp án 1.3
Câu 1 (2,5đ)
a. (2đ) - Biến đổi M dưới dạng một tổng rồi đặt a =
1
417
; b =
762
1
; c =
139
1
- Rút gọn rồi thay giá trị a, b, c vào ta tính được M =
762
3
b. (0,5đ) (-1)2
+ (-1)4
+ (-1)6
+ … + (-1)100
= 1 + 1 +1 + … + 1 = 50
Câu 2 (1đ)
a. (0,5đ) áp dụng tính chất của tỉ lệ thức
bcad
d
c
b
a

9
7

y
x
b. (0,5đ) Từ
dc
dc
ba
ba
dc
ba
dc
ba
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a
32
32
32
32
32
32
32
32
3
3
2
2












Câu 3 (2,5đ)
a. (1,5đ)
* Vẽ đồ thị hàm số y = -
3
1
x
* Từ 2 hàm số trên ta được phương trình hoành độ -
3
1
x = x -4

36
- Thay điểm M(3; -1) vào phương trình hoành độ ta được -
3
1
. 3 = 3 – 4 = -1
 M(3; -1) là giao của 2 đồ thị hàm số trên.
* Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy
OMP vuông tại P
22222
31  PMOPOM
 1091 OM (đvđd)
b. (1đ)
- Đổi 45 phút = hh
4
3
60
45

- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2
(h). Ta có v1.t1 = v2.t2
- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN 
1
2
2
1
t
t
v
v
 ; t2 – t1 =
4
3
- Tính được t2 =
4
3
. 4 = 3 (h)
T1 = )(
4
9
3
4
3
h
 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
Câu 4 (2đ)
a. (0,5đ) Có góc B + góc C = 900
 góc OBC + góc BCO = 0
0
45
2
90
 (BD, CE là phân giác)
 góc BOC = 1800
– 450
= 1350
b. (1đ)
 ABD =  MBD (c.g.c)
góc A = góc M = 900
DM  BC (1)
 ECN =  ECA (c.g.c)
góc A = góc N = 900
EN  BC (2)
Từ (1) và (2) EN // DM
c. (0,5đ)
 IBA =  IBM (c.g.c)
 IA = IM thay  IAM cân tại I
Câu 5 A (2đ)
O
I
E
A D
C
M
N
B

37
a. (1đ) P(x) = (x+1)2
+ x2
+
4
1
4
1
 với  x
vậy P(x) không có nghiệm
b. (1đ) 2454
. 5424
. 210
= (23
.3)54
. (2.33
)24
. 210
= 2196
. 3126
7263
= (23
. 32
)63
= 2189
. 3126
Từ đó suy ra 2454
. 5424
. 210
7263
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ) Cho 5x2
+ 10x = 0
 5x(x + 10) = 0  




010
05
x
x






10
0
x
x
Nghiệm của đa thức là x = 0 hoặc x = -10
b. (1đ) 5(x-2)(x+3)
= 1 = 50
(x-2)(x+3) = 0 










3
2
03
02
x
x
x
x
Vậy x = 2 hoặc x = -3
Tuần 22– Buổi15
Ngày dạy : 19/1/11

38
I. Mục tiêu
II/ Chuẩn bị
Môn: Toán 7
Đề 1.4
a. (0,75đ) Tính tổng M = 5 )
23
4
5(
47
3
4
47
3
27
23
4

b. (0,75đ) Cho các số a1, a2, a3 …an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1
Biết rằng a1a2 + a2a3 + … + ana1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2002 được hay không?
Câu 2 (2 điểm)
a. (1đ) Tìm x biết
x
yyy
6
61
24
41
18
21 




b. (1đ) Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32
Câu 3 (1,5điểm)
Cho hình vẽ, đường thẳng OA là đồ thị hàm số
y = f(x) = ax (a 0)
a. Tính tỉ số
4
2


o
o
x
y
b. Giả sử x0 = 5 tính diện tích OBC
Câu 4 (3điểm)
a. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A  B, vận tốc ôtô con là
40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trước 45
phút. Tính độ dài quãng đường AB.
b. (2đ) Cho  ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia
đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E
sao cho NE = NC. Chứng minh rằng:
Ba điểm E, A, D thẳng hàng
A là trung điểm của ED
y0
2
1
X0
C
B
A
xo 1 2 3 4 5
y

39
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
a. (1đ) So sánh 8 và 5 + 1
b. (1đ) Cho hai đa thức P(x) = x2
+ 2mx + m2
và Q(x) = x2
+ (2m+1)x + m2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) So sánh 2300
và 3200
b. (1đ) Tính tổng A = 1 + 2 + 22
+ … + 22010
đáp án đề 1.4
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Biến đổi M dưới dạng một tổng
- Đặt a
23
1
; b
47
1
- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào được A = 119
b. (0,75đ) Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, …ana1
số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng
2
n
vì 2002 2  n = 2002
Câu 2 (2đ)
a. (1đ) Tìm x biết
x
yyy
6
61
24
41
18
21 )3()2()1(





- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2)
6x = 2 . 24 = 48 x = 8
b. (1đ) - Đưa về dạng
f
e
d
c
b
a

- áp dụng tính chất dãy TSBN tính x, y, z
Câu 3 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax
y0 = ax0
0
0
x
y
 = a
Mà A(2;1)  a =
0
0
2
1
x
y

4
2
4
2
0
0
0
0



x
y
x
y
b. (0,75đ) -  OBC vuông tại C
S OBC = BCOC.
2
1
= 0.
2
1
yOC
Với x0 = 5
2
5
5
2
1
 OBCS = 6,25 (đvdt)

40
Câu 4 (3đ)
a. (1đ) - Đổi 45 phút = hh
4
3
60
45

- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1
và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN 
1
2
2
1
t
t
v
v
 ; t2 – t1 =
4
3
- Tính được t2 =
4
3
. 4 = 3 (h) t1 = )(
4
9
3
4
3
h
 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
b. (2đ)
-  MAD =  MCB (c.g.c)
góc D = góc B  AD // BC (1)
-  NAE =  NBC (c.g.c)
góc E = góc C AE // BC (2)
Từ (1) và (2) E, A, D thẳng hàng
- Từ chứng minh trên A là trung điểm của
ED
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ) So sánh 8 và 15 
ta có 2 < 5  2 + 6 < 5 + 6 = 5 + 5 + 1
 8 < ( 2
)15  58  + 1
b. (1đ) - Thay giá trị của x vào 2 đa thức
- Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính được m = -
4
1
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ) Ta có 2 1003300
)2(
3 1002200
)3(
 3200
> 2300
b. (1đ) - Nhân hai vế của tổng với A với 2
- Lấy 2A – A rút gọn được A =
2
122010

A
B
N
M
C
E
D

41
Tuần 23– Buổi16
Ngày dạy : 26/1/11
I. Mục tiêu
II/ Chuẩn bị
Môn: Toán 7

42
Đề 1.5
Câu 1 (1,5 điểm): (1đ) Tính tổng: A =
11
4
7
4
9
4
11
1
7
1
9
1


+
625
4
125
4
16,0
5
4
625
3
125
3
25
3
6,0


a. (0,5đ) Tìm các số a1, a2, a3, … a9 biết
1
9
...
7
3
8
2
9
1 9321 





 aaaa
và a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90
Câu 2 (2 điểm)
a. (1đ) Tìm x, y biết
x
y
x
yy
4
71
5
51
12
31 




b. (1đ) Chỉ ra các cặp (x;y) thoả mãn 92 22
 yxx = 0
Câu 3 (1,5điểm)
a. (1đ) Cho hàm số y = f(x) = x + 1 với x ≥ -1
-x – 1 với x < -1
* Viết biểu thức xác định f
* Tìm x khi f(x) = 2
b. (0,5đ) Cho hàm số y = x
5
2
* Vẽ đồ thị hàm số
* Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải bằng tính
toán).
Câu 4 (3điểm)
a. (1đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc
40km/h. Sau khi đi được 1/2 quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h
trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng
đường AB.
b. (2đ) Cho  ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và
C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh
rằng:
* BH = AK
*  MBH =  MAK
*  MHK là tam giác vuông cân
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
a. (1đ) Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức
2
)2( x + 2
)2( y + zyx  = 0
b. (1đ) Tìm x, y, z biết: x + y = x : y = 3(x – y)

43
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
a. (1đ) Tìm x biết: 2x
+ 2x+1
+ 2x+2
+ 2x+3
= 120
b. (1đ) Rút gọn biểu thức sau một cách hợp lí: A =
343
4
7
2
7
4
2
64
)77(
1
49
1
49
1
1
2
2








Đáp án 1.5
I. phần đề chung
Câu 1 (1,5đ: mỗi ý đúng 0,75đ)
a. A = 1
b. áp dụng tính chất của dãy TSBN ta tính được
a1 = a2 = … = a9 = 10
Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ)
a. - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
- Từ tỉ số (4) và tỉ số (2)  12 + 4x = 2.5x  x = 2
- Từ đó tính được y = -
15
1
b. - Vì 022
 xx và 092
y
x2
+ 2x = 0 và y2
– 9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y)
Câu 3 (1,5đ)
a. (1đ) - Biểu thức xác định f(x) = 1x
- Khi f(x) = 2  1x = 2 từ đó tìm x
b. (0,5đ) - Vẽ đồ thị hàm số y = x
5
2
x 0 5 O (0;0)
y 0 2 A (5;2)
- Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ  OA là đồ thị hàm số y = x
5
2
- M đồ thị y = x
5
2
-2 = x
5
2
x = -5
Câu 4 (3điểm)
a. (1đ) 18 phút = )(
10
3
60
18
h
- Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đường trước là v1; t1, vận tốc và
thời gian đã đi nửa quãng đường sau là v2; t2.
- Cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là 2 đại lượng TLN do đó:
V1t1 = v2t2 
3
100
21
12
2
1
1
2




tt
vv
t
v
t
v
2
3
1  t (giờ)  thời gian dự định đi
 
M
K
B
E

44
cả quãng đường AB là 3 giờ
- Quãng đường AB dài 40 . 3 = 120 (km)
b. (2đ)
- HAB = KCA (CH – GN)
 BH = AK
-  MHB =  MKA (c.g.c)
  MHK cân vì MH = MK (1)
Có  MHA =  MKC (c.c.c)
góc AMH = góc CMK từ đó
góc HMK = 900
(2)
Từ (1) và (2)   MHK vuông cân tại M
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ) – Vì  2
)2(x 0 với  x
2
)2( y  0 với  y
zyx   0 với  x, y, z
Đẳng thức xảy ra 










0
0)2(
0)2(
2
2
xyx
y
x










0
2
2
z
y
x
b. (1đ)Từ x + y = 3(x-y) = x : y
2y(2y – x) = 0 mà y  0 nên 2y – x = 0 x = 2y
Từ đó  x =
3
4
; y =
3
2
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ) - Đặt 2x
làm TSC rút gọn
- Biến đổi 120 dưới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x
b. (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rồi rút gọn được A =
4
1

45

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (13)

Similar to Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Similar to Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7