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Introducción

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Ecuaciones de Segundo Grado

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Introducción

  1. 1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN IRMA LAURA GARCIA FAVELA 1A 20/10/2013
  2. 2. INTRODUCCIÓN En la actualidad se dice que los babilonios ya tenían conocimiento de la ecuación de segundo grado, aunque no sabían como expresar la ecuación; esto pasó a manos de la cultura egipcia que la usaba para definir los límites de las parcelas. En el año 100 a.C los griegos resolvían ecuaciones através de metódos geométricos, se dice que Diofano fue el que de dio más impulso a este tema. Se crearon distintos métodos de resolución de la ecuación un ejemplo puede ser los siguientes: Este metódo fue propuesto por un matemático llamado Brahmagupta, el cual resolvia la siguiente ejemplo de esta manera: -10x=-9, esta es la ecuación, se multipicaba el numéro absoluto que es igual a -9 por el coheficiente del cuadrado 1, el resultado sería -9. La verdadera solución para esta ecuación la proporcionó el matemático Abraham bar Hiyya. -10x=39 Otro metódo fue el propuesto un matemático arabe que tomaba la mitad de las ríces que era 5, lo multiplicaba por el mismo y se obtenía 25 a este numero se le sumaba 39, y resultaba 64, después sacaba la ríz de este numero que es 8 y le resta la 5 que es una mitad de una raíz y nos resulta 3 que es el valor buscado. BHASKARA fue un matemático que nació en la India, a el se le atribueye la creación de la siguiente fórmula: ÉL EMPEZÓ a utilizar el cuadrado como segunda potencia y la inicial para indicar la tercera potencia, uso las letras como incógnitas, con esto dio solución a diversas ecuaciones de primer y segundo grado.Para encontrar las raíces de ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 se utiliza la fórmula de bhaskara.
  3. 3. Obtención de la Fórmula General La formula general del conjunto de soluciones de una ecuación es la expresión matemática que engloba a todas esas soluciones Cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma general ax2 + bx + c = 0. En esta ecuación a, b y c representan números conocidos y x es la incógnita. En la fórmula anterior, la expresión b2 – 4ac recibe el nombre de discriminante de la ecuación, que te permite conocer qué tipo de raíces tiene ésta, al sustituir los valores a, b y c de la ecuación en el discriminante. El resultado puede ser un número positivo, cero, o negativo El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones! Para Obtener la fórmula se porcede a lo siguiente: +bx-c=0 4 +4abx=-4ac Se le suma 4 +4abx+ =-4ac+ (2x+b)2= -4ac 2ax+b= ECUACIÓN RESULTANTE:
  4. 4. Resolución de Ecuaciones Las soluciones son dos, aunque Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 bx b 2a +b misma solución, es decir, los 0 2 b ↓ +2 c x valores de x 1 y x 2 son iguales. 4 ac x1 = +c ↓ x2 -5 = 0 ↓ x -6 + 5 + 8,544004 +4 x1 = + 13,54400375 +4 = 0 x1 = + 3,38600094 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b -(-5) ±√ +2 ±√ +2 b2 a (-5) - 4ac 2 + 5 - 8,544004 +4 x2 = x= x2 = - 3,54400375 -4(2)(-6) +4 (2) x2 = x= x= x= +5 ± √ + 25 +4 +5 ± √ + 73 +4 +5 ± + 48 8,54400375 +4 - 0,88600094
  5. 5. Tabluación y gráfica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 201 + 119 + 57 + 15 -6 -7 + 12 +7 +9 + 51 + 111 Soluciones x y + 3,38600 0 - 0,88600 0
  6. 6. 2do problema Las soluciones son dos, aunque Solución por medio de la fórmula general en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 ↓ -3 bx b +b c valores de x 1 y x 2 son iguales. 2 b 2a x 4 ac x1 = +c ↓ x2 +4 misma solución, es decir, los 0 = 0 ↓ x + 12 - 4 + 12,649111 -6 x1 = + 8,64911064 -6 = 0 x1 = - 1,44151844 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b -(4) ± √ b2 +2 a ±√ +2 (4) - 4ac 2 - 4 - 12,649111 -6 x2 = x= x2 = - 16,64911064 -4(-3)(12) -6 (-3) x2 = x= x= x= -4 ± √ + 16 + 144 -6 -4 ± √ ### -6 -4 ± 12,6491106 -6 Tabluación y gráfica + 2,77485177
  7. 7. Tabulación y Grñafica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y - 267 - 152 - 67 - 12 + 12 +6 - 31 +7 +9 - 98 - 195 Soluciones x y - 1,44152 0 + 2,77485 0
  8. 8. 3er Problema Las soluciones son dos, aunque Solución por medio de la fórmula general en agunos casos se repite la ax 2 x x2 a bx + 255 b 2a +b x ↓ x2 - 328 misma solución, es decir, los 0 2 b ↓ c valores de x 1 y x 2 son iguales. 4 ac x1 = +c = 0 ↓ x x1 = ## ####### + 510 ########## + 510 - 1156 = 0 x1 = + 2,86731325 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b ± √ b2 +2 a - 4ac x2 = x2 = x= -(-328) 2 ± √ (-328) -4(255)(-1156) + 2 (255) x= x= ## ## ## ± √ ### #### + 510 ± √ ### + 510 ± 1134,32976 + 510 ####### + 510 - 806,32975805 + 510 x2 = x= ## - 1,58103874
  9. 9. Tabluación y gráfica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 22451 + 12676 + 5484 + 873 - 1156 - 603 + 2532 +7 +9 + 8248 + 16547 Soluciones x y + 2,86731 0 - 1,58104 0
  10. 10. 4to Problema Las soluciones son dos, aunque Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 bx b 2a +b misma solución, es decir, los 0 2 b ↓ + 15 c x valores de x 1 y x 2 son iguales. 4 ac x1 = +c ↓ x2 - 15 = 0 ↓ x - 30 # # + 45,000000 + 30 x1 = + 60,00000000 + 30 = 0 x1 = + 2,00000000 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b -(-15) ±√ +2 b2 a ± √ (-15) + 2 (15) - 4ac 2 # # - 45,000000 + 30 x2 = x= x2 = - 30,00000000 -4(15)(-30) + 30 x2 = x= x= x= + 15 + 15 + 15 ± √ # # # + 1800 + 30 ± √ ### + 30 45 ± + 30 - 1,00000000
  11. 11. Tabulación y gráfica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 1320 + 755 + 341 + 80 - 30 + 12 + 206 +7 +9 + 552 + 1050 Soluciones x y + 2,00000 0 - 1,00000 0
  12. 12. 5to Problema Las soluciones son dos, aunque Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 bx b 2a +b misma solución, es decir, los 0 2 b ↓ + 15 c x valores de x 1 y x 2 son iguales. 4 ac x1 = +c ↓ x2 - 30 = 0 ↓ x + 15 x1 = # # 0,000000 + 30 + 30,00000000 + 30 = 0 x1 = + 1,00000000 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b ±√ +2 b2 a - 4ac x2 = x2 = x= -(-30) ± √ (-30) + 2 (15) 2 -4(15)(15) x= x= + 30 + 30 + 30 ± √ ### + 30 ±√ + 30 - 900 0 0 ± + 30 + 30,00000000 + 30 x2 = x= # # 0,000000 + 30 + 1,00000000
  13. 13. Tabulación Gráfica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 1500 + 901 + 454 + 158 + 15 + 23 + 184 +7 +9 + 496 + 960 Soluciones x y + 1,00000 0 + 1,00000 0
  14. 14. 5 PROBLEMAS DE LIBRO
  15. 15. 1er Ejemplo
  16. 16. Las soluciones son dos, aunque Solución por medio de la fórmula general en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 ↓ +6 bx c valores de x 1 y x 2 son iguales. 2 b b 2a +b misma solución, es decir, los 0 x 4 ac x1 = +c ↓ x2 - 13 = 0 ↓ x - 15 # # + 23,000000 + 12 x1 = + 36,00000000 + 12 = 0 x1 = + 3,00000000 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b -(-13) ± √ b2 +2 a ± √ (-13) +2 (6) - 4ac 2 # # - 23,000000 + 12 x2 = x= x2 = - 10,00000000 -4(6)(-15) + 12 x2 = x= x= x= + 13 ± √ ### + 12 + 13 ± √ ### + 12 + 13 + 360 23 ± + 12 Tabluación y gráfica - 0,83333333
  17. 17. x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 588 + 346 + 165 + 45 - 15 - 14 + 48 +7 +9 + 171 + 354 Soluciones x y + 3,00000 0 - 0,83333 0 2do Ejemplo
  18. 18. Las soluciones son dos, aunque Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 ↓ +2 bx b +b c valores de x 1 y x 2 son iguales. 2 b 2a x 4 ac x1 = +c ↓ x2 -4 misma solución, es decir, los 0 = 0 ↓ x - 10 + 4 + 9,797959 +4 x1 = + 13,79795897 +4 = 0 x1 = + 3,44948974 Sustituyendo en la fórmula general: x= -(-4) ±√ +2 ±√ +2 b2 a (-4) - 4ac 2 + 4 - 9,797959 +4 x2 = x= -b x2 = - 5,79795897 -4(2)(-10) +4 (2) x2 = x= x= x= +4 ± √ + 16 +4 +4 ± √ + 96 +4 +4 ± + 80 9,79795897 +4 Tabluación y gráfica ´ - 1,44948974
  19. 19. x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 188 + 108 + 49 +9 - 10 -9 + 13 +7 +9 + 54 + 116 Soluciones x y + 3,44949 0 - 1,44949 0
  20. 20. 3er Ejemplo Las soluciones son dos, aunque Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 ↓ +7 bx c valores de x 1 y x 2 son iguales. 2 b b 2a +b x 4 ac x1 = +c ↓ x2 -8 misma solución, es decir, los 0 = 0 ↓ x -5 + 8 + 14,282857 + 14 x1 = + 22,28285686 + 14 = 0 x1 = + 1,59163263 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b -(-8) ±√ +2 ±√ +2 b2 a (-8) - 4ac 2 + 8 - 14,282857 + 14 x2 = x= x2 = - 6,28285686 -4(7)(-5) + 14 (7) x2 = x= x= x= +8 ± √ + 64 + 14 +8 ± √ ### + 14 +8 ± + 140 14,2828569 + 14 - 0,44877549
  21. 21. Tabluación y gráfica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 634 + 368 + 173 + 48 -5 + 12 + 101 +7 +9 + 260 + 490 Soluciones x y + 1,59163 0 - 0,44878 0
  22. 22. 4to Ejemplo Las soluciones son dos, aunque Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 ↓ + 10 bx c valores de x 1 y x 2 son iguales. 2 b b 2a +b x 4 ac x1 = +c ↓ x2 -4 misma solución, es decir, los 0 = 0 ↓ x -2 + 4 + 9,797959 + 20 x1 = + 13,79795897 + 20 = 0 x1 = + 0,68989795 Sustituyendo en la fórmula general: x= -(-4) ±√ +2 b2 a ± √ (-4) + 2 (10) - 4ac 2 + 4 - 9,797959 + 20 x2 = x= -b x2 = - 5,79795897 -4(10)(-2) + 20 x2 = x= x= x= +4 ± √ + 16 + 20 +4 ± √ + 96 + 20 +4 ± + 80 9,79795897 + 20 - 0,28989795
  23. 23. Tabulación y gráfica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y + 844 + 481 + 219 + 58 -2 + 40 + 183 +7 +9 + 427 + 772 Soluciones x y + 0,68990 0 - 0,28990 0
  24. 24. 5to Ejemplo Las soluciones son dos, aunque Sol uci ón por medi o de l a fórmul a genera l en agunos casos se repite la ax 2 x a x2 ↓ -9 bx c valores de x 1 y x 2 son iguales. 2 b b 2a +b x 4 ac x1 = +c ↓ x2 misma solución, es decir, los 0 = 0 ↓ -4 x +2 + 4 + 9,380832 - 18 x1 = + 13,38083152 - 18 = 0 x1 = - 0,74337953 Sustituyendo en la fórmula general: x= -b -(-4) ±√ +2 ±√ +2 b2 a (-4) - 4ac 2 + 4 - 9,380832 - 18 x2 = x= x2 = - 5,38083152 -4(-9)(2) - 18 (-9) x2 = x= x= x= +4 ± √ + 16 - 18 +4 ± √ + 88 - 18 +4 ± + 72 9,38083152 - 18 + 0,29893508
  25. 25. Tabluación y gráfica x -9 -7 -5 -2 0 +2 +5 y - 691 - 381 - 162 - 35 +2 - 53 - 198 +7 +9 - 435 - 763 Soluciones x y - 0,74338 0 + 0,29894 0

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