CURSO DE MATEMATICA II-UNASAM-PERU

1. 1
I.
Ciclo
II
COORDENASPOLARES–GRAFICASYAPLICACIONES
Microsoft Teams

2. 2
II. SABERES PREVIOS
I. COORDENADAS POLARES
Este sistema consiste en señalar un punto que es el origen de las coordenadas y a partir de
él se señala un segmento de recta horizontal denominado línea inicial o eje polar, en el cual se
marca la escala que se desee, para medir distancias. Una vez hecho esto, para indicar la posición de
un punto cualquiera del plano, trazamos la recta desde el punto en cuestión hasta el origen del
sistema y se mide el ángulo por el eje polar y la recta. La medida del ángulo y de la distancia del
punto al origen son las coordenadas polares del punto.
Posición de un punto en coordenadas polares: Y donde θ es el ángulo de inclinación del radio
vector OP con respecto al semieje X (positivo), llamado EL EJE POLAR.
Nota: La medida del ángulo  estará dado en radianes.
PLANO EN COORDENADAS POLARES
Coordenadas polares y coordenadas rectangulares

3. 3
II.Resolviendo los problemas :
III.Ejercicios prácticos.
1) Dada la ecuación cartesiana 2 2 2 0x y x   , transformarla a coordenadas polares e identificar su
gráfica.
Solución.
https://www.geogebra.org/classic/hh7yrqjw
https://www.geogebra.org/m/ZCqrZTUs https://www.geogebra.org/m/fMJG6gbY

4. 4
Tenemos 2 2 22 0 2 cos( ) 0 ( 2cos( )) 0x y x r r r r       
0 2cos( ) 2cos( )r o r r   
La ecuación 2 2 2 0x y x   equivale a escribirlo de la siguiente forma
2 2
( 1) 1x y   y podemos
observar que esta ecuación representa una circunferencia de centro en el punto (1,0) y de radio 1.
Graficando con el software libre Geogebra.
2) Encontrar la ecuación polar de la gráfica
2 2 2 2 2
( ) 4( )x y x y   . Solución.
Se sabe cos( ) ; ( )x r y rsen   y
2 2 2
x y r  reemplazando estas ecuaciones en la
ecuación original tenemos:
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
( ) = 4 cos =4 (cos )r r r sen r r sen      
 
De donde se obtiene  2
4 cos(2 ) 2 cos(2 )r r    …ó 2 cos(2 )r   .Usando el software
libre Geogebra.
Interactivo en 3D
3) Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar

5. 5
( ) 2cos( )r sen    y determine sus elementos.
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
x y r
Sabemos: r.cos( ),multiplicar (r)
r. ( )
r.(r ( ) 2cos( ))
r r. ( ) 2r.cos( )
x y y 2x. Usando el álgebra:
1 1
(x 2x+1)+(y )=1+
4 4
1 5 5
(x 1) ( ) ( )
2 4 2
5 1
C(1, ).Es una
2 2
x
y sen
sen
sen
y
y
r y


 
 
  


 
 
 
  
  
    



circunferencia
4) Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar 2 (3 )r sen 
Solución.
3
3 3
r 2 (3 ) r 2(3 ( ) 4 ( ))
6 ( ) 8( ( )) , multiplica por (r )
sen sen sen
sen sen
  
 
   
 
4 3 3 3
r 6 ( ) 8 ( ( ))r r ,
x r.cos( )reemplazando:
y r. ( )
sen sen
sen
 


 
 


6. 6
4 2 3
2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 3
r 6 ( )) 8( r. ( ))r (r.
(x y ) 6( x y ) y 8y
(x y ) 6x y 2 y
sen sen  
   
  
Interactivo en 3D
IV.Gráficas de curvas en coordenadas polares
Se quiere graficar la curva en coordenadas polares:
f ( )......................(*)r 
Para graficar (*) en coordenadas polares, es conveniente hacer un análisis previo antes de tabular y
ubicar los puntos, para simplificar la construcción de la gráfica. En este análisis se consideran las
nociones de INTERCEPTOS, SIMETRIA, EXTENSIÓN Y RECTAS TANGENTES EN EL POLO.

7. 7
5) Por ejemplo los Interceptos de la gráfica de la ecuación 2cos( )r  son:
2r  , cuando se hace 0  ; 0r  , cuando se hace
2

  ; 2r   , cuando se hace  
0r  , cuando se hace
3
2

  . Es decir los puntos  (2,0) ( 2, )  y
3
(0, ) (0, )
2 2
 

 
  
el origen.
Algunas ecuaciones polares que son de interés son:
(1) rcos(θ) a representa la recta vertical ax 
(2) rsen(θ) a representa la recta vertical ay  . Son circunferencias:
6) Graficar: 4 (2 )r sen 
Solución.
 Extensión.
Tenemos 4 (2 ) 4 (2 ) 4(1) 4 4r sen sen r      luego, la gráfica se encuentra
encerrada en una circunferencia de radio 1.
 Simetrías

8. 8
Eje Polar: Reemplazando
( )
r por r
y
por  






en la ecuación 4 (2 )r sen  tenemos:
 4 2( ) 4 (2 2 ) 4 2r sen sen sen            4 (2 )r sen   , vemos que la
ecuación no varía, por lo tanto es simétrico respecto al eje polar.
Eje Normal
Reemplazando  por   en la ecuación 4 (2 )r sen  tenemos:
 4 2( ) 4 2r sen sen     , vemos que la ecuación no varía, por lo tanto es simétrico
respecto al eje normal.
Con el polo
Reemplazando  por   en la ecuación 4 (2 )r sen  tenemos:
 4 2( ) 4 2 2 4 (2 )r sen sen sen         , vemos que la ecuación no varía, por lo
tanto es simétrico respecto al polo.
 Rectas tangente con el polo
Haciendo 0r 
Entonces: 4 (2 ) 0 (2 ) 0 2 0, ,2 3 ,4 ,5 ,...,sen sen           
3
0, , , 2
2 2
y
 
            , son las rectas tangentes con el polo.
 Interceptos con los ejes principales
Los Interceptos de la gráfica de la ecuación 4 (2 )r sen  son:
0r  , cuando se hace 0 
0r  , cuando se hace
2

  ; 0r  , cuando se hace   ; 0r  , cuando se hace
3
2

 
Es decir los puntos
3
(0,0) (0, ) (0, ) (0, )
2 2
 
  
 
  
el origen.
 Tabla
 0
12

6

4

3
 5
12

2

r 0 2 3.44 4 3.44 2 0
 Gráfico

9. 9
Interactivo en 3D
7) Hallar su gráfica: su
r a+b.cos( )r 1 cos( ) : Es una (abierto a bcardio l zide a i quierda) ,pues a   
0 0 0 0 0 0 0 0 00 60 90 120 135 150 165 180 360
0 0.5 1 1.5 1.70 1.86 1.96 2 0
Tabulando: 1 cos( )
r
r

 

10. 10
Interactivo en 3D
8) Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar
2
2 ( )r sen 
Solución.
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 ( ) 2( )
( ) 2
y
r sen x y
x y
x y x y y
   

   

11. 11
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 ( ) 2 ( ),tabulando
0 15 30 45 60 75 90 180 270 360
0 0.71 1 1.18 1.31 1.38 1.41 0
r sen r sen
r
 

  
 0
Interactivo en 3D
9) Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar 6 (2 )r sen 
Solución.
2 2 2 2 3
2 2
6 (2 ) 6(2. ( )cos( )) 12 ( )cos( )
.
12( ) ( ) 12 .
( )
r sen r sen sen
x y
x y x y x y
x y
       
    

Graficando: 6 (2 )r sen 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 (2 ),tabulando
0 15 30 45 60 75 90 180 270 360 165 150
0 3 5.19 6 5.19 3 0 0 0 0 3 5.19
135 ...120 ........105 .....195 .....210 .....225 ...240 ....255 ..285 ..300 ..315 .....330 ....345
6.... 5.
r sen
r



 
  19.... .3........ 3.. 5.19......6..... 5.19.....3.... 3.... 5.19. 6.... 5.19.. 3     

12. 12
Interactivo en 3D
10) Hallar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación:
2 2
2 5yx x y 
Solución.
2 2 2 2
3 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 5 ( ( ))( cos( )) 2 cos( ) 5( ( ))
( ( ))(cos ( )) 2 cos( ) 5( ( )) 0
[ ( ))(cos ( )) 5( ( )) 2cos( )] 0
0 [ ( ))(cos ( )) (5 ( )) 2cos( )] 0
yx x y rsen r r rsen
r sen r r sen
r r sen rsen
r r sen r sen
   
   
   
   
    
  
  
    
2
2 2 2 2
2
2 2 3
2
4a.c
Usando la fórmula general en r: r
2a
( 5 ( )) ( 5 ( )) 4( ( ))(cos ( )))( 2cos( ))
2( ( ))(cos ( )))
5 ( )) (25 ( )) 8( ( ))(cos ( )))
;( ( ) 0,c
2( ( ))(cos ( )))
b b
sen sen sen
r
sen
sen sen sen
r sen
sen
    
 
   

 
  

     

 
  os( ) 0) 

13. 13
11) Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar 4(cos(2* ))r 
2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 2
2
2 2
cos
)
cos( )
4( ) :sabemos:)
s
(2*
2cos
)
( )
(
4( ) . 8 cos ( ) 4
8( co ( )) 4 ( ) 8( ) 4(
1
x r
r y rsen
x y r
r r r r r
r r r x y x x y






 

 
  
   
      
12) Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar 2(1 cos( ))r  
Graficando: Es simétrica con el eje polar
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r 2(1 cos( )),tabulando
0 15 30 45 60 75 90 180 105 120 135 150
r 0 0.068 0.26 0.5 1 1.4 2 4 2.51 3 3.41 3.7


 
Interactivo en 3D

14. 14
2
2 2 2 2
. 2 (1 cos( )) 2 2 cos( )
( ) 2 ( ) 2 0
r r r r r r
x y x y x
     
    
13) Hallar su grafica de la ecuación cartesiana:
2 2 3 2 3
(x y a) x y 0   
Para graficar usando en GEOGEBRA Ver.06
Interactivo
14) Hallar la gráfica que tiene la ecuación:
2
2
f(x)= x + a x
g(x)= x a x

 

15. 15
V.Ejercicios a Resolver: Hallar sus ecuaciones cartesianas a polares o viceversa
1. Construya un plano y marque los puntos cuyas
coordenadas polares son dadas. Exprese dichos
puntos con 0r  y con 0.r 
a) (1, )
2

b)
2
(4, )
3

 c) ( 1, )
d)
3
( 2, )
2


2. Escribir cada una de las siguientes ecuaciones
cartesianas rectangulares en términos de las
coordenadas polares ,r 
a).
2 2
1
4 9
x y
  b) 4y   c) 1xy 
d) 2 3 0x y  
3. Exprese cada una de las siguientes ecuaciones,
dadas en coordenadas polares, en términos de
las coordenadas rectangulares ,x y
a). ( )r sen  b)
6

  c)
4
4 cos( )
r



4. Encontrar los puntos de intersección de las
curvas
a) cos 4r  
a)   4rsen  
5. Graficar
2
4 (2 )r sen   (lemniscata) 6. Graficar 2 2 ( )r sen   (cardioide)
7. Graficar 6 (5 )r sen  (rosa de 5 hojas) 8. Graficar 2sec( ) 1, 0r      
(concoide)
9. Graficar  3 3
0( ) 4 cosr sen r    10.Graficar 2
2
2sec ( )r


Nota: Comprobar tus resultados usando los programas Derive, Maple y GEOGEBRA
VI.Referencia Bibliográfica
Matemática II para Ingeniería y Algunas Aplicaciones con el Software Geogebra y Maple”
Edit. Unasam-Huaraz-Ancash-Perú. J. leiva, J. Siva, A. Pacheco. 2020
https://es.slideshare.net/search/slideshow?searchfrom=header&q=grafica+de+polares
https://web.microsoftstream.com/video/8b7d0572-94a1-41f7-b50d-273f4e782c65
Web:
https://es.slideshare.net/MAORELLANO/sesin-07polares
https://youtu.be/Fyh0V5B3EZY
https://www.youtube.com/watch?v=Jew_enBmMsU
https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
https://www.geogebra.org/m/f9eq5ktf
https://www.geogebra.org/
http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/integracion2/html/tfun
damental.html
https://edumatth.weebly.com/caacutelculo-integral.html
https://es.slideshare.net/emy20342/coordenadas-polares-8062991.