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Quinto Año de Secundaria




           Solucionario

quinto año de educación secundaria




                    -1-
CAPÍTULO 2

                                ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36)

                      Factorial de un número
                                 NIVEL I                              Resolución            7
                                                                                1 (n + 3 )!
Resolución        1                                                              ·          = 10
                                                                                3 (n + 1)!
E = (n + 2)! – 2(n+1)!
                                                                               (n + 3)! = 30(n + 1)!
E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]
                                                                               (n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!
                  ∴           E = n(n + 1)!              Rpta.: D
                                                                               (n + 3)(n + 2) = 30
Resolución        2
                                                                                            ∴           n=3        Rpta.: B
   7! − 2 × 5! 7 ·6 ·5! − 2·5! 7·6· 5 ! − 2· 5 !
M=             =              =
   6! − 10 × 4! 6·5! − 2·5·4! 6· 5 ! − 2· 5 !                         Resolución            8
   42 − 2                                                             (x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880
M=
   6−2
                                                                      (x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880
                  ∴           M = 10              Rpta.: E
                                                                      (x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880
Resolución        3                                                   (x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880
             1        1        1       1                              (x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72
      E=         =         =         =
           4!+ 3! 4· 3!+ 3! 3!(4 + 1) 3!· 5
                                                                      x–1=5
             4      4
      E=          =                    Rpta.: E                                             ∴           x=6          Rpta.: B
         3!· 4 · 5 5!
                                                                      Resolución            9
Resolución        4
     1     1      (n + 1)     1                                                 (x − 1)! (x + 2 ) = 5
E=     −        =         −                                                            x!          3
     n! (n + 1)! n!(n + 1) (n + 1)!
      n +1       1      n + 1− 1
                                                                               3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!
E=           −        =
     (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)!                                                3x + 6 = 5x
                               E=
                                         n                                               ∴      x=3           Rpta.: B
                  ∴                   (n + 1)!
                                                    Rpta.: D

                                                                      Resolución            10
Resolución        5
           (n + 1)!− n! = (n + 1)n!− n! = n![n + 1− 1]                               m!(n + 1)! m!(n + 1) n!
      R=                                                                        E=              =
             (n − 1)!        (n − 1)!       (n − 1)!                                 (m + 1)! n! (m + 1)m! n!

             n!n     n!· n · n n! n2                                                                         n+1
      R=           =          =                                                             ∴           E=           Rpta.: B
           (n − 1)! n(n − 1)! n!                                                                             m+1

                          ∴      R = n2           Rpta.: B            Resolución            11

Resolución        6                                                            11!+10!+ 9! 11· 10· 9· 8!+10· 9· 8!+ 9· 8!
                                                                      R=                  =
       (n + 2)! = 6       (n + 2)(n + 1)n! = 6                                   121· 8!               121· 8!
                      à
          n!                     n!                                            11 10· 9 + 10· 9 + 9
                                                                                 ·
                                                                          R=
      (n + 1)(n + 2) = 6                                                               121
      Resolviendo:
                                                                                            ∴           R=9              Rpta.: B
                       ∴       n=1               Rpta.: A

                                                                    -2-
Quinto Año de Secundaria



Resolución        12                                                  Resolución              3
        (n + 1)!  (n + 3 )!                                            (n + 2)! − n n + 3 + (n − 2)!
      2          −          =6                                      P=             (     )
        n!  (n + 2)!
                                                                            n!                 (n − 3)!
                                                                         (n + 2)(n + 1)n! − n n + 3 + (n − 2)(n − 3)!
      2· (n + 1)n!       (n + 3)(n + 2)! = 6                          P=                     (      )
                     −                                                          n!                        (n − 3)!
           n!                (n + 2)!
                                                                      P = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n + n − 2
      2n + 2 – n – 3 = 6
                                                                                                  ∴             P=n                      Rpta.: C
                         ∴           n=7                Rpta.: C

                                                                      Resolución              4
Resolución        13
                                                                              ( x − 5)!       2 ( x − 4 )!
(x + 6 )! − (x + 2)! = 44                                                                 =
                                                                              ( x − 3)!       ( x − 2)!
( x + 4)!      x!
                                                                                      ( x − 5)!                  2 ( x − 4 )!
( x + 6 )(x + 5)( x + 4)! − (x + 2)( x + 1) x! = 44                                                      =
                                                                            ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5)! (x − 2) ( x − 3 ) (x − 4 )!
         (x + 4 )!                 x!
                                                                               1   2
(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44                                             =                              x–2 = 2x – 8
                                                                              x−4 x−2
8x + 28 = 44
                                                                                                  ∴               x=6                     Rpta.: D
                         ∴           x=2                Rpta.: D
                                                                      Resolución              5
Resolución        14
                                                                               ( x − 2)!+ (x − 1)! = 720
      (n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2                                                     x
      (n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2                                   (x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x
      (n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2                                   (x–2)!(1+x–1) = 720 x
      [(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n                                           (x–2)! = 6!                    x–2= 6
      [(n–1)!]2[n] = 36n                                                                              ∴           x=8                      Rpta.: B
      (n–1)! = 6
      (n–1)! = 3!                                                     Resolución              6
      (n – 1) = 3                                                             (n + 4)! − (n + 3)! = 25
                             ∴         n=4              Rpta.: C              (n + 2)! (n + 2)!

                                                                      (n + 4 )(n + 3 )(n + 2 )! − (n + 3 )(n + 2 )! = 25
                                     NIVEL II                                 (n + 2 )                (n + 2 )!
                                                                             n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25
Resolución        1
                                                                             n2 + 6n + 9 = 25
            n!
      R=          − n2                                                                            ∴              n=2                      Rpta.: C
         (n − 2)!
           n (n − 1)(n − 2)!                                          Resolución              7
      R=                         − n2 = n2 − n − n2
                (n − 2)!                                                
                                                                      A=
                                                                              (n + 1)!+ n!   (2n + 3)! 
                                                                                                          
                                 ∴     R = –n         Rpta.: D          
                                                                         (2n + 1)!+ (2n + 2)!   (n + 2)! 
                                                                                                          

Resolución        2                                                     
                                                                      A=
                                                                                 (n + 1)n!+ n!        (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)!
                                                                                                     ·
                                                                        (2n + 1)!+ (2n + 2)(2n + 1)!
                                                                                                         (n + 2)(n + 1· n!
                                                                                                                        )
  n (n + 1)!− n! n (n + 1) n!− n! n· n!(n + 1− 1)
M=              =                =
      (n − 1)!          (n − 1)!          (n − 1)!                    =
                                                                              n!  n + 2 
                                                                                                    ·
                                                                                                          ( 2n + 3 )(2n + 2) (2n + 1)!
                                                                          (2n + 1)!  2n + 3 
                                                                                                              ( n + 2 )(n + 1)n!
   n· n· n! n· n· n (n − 1)!
M=          =
   (n − 1)!     (n − 1)!                                                  2 (n + 1)
                                                                      =
                                                                           n +1
                                 ∴      M = n3        Rpta.: C
                                                                                                      ∴            A=2                    Rpta.: B


                                                                   -3-
Resolución         8                                                           (13· 12)2 (11!)2            13· 12· 11 10!
                                                                                                                     ·
                                                                                                       −
        (n + 7 )! ⋅ (n + 5 )! = 10!                                                       2
                                                                                (12 + 1) (11!)     2        10! (1+ 11)
       (n + 6 )!+ (n + 5 )!
                                                                               (13· 12)2 − 13· 12· 11
            (n + 7)!(n + 5)!        = 10!                                        (13 )2       12
       (n + 6) · (n + 5)!+ (n + 5)!
                                                                               (12)2 – 13· 11
        (n + 7 )! (n + 5)! = 10!
       (n + 5)! [n + 6 + 1]                                                                                ∴         1                 Rpta.: A
                                                                          Resolución          12
       (n + 7)(n + 6)! = 10!          (n + 6)! = 10!                           (119!)x!!      (5!)x!! = (5!!23!)24
           (n + 7 )
                                                                               (119!   5!)x!!     = (5!!)23!· 24
      n + 6 = 10
                                                                               (119! 120)x!! =(5!!)24!
                        ∴          n=4                      Rpta.: E
                                                                               (120!)x!! = (5!!)24!
Resolución         9                                                           (5!!)x!! = (5!!)24!

R=
     (a!!+ 2)!− 2(a!!+ 1)! = (a!!+ 2)(a!!+1)!− 2(a!!+ 1)!                      x!! = 24!               x!! = 4!!
           (a!!+ 1)!                  (a!!+ 1)!                                                       ∴          x=4                   Rpta.: B

R=
     (a!!+ 1)! (a!!+ 2 − 2)                                               Resolución          13
            (a!!+ 1)!
                                                                              5               5                5
                        ∴          R = a!!                  Rpta.: B                =                   =
                                                                          5!+ 4!+ 3! 5· 4· 3!+ 4· 3!+ 3! 3!(20 + 4 + 1)
Resolución         10                                                       5        1          4         4
                                                                                =         =             =                   Rpta.: D
      E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!!                                   3!· 25 3· 2· 1 5 5· 4· 3· 2· 1 5!
                                                                                        ·
      E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!!
      E = (n!!–1)! n!! – n!!!                                             Resolución          14
      E = n!!! – n!!!                                                          (n + 2)!   = 5+
                                                                                                   (n + 12)!
                        ∴             E=0                   Rpta.: C              n!               (11+ n)!
Resolución         11                                                          (n + 2)(n + 1)n! = 5 + (n + 12)(n + 11)!
                  (13!)2                 13!                                          n!                  (n + 11)!
             2
                                     −
                                   2 10!+ 11!
       (12!) + 2 (12!11!) + (11!)                                              (n+2)(n+1) = 5+n+12
          (13!)2 − 13!                                                         n2 + 3n+2 = 5+n+ 12
       (12!+ 11!)2 10!+ 11!                                                    n2 + 2n = 15
                                                                                   ∴ n=3
        (13· 12· 11!)2 − 13· 12· 11· 10!
       (12· 11!+ 11!)2 10!+ 11· 10!                                                               ∴        Suma valores = 3             Rpta.: C




                                                     ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46)


                                   NIVEL I
                                                                          Resolución          2
Resolución         1

                                                                               5 pantalones                         3 blusas

                                                                               N° maneras = 5 × 3
      N° maneras = 6 × 4
                                                                                              ∴            N° maneras = 15              Rpta.: C
                   ∴          N° maneras = 24                Rpta.: D


                                                                        -4-
Quinto Año de Secundaria



Resolución      3                                                        Resolución      9
     m                                                                                5
                                                                             ...................← Personas
    V2 = 20
                                                                                      5
                                                                             --------------- ← asientos
       m!                    m (m − 1) (m − 2 )!                             N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1
               = 20                                = 20
    ( m − 2 )!                       (m − 2)!                                       ∴            N° maneras = 120           Rpta.: C
    m(m–1) = 4 × 5

                            ∴        m=5            Rpta.: C             Resolución      10


Resolución      4
 A B C         D                       ← asientos
      N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3
                                                                             Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta-
                ∴         N° maneras = 360                Rpta.: B
                                                                             mos.
                                                                             N° maneras = 4!
Resolución      5
                                                                                         ∴        N° maneras = 24          Rpta.: B
    3 : anillos:
    4 : dedos
    N° maneras = 4· 3· 2                                                 Resolución      11

                ∴             N° maneras = 24             Rpta.: C           N = a b c d > 6000
                                                                                 6523

Resolución      6                                                            N° maneras = 1· 3· 2· 1

    10 : amigas                                                                          ∴           N° maneras = 6         Rpta.: D

    6 : invitadas                                                        Resolución      12
                                  10· 9· 8· 7
    N° maneras =          C10
                           6    =                                                   8· 7· 6· 5
                                   1 2· 3· 4
                                    ·                                        C8 =
                                                                              4
                                                                                    1 2· 3· 4
                                                                                     ·
                ∴           N° maneras = 210                Rpta.: B                     ∴        N° cuadriláteros = 70      Rpta.: B

Resolución      7                                                        Resolución      13
    n                                                                      N = abc
      = 15
     4                                                                     números: {1; 2; 3; 4; 5}
    n (n − 1)(n − 2 )(n − 3 )                                                N° maneras = 5· 4· 3
                                = 15                                                     ∴           N° maneras = 60        Rpta.: D
           1 2· 3· 4
            ·
    n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3
                                                                         Resolución      14
                      ∴              n=6              Rpta.: B                   n + 1  n 
                                                                                      :    ... (1)
                                                                                 n   n − 1
Resolución      8
                                                                             Entonces:
     x    x
    C5 + C6 = 28                                                                 n + 1  n + 1   n + 1
                                                                                      =       =       = n+1
    C5 + C6 = C6 +1 = 28
     x    x    x                                                                 n   n + 1− n   1 

    ( x + 1) x (x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 28                              n           n       n
                   1 2· 3· 4· 5· 6
                    ·                                                                 =             = =n
                                                                                 n − 1  n − (n − 1)   1 
    (x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3                                 En (1):

                        ∴            x=7                  Rpta.: C                                      n+1
                                                                                                 ∴                    Rpta.: D
                                                                                                         n


                                                                       -5-
Resolución     15                                                 Resolución      7
     x
    C5 = 21                                                                p + q     (p + q)! = (p + q)!
                                                                                =
                                                                             p  p! (p + q) − p  !
                                                                                                    p! q!
    x (x − 1)(x − 2)(x − 3 )(x − 4 )
                                       = 21
              1 2·3· 4· 5
               ·                                                      Además:
    x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3                                  p + q  p + q      p + q
                                                                                =          =      
                         ∴         x=7            Rpta.: E                 q   (p + q) − q   p 

                                                                      ∴       Son equivalentes I y II              Rpta.: B
                              NIVEL II
Resolución     1                                                  Resolución      8

                                                                      4 : biólogos → se escogen 2

                                                                      3 : químicos → se escogen 2

    De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos                                    5 : matemáticos → se escogen 3
    De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos
    N° maneras = 9· 9 = 81                                            N° maneras = C4 · C3 · C5
                                                                                    2    2    3
    Quitamos los 9 caminos de ida.
    N° maneras = 81 – 9
                                                                                            4·3  3·2  5·4·3 
               ∴       N° maneras = 72               Rpta.: B         N° maneras =  1· 2  ·  1· 2  ·  1· 2 · 3 
                                                                                                               

Resolución     2                                                      ∴ N° maneras = 180                Rpta.: C
      N° maneras = 7· 6 · 5
    ∴ N° maneras = 210                 Rpta.: D                   Resolución      9

                                                                          x
Resolución     3                                                            = 0 ..... (1)
                                                                           10 
    Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}                             Se sabe que:
    N = a bc d e                                                           m
         ↓ ↓↓ ↓ ↓                                                          =0       ⇔ m<n ∧ m>0
         98765                                                            n
    N° formas = 9· 8·7· 6· 5                                          En (1): x < 10        x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
      ∴         N° formas = 15120                  Rpta.: C
                                                                      Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9
Resolución     4                                                      ∴          Producto: 9!                  Rpta.: D
    L I B R O → 5 letras
    N° palabras = 5!
                                                                  Resolución      10
      ∴         N° palabras = 120                 Rpta.: B
                                                                         n + 1  n   n   n + 1
                                                                                                  −
                                                                      Q=      + +      +      
Resolución     5                                                           2   1  n − 1  n − 1
            25· 24                                                        Se sabe que:
    C25 =
     2
             12
              ·
                                                                           m  m 
                                                                           =        
     ∴              N° partidos = 300             Rpta.: D                 n   m − n

                                                                           n + 1  m + 1
                                                                                     n         n   n
Resolución     6                                                                =       y       = 
                                                                           n − 1  2        n − 1  1 

    N° diagonales = C8 − N° lados                                     Luego:
                     2
                                                                                 n + 1  n       (n + 1)n    
                            8 ·7                                          Q = 2        +   = 2           + n
    N° diagonales = 1· 2 − 8                                                      2   1           12
                                                                                                          ·        

     ∴          N° diagonales = 20                Rpta.: B            ∴            Q = n2 + 3n                Rpta.: B


                                                                -6-
Quinto Año de Secundaria



Resolución        11                                                        Resolución     12
          n  n −1 
               +        = 99
          n + 1  n − 2 
     Se sabe que:
          m
          =0 ⇔ m < k                                                           N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1
         k 
                                                                                 ∴ N° maneras = 120          Rpta.: E
          n 
               =0
          n + 1                                                           Resolución     13
Luego:                                                                             3 : entradas   → se toma 1
       n −1                    n −1                                            3 : de fondo → se toma 1
     0+       = 99                                 = 99
        n − 2                   (n − 1) − (n − 2)                              5 : postres    → se toma 1
                                                                                               3    3    5
                                                                                 N° maneras = C1 · C1 · C1
           n − 1
                 = 99          n – 1 = 99
           1                                                                   N° maneras = 3· 3· 5
     ∴ n = 100                 Rpta.: D                                          ∴ N° maneras = 45       Rpta.: A


                                                        BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53)

                                                                       NIVEL I

Resolución        1

A)   (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5

                  = x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5

B)   (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 +

                          7(1)(3a)6 + (3a)7

                  =1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7

C)   (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b                 4   – 462(1)6b5 +

                      462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11

                  = 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9

                      + 11b10 – b11

              6
          1     6      5 -1          4 -1 2      3 -1 3       2 -1 4        -1 5   -1 6
D)    x − x  = x – 6(x) ·(x ) + 15(x) (x ) –20(x) (x ) + 15(x) (x ) – 6(x)(x ) + (x )
            
                  = x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6
                  4
      2 1
E)    z + 2  = (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4
         z 

                      =z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8
                      6
       3 x3 
F)     4−    = (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 +
      x   4 
            

                           15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6


                               −24       729 −17 1215 −10 135 −3 135 4     9 11     1 18
                      = 729x         −      x   +    x   −    x +     x −     x +      x
                                          2       16       16     256     512     4096



                                                                        -7-
Resolución             2                                                                           Resolución       3
                                                      11                                         A)   (2x – y)4
A)   (x – y)11             ;       t7 = t6+1 =   x11−6 y6
                                                     6                                                                                 4         1
                                                                                                        coef(t2) = coef(t1+1) =  1  2 (−1)
                                                                                                                                       3
     ∴ t7 = 462x5y6                                                                                                              
                                                                                                        ∴ coef(t2) = – 32
                                                      21
B)   (a + b)21             ;       t5 = t4+1 =   a21− 4b4                                        B)   (3a + b)6
                                               4
     ∴ t5 = 5985 a17 b4                                                                                             6 4       2
                                                                                                        coef(t3) =   (3 ) (4 ) = 19440
              10                                                  10 −9           9
                                                                                                                    2
      1 1                                             10   1         −1
C)   a − b               ;       t10 = t9+1 =                       b
                                                      9  a                                        x 2 y2 
                                                                                                                    10

                                                                                                   C)        − 
                                                                                                          y   x 
     ∴ t10 = – 10a-1 b-9                                                                                         
                                                                                                                          10  10−8
                                                                                                                             8
      2    2 
                           7
                                                     7  2 7 − 7  −2 
                                                                                           7
                                                                                                   coef(t9) = coef(t8+1)=  10  (1) ( −1)8 = 45
D)   x y − 2 
     
          xy 
              
                               ;        t8 = t7+1 =  7  x y
                                                     
                                                               ( ) 2
                                                                   xy 
                                                                      
                                                                                                                            8
                                                                                                                                   

                                                                                                   D)   (–a +   12)5
     ∴ t8 = –128x-7y-14                                                                                                          5     5−4
                                                                                                   coef(t5) = coef(t4+1) =  4( −1)           (12)4 = −5·124
                                                              10                                                          
                                                                          10−10
E)   (2a – b)10                ;        t11 = t10+1 =  10  (2a )                    ( −b )10
                                                                                                 E)   (p 2 v 2 –1)14
     ∴ t11 = b10
                                                                                                                            14 
                                                                                                   coef(t8) = coef(t7+1) =  7  (1)14-7(–1)7 = –3432
                   4                                                                   1                                    
          1                                        4  4 −1  −1 
F)    1−                     ;        t2 = t1+1 =   (1)         
         xyz                                      1         xyz                              F)   (2x2y + xy3)8
                                                                                                                   8
     ∴    t2 = –4x-1y-1z-1                                                                              coef(t5) =   (2)8-4 (1)4 = 1120
                                                                                                                    4

Resolución             4
         5
 2 1
               (                   )
                                    5
               2    −1
 3x − x  = 3x − x
        
         5
 2 1          2 5      2 4 -1         2 3 -1 2       2 2 -1 3      2   -1 4   -1 5
 3x − x  = (3x ) – 5(3x ) (x ) + 10(3x ) (x ) – 10(3x ) (x ) + 5(3x )(x ) – (x )
        
         5
 2 1           10     7      4           -2  -5
 3x − x  = 243x – 405x + 270x – 90x + 15x – x
        
     A) coef(t4) = –90
     B) t3
     C) No existe el término independiente de x:

Resolución             5
                                                                                                   Nos piden:
 2
             12                                                                                         (x)3k-24 = x-3        3k – 24 = –3               k=7
         3
 2 − 3xy 
x y

          
          
                           (
                       = 2x y  −2 −1
                                        − 3xy    )
                                                3 12
                                                                                                   Luego:
                                                                                                        tk+1 = t7+1 = t8
                                   12−k
             12   2 
                                          (−3xy3 )
                                                     k
A)   tk+1 =  k   2                                                                                           12 
              x y 
                                                                                                 B)   tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
                                                                                                                
              12                                                                                      (y)4k-12 = y12       4k – 12 = 12                k=6
     tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
             
                                                                                                        ∴ tk+1 = t6+1 = t7


                                                                                                 -8-
Quinto Año de Secundaria



                 12                                                                    3          3 −k
C)   tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12                                    =  k  (3 )            (−1)k (q)15−6k
                                                                                      
     (x)3k-24 = x0                3k – 24 = 0      k=8                        (q)15-6k = q9                  15 – 6k = 9                 k=1
     ∴ tk+1 = t8+1 = t9                                                               3  3 −1    1   15−6·1
                                                                              t1+1 =   (3 ) ( −1) (q)
               12                                                                  1 
D) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
                                                                            ∴ t2 = –27q9
     y4k-12    =    y0         4k – 12 = 0         k=3
                                                                      Resolución            7
     ∴ tk+1 = t3+1 = t4
                                                                               (                )
                                                                                                  10
                                                                                   2x+ 3
Resolución             6
                                                                                                                      10 
     (2p + q)11
                                                                          (             )         (          )                  (        ) ( 3)
A)                                                                                       10                   10                         9
                                                                              2 x+ 3          =         2x           +            2x
                    11                                                                                               1
     tk+1 =  k  (2p)11-k(q)k
                                                                                                    10 
                                                                                                                 (         ) ( 3)
                                                                                                                            8        2
                                                                                                    +              2x
     qk   =   q9           k=9                                                                       2
                                     11
                                                                          (             )
                                                                                         10
     tk+1 = t9+1 = t10 =  9  (2p)11-9(q)9                           ∴        2 x+ 3         = 32x10 + 160 6 x9 + 2160x8 + ...
                          
     ∴ t10 = 220 p2q9
                                                                      Resolución            8
                   10
        1
B)   q−                                                                     (1 +   3x2)6
        pq 
                                                                                       6
                                                                                                           (3x2 )           6 k
                                                                                                    6 −k             k                   2k
             10      −1 
                                     k                                        tk+1 =  k  (1)                           =   (3 ) ( x )
     tk+1 =   q10−k                                                                                                  k 
            k        pq 
                                                                                       6          0        2·0
             10   k    −k  10− 2k                                           t0+1 =  0  (3 ) (x )                            t1 = 1
          =   (−1) (p ) (q)                                                         
            k 
     (q)10-2k = q9                10 – 2k = 9                                           6         6        2·6
                                                                              t6+1 =  6  (3) ( x )                            t7 = 729x12
                                                                                      
             1
          k=
             2                                                        Luego:
                                                                              t1 · t7 = 1· 729x12
     Como k ∈
                                                                      ∴       Producto de los coeficientes =                                 729
     ∴ No existe el término
C)   (p2 – q3)7
                                                                                                                      NIVEL II
             7 2
                         ( ) ( )
                           7 −k          k
     tk+1 =  k  p               −q3
                                                                    Resolución            1

                 7     k    14 −2k                                          (x – 3y)5
              =   ( −1) (p )       (q)3k
                k 
                                                                                                 5          5− 5
     (q)3k = q9                3k = 9        k=3                              t6 = t5+1 =  5  (x )                 (−3y )5
                                                                                           
Luego:
                                                                              ∴      t6 = – 243y5                           Rpta.: D
             7      3   14− 2·3
     t3+1 =  3  (−1) (p)        (q)3·3
             
     ∴ t4 = –35p8 q9                                                  Resolución            2

                     3                                                        (2 –   x)11
      5 1
D)    3q −                                                                                     11            11− 7
          q
                                                                              t8 = t7+1 =  7  (2)                      ( −x )7
                                                                                           
                                      k
                 3
                         ( )
                            3 −k  −1
     tk+1 =   3q
                  5                                                           t8 = –5280x7
                                    
                k                 q
                                                                              ∴ Coeficiente = – 5280                                Rpta.: D



                                                                   -9-
Resolución         3                                            Resolución               8
                                                                                     n
     (2a + b)5                                                         2 x
                                                                        + 
                                                                        x 2
                  5     5−1  1
     t2 = t1+1 =   (2a ) (b ) = 80 a b
                                      4                                                       n−k              K
                                                                            n  2                  x      n  n− 2k
                  1                                               tk+1 =                         2  =  k  ( 2)  ( x )2k −n
                                                                           k x                           
     ∴      Coeficiente = 80        Rpta.: C                           Para el término independiente:
                                                                       (x)2k-n = x0                   2k – n = 0                 n = 2k
Resolución         4                                                   Pero: k + 1 = 4                             k=3
                   7                                                   Entonces: n = 2· 3                                n=6
           y
       3x −                                                          Luego: tk+2 = t3+2 = t5
           2
     La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos                                   6  6−8 8−6 15 2
                                                                       t5 =   ( 2 ) (x ) = x
     ∴ No hay término central            Rpta.: E                            4            4

                                                                                                  15
Resolución         5                                                   ∴ coef(t5) =                                      Rpta.: C
                                                                                                   4
     (2x –   y)6
                 6      6− 3                                  Resolución               9
     t4 = t3+1 =   (2x )     ( −y )3
                  3
                                                                                              13
                                                                        3 x2   1 
     ∴      t4 =   –160x3 y3       Rpta.: D                                  +5 
                                                                        2        
                                                                                 x
                                                                       
Resolución         6

                                                                              (              ) (x )
                                                                                             13 − k                k

                                                                tk + 1 = ( 13 ) 2 −1 x 3
                   4                                                                     2                     1
                                                                                                           −
          1                                                                                                  5
      x − 2 
                                                                           k

         x 
                                                                                         26 13k
                               k                                        13  k −13        −
             4  4 −k  −1   4     k     4 −3k              tk+1 =   ( 2)     ( x ) 3 15
     tk+1 =   ( x )  2  =   ( −1) ( x )
            k         x  k                                       k

Del dato:                                                              El término indenpendiente:
                                                                            26 13k
                                              4                               −                   0                    26 13k
     x4-3k = x0        4 – 3k = 0        k=
                                              3                        (x ) 3   15           =x                           −    =0         k = 10
                                                                                                                        3   15
     Como k ∈                                                          tk+1 = t10+1 = t11
     ∴ No hay término independiente                                    Nos piden el t10                                 k=9
                                                                                                                       26 13·9
                                                     Rpta.: E                 13  9−13                                 −
                                                                       t10 =   ( 2)    (x )                           3 15
Resolución         7                                                         9 
     (2x – 1)5                                                                                        13
                                                                                         715 15
        5     5 −k  k  5     5 −k  k     5 −k                      ∴     t10 =          x                            Rpta.: A
tk+1 =   (2x ) ( −1) =   (2 ) ( −1) ( x )                                            16
       k               k 
                                                                Resolución               10
             5  5− 2    2     5− 2
t3 = t2+1 =   (2 ) ( −1) ( x )     = 80x 3                                       120
              2                                                               1
                                                                      x +      
                                                                               x
               5  5−4
t5 = t4 + 1 =   (2 )  ( −1)4 (x )5−4 = 10x                            120  120−k  1   120  120−2k
                                                                                                                   k
               4
                                                                tk+1 =       (x )   x  =  k x
                                                                        k                   
            t3
               = 72       80x 3
Luego:                          = 72
            t5            10x                                          Como es de grado 100
     ∴                   Rpta.: C                                      120 – 2k = 100                              k = 10
            x = ±3
                                                                       ∴      tk+1 = t10+1 = t11                         Rpta.: E


                                                           - 10 -
Quinto Año de Secundaria



Resolución             11                                                Resolución          12

        
                              9                                                (1 +   x)3n
              2 0,5 
         0,4x + x 
                                                                               3n  3n−k k  3n  k
                                                                         tk+1 =   (1)    (x ) =   x
                           9 −k  0,5 k
                                                                                k               k
      9
             (
tk+1=   0,4x
      k 
               2
                       )           x 
                                                                               3n  k +1
                                                                         tk+2 =       x
           9  9− 2k k − 9 18− 3k                                               k + 1
        =   (2 )   (5 ) ( x )
          k                                                                     3n  2k −4
                                                                         t2k-3 =         x
       Término independiente:                                                     2k − 4 

       (x)18-3k = x0                18 – 3k = 0      k=6                 Como los coeficientes son iguales se tiene:

               9  9 −2·6 6 −9 18 −3·6                                   3n   3n 
Luego: t6+1 =   ( 2)    ( 5) ( x )                                           =                    (k + 1) + (2k – 4) = 3n
               6                                                        k + 1  2k − 4 
                                                                               3k – 3 = 3n
       t7 = 0,084                  Rpta.: C
                                                                               ∴      k = n+1          Rpta.: A


                                   BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO
                                                                    Pág. 58

Resolución             5                                                       1   1   1         
                                                                                2   2 − 1  2 − 2  
                   1
                                                                         t4 =                      32x =  1  ⋅ 32x
        (1− 2x )   5                                                                    1· 2· 3                 16 
                                                                                                                  
                                                                                                        
                1 1                                                                                   
t5                                      1
     = T4 +1 =  5  (1)5 −4 ( −2x )4 = 5      4
               4
                                      4  16x                               ∴         t4 = 2x

          1  1  1         1                                    Resolución          7
          5  5 − 1 5 − 2  5 − 3  
                                  · 16x 4
                    1 2· 3· 4
                      ·                                                         −3 
                                                                            E= 
                                                                               33 

        −21     4                                                           E=
                                                                                   ( −3)( −3 − 1)( −3 − 2)( −3 − 3).....( −3 − 32)
      =     16x                                                                                   1 2· 3· 4· 5· ..... ·33
                                                                                                     ·
        625 

                                                                              E=
                                                                                   (−3 )( −4 )( −5 )(−6 ) · ..... · ( −35 ) = (−1)31 ( −34 )( −35 )
                                  −336 4                                                 1 2· 3· 4· 5 · ..... · 33
                                                                                          ·                                          12
                                                                                                                                     ·
       ∴               t5 =           x
                                  625
                                                                               ∴             E = –595


Resolución             6                                                 Resolución          8

                       1                                                          −15   −15   −15 
              1 2                                                            E=     +     +     
         1 + x3                                                                 3   4   5 
        4       
                                                                                −15 + 1  −15 
                                                                               E=        +     
                                                                                  4   5 
                       1          3
             1         −3  1     1
             2   1 2  3       2                                           −14   −15 
                                                                             E=     +     
t4 = t3+1 =    4 
            3              x  =   32x
                                    3                                           4   5 
                                 
                                                                               E=
                                                                                    (−14 )(−15)(−16 )(−17 )
                                                                                                 1 2· 3· 4
                                                                                                  ·


                                                                    - 11 -
+
               ( −15)( −16 )( −17 )( −18 )( −19 )                                Resolución               10
                                    1 2· 3· 4· 5
                                     ·                                                                              −2
                                                                                           1 −3 −9 
      ∴                     E = – 9248                                                    2x − x 
                                                                                                   

Resolución                  9                                                                                                  k
                                                                                                              −2 −k  9
                                                                                                (
                                                                                            −2 
                                                                                                            )                −2  k + 2    6 − 3k
                                                                                                                    −           (2 ) ( x ) 2
                                                                                 tk   +1 =      2−1x −3
                        1                                                                                          x 2  =  k
      (x   2
               −3   )   2
                                                                                            k
                                                                                 Término indenpendiente:
                                                                                                                           


             1    1          1                                                             3k
             2  2 −2
t3 = t2+1 =   x
            2             ( )
                                −3
                   2 ( −3 )2 = 2 x ( 9 )
                               
                              2 
                                                                                          6−
                                                                                                2
                                                                                                  =0                    k=4
                             
      1  1                                                                   Entonces:
       − 1
                            (        )
       2 2             −9                                                                                                         3·4
t3 =         9x −3 = 3                                                                     −2  4 +2     6−
          1· 2         8x                                                        t4+1 = t5 =   (2 )    (x ) 2
                                                                                              4
                                     −9                                                  ( −2)( −3 )( −4 )( −5)
Si:   x=3                   t3 =                                                                                        (2)6
                                    8· 33                                        t5 =           1 2· 3· 4
                                                                                                 ·

      ∴                     t3 = (–24)-1                                                  ∴               t5 = 320



                                                                     CAPÍTULO 3
                                                              LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96)


                                              NIVEL I                            Resolución               5
                                                                                               5
Resolución                  1                                                             log x 2 = 0,4
                                                                                                2
      log a = x                                                                                 5     2                  2        2
                                                                                          log x =                          logx =
      log 10a = log10 + loga = 1 + loga                                                               5                  5        5

      ∴        log10a = 1 + x                      Rpta.: E                               ∴               logx = 1                          Rpta.: B

Resolución                  2                                                    Resolución               6
      log p = x                                                                           log p = q
                     1                                                                        p
      log 3 p       = logp                                                                log   = log p − log r
                     3                                                                        r
                                x                                                                   p
      ∴ log 3 p =                        Rpta.: D                                         ∴     log   = q − log r                Rpta.: B
                                3                                                                   r

Resolución                  3                                                    Resolución               7
      loga = m ; logb = n                                                                            1
                                                                                 logx + log              = logx + logx-2 = logx – 2logx
                                                                                                     x2 
               a 1    a 1
      log       = log   = (loga − logb )
               b 2    b 2                                                                             1
                                                                                 ∴ logx + log               = –logx              Rpta.: C
                                                                                                        x2 
                            a m−n
      ∴ log                   =                    Rpta.: B
                            b   2                                                Resolución               8
                                                                                                                    2
Resolución                  4                                                                                              2         2
                                                                                          log5 3 25 = log5 5 3 =             log5 5 = · 1
                                                                                                                           3         3
      log      103      = 3log10 = 3· 1
                                                                                                                   2
      ∴ log 103 = 3                         Rpta.: D                                      ∴     log5 3 25 =                        Rpta.: D
                                                                                                                   3


                                                                            - 12 -
Quinto Año de Secundaria



Resolución              9                                                                                      7       4
                                                                                               log 102 + log2 2 − log 5
                                                                                                                                   5
      logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103
                      = logx–log1000                                                           2log 10 + 7log 2 − 4log 5
                                                                                                                          2            5

                                      x                                                      2+7–4
      ∴                 logx–3 = log                              Rpta.: E                         5                        Rpta.: B
                                      1000 


Resolución              10                                                                Resolución            18

      log2 a = x                                                                          log0,01+ log          0,0081= log10-2 + log                   (0,3)4
                                                                                                          0,3                                     0.3
      x + 1 = log2 a + log2 2
                                                                                                                   = –2log10 + 4 log                      (0,3)
      ∴                 x + 1 = log2 2a                             Rpta.: D                                                                      (0,3)

                                                                                                                     =–2+4= 2                     Rpta.: C
Resolución              11                                                                Resolución            19
      log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2)                                                           log 0,25 + log 0,125 − log 0,0625
                                                                                                     2                2                       2
      log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)
                                                                                               log
                                                                                                         (0,25)(0,125) = log (0,03125)
                                                                               Rpta.: D            2        0,0625          2 (0,0625 )

Resolución              12
                                                                                               log (0,5) = log 2−1 = −1log 2
      log(x2–x) = logx(x–1)                                                                          2                2                       2

      ∴                 log(x2–x) = logx + log(x–1)                                                             =–1            Rpta.: E
                                                                               Rpta.: A
                                                                                          Resolución            20
Resolución              13
                                                                                                     1       1       1 
                                                                                               log   − log   + log 
                                                                                                                      5  125 
                                       11
                 3 2                         11 12                                                2  16   3  81           
log         216 6 = log               63    = : log6 6
                                12            3 5
  36 5 36
                               65                                                              log 2−4 − log 3−4 + log 5−3
                                                                                                     2               3                5
                          55
                        =             Rpta.: C                                                 −4log 2 + 4log 3 − 3log 5
                          36                                                                              2               3               5

                                                                                               –4+4–3
Resolución              14
                                                                                               ∴ –3             Rpta.: D
      log          0,064 = x                log        (0,4)3 = x
             0,4                                 0,4
                                                                                          Resolución            21
             3log           0,4 = x
                     0,4                                                                       log3 = 0,47 , log5 = 0,70

      ∴          x=3                 Rpta.: D                                                  log75 – log125 + log45 =
                                                                                                     75 · 45
                                                                                               log           = log27 = log33 = 3log3
Resolución              15                                                                            125
                                            −2                                                                   = 3(0,47)
                                      2                       9
      log x = −2                    x=                   x=
             2                        3                       4                                                =1,41                 Rpta.: B
             3
                                                                               Rpta.: E
                                                                                          Resolución            22
Resolución              16
                                                                                               log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70
                                                                2
      log            (a2 − 2ab + b2 ) = log               (a − b)                                                                35
            (a −b)                               (a −b)                                        log35 – log14 = log
                                                                                                                                 14
      = 2 log               (a − b) = 2          Rpta.: E
                   (a −b)
                                                                                                    5
                                                                                               = log = log5 − log2
                                                                                                    2
Resolución              17
                                                                                               log 35 – log14 = 0,70 – 0,30
      log 100 + log 128 − log 625
                                2                5                                             ∴         log35 – log14 = 0,40                     Rpta.: B


                                                                                     - 13 -
Resolución             23                                             Resolución               28
                                                                                       log 2              log 2
         1
            +
                1
      log 36 log 36
                    = log (2) + log (3)
                         36        36
                                                                                 243
                                                                                          3
                                                                                               = 35 ( )      3

            2               3
                                                                                       log 2           5·log 2            log 25
                                                                                          3                 3                3
                                 = log (2· 3) = log          6                   243           = (3)              = (3)            = 25
                                       36               36
                                                                                             log 2
                                               1                                 ∴ 243          3                                  Rpta.: E
                                                                                                     = 32
                                             1 2
                                 = log (36) = log 36
                                      36     2 36
                                                                      Resolución               29
                                   1
                                 =          Rpta.: C                             logx + log(x–3) = 1
                                   2
                                                                                 logx (x–3) = log10
Resolución             24                                                        x(x–3) = 10

      log 3 = x                                                                  ∴        x=5              Rpta.: C
         2

      log        64 = log        26 = 6log       2
         24                 24              24                        Resolución               30
                         1               1                                       log x         log3
                     = 6         = 6                                         10          − 10         = 2x − 5
                          log 24 
                         2             log (8· 3) 
                                       2
                                                                                 x – 3 = 2x – 5
                           1                1                                ∴        x=2              Rpta.: B
                 = 6                = 6            
                      log 8 + log 3 
                     2                   3log 2 + x 
                                 2             2                                                                  NIVEL II

                      6
                 =               Rpta.: B                             Resolución               1
                     3+x
                                                                                                                                             3x
                                                                                    1                 1
                                                                                                              (      )
                                                                                                                x                  −4         2
                                                                      log           =x                  = 2 2                2        =2
Resolución             25                                                    2   2  16               16

                                                                                                       3
      log (5x − 3) − log x = 1                                                                  −4 =     x
         2                       2                                                                     2

                (5x − 3)                                                                                      8
      log                = log 2                                                               ∴ x=−                     Rpta.: A
            2      x          2                                                                               3

                5x − 3                                                Resolución               2
                       =2              5x – 3 = 2x
                  x
     ∴          x=1              Rpta.: B                             (I)        log 32 = 5               32 = 25 ... (V)
                                                                                      2

Resolución             26                                             (II)       log         1= 0            1=(2000)0 .... (V)
                                                                                      2000

      log (2x + 21) − log x = 2                                                   1                              1
         3                        3                                   (III) log   = −4                             = 2−4 ... (V)
                                                                               2  16                            16
           2x + 21          2                      2x + 21 2
      log          = log3 3                               =3                   ∴         VVV             Rpta.: D
         3    x                                       x

            2x + 21 = 9x                                              Resolución               3
     ∴          x=3              Rpta.: A                                        log 27 = a
                                                                                      12
Resolución             27
                                                                                                  log2 24         4log2 2
log a + logb = log(a + b)                                                        log 16 =                     =
                                                                                      6        log2 2 + log2 3 log2 2 + log2 3
log a · b = log(a+b)             a·b = a + b         a(b–1) = b
                                                                                                    4     ........................... (1)
                      b                                                          log 16 =
     ∴ a=                        Rpta.: D                                             6        1 + log2 3
                     b −1

                                                                  - 14 -
Quinto Año de Secundaria


                                                     3log2 3
Pero: log 27 = a                                                  =a                                          52            5
                   12                            2log2 2 + log2 3                                   = log           = 2log  
                                                                                                             2 22         2 2

            3log2 3                                                 2a
                      =a                              log2 3 =                                               10  
           2 + log2 3                                              3−a                              = 2 log  2   = 2[log 10 − 2log 2]
                                                                                                                                      2
                                                                                                         2  2           2

Reemplazando en (1)                                                                                                      1    
                                                                                                    = 2 log 10 − 2 = 2  − 2 
                                                                                                                  
                               4                                                                         10x            x   
       log 16 =
               6                2a                                                                      2 − 4x
                            1+                                                                      =
                               3−a                                                                                               Rpta.: D
                                                                                                           x
                                  12 − 4a
       ∴ log 16 =                                      Rpta.: E                            Resolución               8
                        6          3+a
                                                                                                                  log y
Resolución                   4                                                                      (log5 x )        5      =y
log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log                                1024                                             log y
                                                                                                    log (log x )
   2               3              4             5              1023                                                        5 
                                                                                                                                     = logy
                                                                                                        
                                                                                                            5                   
                                                                                                                                 
log3       log4              log5
                          log1024          log6
    ·    ·    ·     .....                                                                                log y log (log x ) = logy
log2 log3 log4 log5       log1023                                                                           5          5 

                                                                                                    log (log x ) = log5                log x = 5
       log1024 log210                                                                                         5                           5
              =       = 10 Rpta.: B
         log2   log2                                                                                      x=      55    = 3125
                                                                                                    ∴               ∑ cifras = 11                  Rpta.: C
Resolución                   5
       log2 = a ∧ log3 = b                                                                 Resolución               9
                                                                                                    log 4 + log 1 4
               3
       log 752 =
                             2
                             3
                                      2
                               log75 = log 52 · 3
                                      3
                                                       (       )                           E=
                                                                                                         2
                                                                                                                        2        =
                                                                                                                                      log2 22 + log −1 22
                                                                                                                                                   2

                   =
                        2               2
                          log52 + log3 = [2log5 + log3]
                                                                                                 log 243 + log 1 81 log 35 + log −1 34
                                                                                                    3                  3
                                                                                                                          3                        3
                                                                                                                                                           ( )
                        3             3

                        2       10                                                           2−2
                   =                                                                       E=
                          2log   + log3                                                      5−4
                        3        2     
                        2                                                                           ∴ E=0                        Rpta.: E
                   =       2 (log10 − log2) + log3
                        3                         
                                                                                           Resolución               10
                        2
                   =       2 (1− a ) + b
                        3               
                                                                                           log 2 = a ∧ log 3 = 2b
                                                                                              5           5
                                       2
       ∴ log 3 752 =
                                       3
                                         [b − 2a + 2] Rpta.: D                             log
                                                                                                5
                                                                                                          1
                                                                                                          2 5
                                                                                                                    1
                                                                                                     300 = log 300 = log 102·3 
                                                                                                                    2 5
                                                                                                                               
                                                                                                                                             (        )
                                                                                                      1                1
Resolución                   6                                                                      = log 10 + log 3 = [2log 10 + log 3]
                                                                                                              2
                                                                                                      2 5         5  2     5        5
                             2                   4                 6
       logx =                          +                   −                                            1
                            7+ 5               11 + 7          11 + 5                               =      2 (log 5 + log 2 ) + log 3 
                                                                                                        2        5       5         5 
                                           0
       =
           (       7+ 5      )(       11 + 7     )(   11 + 5       )                                =
                                                                                                        1
                                                                                                        2
                                                                                                           2 (1 + a ) + 2b 
                                                                                                                            
       logx = 0                        x = 100
       ∴           x=1                     Rpta.: B                                                 ∴        log        300 = a + b + 1                          Rpta.: E
                                                                                                                    5

Resolución                   7
                                                                                           Resolución               11
       log2 = x                       2 = 10x
                                                                                                    log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1
                                   2,5 
       log 2,5 − log (0,4) = log                                                                   log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10
          2         2           2  0,4 
                                        



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  • 1. Quinto Año de Secundaria Solucionario quinto año de educación secundaria -1-
  • 2. CAPÍTULO 2 ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36) Factorial de un número NIVEL I Resolución 7 1 (n + 3 )! Resolución 1 · = 10 3 (n + 1)! E = (n + 2)! – 2(n+1)! (n + 3)! = 30(n + 1)! E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2] (n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)! ∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D (n + 3)(n + 2) = 30 Resolución 2 ∴ n=3 Rpta.: B 7! − 2 × 5! 7 ·6 ·5! − 2·5! 7·6· 5 ! − 2· 5 ! M= = = 6! − 10 × 4! 6·5! − 2·5·4! 6· 5 ! − 2· 5 ! Resolución 8 42 − 2 (x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880 M= 6−2 (x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880 ∴ M = 10 Rpta.: E (x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880 Resolución 3 (x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880 1 1 1 1 (x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72 E= = = = 4!+ 3! 4· 3!+ 3! 3!(4 + 1) 3!· 5 x–1=5 4 4 E= = Rpta.: E ∴ x=6 Rpta.: B 3!· 4 · 5 5! Resolución 9 Resolución 4 1 1 (n + 1) 1 (x − 1)! (x + 2 ) = 5 E= − = − x! 3 n! (n + 1)! n!(n + 1) (n + 1)! n +1 1 n + 1− 1 3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)! E= − = (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! 3x + 6 = 5x E= n ∴ x=3 Rpta.: B ∴ (n + 1)! Rpta.: D Resolución 10 Resolución 5 (n + 1)!− n! = (n + 1)n!− n! = n![n + 1− 1] m!(n + 1)! m!(n + 1) n! R= E= = (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! (m + 1)! n! (m + 1)m! n! n!n n!· n · n n! n2 n+1 R= = = ∴ E= Rpta.: B (n − 1)! n(n − 1)! n! m+1 ∴ R = n2 Rpta.: B Resolución 11 Resolución 6 11!+10!+ 9! 11· 10· 9· 8!+10· 9· 8!+ 9· 8! R= = (n + 2)! = 6 (n + 2)(n + 1)n! = 6 121· 8! 121· 8! à n! n! 11 10· 9 + 10· 9 + 9 · R= (n + 1)(n + 2) = 6 121 Resolviendo: ∴ R=9 Rpta.: B ∴ n=1 Rpta.: A -2-
  • 3. Quinto Año de Secundaria Resolución 12 Resolución 3  (n + 1)!  (n + 3 )! (n + 2)! − n n + 3 + (n − 2)! 2 − =6 P= ( )  n!  (n + 2)! n! (n − 3)! (n + 2)(n + 1)n! − n n + 3 + (n − 2)(n − 3)! 2· (n + 1)n! (n + 3)(n + 2)! = 6 P= ( ) − n! (n − 3)! n! (n + 2)! P = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n + n − 2 2n + 2 – n – 3 = 6 ∴ P=n Rpta.: C ∴ n=7 Rpta.: C Resolución 4 Resolución 13 ( x − 5)! 2 ( x − 4 )! (x + 6 )! − (x + 2)! = 44 = ( x − 3)! ( x − 2)! ( x + 4)! x! ( x − 5)! 2 ( x − 4 )! ( x + 6 )(x + 5)( x + 4)! − (x + 2)( x + 1) x! = 44 = ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5)! (x − 2) ( x − 3 ) (x − 4 )! (x + 4 )! x! 1 2 (x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44 = x–2 = 2x – 8 x−4 x−2 8x + 28 = 44 ∴ x=6 Rpta.: D ∴ x=2 Rpta.: D Resolución 5 Resolución 14 ( x − 2)!+ (x − 1)! = 720 (n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2 x (n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2 (x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x (n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2 (x–2)!(1+x–1) = 720 x [(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n (x–2)! = 6! x–2= 6 [(n–1)!]2[n] = 36n ∴ x=8 Rpta.: B (n–1)! = 6 (n–1)! = 3! Resolución 6 (n – 1) = 3 (n + 4)! − (n + 3)! = 25 ∴ n=4 Rpta.: C (n + 2)! (n + 2)! (n + 4 )(n + 3 )(n + 2 )! − (n + 3 )(n + 2 )! = 25 NIVEL II (n + 2 ) (n + 2 )! n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25 Resolución 1 n2 + 6n + 9 = 25 n! R= − n2 ∴ n=2 Rpta.: C (n − 2)! n (n − 1)(n − 2)! Resolución 7 R= − n2 = n2 − n − n2 (n − 2)!  A= (n + 1)!+ n!   (2n + 3)!    ∴ R = –n Rpta.: D   (2n + 1)!+ (2n + 2)!   (n + 2)!    Resolución 2  A= (n + 1)n!+ n!  (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)! · (2n + 1)!+ (2n + 2)(2n + 1)!   (n + 2)(n + 1· n! ) n (n + 1)!− n! n (n + 1) n!− n! n· n!(n + 1− 1) M=  =  = (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! = n!  n + 2    · ( 2n + 3 )(2n + 2) (2n + 1)! (2n + 1)!  2n + 3    ( n + 2 )(n + 1)n! n· n· n! n· n· n (n − 1)! M= = (n − 1)! (n − 1)! 2 (n + 1) = n +1 ∴ M = n3 Rpta.: C ∴ A=2 Rpta.: B -3-
  • 4. Resolución 8 (13· 12)2 (11!)2 13· 12· 11 10! · − (n + 7 )! ⋅ (n + 5 )! = 10! 2 (12 + 1) (11!) 2 10! (1+ 11) (n + 6 )!+ (n + 5 )! (13· 12)2 − 13· 12· 11 (n + 7)!(n + 5)! = 10! (13 )2 12 (n + 6) · (n + 5)!+ (n + 5)! (12)2 – 13· 11 (n + 7 )! (n + 5)! = 10! (n + 5)! [n + 6 + 1] ∴ 1 Rpta.: A Resolución 12 (n + 7)(n + 6)! = 10! (n + 6)! = 10! (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24 (n + 7 ) (119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24 n + 6 = 10 (119! 120)x!! =(5!!)24! ∴ n=4 Rpta.: E (120!)x!! = (5!!)24! Resolución 9 (5!!)x!! = (5!!)24! R= (a!!+ 2)!− 2(a!!+ 1)! = (a!!+ 2)(a!!+1)!− 2(a!!+ 1)! x!! = 24! x!! = 4!! (a!!+ 1)! (a!!+ 1)! ∴ x=4 Rpta.: B R= (a!!+ 1)! (a!!+ 2 − 2) Resolución 13 (a!!+ 1)! 5 5 5 ∴ R = a!! Rpta.: B = = 5!+ 4!+ 3! 5· 4· 3!+ 4· 3!+ 3! 3!(20 + 4 + 1) Resolución 10 5 1 4 4 = = = Rpta.: D E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!! 3!· 25 3· 2· 1 5 5· 4· 3· 2· 1 5! · E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!! E = (n!!–1)! n!! – n!!! Resolución 14 E = n!!! – n!!! (n + 2)! = 5+ (n + 12)! ∴ E=0 Rpta.: C n! (11+ n)! Resolución 11 (n + 2)(n + 1)n! = 5 + (n + 12)(n + 11)! (13!)2 13! n! (n + 11)! 2 − 2 10!+ 11! (12!) + 2 (12!11!) + (11!) (n+2)(n+1) = 5+n+12 (13!)2 − 13! n2 + 3n+2 = 5+n+ 12 (12!+ 11!)2 10!+ 11! n2 + 2n = 15 ∴ n=3 (13· 12· 11!)2 − 13· 12· 11· 10! (12· 11!+ 11!)2 10!+ 11· 10! ∴ Suma valores = 3 Rpta.: C ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46) NIVEL I Resolución 2 Resolución 1 5 pantalones 3 blusas N° maneras = 5 × 3 N° maneras = 6 × 4 ∴ N° maneras = 15 Rpta.: C ∴ N° maneras = 24 Rpta.: D -4-
  • 5. Quinto Año de Secundaria Resolución 3 Resolución 9 m 5 ...................← Personas V2 = 20 5 --------------- ← asientos m! m (m − 1) (m − 2 )! N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1 = 20 = 20 ( m − 2 )! (m − 2)! ∴ N° maneras = 120 Rpta.: C m(m–1) = 4 × 5 ∴ m=5 Rpta.: C Resolución 10 Resolución 4 A B C D ← asientos N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3 Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta- ∴ N° maneras = 360 Rpta.: B mos. N° maneras = 4! Resolución 5 ∴ N° maneras = 24 Rpta.: B 3 : anillos: 4 : dedos N° maneras = 4· 3· 2 Resolución 11 ∴ N° maneras = 24 Rpta.: C N = a b c d > 6000 6523 Resolución 6 N° maneras = 1· 3· 2· 1 10 : amigas ∴ N° maneras = 6 Rpta.: D 6 : invitadas Resolución 12 10· 9· 8· 7 N° maneras = C10 6 = 8· 7· 6· 5 1 2· 3· 4 · C8 = 4 1 2· 3· 4 · ∴ N° maneras = 210 Rpta.: B ∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B Resolución 7 Resolución 13 n N = abc   = 15  4 números: {1; 2; 3; 4; 5} n (n − 1)(n − 2 )(n − 3 ) N° maneras = 5· 4· 3 = 15 ∴ N° maneras = 60 Rpta.: D 1 2· 3· 4 · n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3 Resolución 14 ∴ n=6 Rpta.: B  n + 1  n   :  ... (1)  n   n − 1 Resolución 8 Entonces: x x C5 + C6 = 28  n + 1  n + 1   n + 1  = =  = n+1 C5 + C6 = C6 +1 = 28 x x x  n   n + 1− n   1  ( x + 1) x (x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 28  n   n  n 1 2· 3· 4· 5· 6 ·  = = =n  n − 1  n − (n − 1)   1  (x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3 En (1): ∴ x=7 Rpta.: C n+1 ∴ Rpta.: D n -5-
  • 6. Resolución 15 Resolución 7 x C5 = 21  p + q (p + q)! = (p + q)!  =  p  p! (p + q) − p  !   p! q! x (x − 1)(x − 2)(x − 3 )(x − 4 ) = 21 1 2·3· 4· 5 · Además: x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3  p + q  p + q   p + q  = =  ∴ x=7 Rpta.: E  q   (p + q) − q   p  ∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B NIVEL II Resolución 1 Resolución 8 4 : biólogos → se escogen 2 3 : químicos → se escogen 2 De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos 5 : matemáticos → se escogen 3 De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos N° maneras = 9· 9 = 81 N° maneras = C4 · C3 · C5 2 2 3 Quitamos los 9 caminos de ida. N° maneras = 81 – 9  4·3  3·2  5·4·3  ∴ N° maneras = 72 Rpta.: B N° maneras =  1· 2  ·  1· 2  ·  1· 2 · 3        Resolución 2 ∴ N° maneras = 180 Rpta.: C N° maneras = 7· 6 · 5 ∴ N° maneras = 210 Rpta.: D Resolución 9 x Resolución 3   = 0 ..... (1)  10  Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Se sabe que: N = a bc d e  m ↓ ↓↓ ↓ ↓  =0 ⇔ m<n ∧ m>0 98765 n N° formas = 9· 8·7· 6· 5 En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ∴ N° formas = 15120 Rpta.: C Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9 Resolución 4 ∴ Producto: 9! Rpta.: D L I B R O → 5 letras N° palabras = 5! Resolución 10 ∴ N° palabras = 120 Rpta.: B  n + 1  n   n   n + 1 − Q= + + +  Resolución 5  2   1  n − 1  n − 1 25· 24 Se sabe que: C25 = 2 12 ·  m  m   =  ∴ N° partidos = 300 Rpta.: D  n   m − n  n + 1  m + 1 n  n   n Resolución 6  =  y  =   n − 1  2   n − 1  1  N° diagonales = C8 − N° lados Luego: 2  n + 1  n    (n + 1)n  8 ·7 Q = 2   +   = 2  + n N° diagonales = 1· 2 − 8   2   1   12 ·  ∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B ∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B -6-
  • 7. Quinto Año de Secundaria Resolución 11 Resolución 12  n  n −1   +  = 99  n + 1  n − 2  Se sabe que:  m  =0 ⇔ m < k N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1 k  ∴ N° maneras = 120 Rpta.: E  n   =0  n + 1 Resolución 13 Luego: 3 : entradas → se toma 1 n −1  n −1  3 : de fondo → se toma 1 0+  = 99   = 99  n − 2  (n − 1) − (n − 2)  5 : postres → se toma 1 3 3 5 N° maneras = C1 · C1 · C1  n − 1   = 99 n – 1 = 99  1  N° maneras = 3· 3· 5 ∴ n = 100 Rpta.: D ∴ N° maneras = 45 Rpta.: A BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53) NIVEL I Resolución 1 A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5 = x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5 B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 + 7(1)(3a)6 + (3a)7 =1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7 C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 + 462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11 = 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9 + 11b10 – b11 6  1 6 5 -1 4 -1 2 3 -1 3 2 -1 4 -1 5 -1 6 D)  x − x  = x – 6(x) ·(x ) + 15(x) (x ) –20(x) (x ) + 15(x) (x ) – 6(x)(x ) + (x )   = x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6 4  2 1 E)  z + 2  = (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4  z  =z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8 6  3 x3  F)  4−  = (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 + x 4    15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6 −24 729 −17 1215 −10 135 −3 135 4 9 11 1 18 = 729x − x + x − x + x − x + x 2 16 16 256 512 4096 -7-
  • 8. Resolución 2 Resolución 3  11 A) (2x – y)4 A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 =   x11−6 y6 6  4 1 coef(t2) = coef(t1+1) =  1  2 (−1) 3 ∴ t7 = 462x5y6   ∴ coef(t2) = – 32  21 B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 =   a21− 4b4 B) (3a + b)6 4 ∴ t5 = 5985 a17 b4  6 4 2 coef(t3) =   (3 ) (4 ) = 19440 10 10 −9 9  2  1 1  10   1   −1 C) a − b ; t10 = t9+1 =    b    9  a     x 2 y2  10 C)  −   y x  ∴ t10 = – 10a-1 b-9   10  10−8 8  2 2  7  7  2 7 − 7  −2  7 coef(t9) = coef(t8+1)=  10  (1) ( −1)8 = 45 D) x y − 2    xy   ; t8 = t7+1 =  7  x y   ( ) 2  xy    8   D) (–a + 12)5 ∴ t8 = –128x-7y-14  5 5−4 coef(t5) = coef(t4+1) =  4( −1) (12)4 = −5·124  10    10−10 E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 =  10  (2a ) ( −b )10   E) (p 2 v 2 –1)14 ∴ t11 = b10  14  coef(t8) = coef(t7+1) =  7  (1)14-7(–1)7 = –3432 4 1    1   4  4 −1  −1  F)  1−  ; t2 = t1+1 =   (1)    xyz  1   xyz  F) (2x2y + xy3)8 8 ∴ t2 = –4x-1y-1z-1 coef(t5) =   (2)8-4 (1)4 = 1120  4 Resolución 4 5  2 1 ( ) 5 2 −1  3x − x  = 3x − x   5  2 1 2 5 2 4 -1 2 3 -1 2 2 2 -1 3 2 -1 4 -1 5  3x − x  = (3x ) – 5(3x ) (x ) + 10(3x ) (x ) – 10(3x ) (x ) + 5(3x )(x ) – (x )   5  2 1 10 7 4 -2 -5  3x − x  = 243x – 405x + 270x – 90x + 15x – x   A) coef(t4) = –90 B) t3 C) No existe el término independiente de x: Resolución 5 Nos piden:  2 12 (x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k=7 3  2 − 3xy  x y    ( = 2x y −2 −1 − 3xy ) 3 12 Luego: tk+1 = t7+1 = t8 12−k  12   2  (−3xy3 ) k A) tk+1 =  k   2   12    x y    B) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12    12  (y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k=6 tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12   ∴ tk+1 = t6+1 = t7 -8-
  • 9. Quinto Año de Secundaria  12   3 3 −k C) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 =  k  (3 ) (−1)k (q)15−6k     (x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k=8 (q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k=1 ∴ tk+1 = t8+1 = t9  3  3 −1 1 15−6·1 t1+1 =   (3 ) ( −1) (q)  12  1  D) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12   ∴ t2 = –27q9 y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k=3 Resolución 7 ∴ tk+1 = t3+1 = t4 ( ) 10 2x+ 3 Resolución 6 10  (2p + q)11 ( ) ( ) ( ) ( 3) A) 10 10 9 2 x+ 3 = 2x +  2x  11  1 tk+1 =  k  (2p)11-k(q)k    10  ( ) ( 3) 8 2 +  2x qk = q9 k=9 2  11 ( ) 10 tk+1 = t9+1 = t10 =  9  (2p)11-9(q)9 ∴ 2 x+ 3 = 32x10 + 160 6 x9 + 2160x8 + ...   ∴ t10 = 220 p2q9 Resolución 8 10  1 B) q−  (1 + 3x2)6  pq  6 (3x2 )  6 k 6 −k k 2k  10   −1  k tk+1 =  k  (1) =   (3 ) ( x ) tk+1 =   q10−k     k  k  pq  6 0 2·0  10  k −k 10− 2k t0+1 =  0  (3 ) (x ) t1 = 1 =   (−1) (p ) (q)   k  (q)10-2k = q9 10 – 2k = 9  6 6 2·6 t6+1 =  6  (3) ( x ) t7 = 729x12   1 k= 2 Luego: t1 · t7 = 1· 729x12 Como k ∈ ∴ Producto de los coeficientes = 729 ∴ No existe el término C) (p2 – q3)7 NIVEL II  7 2 ( ) ( ) 7 −k k tk+1 =  k  p −q3   Resolución 1  7 k 14 −2k (x – 3y)5 =   ( −1) (p ) (q)3k k   5 5− 5 (q)3k = q9 3k = 9 k=3 t6 = t5+1 =  5  (x ) (−3y )5   Luego: ∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D  7 3 14− 2·3 t3+1 =  3  (−1) (p) (q)3·3   ∴ t4 = –35p8 q9 Resolución 2 3 (2 – x)11  5 1 D)  3q −   11 11− 7  q t8 = t7+1 =  7  (2) ( −x )7   k  3 ( ) 3 −k  −1 tk+1 =   3q 5 t8 = –5280x7   k   q ∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D -9-
  • 10. Resolución 3 Resolución 8 n (2a + b)5 2 x  +   x 2  5 5−1 1 t2 = t1+1 =   (2a ) (b ) = 80 a b 4 n−k K  n  2  x  n  n− 2k  1 tk+1 =      2  =  k  ( 2) ( x )2k −n k x      ∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C Para el término independiente: (x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2k Resolución 4 Pero: k + 1 = 4 k=3 7 Entonces: n = 2· 3 n=6  y  3x −  Luego: tk+2 = t3+2 = t5  2 La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos  6  6−8 8−6 15 2 t5 =   ( 2 ) (x ) = x ∴ No hay término central Rpta.: E  4 4 15 Resolución 5 ∴ coef(t5) = Rpta.: C 4 (2x – y)6 6 6− 3 Resolución 9 t4 = t3+1 =   (2x ) ( −y )3  3 13  3 x2 1  ∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D  +5   2  x  Resolución 6 ( ) (x ) 13 − k k tk + 1 = ( 13 ) 2 −1 x 3 4 2 1 −  1 5 x − 2  k  x  26 13k k  13  k −13 −  4  4 −k  −1   4  k 4 −3k tk+1 =   ( 2) ( x ) 3 15 tk+1 =   ( x )  2  =   ( −1) ( x ) k   x  k  k Del dato: El término indenpendiente: 26 13k 4 − 0 26 13k x4-3k = x0 4 – 3k = 0 k= 3 (x ) 3 15 =x − =0 k = 10 3 15 Como k ∈ tk+1 = t10+1 = t11 ∴ No hay término independiente Nos piden el t10 k=9 26 13·9 Rpta.: E  13  9−13 − t10 =   ( 2) (x ) 3 15 Resolución 7 9  (2x – 1)5 13 715 15  5 5 −k k  5 5 −k k 5 −k ∴ t10 = x Rpta.: A tk+1 =   (2x ) ( −1) =   (2 ) ( −1) ( x ) 16 k  k  Resolución 10  5  5− 2 2 5− 2 t3 = t2+1 =   (2 ) ( −1) ( x ) = 80x 3 120 2  1  x +   x  5  5−4 t5 = t4 + 1 =   (2 ) ( −1)4 (x )5−4 = 10x  120  120−k  1   120  120−2k k  4 tk+1 =   (x )  x  =  k x  k      t3 = 72 80x 3 Luego: = 72 t5 10x Como es de grado 100 ∴ Rpta.: C 120 – 2k = 100 k = 10 x = ±3 ∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E - 10 -
  • 11. Quinto Año de Secundaria Resolución 11 Resolución 12  9 (1 + x)3n 2 0,5   0,4x + x     3n  3n−k k  3n  k tk+1 =   (1) (x ) =   x 9 −k  0,5 k k k 9 ( tk+1=   0,4x k  2 )  x     3n  k +1 tk+2 =  x  9  9− 2k k − 9 18− 3k  k + 1 =   (2 ) (5 ) ( x ) k   3n  2k −4 t2k-3 =  x Término independiente:  2k − 4  (x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k=6 Como los coeficientes son iguales se tiene:  9  9 −2·6 6 −9 18 −3·6  3n   3n  Luego: t6+1 =   ( 2) ( 5) ( x )  =  (k + 1) + (2k – 4) = 3n  6  k + 1  2k − 4  3k – 3 = 3n t7 = 0,084 Rpta.: C ∴ k = n+1 Rpta.: A BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO Pág. 58 Resolución 5  1   1   1    2   2 − 1  2 − 2   1 t4 =       32x =  1  ⋅ 32x (1− 2x ) 5  1· 2· 3   16       1 1   t5  1 = T4 +1 =  5  (1)5 −4 ( −2x )4 = 5  4 4    4  16x ∴ t4 = 2x   1  1  1  1  Resolución 7   5  5 − 1 5 − 2  5 − 3          · 16x 4  1 2· 3· 4 ·   −3    E=     33   −21  4 E= ( −3)( −3 − 1)( −3 − 2)( −3 − 3).....( −3 − 32) = 16x 1 2· 3· 4· 5· ..... ·33 ·  625  E= (−3 )( −4 )( −5 )(−6 ) · ..... · ( −35 ) = (−1)31 ( −34 )( −35 ) −336 4 1 2· 3· 4· 5 · ..... · 33 · 12 · ∴ t5 = x 625 ∴ E = –595 Resolución 6 Resolución 8 1  −15   −15   −15   1 2 E= + +   1 + x3   3   4   5  4     −15 + 1  −15  E= +   4   5  1 3  1 −3  1   1  2   1 2  3  2  −14   −15    E= +  t4 = t3+1 =    4  3   x  =   32x 3   4   5        E= (−14 )(−15)(−16 )(−17 ) 1 2· 3· 4 · - 11 -
  • 12. + ( −15)( −16 )( −17 )( −18 )( −19 ) Resolución 10 1 2· 3· 4· 5 · −2  1 −3 −9  ∴ E = – 9248 2x − x    Resolución 9 k −2 −k  9 (  −2  )  −2  k + 2 6 − 3k  −  (2 ) ( x ) 2 tk +1 =   2−1x −3 1 x 2  =  k (x 2 −3 ) 2  k Término indenpendiente:      1 1  1 3k  2  2 −2 t3 = t2+1 =   x 2  ( )   −3 2 ( −3 )2 = 2 x ( 9 )   2  6− 2 =0 k=4      1  1  Entonces:   − 1 ( ) 2 2  −9 3·4 t3 =   9x −3 = 3  −2  4 +2 6− 1· 2 8x t4+1 = t5 =   (2 ) (x ) 2  4 −9 ( −2)( −3 )( −4 )( −5) Si: x=3 t3 = (2)6 8· 33 t5 = 1 2· 3· 4 · ∴ t3 = (–24)-1 ∴ t5 = 320 CAPÍTULO 3 LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96) NIVEL I Resolución 5 5 Resolución 1 log x 2 = 0,4 2 log a = x 5 2 2 2 log x = logx = log 10a = log10 + loga = 1 + loga 5 5 5 ∴ log10a = 1 + x Rpta.: E ∴ logx = 1 Rpta.: B Resolución 2 Resolución 6 log p = x log p = q 1 p log 3 p = logp log   = log p − log r 3 r x p ∴ log 3 p = Rpta.: D ∴ log   = q − log r Rpta.: B 3 r Resolución 3 Resolución 7 loga = m ; logb = n  1 logx + log   = logx + logx-2 = logx – 2logx  x2  a 1 a 1 log = log   = (loga − logb ) b 2 b 2  1 ∴ logx + log   = –logx Rpta.: C  x2  a m−n ∴ log = Rpta.: B b 2 Resolución 8 2 Resolución 4 2 2 log5 3 25 = log5 5 3 = log5 5 = · 1 3 3 log 103 = 3log10 = 3· 1 2 ∴ log 103 = 3 Rpta.: D ∴ log5 3 25 = Rpta.: D 3 - 12 -
  • 13. Quinto Año de Secundaria Resolución 9 7 4 log 102 + log2 2 − log 5 5 logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103 = logx–log1000 2log 10 + 7log 2 − 4log 5 2 5  x  2+7–4 ∴ logx–3 = log   Rpta.: E 5 Rpta.: B  1000  Resolución 10 Resolución 18 log2 a = x log0,01+ log 0,0081= log10-2 + log (0,3)4 0,3 0.3 x + 1 = log2 a + log2 2 = –2log10 + 4 log (0,3) ∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D (0,3) =–2+4= 2 Rpta.: C Resolución 11 Resolución 19 log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2) log 0,25 + log 0,125 − log 0,0625 2 2 2 log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2) log (0,25)(0,125) = log (0,03125) Rpta.: D 2 0,0625 2 (0,0625 ) Resolución 12 log (0,5) = log 2−1 = −1log 2 log(x2–x) = logx(x–1) 2 2 2 ∴ log(x2–x) = logx + log(x–1) =–1 Rpta.: E Rpta.: A Resolución 20 Resolución 13  1  1  1  log   − log   + log  5  125  11 3 2 11 12 2  16  3  81  log 216 6 = log 63 = : log6 6 12 3 5 36 5 36 65 log 2−4 − log 3−4 + log 5−3 2 3 5 55 = Rpta.: C −4log 2 + 4log 3 − 3log 5 36 2 3 5 –4+4–3 Resolución 14 ∴ –3 Rpta.: D log 0,064 = x log (0,4)3 = x 0,4 0,4 Resolución 21 3log 0,4 = x 0,4 log3 = 0,47 , log5 = 0,70 ∴ x=3 Rpta.: D log75 – log125 + log45 = 75 · 45 log = log27 = log33 = 3log3 Resolución 15 125 −2 = 3(0,47) 2 9 log x = −2 x=  x= 2 3 4 =1,41 Rpta.: B 3 Rpta.: E Resolución 22 Resolución 16 log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70 2 log (a2 − 2ab + b2 ) = log (a − b) 35 (a −b) (a −b) log35 – log14 = log 14 = 2 log (a − b) = 2 Rpta.: E (a −b) 5 = log = log5 − log2 2 Resolución 17 log 35 – log14 = 0,70 – 0,30 log 100 + log 128 − log 625 2 5 ∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B - 13 -
  • 14. Resolución 23 Resolución 28 log 2 log 2 1 + 1 log 36 log 36 = log (2) + log (3) 36 36 243 3 = 35 ( ) 3 2 3 log 2 5·log 2 log 25 3 3 3 = log (2· 3) = log 6 243 = (3) = (3) = 25 36 36 log 2 1 ∴ 243 3 Rpta.: E = 32 1 2 = log (36) = log 36 36 2 36 Resolución 29 1 = Rpta.: C logx + log(x–3) = 1 2 logx (x–3) = log10 Resolución 24 x(x–3) = 10 log 3 = x ∴ x=5 Rpta.: C 2 log 64 = log 26 = 6log 2 24 24 24 Resolución 30  1   1  log x log3 = 6  = 6  10 − 10 = 2x − 5 log 24   2 log (8· 3)   2 x – 3 = 2x – 5  1   1  ∴ x=2 Rpta.: B = 6  = 6  log 8 + log 3   2  3log 2 + x  2 2 NIVEL II 6 = Rpta.: B Resolución 1 3+x 3x  1 1 ( ) x −4 2 log  =x = 2 2 2 =2 Resolución 25 2 2  16  16 3 log (5x − 3) − log x = 1 −4 = x 2 2 2 (5x − 3) 8 log = log 2 ∴ x=− Rpta.: A 2 x 2 3 5x − 3 Resolución 2 =2 5x – 3 = 2x x ∴ x=1 Rpta.: B (I) log 32 = 5 32 = 25 ... (V) 2 Resolución 26 (II) log 1= 0 1=(2000)0 .... (V) 2000 log (2x + 21) − log x = 2  1 1 3 3 (III) log   = −4 = 2−4 ... (V) 2  16  16  2x + 21 2 2x + 21 2 log   = log3 3 =3 ∴ VVV Rpta.: D 3 x  x 2x + 21 = 9x Resolución 3 ∴ x=3 Rpta.: A log 27 = a 12 Resolución 27 log2 24 4log2 2 log a + logb = log(a + b) log 16 = = 6 log2 2 + log2 3 log2 2 + log2 3 log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b 4 ........................... (1) b log 16 = ∴ a= Rpta.: D 6 1 + log2 3 b −1 - 14 -
  • 15. Quinto Año de Secundaria 3log2 3 Pero: log 27 = a =a 52  5 12 2log2 2 + log2 3 = log = 2log   2 22 2 2 3log2 3 2a =a log2 3 =   10   2 + log2 3 3−a = 2 log  2   = 2[log 10 − 2log 2] 2  2  2  2 Reemplazando en (1) 1  = 2 log 10 − 2 = 2  − 2    4  10x   x  log 16 = 6 2a 2 − 4x 1+ = 3−a Rpta.: D x 12 − 4a ∴ log 16 = Rpta.: E Resolución 8 6 3+a log y Resolución 4 (log5 x ) 5 =y log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024 log y log (log x ) 2 3 4 5 1023 5  = logy   5   log3 log4 log5 log1024 log6 · · · ..... log y log (log x ) = logy log2 log3 log4 log5 log1023 5  5  log (log x ) = log5 log x = 5 log1024 log210 5 5 = = 10 Rpta.: B log2 log2 x= 55 = 3125 ∴ ∑ cifras = 11 Rpta.: C Resolución 5 log2 = a ∧ log3 = b Resolución 9 log 4 + log 1 4 3 log 752 = 2 3 2 log75 = log 52 · 3 3 ( ) E= 2 2 = log2 22 + log −1 22 2 = 2 2 log52 + log3 = [2log5 + log3] log 243 + log 1 81 log 35 + log −1 34 3 3 3 3 ( ) 3  3 2  10   2−2 = E=  2log   + log3 5−4 3  2  2 ∴ E=0 Rpta.: E =  2 (log10 − log2) + log3 3  Resolución 10 2 =  2 (1− a ) + b 3  log 2 = a ∧ log 3 = 2b 5 5 2 ∴ log 3 752 = 3 [b − 2a + 2] Rpta.: D log 5 1 2 5 1 300 = log 300 = log 102·3  2 5    ( ) 1 1 Resolución 6 = log 10 + log 3 = [2log 10 + log 3] 2 2 5 5  2 5 5 2 4 6 logx = + − 1 7+ 5 11 + 7 11 + 5 =  2 (log 5 + log 2 ) + log 3  2 5 5 5  0 = ( 7+ 5 )( 11 + 7 )( 11 + 5 ) = 1 2  2 (1 + a ) + 2b   logx = 0 x = 100 ∴ x=1 Rpta.: B ∴ log 300 = a + b + 1 Rpta.: E 5 Resolución 7 Resolución 11 log2 = x 2 = 10x log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1  2,5  log 2,5 − log (0,4) = log  log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10 2 2 2  0,4   - 15 -