DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
COLLÈGE DE BOIS-DE-BOULOGNE
RAPPORT PROJET D’INTÉGRATION
PRÉSENTÉ AU
COLLÈGE DE BOIS-DE-BOULO...
ÉVALUATION DE LA DÉMARCHE
Au cours de ce projet, nous avons rencontré de nombreux obstacles au niveau de la
compréhension ...
IV
régissant le mouvement de notre satellite𝑃. La deuxième orbite trouvée fut celle d’une
orbite de Halo calculé numérique...
ÉTUDE DE LA DYNAMIQUE AUTOUR DES POINTS DE LAGRANGE
RÉSUMÉ
L’article suivant portera sur l’étude de la dynamique autour de...
ÉTUDE DE LA DYNAMIQUE AUTOUR DES POINTS DE LAGRANGE
ABSTRACT
The following article will focus on the study of the dynamics...
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION .............................................................................................
X
4.4.1 Les orbites de Lissajous .......................................................................42
4.4.2 Introduct...
LISTE DES TABLEAUX
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Tableau 3.7.1 : Calculs des données pour le système Terre-Lune.......................................
LISTE DES FIGURES
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Figure 2.1 : Positions des points de Lagrange ........................................................
LISTE DES ABRÉVIATIONS, SIGLES ET ACRONYMES
Abréviations Signification
L1 Premier point de Lagrange (entre M et m)
L2 Deux...
LISTE DES SYMBOLES ET UNITÉS DE MESURE
Symboles et
abréviations
Signification et unités
T Période orbitale (s)
G Constante...
XVIII
d4 Distance entre L2 et le deuxième corps (m)
r2 Rayon de l’orbite Halo autour de L2 (m)
v2 Vitesse du satellite dan...
INTRODUCTION
Les points de Lagrange élargissent les horizons du domaine de l’exploration spatiale, car
il devient possible...
2
ÉTAT DE LA RECHERCHE
Laplace et Lagrange, astronomes de renom du XVIIIe siècle, ont tenté de calculer les
trajectoires d...
CHAPITRE 1
PROBLÉMATIQUE
1.1 Problématique
La curiosité de l’être humain l’a toujours poussé à essayer de comprendre l’uni...
CHAPITRE 2
THÉORIE SUR LES NOTIONS UTILISÉES
2.1 Les points de Lagrange et les « autoroutes interplanétaires »
Les points ...
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Figure 2.1 : Positions des points de Lagrange
Ces points correspondent aux endroits où la résultante des forces gravitat...
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Pour en trouver les positions, il y a plusieurs méthodes mathématiques qui peuvent être
utilisées. D’une part, il est po...
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autour des points permet de meilleurs résultats de recherche. En effet, si un satellite est
placé en orbite autour du po...
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Dans le cas des points de Lagrange, la trajectoire de Hohmann pourrait être utilisée pour
envoyer une sonde d’un point s...
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Le grand axe est égal à la distance Pm du périastre à la masse m, additionnée à la distance
Am de l’apoastre à la masse...
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En effet, il faudra calculer une certaine vitesse de libération de la masse M qu’il faudra
donner à la sonde lors du la...
CHAPITRE 3
APPROCHE SELON LES ÉQUATIONS DE KEPLER
Dans ce chapitre, certaines notions théoriques expliquées dans le chapit...
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où Fc est la force centripète exercée sur un objet au point L1, F1 est la force
gravitationnelle exercée par M et F2 es...
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spécifiques seront démontrés dans la section d’application, et les calculs seront
programmés sur Maple.
3.2 Supposition...
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Vraisemblablement, un point sur l’une de ces orbites subit toujours les forces
gravitationnelles des masses M et m. Cep...
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Où dMP est la distance de la masse M au point P sur l’orbite, dmP est la distance de la
masse m au point P sur l’orbite...
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Figure 3.2.2 : Forces agissant sur le point A pour créer une force centripète
Par les définitions d’une force centripèt...
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Où
𝛾 = arctan(
𝑟2
𝑑3
) et 𝛿 = arctan(
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𝑑4
)
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Ainsi, les vitesses sur les orbites Halo L1 et L2 sont trouvées se...
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3.3 Supposition pour une trajectoire de Hohmann d’un point sur l’orbite L1 à
un point sur l’orbite L2
Maintenant que de...
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Figure 3.3.2 : Trajectoire de Hohmann
Figure 3.3.3 : Trajectoire de Hohmann vue de côté
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r2
d4
d2
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Selon ces figures, en choisissant un rayon r1 pour l’orbite Halo L1, un périastre est
implicitement choisi avec une cer...
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𝑒 = 1 −
𝑟1
(
𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽)
sin(2𝛽)
)sin(𝛽)
(3.24)
𝑒 = 1 −
𝑟1 sin(2𝛽)
𝑟1 cos( 𝛽)sin( 𝛽) + 𝑑4(sin( 𝛽))2
(3.25)
...
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𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒
= 2𝜋 (
𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽)
sin(2𝛽)
)
1
(
2𝜋
√ 𝐺 𝑚
√(
𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽)
sin(2𝛽)
)
3
)
× (1 + 1 −
𝑟...
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3.3.2 Équation de l’ellipse contenant la trajectoire de Hohmann
L’ellipse contenant la trajectoire de Hohmann est défin...
26
Le b peut être calculé à partir du a, puisque, dans une ellipse, la distance du sommet de b
à un des foyers est égale à...
27
3.3.3 Rayon à l’orbite Halo L1 idéal afin d’utiliser le moins d’énergie possible
Pour utiliser le moins d’énergie possi...
28
À partir de cette équation, il est possible de résoudre pour r1 sur Maple, ce qui permet de
trouver des rayons idéaux p...
29
𝑣2 = √ 𝐺𝑀(𝑐𝑜𝑠( 𝛾))
2
𝒓 𝟐
𝑑32
× sin(𝛾) +
𝐺𝑚(cos( 𝛿))2 𝒓 𝟐
𝑑42
× sin(𝛿)
(3.45)
Où
𝛾 = arctan(
𝒓 𝟐
𝑑3
) et 𝛿 = arctan (
𝒓 ...
30
𝑣 𝑎𝑝𝑜𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑒 = √
𝐺𝑚 sin(2𝛽)
𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽)
× (
𝒓 𝟏
(
𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽)
sin(2𝛽)
)sin( 𝛽)
)
×
1
√
(
1 − (1 ...
31
Où v1 a été calculée à partir du rayon r2, qui est lui-même calculé à
partir du rayon r1 idéal.
𝑇 𝐻 = 𝑇1/2 =
𝜋
√ 𝐺𝑚
√(
...
32
Dans cette situation particulière, l’énergie de libération voulue se calcule avec une
égalisation entre le potentiel gr...
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𝑣𝑙𝑖𝑏
2
= |(𝑎 𝑚 × √𝑑3
2 + 𝑟2
2 + 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑖
2
− 𝑎 𝑚 × √𝑑1
2 + 𝑟1
2 − 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑖
2
)
− 2𝐺𝑀 (
1
√𝑑1
2 + 𝑟1
2
−
1
√𝑑3
2 + 𝑟2
2
)|...
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point P pour se libérer de l’emprise gravitationnelle de la masse M, du point P(-d2, 0, -r1)
su point A(d4, 0, r2). Ell...
35
TorbL1 (jours) 16,15001281
TorbL2 (jours) 21,77783365
T1/2, ellipse (jours) 12,90331211
Équation orbite Halo L1 x= -5,8...
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l’accélération centripète qui agit sur un objet posé sur ce rayon devient plus petite que celle
nécessaire pour garder ...
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Ainsi, en suivant la même démarche, l’accélération centripète sur l’axe des x pour un point
de l’orbite Halo L2 est rég...
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CHAPITRE 4 ÉTUDE DU PROBLÈME RESTREINT DES TROIS CORPS
(terminé par section, non assemblé!)
4.1 Modèle Mathématique
4.1...
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4.1.3 Système de coordonné et référentiel tournant
Afin d’étudier le comportement de notre satellite 𝑃, nous considéron...
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4.1.4 Loi de composition de l’accélération
Il est important d’introduire le concept de composition d’accélération puisq...
41
En décomposant l’accélération absolue selon chacune de ses composantes, on obtient :
2x xa r ya a v x  
r r
(4.6)
2y...
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Posons
2 21x u    (4.11)
2 21x u    La position en 𝑥 de L2 où 2 représente la distance du second point de
Lagr...
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solutions exponentielles faisant dégénérer le mouvement du satellite 𝑃 à long terme. Ainsi,
une rectification de trajec...
44
Aussi, pour résoudre le système d’équations couplées en 𝑥 et 𝑦, nous avons utilisé le
logiciel de calcul MAPLE. Nous ob...
45
À présent, introduisons les équations 𝑥( 𝑡), 𝑦(𝑡) dans la seconde équation du mouvement
linéarisée :
2 (1 )y x y D  ...
46
Finalement, afin de résoudre cette équation, nous utilisons la fonction solve de
MATLAB. Nous prendrons la solution rée...
47
En se fiant aux données du Dr. Ariel Edery dans son article : «Earth Shadows and the
SEV Angle of Map’s Lissajous Orbit...
48
On peut remarquer que cette orbite est quasi périodique puisqu’elle ne se referme pas
complètement sur elle-même après ...
49
À présent, introduisons les équations 𝑥( 𝑡) et 𝑦(𝑡) dans la seconde équation du
mouvement linéarisée :
2 (1 )y x y D ...
50
Aussi, de la relation précédemment établie entre 𝐷, 𝑘 et le rapport
𝐶1
𝐶2
, nous obtenons,
pour 𝐿2 :
𝐶1 = ∓1.834𝐶2
𝑘 = ...
51
Nous pouvons observer qu’après quelques révolutions autour de 𝐿2 , le satellite 𝑃 décroche
de son orbite et part à la d...
52
4.5 Les orbites de Halo
Les orbites de Halo sont un type d’orbite périodique, symétrique par rapport au plan 𝑋𝑍et
perça...
53
Considérons un vecteur d’état 𝑿(𝑡0) de 6 dimensions dont les 3 composantes de position
appartiennent au plan 𝑋𝑍 et dont...
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Par définition,
Φ( 𝑡, 𝑡0) =
𝜕𝑿( 𝑡)
𝜕𝑿( 𝑡0)
Cette dernière matrice sera propagée en fonction du temps selon la relation
...
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lors, si après une demi-période, le satellite ne croise pas le plan 𝑋𝑍 perpendiculairement,
nous calculons les correcti...
56
Ainsi, il est possible de linéariser 𝑿 (𝑡 𝑇
2
) au point où il franchit le plan 𝑋𝑍 :
δ𝑿 (𝑡 𝑇
2
) ≈
𝜕𝑿( 𝑡 𝑇
2
)
𝜕𝑿( 𝑡0)
...
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δ𝑿( 𝑡0) = (𝛿x0; 0; δz0; 0; δ (
dy0
dt
) ; 0)
T
𝜕𝑿(𝑡 𝑇
2
)
𝜕𝑡
= (
𝑑𝑥 𝑇1
2
𝑑𝑡
;
𝑑𝑦 𝑇1
2
𝑑𝑡
;
𝑑𝑧 𝑇1
2
𝑑𝑡
;
𝑑2
𝑥 𝑇1
2
𝑑𝑡2
;...
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Ainsi, afin de calculer les corrections à effecteur sur 𝑿(𝑡 𝑇1
2
), on isole −𝑑𝑥 𝑇1
2
/𝑑𝑡 et
−𝑑𝑧 𝑇1
2
/𝑑𝑡 à l’aide des ...
59
Afin de résumé la routine qu’effectue le programme haloFamily.m, voici un schéma
reprenant les grandes lignes de l’algo...
60
4.5.4 Modélisation Matlab : Tracé de trajectoire
En utilisant le programme haloFamily.m, nous obtenons l’orbite de halo...
61
DISCUSSION
La modélisation de missions spatiales autour des points de Lagrange est d’une importance
majeure dans l’indu...
62
CONCLUSION
En somme, après avoir effectué l’analyse de la dynamique des orbites autour des points de
Lagrange à l’aide ...
BIBLIOGRAPHIE
Bonnard B., Faubourg L. and Trélat E., Mécanique céleste et contrôle des véhicules
spatiaux. Mathématiques e...
64
Gispert, J. "Mécanique Céleste." Mécanique Céleste. Web. 18 May 2016.
<http://astronomia.fr/seminaires/annee1314/mecani...
Dynamique_Autour_des_Points_de_Lagrange
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  1. 1. DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES COLLÈGE DE BOIS-DE-BOULOGNE RAPPORT PROJET D’INTÉGRATION PRÉSENTÉ AU COLLÈGE DE BOIS-DE-BOULOGNE COMME EXIGENCE PARTIELLE À L’OBTENTION DU DIPLÔME D’ÉTUDE COLLÉGIAL EN SCIENCES DE LA NATURE ÉTUDE DE LA DYNAMIQUE AUTOUR DES POINTS DE LAGRANGE PAR Malik, AMIR, 1424199 Younes, BENADJAL, 1474323 Adam, KAYAL, 1428282 Lea, SULTANEM, 1456527 MONTRÉAL, LE 18 MAI 2016
  2. 2. ÉVALUATION DE LA DÉMARCHE Au cours de ce projet, nous avons rencontré de nombreux obstacles au niveau de la compréhension des notions préalables à l’étude des systèmes dynamiques : matrice de transition d’état, analyse poly variée, programmation MAPLE et MATLAB etc. À plusieurs reprises, il a fallu rediriger notre recherche car nous nous éparpillons trop loin et sur divers sujets au lieu de se concentrer sur l’essentiel. On a finalement choisi d’étudier principalement les orbites Halo, les orbites de Lissajous et essayer de modéliser une trajectoire partant d’une orbite à une autre afin de recréer les conditions d’un transfert orbitale. Pour se faire, nous avons décidé d’attaquer la problématique à partir de deux approches distinctes, chacune comportant ses forces et ses faiblesses, pour voir si nous arrivions à des conclusions similaires. Dans la première approche, nous avons repris les notions du mouvement circulaire uniforme ainsi que du mouvement elliptique képlérien pour les pousser au plus loin afin de les appliquer à la mise en orbite de satellite autour des points de Lagrange. Les plus grandes difficultés ont été de trouver la vitesse de libération de l’orbite Halo L1 et le comportement du satellite à son arrivée à l’orbite Halo L2. Ces problèmes ont été résolus après plusieurs heures de travail. Notamment, on pensait que le satellite, en arrivant sur l’orbite Halo L2 avec une vitesse trop élevée, s’établirait dans une orbite elliptique. Cependant, les satellites en orbite autour des points de Lagrange ne se comportent pas de la même manière que ceux en orbite autour d’une masse. À la fin du travail, on a réalisé que cette approche ne prenait pas en compte le changement de l’accélération centripète qui agit sur le satellite afin qu’il puisse tourner autour de la grande masse M (section 3.8). Une nouvelle approche a été essayée, mais les équations trouvées étaient trop complexes pour pouvoir en tirer des résultats. Ona donc trouvé les vitesses à donner s’il fallait rajuster l’accélération centripète. Du côté de la deuxième approche, la difficulté s’est situé au niveau de la compréhension approfondie des notions mathématiques nécessaires à l’étude des systèmes dynamiques. L’apprentissage de toutes ces notions a nécessité une grande documentation tant média graphique que littéraire ainsi que de nombreux brouillons. La première orbite trouvée fut une orbite de Lissajous calculée en résolvant le système d’équations différentielles
  3. 3. IV régissant le mouvement de notre satellite𝑃. La deuxième orbite trouvée fut celle d’une orbite de Halo calculé numériquement à l’aide d’un algorithme de tir. Nous détaillerons sa construction, après l’introduction de quelques notions théoriques préalables, au chapitre 4. Par la suite, nous utiliserons, dans les librairies MATLAB déjà disponibles, des programmes de tracé d’orbites tels que haloFamily.m et stableEarthMoonLyap.m. Le lien de récupération des fichiers se retrouvera en fin de document dans la bibliographie.
  4. 4. ÉTUDE DE LA DYNAMIQUE AUTOUR DES POINTS DE LAGRANGE RÉSUMÉ L’article suivant portera sur l’étude de la dynamique autour des points d’équilibre d’un système restreint de trois corps. En effet, grâce aux points de Lagrange, il est possible d’envoyer un satellite sur plusieurs trajets différents autour de ces points, permettant ainsi un avancement dans l’exploration spatiale. Ce rapport étudiera donc les différentes trajectoires à moindre coût énergétique dans un système restreint de trois corps (dont un de masse négligeable). Il y aura deux principales approches pour cette étude : une approche simplifiée utilisant les lois de Kepler, et une approche mathématique plus complexe utilisant les équations du mouvement dans un système restreint de trois corps. Ces sections seront séparées dans le rapport, et plusieurs exemples seront donnés pour chacun des deux. La deuxième approche vérifiera d’une manière plus juste la première approche. Comme résultats, la première approche permet de trouver une trajectoire idéale entre les deux orbites Halo situées autour des points de Lagrange L1 et L2, en utilisant une trajectoire de Hohmann. Les seules dépenses énergétiques dans cette trajectoire seront les corrections nécessaires pour stabiliser les orbites Halo et la vitesse de libération nécessaire pour démarrer la trajectoire de Hohmann. La deuxième approche permettra de trouver des algorithmes pour les équations du mouvement dans un système restreint de trois corps qui pourront être programmés sur Matlab. Ainsi, plusieurs différentes orbites pourront être modélisées en ne précisant que les conditions initiales, dont la vitesse initiale, qui est, ici aussi, la seule dépense énergétique nécessaire. Mots clés : Points de Lagrange, équations du mouvement, orbites Halo, orbites Lissajous, CRTBP, PRTBP, Trajectoire de Hohmann, Algorithme de tir. Younes Benadjal Laval yndz9810@gmail.com Mathématiques Université de Montréal Adam Kayal Montréal adamkayal@live.ca Mathématiques et Physique Université de Montréal Malik Amir Montréal malik1031@hotmail.com Mathématiques Université McGill Léa Sultanem Montréal lsultanem@gmail.com Physique Université McGill
  5. 5. ÉTUDE DE LA DYNAMIQUE AUTOUR DES POINTS DE LAGRANGE ABSTRACT The following article will focus on the study of the dynamics around the equilibrium points of a restricted system of three bodies. Indeed, with the Lagrange points, it is possible to send a probe on several different paths around these points, allowing progress in space exploration. This report will therefore explore the different paths to lower energy cost in a restricted three-body system (one of negligible mass). There will be two main approaches to the study: a simplified approach using Kepler’s laws, and a mathematical approach using more complex equations of motion in a restricted system of three bodies. These sections will be separated in the report, and several examples will be given for both. The second approach will verify the first approach. As a result, the first approach allows to find an ideal path between Halo orbits located around the Lagrangian points L1 and L2, using a Hohmann trajectory. The only energy used in this trajectory appears in the corrections that are necessary to stabilize the Halo orbits and in the release velocity required to start the Hohmann trajectory. The second approach will find algorithms for the equations of motion in a restricted three-body system that can be programmed in Matlab. Thus, several different orbits can be modeled by specifying only the initial conditions such as the initial velocity, which is, again, the only necessary energy use. Keywords : Lagrange Points, Movement Equations, Halo orbits, Lissajous orbits, CRTBP, PRTBP, Hohmann trajectory, Shooting Method.
  6. 6. TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION ...............................................................................................................1 ÉTAT DE LA RECHERCHE..............................................................................................2 CHAPITRE 1 PROBLÉMATIQUE ....................................................................................3 1.1 Problématique ..........................................................................................................3 CHAPITRE 2 THÉORIE SUR LES NOTIONS UTILISÉES.............................................5 2.1 Les points de Lagrange et les « autoroutes interplanétaires » .................................5 2.2 Orbites Halo autour des points de Lagrange ............................................................7 2.3 Trajectoire de Hohmann et vitesse de libération......................................................8 CHAPITRE 3 APPROCHE SELON LES ÉQUATIONS DE KEPLER...........................13 3.1 Position des points de Lagrange L1 et L2 d’un système .......................................13 3.2 Supposition pour les orbites Halo circulaires autour des points L1 et L2 .............15 3.3 Supposition pour une trajectoire de Hohmann d’un point sur l’orbite L1 à un point sur l’orbite L2.........................................................................................................20 3.3.1 Vitesse initiale au point P (périastre) ...................................................22 3.3.2 Équation de l’ellipse contenant la trajectoire de Hohmann .................25 3.3.3 Rayon à l’orbite Halo L1 idéal afin d’utiliser le moins d’énergie possible.................................................................................................27 3.4 Orbite Halo circulaire autour du point de Lagrange L2.........................................28 3.4.1 Rayon r2 de l’orbite Halo L2 au point A (apoastre).............................28 3.4.2 Vitesse habituelle sur l’orbite Halo L2 à ce rayon r2 ...........................28 3.4.3 Vitesse finale au point A (apoastre).....................................................29 3.5 Périodes orbitales et temps prévu pour la trajectoire de Hohmann .......................30 3.6 Résumé du trajet.....................................................................................................33 3.7 Exemple d’application des équations trouvées sur le système Terre-Lune (calculs sur Maple) ..............................................................................................................34 3.8 Les désavantages de cette trajectoire .....................................................................35 CHAPITRE 4 ÉTUDE DU PROBLÈME RESTREINT DES TROIS CORPS (terminé par section, non assemblé!)........................................................................38 4.1 Modèle Mathématique ...........................................................................................38 4.1.1 Généralités sur les systèmes dynamiques ............................................38 4.1.2 Définition du problème restreint des trois corps..................................38 4.1.3 Système de coordonné et référentiel tournant......................................39 4.1.4 Loi de composition de l’accélération...................................................40 4.2 Les Équations du mouvement................................................................................41 4.3 Localisation des Points de Lagrange L1 et L2 .......................................................41 4.4 Généralités sur les orbites et résolution des équations du mouvement..................42
  7. 7. X 4.4.1 Les orbites de Lissajous .......................................................................42 4.4.2 Introduction des perturbations exponentielles .....................................48 4.5 Les orbites de Halo ................................................................................................52 4.5.1 Propriétés de symétrie..........................................................................52 4.5.2 La matrice de transition d’état .............................................................53 4.5.3 Calcul numérique des orbites de halo ..................................................54 4.5.4 Modélisation Matlab : Tracé de trajectoire..........................................60 DISCUSSION ………………………………………………………………………..61 CONCLUSION ………………………………………………………………………..62 BIBLIOGRAPHIE.............................................................................................................63
  8. 8. LISTE DES TABLEAUX Page Tableau 3.7.1 : Calculs des données pour le système Terre-Lune.....................................34
  9. 9. LISTE DES FIGURES Page Figure 2.1 : Positions des points de Lagrange ....................................................................6 Figure 2.2 : Exemple d’une trajectoire de Hohmann autour du Soleil ...............................8 Figure 3.1.1 : Schéma des forces appliquées sur L1 .........................................................13 Figure 3.2.1 : Points L1 et L2 dans un système comprenant M et m ................................15 Figure 3.2.2 : Orbites Halo autour des points L1 et L2 ....................................................15 Figure 3.2.3 : Forces agissant sur le point P pour créer une force centripète ...................16 Figure 3.2.2 : Forces agissant sur le point A pour créer une force centripète...................18 Figure 3.3.1 : Trajectoire de Hohmann avec les plans......................................................20 Figure 3.3.2 : Trajectoire de Hohmann.............................................................................21 Figure 3.3.3 : Trajectoire de Hohmann vue de côté..........................................................21 Figure 3.3.2.1 : Trajectoire de Hohmann vue de côté.......................................................25 Figure 3.3.2.2 : Ellipse ......................................................................................................26 Figure 3.5.1.1: Vitesse de libération et toutes les vitesses appliquées sur le satellite.......31 Figure 3.6.1: Trajectoire de Hohmann et vitesse de libération .........................................33 Figure 4.1.3.1: Référentiel tournant C’ et référentiel fixe C dans lesquels est plongé un satellite 𝑃 de masse 𝑚𝑠𝑎𝑡 ....................................................................39 Figure 4.4.1.1 : Orbite de Lissajous omettant les perturbations exponentielles ...............47 Figure 4.4.1.2 : Perturbations exponentielles....................................................................50 Figure 4.5.1.1 : Propriétés de symétrie .............................................................................52 Figure 4.5.3.1: Algorithme de tir ......................................................................................59 Figure 4.5.4.1 : Orbite Halo ..............................................................................................60 Figure 4.4.1.2 : Orbite de Lissajous ..................................................................................60
  10. 10. LISTE DES ABRÉVIATIONS, SIGLES ET ACRONYMES Abréviations Signification L1 Premier point de Lagrange (entre M et m) L2 Deuxième point de Lagrange (derrière m) L3 Troisième point de Lagrange (derrière M) L4 Quatrième point de Lagrange (60° devant m) L5 Cinquième point de Lagrange (60° derrière m)
  11. 11. LISTE DES SYMBOLES ET UNITÉS DE MESURE Symboles et abréviations Signification et unités T Période orbitale (s) G Constante gravitationnelle (m3∙kg-1∙s-2) M Masse du premier corps (kg) m Masse du deuxième corps (kg) a Distance entre les deux corps (m) Pm Périastre du deuxième corps (m) Am Apoastre du deuxième corps (m) e Excentricité de l’orbite elliptique T1/2 Période de demi-orbite (s) vpériastre Vitesse au périastre (m/s) vmoy Vitesse moyenne (m/s) U Énergie potentielle gravitationnelle (J) K Énergie cinétique (J) vlib Vitesse de libération (m/s) r Rayon de l’orbite (m) Fc Force centripète exercée sur L1 (N) F1 Force gravitationnelle exercée par le premier corps (N) F2 Force gravitationnelle exercée par le deuxième corps (N) msat Masse du satellite (kg) v Vitesse du satellite (m/s) dcm Distance entre le satellite et le centre de masse (m) d1 Distance entre L1 et le premier corps (m) b Distance entre le premier corps et le centre de masse (m) d2 Distance entre L2 et le deuxième corps (m) Fc1 Force centripète agissant sur le satellite à L1 (N) α Angle séparant l’axe principal et la ligne d’action de F1 sur L1 (N) β Angle séparant l’axe principal et la ligne d’action de F2 sur L1 (N) dMP Distance entre le premier corps et le satellite en orbite (m) dmP Distance entre le deuxième corps et le satellite en orbite (m) r1 Rayon de l’orbite Halo autour de L1 (m) v1 Vitesse du satellite dans l’orbite Halo autour de L1 (m/s) Fc2 Force centripète agissant sur le satellite à L1 (N) γ Angle séparant l’axe principal et la ligne d’action de F1 sur L1 (N) δ Angle séparant l’axe principal et la ligne d’action de F2 sur L1 (N) d3 Distance entre L2 et le premier corps (m)
  12. 12. XVIII d4 Distance entre L2 et le deuxième corps (m) r2 Rayon de l’orbite Halo autour de L2 (m) v2 Vitesse du satellite dans l’orbite Halo autour de L2 (m/s) vpériastre Vitesse à l’apoastre (m/s) vorbf Vitesse finale du satellite dans son orbite (m/s) vtrajf Vitesse finale du référentiel de la trajectoire du satellite (m/s) vorbi Vitesse initiale du satellite dans son orbite (m/s) vtrajf Vitesse initiale du référentiel de la trajectoire du satellite (m/s) am Accélération centripète du satellite en orbite (m/s2) Vm Vitesse vectorielle de la masse m autour de la masse M (m/s)
  13. 13. INTRODUCTION Les points de Lagrange élargissent les horizons du domaine de l’exploration spatiale, car il devient possible de concevoir des missions spatiales à faible coût énergétique exploitant des orbites autour de ces points. Ces missions ont l’avantage d’envoyer des satellites à des distances relativement proches de la Terre. En outre, comme les points de Lagrange se déplacent à la même vitesse angulaire que la Terre, ils restent toujours à la même position relative, ce qui rend facile la localisation des satellites que l’on envoie dans certaines missions spatiales. Les satellites qui orbitent autour des points de Lagrange peuvent le faire de plusieurs manières. En effet, il existe trois types d’orbites principaux : les orbites de Halo, les orbites de Lissajous et les orbites de Lyapunov. Dans ce travail, seules les orbites de Halo et de Lissajous seront traitées. L’étude du mouvement autour des points de Lagrange se fera de deux méthodes différentes : la première consistera à utiliser les lois de Kepler, alors que la deuxième se concentrera sur la résolution des équations du mouvement dans un système à trois corps. Les deux façons de procéder donnent des résultats semblables et complémentaires, ce qui permet une analyse plus approfondie du problème à l’étude.
  14. 14. 2 ÉTAT DE LA RECHERCHE Laplace et Lagrange, astronomes de renom du XVIIIe siècle, ont tenté de calculer les trajectoires des corps qui composent le système solaire. Dans leur tentative, ils négligent l’interaction gravitationnelle des planètes entre elles. En fait, ils ne considèrent que le cas d’une planète unique qui orbite autour du soleil. Leurs résultats offraient une assez bonne description des mouvements réels du système solaire. Au XIXe siècle, le mathématicien français Henri Poincaré s’intéresse au problème des trois corps. La loi de la gravitation universelle formulée par Newton permet de décrire le mouvement de deux corps en fonction du temps. Poincaré s’est aperçu que lorsqu’on ajoute un troisième corps, les équations de Newton fournissent une équation différentielle complexe impossible à résoudre puisqu’elle ne possède pas de solution exacte. Le mathématicien s’inspire donc des travaux de Lagrange et de Laplace pour travailler sur le problème restreint des trois corps, une version simplifiée du problème des trois corps. Dans l’exploration spatiale, les points de Lagrange et leurs orbites Halo ont déjà été utilisés pour des projets actuels. Par exemple, la mission WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) de la NASA a été envoyée au point de Lagrange L2 du système Terre-Lune, alors que la mission Genesis a été envoyée au point L1 de ce système. Ariel Edery, physicien et professeur à l’université Bishop’s, a publié plusieurs articles discutant de missions spatiales autour des points de Lagrange. Son article « Earth Shadows and the SEV Angle of Map’s Lissajous Orbit at L2 »1 se base sur les équations du mouvement dans un système à trois corps pour localiser le point de Lagrange L2 et pour modéliser les orbites de Lissajous autour de L2 qui permettront à un satellite d’éviter l’ombre de la Terre. 1 Edery, Ariel. “Earth Shadows and the SEV angle of MAP’s Lissajous Orbit at L2”, paper AIAA 2002-442. Presenté au AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference, Août 2002, Monterey, CA. Conference, NASA Technical Reports Server.
  15. 15. CHAPITRE 1 PROBLÉMATIQUE 1.1 Problématique La curiosité de l’être humain l’a toujours poussé à essayer de comprendre l’univers dans lequel il évolue. Tout au long de l’Histoire, chaque civilisation tente d’expliquer le monde qui l’entoure en utilisant des concepts liés à la mythologie, à l’art, aux sciences et aux mathématiques. Aujourd’hui, avec notre compréhension des phénomènes physiques devenue largement supérieure et avec nos outils mathématiques et computationnels beaucoup plus puissants, nous sommes capables de prédire et calculer le mouvement des objets célestes avec une grande précision. Il devient ainsi possible d’explorer l’espace à l’aide de nos satellites pour recueillir des données plus précises et capter des images de l’univers plus nettes, comme le fait présentement le télescope Hubble. Dans le cadre de notre projet, nous tenterons de trouver des orbites autour de ce qu’on appelle les points de Lagrange pour y placer des satellites qui, comme Hubble, pourront effectuer des missions spatiales. Nous décrirons aussi le passage de ce satellite d’une orbite à une autre. Pour ce faire, nous aurons d’abord besoin de trouver la location de ces points de Lagrange. Ensuite, nous serons confrontés au problème restreint des trois corps pour trouver la location de chaque astre dont le mouvement est utile à l’étude de la trajectoire du satellite. Finalement, une analyse de la stabilité des orbites autour des points de Lagrange devra être effectuée.
  16. 16. CHAPITRE 2 THÉORIE SUR LES NOTIONS UTILISÉES 2.1 Les points de Lagrange et les « autoroutes interplanétaires » Les points de Lagrange, qui font le sujet de ce rapport, sont des points d’équilibre dans un système de deux corps auxquels on pourrait placer un troisième corps de masse négligeable pour qu’il soit en équilibre dans le système. Autour de ceux-ci se développe tout un système dynamique de gravité dans lequel peut bouger un troisième corps de masse très petite. Considérons un système de deux corps. Ces deux masses tournent autour de leur centre de masse selon la troisième loi de Kepler, modifiée par Newton, 𝑇2 = 4𝜋2 𝐺 × 𝑎3 (𝑀 + 𝑚) (2.1) où T est la période orbitale des masses M et m autour de leur centre de masse, et a est la distance entre les deux masses. Supposons un système de deux masses M et m, dans lequel la masse M est beaucoup plus grande que la masse m. Ces deux masses orbiteraient autour de leur centre de masse, qui est très rapproché de la masse M. L’équation précédente revient donc à l’approximation suivante lorsque m<<M : 𝑇2 = 4𝜋2 𝐺 × 𝑎3 𝑀 (2.2) Donc, selon cette loi, la période orbitale de m dépend de sa distance à la masse M. Cependant, il y a des exceptions à cette loi. En effet, il y a cinq endroits dans ce système où on pourrait placer un objet de masse négligeable, comme un satellite, pour qu’il se déplace avec la même période T que la masse m, malgré une distance différente à la masse M. Cet objet serait donc immobile relativement aux deux premiers corps, assez stable et en équilibre. Ces endroits d’équilibre sont nommés points de Lagrange, et sont notés L1, L2, L3, L4 et L5.
  17. 17. 6 Figure 2.1 : Positions des points de Lagrange Ces points correspondent aux endroits où la résultante des forces gravitationnelles des masses M et m produit une force égale à la force centripète nécessaire pour tourner autour de la masse M avec une période T. En d’autres mots, la sommation de toutes les forces sur un troisième corps de masse négligeable placé à ces endroits donne une résultante qui permet une force centripète idéale. Parmi les cinq points de Lagrange, il n’y a que deux d’entre eux qui sont stables : les points L4 et L5. Les points L1, L2 et L3 sont naturellement instables à cause des petites modifications en accélération qu’un objet à ces endroits peut subir (vent solaire, distance qui change entre les masses m et M, etc.). Pour visualiser ce concept, on peut imaginer une bille sur le haut d’une colline: si elle est déstabilisée, même très faiblement, elle tombera du haut de la colline et s’éloignera du point d’équilibre. Pour les points L4 et L5, on peut imaginer une bille au fond d’une vallée. Même si la bille bouge quelque peu, elle reviendra toujours à son point d’équilibre. Cependant, autour des points L4 et L5 se trouve une grande quantité de poussière et de petits corps célestes piégés par ces points d’équilibre. On ne pourrait donc pas y placer un engin spatial: il ne survivrait pas longtemps. On préfère utiliser les points L1 et L2 en maintenant les sondes en équilibres avec un peu de consommation d’essence. Ce sont les points L1 et L2 qui seront étudiés dans ce rapport.
  18. 18. 7 Pour en trouver les positions, il y a plusieurs méthodes mathématiques qui peuvent être utilisées. D’une part, il est possible de les trouver en égalisant les forces gravitationnelles pour obtenir une force centripète idéale. D’une autre part, il est possible de les trouver grâce à la résolution des équations du mouvement dans un système de trois corps. Ces deux méthodes seront abordées dans la section d’approfondissement des notions pour étudier la dynamique des points de Lagrange. Selon certaines études, il existe aussi des « tubes » gravitationnels reliant les points de Lagrange d’un même système et de différents systèmes. Ces tubes seraient causés par l’influence de tous les champs gravitationnels de toutes les masses d’un système en mouvement. Selon Shane Ross, «si l'on tient compte de l'attraction de toutes les planètes et de leurs satellites, le champ de gravité est en réalité d'une grande complexité, et les trajectoires y forment une jungle inextricable »2. Ainsi, un objet placé dans une de ces « autoroutes interplanétaires » avec les bonnes conditions initiales pourrait suivre une trajectoire gravitationnelle précise à faible coût en énergie. Ces tubes seront étudiés un peu plus en profondeur sous le nom de tubulures stables et instables (« stable and unstable manifolds ») dans l’approche concernant les équations du mouvement. 2.2 Orbites Halo autour des points de Lagrange Une orbite Halo est une orbite périodique dans trois dimensions autour des points L1 ou L2. Cette orbite est le résultat d’interactions complexes entre les forces gravitationnelles des masses M et m, la force Coriolis et l’accélération centrifuge. Elles seront trouvées de deux différentes manières dans ce rapport. Puisque les points L1 et L2 sont plus ou moins stables, il est utile de trouver une plus grande stabilité dans une orbite autour de ces points. De plus, une orbite d’un satellite 2 Ross, Shane. "Les Autoroutes De L'espace." Pourlascience.fr. 1 May 2007. Web. 26 Nov. 2015. <http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-les-autoroutes-de-l-espace- 19358.php>.
  19. 19. 8 autour des points permet de meilleurs résultats de recherche. En effet, si un satellite est placé en orbite autour du point L1 ou L2 du système Terre-Soleil pour étudier le Soleil, il ne sera jamais dans l’ombre de la Terre. Il pourra donc envoyer de l’information nouvelle sur le Soleil à tout instant. 2.3 Trajectoire de Hohmann et vitesse de libération Une trajectoire de Hohmann est une trajectoire elliptique autour d’une masse centrale qui part d’un premier point rapproché de la masse et qui finit à un deuxième point plus éloigné de la masse (ou vice-versa). Habituellement, cette méthode de transfert est utilisée pour envoyer une sonde de la Terre à une planète supérieure (comme Mars), ou a une planète inférieure (Vénus). Cette méthode est utile, car elle ne consomme que très peu d’essence. En effet, selon Labrot, « ce type de trajectoire permet de transférer un objet entre deux [endroits] avec une dépense énergétique minimale »3. Figure 2.2 : Exemple d’une trajectoire de Hohmann autour du Soleil4 3 Labrot. "Trajectoires Interplanétaires." Trajectoires Interplanétaires. 15 Oct. 2000. Web. 26 Nov. 2015. <http://www.nirgal.net/hohmann.html>. 4 Gispert, J. "Mécanique Céleste." Mécanique Céleste. Web. 18 May 2016. <http://astronomia.fr/seminaires/annee1314/mecaniqueCeleste.php>.
  20. 20. 9 Dans le cas des points de Lagrange, la trajectoire de Hohmann pourrait être utilisée pour envoyer une sonde d’un point sur l’orbite Halo à L1 jusqu’à un point sur l’orbite Halo à L2, ou vice-versa. Le deuxième corps m serait donc l’un des deux foyers de l’ellipse formée. Habituellement, le point L1 se situe un peu plus près de la masse m que le point L2. Le point sur l’orbite Halo à L1 sera donc le périastre, et le point sur l’orbite Halo L2 sera l’apoastre. Dans ce cas, il faudrait donner une vitesse initiale à la sonde, qui quitterait avec une direction tangente à l’orbite Halo L1 et à la trajectoire elliptique autour de m. Elle arriverait à L2 avec une direction tangente à la trajectoire elliptique et à l’orbite Halo L2. Il est possible, grâce aux deuxième et troisième lois de Kepler, de calculer le temps nécessaire pour un tel voyage, et, à partir de cela, la vitesse nécessaire pour le lancement de la sonde. La deuxième loi de Kepler dit que sur une orbite elliptique, le rayon reliant la planète à la masse centrale M (par exemple le Soleil), située à l’un des foyers de l’ellipse, balaie des aires égales en des temps égaux. Cela permet d’expliquer la raison pour laquelle la planète se déplace plus rapidement lorsqu’elle se rapproche de M, et se déplace plus lentement lorsqu’elle s’en éloigne. La troisième loi de Kepler a été décrite avec l’équation (1.2). Selon ces deux notions, il est facile de trouver les équations régissant les orbites elliptiques en ne connaissant que le périastre (point le plus près du foyer M) et l’apoastre (point le plus éloigné du foyer M). En général, voici la démarche à utiliser pour trouver la vitesse initiale à donner au périastre pour utiliser une trajectoire de Hohmann afin de se rendre à l’apoastre, inspirée de la démarche de Gispert5 : Pour calculer la vitesse que doit prendre une sonde pour se rendre jusqu’à l’apoastre, il faut d’abord mesurer le demi-grand axe et l’excentricité de l’orbite elliptique désirée pour la trajectoire : 5 Gispert, J. "Mécanique Céleste." Mécanique Céleste. Web. 18 May 2016. <http://astronomia.fr/seminaires/annee1314/mecaniqueCeleste.php>.
  21. 21. 10 Le grand axe est égal à la distance Pm du périastre à la masse m, additionnée à la distance Am de l’apoastre à la masse m. 𝑎 = 𝑃𝑚 + 𝐴 𝑚 2 (2.3) L’excentricité peut être calculée à partir des périastres et apoastres : 𝑒 = 𝐴 𝑚 − 𝑃𝑚 𝐴 𝑚 + 𝑃𝑚 (2.4) 𝑃𝑚 = (1 − 𝑒) 𝑎 (2.5) 𝐴 𝑚 = (1 + 𝑒) 𝑎 (2.6) 𝑒 = 𝐴 𝑚 𝑎 − 1 = 1 − 𝑃𝑚 𝑎 (2.7) Il faut d’abord commencer par calculer la période T1/2 que prendra la sonde pour accomplir la demie de l’orbite de Hohmann jusqu’à l’apoastre à partir du périastre, par la troisième loi de Kepler: 𝑇1/2 = 1 2 × √ 4𝜋2 𝐺 × 𝑎3 𝑀 (2.8) Il est maintenant possible de calculer la vitesse avec laquelle devra partir la sonde au périastre pour se rendre à l’apoastre sans donner une deuxième propulsion. Sa vitesse de départ sera celle-ci: 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝑣 𝑚𝑜𝑦 (1 + 𝑒) (2.9) Si 𝑣 𝑚𝑜𝑦 = 2𝜋𝑎 𝑇 √(1− 𝑒2) (2.10) (Kepler) Alors 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2𝜋𝑎 𝑇 (1 + 𝑒) √(1 − 𝑒2) (2.11) Un des inconvénients de cette méthode dans la situation particulière du trajet entre L1 et L2 autour de la masse m est l’effet gravitationnel de la masse M qui est toujours présent.
  22. 22. 11 En effet, il faudra calculer une certaine vitesse de libération de la masse M qu’il faudra donner à la sonde lors du lancement pour échapper au champ gravitationnel de M entre les points à L1 et à L2. En général, l’énergie de libération voulue se calcule avec une égalisation entre le potentiel gravitationnel de la masse M qu’il faut vaincre et l’énergie cinétique que devra prendre la sonde pour vaincre ce potentiel : 𝑈 = 𝐾 (2.12) 𝐺𝑀𝑚 𝑟 = 𝑚𝑣𝑙𝑖𝑏 2 2 (2.13) 𝑣𝑙𝑖𝑏 = √ 2𝐺𝑀 𝑟 (2.14) À partir de ces notions générales sur les trajectoires de Hohmann et sur la vitesse de libération, des cas plus précis pour un trajet entre les orbites Halo autour des points L1 et L2 pourront être étudiés, ce qui fera l’objet d’une grande partie de ce rapport selon l’approche physique.
  23. 23. CHAPITRE 3 APPROCHE SELON LES ÉQUATIONS DE KEPLER Dans ce chapitre, certaines notions théoriques expliquées dans le chapitre précédent seront appliquées au cas précis de la situation suivante : un système de trois corps M, m et msat, dont msat est de masse négligeable et M>>m. Les points de Lagrange L1 et L2 et la dynamique autour de ces points sera étudiée, et une trajectoire sera établie entre ces points. Dans un prochain chapitre, des exemples des applications des équations trouvées dans ce chapitre seront donnés pour différents systèmes (Soleil-Terre, Terre-Lune, etc.). 3.1 Position des points de Lagrange L1 et L2 d’un système Dans un cas général, pour trouver la position des points L1 et L2 dans un système de deux corps M et m, il faut égaliser les forces gravitationnelles exercées sur le point par ces deux masses avec une force centripète qui permettra la même période T que celle des deux masses principales autour de leur centre de masse. Figure 3.1.1 : Schéma des forces appliquées sur L16 Selon la figure 2, 𝐹𝑐 = 𝐹1 − 𝐹2 (3.1) 6 Séguin, Marc, and Benoît Villeneuve. Astronomie Et Astrophysique. 2e Édition. ed. ERPI, 2002.
  24. 24. 14 où Fc est la force centripète exercée sur un objet au point L1, F1 est la force gravitationnelle exercée par M et F2 est la force gravitationnelle exercée par m. En remplaçant ces forces par leur définition, on obtient l’équation suivante : 𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑣2 𝑑 𝑐𝑚 = 𝐺𝑀𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑑1 − 𝐺𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑚 (𝑎 − 𝑑1) (3.2) où msat est la masse du satellite placé à L1. Cependant, cette masse est facilement éliminée : la position des points de Lagrange ne dépend pas de la masse des objets qu’on y place. 𝑣2 𝑑 𝑐𝑚 = 𝐺𝑀 𝑑1 − 𝐺𝑚 (𝑎 − 𝑑1) (3.3) Si on remplace la vitesse par son équivalent selon la période, équation pour laquelle 𝑣 = 2𝜋𝑟 𝑇 (3.4) et en considérant que la distance du point L1 au centre de masse est égale à la soustraction de la distance de la masse M au centre de masse (b) à la distance d1, il est facile d’obtenir l’équation suivante : 4𝜋2 (𝑑1 − 𝑏) 𝑇2 = 𝐺𝑀 𝑑1 − 𝐺𝑚 (𝑎 − 𝑑1) (3.5) Par la suite, puisque toutes les valeurs sont connues à part d1, la distance entre le point L1 et la masse M, il est possible de choisir T comme étant la période orbitale voulue (celle des deux corps principaux autour de leur centre de masse) et d’isoler d1. Ainsi, la position de L1 relativement aux deux corps est trouvée. Pour continuer, il est possible de trouver L2 de la même façon. Cependant, les forces gravitationnelles seront additionnées à la place de soustraites, et le résultat suivant sera obtenu : 4𝜋2 (𝑑2 − 𝑏) 𝑇2 = 𝐺𝑀 𝑑2 + 𝐺𝑚 (𝑑2 − 𝑎) (3.6) Dans cette équation, d2 est la distance du point L2 à la masse M. Ainsi, les positions des points L1 et L2 sont trouvées par rapport à la masse M, et peuvent être trouvées par rapport à la masse m très simplement (par soustraction). Les résultats pour les cas
  25. 25. 15 spécifiques seront démontrés dans la section d’application, et les calculs seront programmés sur Maple. 3.2 Supposition pour les orbites Halo circulaires autour des points L1 et L2 Figure 3.2.1 : Points L1 et L2 dans un système comprenant M et m Maintenant que la position des points L1 et L2 est trouvée, il serait intéressant de pousser la réflexion plus loin en supposant une orbite autour de ces points. L’orbite la plus simple serait une orbite circulaire autour du point, passant par un plan perpendiculaire à l’axe x reliant la masse M, la masse m et les points L1 et L2. Figure 3.2.2 : Orbites Halo autour des points L1 et L2 z x y z y x
  26. 26. 16 Vraisemblablement, un point sur l’une de ces orbites subit toujours les forces gravitationnelles des masses M et m. Cependant, ces forces auront un angle, et donc une résultante qui se séparera par rapport à l’axe des z et par rapport à l’axe des x. La force résultante sur l’axe des z pourra alors être considérée comme une force centripète qui agit sur un satellite en orbite autour du point L1 ou L2. Il sera donc possible de trouver la vitesse d’un satellite sur une orbite, selon le rayon r de l’orbite. Pour commencer, voici la démarche suivie pour trouver la vitesse d’un satellite sur l’orbite Halo L1. Il faut d’abord trouver quelle serait la force centripète Fc1z agissant sur le satellite : 𝐹𝑐1 = 𝐹1 sin( 𝛼) + 𝐹2 sin(𝛽) (3.7) Figure 3.2.3 : Forces agissant sur le point P pour créer une force centripète Par les définitions d’une force centripète et d’une force gravitationnelle, l’équation suivante est obtenue : 𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑣2 𝑟1 = 𝐺𝑀𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑑 𝑀𝑃 2 sin( 𝛼) + 𝐺𝑚𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑑 𝑚𝑃 2 sin(𝛽) (3.8) r1 d1 d2 P F1 F2
  27. 27. 17 Où dMP est la distance de la masse M au point P sur l’orbite, dmP est la distance de la masse m au point P sur l’orbite. 𝑣2 𝑟1 = 𝐺𝑀 ( 𝑑1 cos( 𝛼) )2 𝑠𝑖𝑛( 𝛼) + 𝐺𝑚 ( 𝑑2 cos( 𝛽) )2 𝑠𝑖𝑛(𝛽) (3.9) 𝑣2 𝑟1 = 𝐺𝑀(𝑐𝑜𝑠( 𝛼)) 2 𝑑1 2 sin(𝛼)+ 𝐺𝑚(cos( 𝛽))2 𝑑2 2 sin(𝛽) (3.10) 𝑣1 = √ 𝐺𝑀(𝑐𝑜𝑠( 𝛼)) 2 𝑟1 𝑑1 2 sin(𝛼) + 𝐺𝑚(cos( 𝛽))2 𝑟1 𝑑2 2 sin(𝛽) (3.11) Où 𝛼 = arctan( 𝑟1 𝑑1 ) et 𝛽 = arctan( 𝑟1 𝑑2 ) Pour continuer, voici la démarche suivie pour trouver la vitesse d’un satellite sur l’orbite Halo L2. Il faut d’abord trouver quelle serait la force centripète Fc2z agissant sur le satellite : 𝐹𝑐2 𝑧 = 𝐹1 sin( 𝛾) + 𝐹2 sin(𝛿) (3.12)
  28. 28. 18 Figure 3.2.2 : Forces agissant sur le point A pour créer une force centripète Par les définitions d’une force centripète et d’une force gravitationnelle, l’équation suivante est obtenue : 𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑣2 2 𝑟2 = 𝐺𝑀𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑑 𝑀𝐴 2 sin( 𝛾) + 𝐺𝑚𝑚 𝑠𝑎𝑡 𝑑 𝑚𝐴 2 sin(𝛿) (3.13) Où dMP est la distance de la masse M au point P sur l’orbite L2, dmA est la distance de la masse m au point A sur l’orbite. 𝑣22 𝑟2 = 𝐺𝑀 ( 𝑑3 cos( 𝛾) )2 𝑠𝑖𝑛( 𝛾) + 𝐺𝑚 ( 𝑑4 cos( 𝛿) )2 𝑠𝑖𝑛(𝛿) (3.14) 𝑣22 𝑟2 = 𝐺𝑀(𝑐𝑜𝑠( 𝛾)) 2 𝑑3 2 sin(𝛾) + 𝐺𝑚(cos( 𝛿))2 𝑑4 2 sin(𝛿) (3.15) 𝑣2 = √ 𝐺𝑀(𝑐𝑜𝑠( 𝛾)) 2 𝑟2 𝑑3 2 sin(𝛾) + 𝐺𝑚(cos( 𝛿))2 𝑟2 𝑑4 2 sin(𝛿) (3.16) r2 d3 d4 A F2 F1
  29. 29. 19 Où 𝛾 = arctan( 𝑟2 𝑑3 ) et 𝛿 = arctan( 𝑟2 𝑑4 ) (3.17) Ainsi, les vitesses sur les orbites Halo L1 et L2 sont trouvées selon le rayon de ces orbites. Les équations de ces orbites circulaires suivent les équations normales d’un cercle : Pour Halo L1 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟12 et 𝑥 = −𝑑2 (3.18) Pour Halo L2 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟22 𝑒𝑡 𝑥 = +𝑑4 (3.19)
  30. 30. 20 3.3 Supposition pour une trajectoire de Hohmann d’un point sur l’orbite L1 à un point sur l’orbite L2 Maintenant que des orbites Halo circulaires ont été trouvées autour des points de Lagrange L1 et L2, il serait intéressant de savoir si une trajectoire pourrait exister entre deux points sur ces orbites. En effet, la trajectoire la plus simple à visualiser et celle qui coûterait le moins cher en dépenses énergétiques serait une trajectoire de Hohmann, comme expliquée dans les notions théoriques préalables. Comme rappel, dans la situation présente, une trajectoire de Hohmann est une demi-ellipse autour de la masse m en partant d’un point sur l’orbite Halo L1 (périastre, puisque L1 est plus près de m que L2) et en arrivant à un point sur l’orbite Halo L2 (apoastre). Puisque le voyage se fera dans le référentiel rotationnel, perpendiculairement à la vitesse de révolution (Vm) de m autour de M, il n’y a pas besoin de considérer la vitesse de la masse m autour de la masse M dans les calculs. Voici donc une illustration de la trajectoire : Figure 3.3.1 : Trajectoire de Hohmann avec les plans Vm
  31. 31. 21 Figure 3.3.2 : Trajectoire de Hohmann Figure 3.3.3 : Trajectoire de Hohmann vue de côté P A Vm r1 r2 d4 d2
  32. 32. 22 Selon ces figures, en choisissant un rayon r1 pour l’orbite Halo L1, un périastre est implicitement choisi avec une certaine distance Pm établie entre le point P et le foyer de l’ellipse (masse m). Donc, à partir de ces données, il est possible de trouver l’excentricité d’une ellipse passant par ce point dans ce plan, la vitesse initiale au point P, la vitesse finale au point A, le rayon r2 de l’orbite Halo L2 au point A (apoastre) et même la période T1/2 nécessaire pour effectuer cette orbite elliptique. En voici la démarche, tirée de la théorie montrée dans la section notions théoriques préalables : 3.3.1 Vitesse initiale au point P (périastre) Pour calculer la vitesse initiale (tangentielle à l’orbite Halo L1 et à l’orbite elliptique de la trajectoire) que doit prendre une sonde pour se rendre jusqu’au point A, il faut d’abord mesurer le demi-grand axe et l’excentricité de l’orbite elliptique désirée pour la trajectoire. Le grand axe est égal à la distance Pm du périastre à la masse m, additionnée à la distance Am de l’apoastre à la masse m. 1) 𝑎 = 𝑃𝑚 + 𝐴 𝑚 2 (3.20) Si 𝑃𝑚 × sin(𝛽1) = 𝑟1 et 𝐴 𝑚 × cos(𝛽2) = 𝑑4 (𝛽1 = 𝛽2 = 𝛽) Alors 𝑎 = 𝑟1 sin(𝛽) + 𝑑4 cos(𝛽) 2 𝑎 = 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4sin(𝛽) 2 sin(𝛽)cos(𝛽) 𝑎 = 𝑟1cos(𝛽)+ 𝑑4sin(𝛽) sin(2𝛽) L’excentricité peut être calculée à partir des périastres et apoastres : 2) 𝑃𝑚 = (1 − 𝑒) 𝑎 (3.21) 𝑒 = 1 − 𝑃𝑚 𝑎 (3.22) 𝑒 = 1 − 𝑟1 𝑎sin(𝛽) (3.23)
  33. 33. 23 𝑒 = 1 − 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin(𝛽) (3.24) 𝑒 = 1 − 𝑟1 sin(2𝛽) 𝑟1 cos( 𝛽)sin( 𝛽) + 𝑑4(sin( 𝛽))2 (3.25) Il faut ensuite calculer la période T1/2 que prendra la sonde pour accomplir la demie de l’orbite de Hohmann jusqu’à l’apoastre à partir du périastre, par la troisième loi de Kepler: 3) 𝑇 = √ 4𝜋2 𝐺 × 𝑎3 𝑚 (3.26) 𝑇 = 2𝜋√ 𝑎3 𝐺 𝑚 𝑇 = 2𝜋 √ 𝐺 𝑚 √( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) ) 3 (3.27) 𝑇1/2 = 𝜋 √ 𝐺 𝑚 √( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) ) 3 (3.28) Il est maintenant possible de calculer la vitesse avec laquelle devra partir la sonde au périastre pour se rendre à l’apoastre sans donner une deuxième propulsion. Sa vitesse de départ sera celle-ci: 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝑣 𝑚𝑜𝑦 (1 + 𝑒) (3.29) 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2𝜋𝑎 𝑇 (1 + 𝑒) √(1 − 𝑒2) (3.30) 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2𝜋𝑎 1 𝑇 (1 + 𝑒) 1 √(1 − 𝑒2) (3.31)
  34. 34. 24 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2𝜋 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) ) 1 ( 2𝜋 √ 𝐺 𝑚 √( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) ) 3 ) × (1 + 1 − 𝑟1 ( 𝑟1 × cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) × 1 √ ( 1 − (1 − 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) 2 ) 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = √ 𝐺 𝑚 sin(2𝛽) 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) × (2 − 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) × 1 √ ( 1 − (1 − 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) 2 ) Où 𝛽 = arctan ( 𝑟1 𝑑2 ) Donc, la vitesse initiale au périastre de la trajectoire elliptique de Hohmann peut être trouvée pour n’importe quel rayon r1 de l’orbite Halo L1 choisi, puisque toutes les autres variables sont connues.
  35. 35. 25 3.3.2 Équation de l’ellipse contenant la trajectoire de Hohmann L’ellipse contenant la trajectoire de Hohmann est définie par l’intersection d’un cylindre elliptique passant par la projection orthogonale de la trajectoire de Hohmann sur le plan (x,y) et d’un plan passant par les points P et A et l’axe y. Figure 3.3.2.1 : Trajectoire de Hohmann vue de côté L’équation du cylindre elliptique se définit par une ellipse dans l’espace R3 passant par les points P, A et C (intersection de la trajectoire de Hohmann et l’axe y. L’équation d’une ellipse est la suivante : 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 (3.32) Dans cette situation, a est la demie du segment reliant les deux points de Lagrange : 𝑎 = 𝑑2 + 𝑑4 2 (3.33) x z y r1 r2 d4 d2
  36. 36. 26 Le b peut être calculé à partir du a, puisque, dans une ellipse, la distance du sommet de b à un des foyers est égale à la distance a : 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 (3.34) 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 (3.35) Figure 3.3.2.2 : Ellipse Ainsi, le cylindre elliptique correspond à l’équation suivante dans l’espace R3 : 𝑥2 ( 𝑑2 + 𝑑4 2 ) 2 + 𝑦2 (𝑎2 − ( 𝑎 − 𝑑2)2) = 1 (3.36) Le plan sur lequel se trouve la trajectoire de Hohmann peut être trouvé à partir des trois points P(-d2,0, -r1), A(d4, 0, r2) et C(0, -b,0) par lesquels il passe. Afin de trouver l’équation de ce plan, il suffit de trouver deux vecteurs de ce plan, d’en trouver la normale et de trouver l’équation normale du plan : 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑑4 + 𝑑2, 0, 𝑟2 + 𝑟1) (3.37) 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑑2, −𝑏, 𝑟1) (3.38) 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑛⃗ = ( 𝑏( 𝑟2 + 𝑟1); 𝑑2( 𝑟2 + 𝑟1) − 𝑟1 ( 𝑑4 + 𝑑2); −𝑏(𝑑4 + 𝑑2)) (3.39) ( 𝑏( 𝑟2 + 𝑟1) × 𝑥 + (𝑑2( 𝑟2) − 𝑟1( 𝑑4)) × 𝑦 − 𝑏(𝑑4 + 𝑑2) × 𝑧) = 𝛾 (3.40) où 𝛾 = −𝑏(𝑑2( 𝑟2) − 𝑟1 ( 𝑑4)) (3.41) ϒ est obtenu en remplaçant le point C dans l’équation normale obtenue. Donc, les points de l’ellipse contenant la trajectoire de Hohmann doivent correspondre à l’équation du cylindre elliptique et de plan contenant la trajectoire. Techniquement, pour que le calcul fonctionne, (𝑑2( 𝑟2) − 𝑟1( 𝑑4 )) devrait être égal à 0, puisqu’il ne devrait pas y avoir de composante en y pour la normale du plan passant par l’axe des y. L’équation serait donc la suivante : ( 𝑏( 𝑟2 + 𝑟1) × 𝑥 + 0𝑦 − 𝑏(𝑑4 + 𝑑2) × 𝑧) = 0
  37. 37. 27 3.3.3 Rayon à l’orbite Halo L1 idéal afin d’utiliser le moins d’énergie possible Pour utiliser le moins d’énergie possible, il faudrait profiter de la vitesse orbitale de la sonde sur le Halo de L1 pour partir sur la trajectoire de Hohmann, avec une vitesse initiale au périastre qui serait équivalente à cette vitesse orbitale. Avec expérimentation sur Maple, il fut observé que plus la valeur du rayon r1 augmente, plus la vitesse orbitale sur le Halo de L1 augmente, et plus la vitesse initiale sur la trajectoire de Hohmann diminue (la sonde s’éloigne de m). Donc, si les deux équations de ces vitesses sont égalisées, il sera possible de trouver un rayon r1 idéal pour lequel les vitesses sont les mêmes. Ainsi, il ne faudra que donner une propulsion correspondant à la vitesse de libération (trouvée ci-haut) pour partir sur la trajectoire de Hohmann. Voici donc la valeur de r1 en fonction des deux vitesses égalisées : 𝑣1 = 𝑣 𝑝é𝑟𝑖𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 (3.42) √ 𝐺𝑀(𝑐𝑜𝑠( 𝛼)) 2 𝑟1 𝑑12 × sin(𝛼) + 𝐺𝑚(cos( 𝛽))2 𝑟1 𝑑22 × sin(𝛽) = √ 𝐺𝑚 sin(2𝛽) 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) × (2 − 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) × 1 √ ( 1 − (1 − 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) 2 ) (3.43) Où 𝛼 = arctan( 𝑟1 𝑑1 ) et 𝛽 = arctan( 𝑟1 𝑑2 )
  38. 38. 28 À partir de cette équation, il est possible de résoudre pour r1 sur Maple, ce qui permet de trouver des rayons idéaux pour n’importe quel système de deux corps, toujours prenant en compte le fait que M>>m (ce qui est le cas pour la majorité des systèmes étudiés pour les points de Lagrange, dont le système Soleil-Terre). La vitesse à ce rayon sera nommée vtraji. 3.4 Orbite Halo circulaire autour du point de Lagrange L2 Lorsque le rayon idéal est trouvé, il faut vérifier à quel rayon r2 aboutit le point A (apoastre) sur le plan des orbites Halo de L2. Il faudra aussi vérifier la vitesse à l’apoastre. Ce rayon r2 sera nécessaire pour calculer la vitesse que devrait avoir une sonde sur l’orbite Halo L2, et pour évaluer la démarche à suivre si la vitesse d’arrivée sur l’orbite est trop grande ou trop petite (3.4). Dans cette section, les données en rouge sont celles qui sont maintenant connues grâce à la section 3.3.4. 3.4.1 Rayon r2 de l’orbite Halo L2 au point A (apoastre) Le rayon r2 de l’orbite Halo L2 au point A peut être calculé à partir de l’angle β, qui dépend lui-même du rayon r1 de l’orbite Halo L1 : 𝑟2 𝑑4 = tan(𝛽) (3.44) 𝑟2 = 𝑑4 tan (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝒓 𝟏 𝑑2 )) 𝒓 𝟐 = 𝑑4 𝒓 𝟏 𝑑2 3.4.2 Vitesse habituelle sur l’orbite Halo L2 à ce rayon r2 La vitesse habituelle, selon la force centripète qui agit sur une sonde à un rayon r2 sur l’orbite Halo de L2, devra être calculée afin de savoir la démarche à suivre :
  39. 39. 29 𝑣2 = √ 𝐺𝑀(𝑐𝑜𝑠( 𝛾)) 2 𝒓 𝟐 𝑑32 × sin(𝛾) + 𝐺𝑚(cos( 𝛿))2 𝒓 𝟐 𝑑42 × sin(𝛿) (3.45) Où 𝛾 = arctan( 𝒓 𝟐 𝑑3 ) et 𝛿 = arctan ( 𝒓 𝟐 𝑑4 ) (3.46) 3.4.3 Vitesse finale au point A (apoastre) La vitesse finale à l’apoastre d’une orbite elliptique, plus petite que la vitesse initiale selon les lois de Kepler, se calcule similairement à la vitesse au périastre. Elle est nécessaire, puisqu’il faudra la comparer à la vitesse habituelle : 𝑣 𝑎𝑝𝑜𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝑣 𝑚𝑜𝑦 (1 − 𝑒) (3.47) 𝑣 𝑎𝑝𝑜𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2𝜋𝑎 𝑇 (1 − 𝑒) √(1 − 𝑒2) (3.48) 𝑣 𝑎𝑝𝑜𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2𝜋𝑎 1 𝑇 (1 − 𝑒) 1 √(1 − 𝑒2) 𝑣 𝑎𝑝𝑜𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2𝜋 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) ) × 1 ( 2𝜋 √ 𝐺𝑚 √( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) ) 3 ) × (1 − 1 + 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) × 1 √ ( 1 − (1 − 𝑟1 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) 2 )
  40. 40. 30 𝑣 𝑎𝑝𝑜𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑒 = √ 𝐺𝑚 sin(2𝛽) 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) × ( 𝒓 𝟏 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) × 1 √ ( 1 − (1 − 𝒓 𝟏 ( 𝑟1 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) )sin( 𝛽) ) 2 ) Où 𝛽 = arctan( 𝒓 𝟏 𝑑2 ) En comparant la vitesse finale de la trajectoire et la vitesse orbitale habituelle, il est possible, par une soustraction simple, de trouver la vitesse (propulsion) nécessaire à donner à la sonde pour ralentir ou augmenter sa vitesse afin d’atteindre la vitesse orbitale habituelle avec un rayon de r2 sur l’orbite Halo L2, ce qui lui permettra de s’installer sur une orbite circulaire autour de L2. Dans de nombreux exemples, la vitesse d’arrivée est plus grande que la vitesse orbitale voulue, donc il faut ralentir la sonde. Cette vitesse d’arrivée sera nommée vtrajf. 3.5 Périodes orbitales et temps prévu pour la trajectoire de Hohmann Après avoir trouvé le rayon r1 idéal, il est possible de trouver les périodes T1 (orbite Halo L1), T2 (orbite Halo L2) et TH (demie de la période nécessaire pour l’orbite elliptique Hohmann) : 𝑇1 = 2𝜋𝒓 𝟏 𝒗 𝟏 (3.49) Où v1 a été calculée à partir du rayon r1 idéal. 𝑇2 = 2𝜋𝒓 𝟐 𝒗 𝟐 (3.50)
  41. 41. 31 Où v1 a été calculée à partir du rayon r2, qui est lui-même calculé à partir du rayon r1 idéal. 𝑇 𝐻 = 𝑇1/2 = 𝜋 √ 𝐺𝑚 √( 𝒓 𝟏 cos( 𝛽) + 𝑑4 sin( 𝛽) sin(2𝛽) ) 3 Où 𝛽 = arctan ( 𝒓 𝟏 𝑑2 ) 3.5.1 Vitesse de libération de la Terre Avant de commencer toute trajectoire elliptique autour de la masse m, il faut d’abord éliminer l’effet gravitationnel de la masse M du point P au point A, masse qui est toujours présente et qui affecterait la trajectoire en maintenant une orbite Halo. Il faut donc donner une certaine vitesse de libération, une certaine propulsion pour sortir de l’effet gravitationnel de M, et ainsi pour décrocher de l’orbite Halo L1. Cependant, il faut que l’effet gravitationnel de M redevienne présent lorsque la sonde sera rendue au point A, pour qu’elle puisse se stationner sur une orbite Halo à L2. Voici donc la méthode utilisée pour trouver cette vitesse de libération : Figure 3.5.1.1: Vitesse de libération et toutes les vitesses appliquées sur le satellite d3 Vtraj, i Vtraj,f Vm Vof Voi d1
  42. 42. 32 Dans cette situation particulière, l’énergie de libération voulue se calcule avec une égalisation entre le potentiel gravitationnel de la masse M entre les points P et A, et l’énergie cinétique que devra prendre la sonde pour vaincre ce potentiel, donc par conservation d’énergie. Il y a plusieurs énergies cinétiques présentes, puisqu’il faut considérer le référentiel inertiel incluant la masse M : ∆𝐾 = −∆𝑈 (3.51) 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 1 2 𝑚(𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑓 2 + 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑖 2 ) − 1 2 𝑚(𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑖 2 + 𝑣𝑙𝑖𝑏 2 + 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑖 2 ) = 𝐺𝑀𝑚 √𝑑1 2 + 𝑟1 2 − 𝐺𝑀𝑚 √𝑑3 2 + 𝑟2 2 (𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑓 2 + 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑓 2 − 𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑖 2 − 𝑣𝑙𝑖𝑏 2 − 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑖 2 ) = 2𝐺𝑀 ( 1 √𝑑1 2 + 𝑟1 2 − 1 √𝑑3 2 + 𝑟2 2 ) (3.52) Puisque l’accélération centripète agissant aux points L1 et L2 est égale à celle agissant sur la masse m (pour qu’ils puissent avoir la même période T), nommons l’accélération centripète am. Au point P : 𝑎 𝑚 = 𝑣2 𝑟 = 𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑖 2 √𝑑1 2 + 𝑟1 2 (3.53) 𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑖 2 = 𝑎 𝑚 × √𝑑1 2 + 𝑟1 2 (3.54) Au point A : 𝑎 𝑚 = 𝑣2 𝑟 = 𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑓 2 √𝑑3 2 + 𝑟2 2 (3.55) 𝑣 𝑜𝑟𝑏𝑓 2 = 𝑎 𝑚 × √𝑑3 2 + 𝑟2 2 (3.56) Donc, la vitesse de libération sera définie par la valeur absolue de l’équation suivante :
  43. 43. 33 𝑣𝑙𝑖𝑏 2 = |(𝑎 𝑚 × √𝑑3 2 + 𝑟2 2 + 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑖 2 − 𝑎 𝑚 × √𝑑1 2 + 𝑟1 2 − 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑖 2 ) − 2𝐺𝑀 ( 1 √𝑑1 2 + 𝑟1 2 − 1 √𝑑3 2 + 𝑟2 2 )| (3.57) Cette vitesse de libération finale peut être calculée dès que le rayon r1 est trouvé (le rayon r2 en dépend). Son orientation suit l’angle –θ par rapport à l’horizontal (axe des x), puisque c’est une vitesse de libération de M. 3.6 Résumé du trajet Figure 3.6.1: Trajectoire de Hohmann et vitesse de libération En résumé, la sonde commencera sur une orbite Halo autour de L1 avec un rayon r1 précis. La sonde aura donc une vitesse orbitale v1. Une révolution sur son orbite prend un temps T1. Pour quitter son orbite et partir sur une trajectoire demi-elliptique de Hohmann, la sonde donnera une vitesse de libération orientée à –θ par rapport à l’axe x lorsqu’elle sera au
  44. 44. 34 point P pour se libérer de l’emprise gravitationnelle de la masse M, du point P(-d2, 0, -r1) su point A(d4, 0, r2). Elle partira donc sur une trajectoire elliptique dont la vitesse initiale au périastre est égale à la vitesse orbitale v1, pendant une période de temps TH. La sonde arrivera au point A(apoastre) avec une vitesse finale plus faible que la vitesse initiale, mais plus grande que la vitesse habituelle de l’orbitale Halo L2 avec le rayon r2 d’arrivée. Il faudra donc ralentir la sonde pour qu’elle s’installe sur une orbite Halo circulaire autour de L2, dont la période de révolution est T2. 3.7 Exemple d’application des équations trouvées sur le système Terre-Lune (calculs sur Maple) Tableau 3.7.1 : Calculs des données pour le système Terre-Lune Système Terre-Lune Constante gravitationnelle G 6,673×10-11 Masse M (kg) 5,9736*1024 Masse m(kg) 7,35*1022 Distance a (de M à m) (m) 384467000 dcm,M (distance de la masse M au centre de masse du système) (m) 466200 T (période orbitale du système en secondes) 2360591 d1 (distance du point L1 à la masse M) (m) 3,261223795*108 d2 (distance du point L1 à la masse m) (m) 5,83446205*107 d3 (distance du point L2 à la masse M) (m) 4,485696134*108 d4 (distance du point L2 à la masse m) (m) 6,41026134*107 Rayon r1 idéal trouvé pour l'orbite Halo à L1 5,603560084*107 Angle β entre l'axe x et la droite reliant la masse m à un point sur l'orbite Halo L1 43.84351409° Rayon r2 d'arrivée sur l'orbite Halo à L2 6,194643923*107 Module de la vitesse orbitale à L1 (m/s) 252,3232604 Vitesse initiale de latrajectoire de Hohmann au point P (m/s) en y -252,3232603 Vitesse de libération donnée au point P (périastre) donnée radialement à la masse M 573,4435936 Vitesse finale de la trajectoire de Hohmann au point A (m/s) en y 228,2469449 Vitesse habituelle orbitale au rayon r2 à Halo L2 (m/s) en y 206,8558453 Vitesse de correction à donner pour ralentir au rayon r2 à Halo L2 (m/s) en y -21,3910996
  45. 45. 35 TorbL1 (jours) 16,15001281 TorbL2 (jours) 21,77783365 T1/2, ellipse (jours) 12,90331211 Équation orbite Halo L1 x= -5,83446205*107 , y2 +z2 = 3,139988562*1015 Équation orbite Halo L2 x=6,41026134*107 , y2 +z2 = 3,837361333*1015 Équation de l'ellipse contenant la trajectoire de Hohmann Cylindre elliptique dans R3 𝑥2 3,7726375 × 1015 + 𝑦2 3,763168355 × 1015 = 1 Plan passant par l’ellipse : −7,23756919 × 1015 𝑥 + 0𝑦 + 7,535799981 × 1015 𝑧 = 0 3.8 Les désavantages de cette trajectoire Il y a un certain nombre de désavantages qui ne peuvent être négligés pour cette trajectoire. D’abord, une orbite Halo est souvent instable autour d’un point de Lagrange, puisqu’une oscillation minime sur l’axe x, causée par un mouvement relatif de la masse m à la masse M, ou une oscillation sur le plan de l’orbite pourrait causer le décrochage de la sonde de son orbite. Ainsi, réellement, il faudrait donner une propulsion corrective à chaque 3 mois environ (selon Ariel Edery). De plus, il y a un grand problème quant à la force centripète retenant l’orbite Halo autour des points de Lagrange sur une révolution autour de la masse centrale M avec la même période que la masse m. En effet, il fut remarqué que lorsque le rayon de l’orbite Halo à L1 augmente, la force centripète (créée par les forces gravitationnelles de M et m) sur l’axe des x résultante à cet endroit est plus grande que celle à L1, et donc, la période d’une sonde placée là autour de M serait plus petite, et la sonde partirait. Dans ce cas, le point d’équilibre à un rayon r est donc un peu plus rapproché de la masse m. Donc, une orbite Halo à L1 se rapproche sur l’axe des x de la Lune quand son rayon augmente. De même pour l’orbite Halo à L2, elle se rapproche sur l’axe des x de la masse m quand son rayon augmente, car
  46. 46. 36 l’accélération centripète qui agit sur un objet posé sur ce rayon devient plus petite que celle nécessaire pour garder une période T. Ce décalage pour les deux orbites dérèglerait donc la trajectoire de Hohmann. Après avoir posé les équations régulant ce décalage, il fut décidé que ces équations étaient trop compliquées pour être incluses dans le rapport. Il faudra donc considérer la trajectoire trouvée comme étant une simplification de la réalité. Cependant, dans la deuxième approche, ces décalages sont bien visibles pour les orbites Halo et Lissajous, qui s’approchent tout le temps (un peu plus que les points de Lagrange) de la petite masse m. Pour la trajectoire actuelle, il est possible d’éviter ce décalage en appliquant une certaine accélération avec une propulsion (utilisation d’énergie) dans la direction positive de l’axe des x (vers la masse m). En effet, sur L1, l’accélération voulue au point lui-même est régulée par l’équation suivante : 𝐴 𝑐 = 𝐺𝑀 𝑑1 2 − 𝐺𝑚 𝑑2 2 (3.58) où les distances d1 et d2 sont déjà trouvées dans la section 1.1. L’accélération centripète sur l’axe des x pour un endroit sur l’orbite Halo de L1, selon le rayon, est régulée par l’équation suivante : 𝐴 𝑐1 = 𝐺𝑀 × (cos( 𝛼))3 𝑑1 2 − 𝐺𝑚 × (cos( 𝛽))3 𝑑2 2 (3.59) Où 𝛼 = arctan( 𝑟 𝑑1 ) (3.60) Et 𝛽 = arctan( 𝑟 𝑑2 ) (3.61) Selon différents exemples effectués sur Maple, Ac1>Ac. Donc, soustrayant Ac de Ac1, on trouve l’accélération qu’il faut donner à la sonde avec une propulsion constante dans une direction parallèle à l’axe des x, orientée vers la masse m.
  47. 47. 37 Ainsi, en suivant la même démarche, l’accélération centripète sur l’axe des x pour un point de l’orbite Halo L2 est régulée par l’équation suivante : 𝐴 𝑐2 = 𝐺𝑀 × (cos( 𝛼))3 𝑑3 2 + 𝐺𝑚 × (cos( 𝛽))3 𝑑4 2 (3.62) Où 𝛼 = arctan( 𝑟 𝑑3 ) (3.63) Et 𝛽 = arctan( 𝑟 𝑑4 ) (3.64) Selon différents exemples effectués sur Maple, Ac2<Ac. Donc, soustrayant Ac2 de Ac, on trouve l’accélération qu’il faut donner à la sonde avec une propulsion constante dans une direction parallèle à l’axe des x, orientée vers la masse m.
  48. 48. 38 CHAPITRE 4 ÉTUDE DU PROBLÈME RESTREINT DES TROIS CORPS (terminé par section, non assemblé!) 4.1 Modèle Mathématique 4.1.1 Généralités sur les systèmes dynamiques En mathématiques et en physique théorique, on définit un système dynamique comme un ensemble de composantes en interaction, réparties selon divers états, et évoluant continuellement les unes par rapport aux autres selon un ou plusieurs systèmes d’équations différentielles ou d’équations aux dérivées partielles. Le problème à N corps est un exemple classique de système dynamique dans lequel on cherche à étudier le comportement de N corps soumis chacun à l’influence gravitationnelle des autres. Il consiste ainsi en la résolution des équations newtoniennes du mouvement de chacune des masses connaissant, a priori, leurs positions et leurs vitesses initiales. 4.1.2 Définition du problème restreint des trois corps Le problème des trois corps consiste en la caractérisation du mouvement d’un corps 𝑃 de masse 𝑚 𝑠𝑎𝑡 soumis au champ gravitationnelle de deux masses 𝑀 et 𝑚 que nous nommerons les primaires. Il est important de distinguer le problème des trois corps au problème restreint des trois corps qui sera sujet à notre article. En effet, le terme restreint désigne, dans ce cas, un système de trois corps pour lequel la masse de la particule P est négligeable par rapport à celles de 𝑀 et 𝑚.
  49. 49. 39 4.1.3 Système de coordonné et référentiel tournant Afin d’étudier le comportement de notre satellite 𝑃, nous considérons un référentiel tournant 𝐶′ d’axe xyzainsi qu’un référentiel fixe 𝐶 d’axes αβγ. L’origine des deux référentiels aura pour coordonnés le centre de gravité du système binaire 𝑀et 𝑚. Figure 4.1.3.1: Référentiel tournant C’ et référentiel fixe C dans lesquels est plongé un satellite 𝑃 de masse 𝑚 𝑠𝑎𝑡 En utilisant le dédimensionnement des unités métriques du système à l’étude, nous allégerons ainsi l’écriture des équations à venir en posant comme simplification :  La constante gravitationnelle 𝐺 : 𝐺 = 1  La somme des primaires : 𝑀 + 𝑚 = 1  La vitesse de rotation angulaire de 𝐶′ : 𝑤 = 1  La distance entre les deux primaires : 𝑑( 𝑀, 𝑚) = 1  La masse réduite mu : 𝜇 = 𝑚 𝑀+𝑚 C’ R
  50. 50. 40 4.1.4 Loi de composition de l’accélération Il est important d’introduire le concept de composition d’accélération puisque nous nous retrouvons à la fois dans un référentiel fixe et un référentiel tournant. En effet, cette superposition fait apparaître deux forces inertielles supplémentaires : la force d’entrainement et la force de Coriolis. Ainsi, en posant la deuxième loi de Newton, l’accélération totale de 𝑃 dans 𝐶 sera : a r e ca a a a   r r r r (4.1)  2 ( )a r e ra a a w v w R w w R         r r r ur r ur ur ur ur ur & (4.2) où rv r , aa r , ra r , ea r et ca r représente respectivement la vitesse relative, l’accélération absolue, relative, d’entrainement et de Coriolis. Par définition, l’accélération d’entrainement est l’accélération qu’aurait 𝑃 dans 𝐶′ s’il était fixé en 𝐶. Or, comme 𝐶 est fixe, 𝑃 est alors non entrainé par 𝐶 et l’accélération d’entrainement est nul. De plus, le terme w R ur ur & représente la variation de pulsation de rotation du système. Cette dernière est nulle puisque 𝑤 est constant et est égal à 1. Nous nous retrouvons ainsi avec une accélération absolue : 2 ( )a r ra a w v w w R      r r ur r ur ur ur (4.3) Soit ( , , )R x y z ur la distance de 𝑃 à l’origine des référentielles 𝐶 et 𝐶′. En résolvant les produits vectoriels ci-haut, on obtient : 2 ( 2 ,2 ,0)r y xw v v v   ur r (4.4) ( ) ( , ,0)w w R x y     ur ur ur (4.5)
  51. 51. 41 En décomposant l’accélération absolue selon chacune de ses composantes, on obtient : 2x xa r ya a v x   r r (4.6) 2y ya r xa a v y   r r (4.7) z za ra a r r (4.8) 4.2 Les Équations du mouvement Ayant trouvé précédemment l’accélération de 𝑃 dans notre système de trois masses, nous pouvons à présent lui appliquer la deuxième loi de Newton. À l’aide de la loi de l’attraction universelle, nous retrouvons comme équation du mouvement : 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 (1 )( ) ( 1) 2 ( ( ) ) ( ( 1) ) (1 )( ) ( ) 2 ( ( ) ) ( ( 1) ) (1 )( ) ( ) ( ( ) ) ( ( 1) ) u x u u x u x y x x u y z x u y z u y u y y x y x u y z x u y z u z u z z x u y z x u y z                                         && & && & && (4.9) 4.3 Localisation des Points de Lagrange L1 et L2 Afin de localiser les points d’équipotentiel L1 et L2, il convient de remarquer que les masses 𝑀 et 𝑚 voyagent sur un même plan. (Démonstration possible à l’aide du moment cinétique). On peut ainsi se fixer dans un repère 𝑥𝑂𝑦 concordant avec l’orbite des primaires autour de leur barycentre. Comme les points de Lagrange L1 et L2 se trouvent sur le même plan orbital que celui des primaires, on peut tout de suite en déduire que chacun des points se situe à des coordonnées ( ,0,0)ix . Ainsi, en reprenant le système d’équations différentielles régissant le mouvement de notre satellite 𝑃 avec 0y  et 0z  , nous obtenons : 2 2 (1 ) 0 ( ) ( 1 ) i i i u u x x u x u        (4.10)
  52. 52. 42 Posons 2 21x u    (4.11) 2 21x u    La position en 𝑥 de L2 où 2 représente la distance du second point de Lagrange à la seconde primaire. L’équation 4.10 devient ainsi : 2 2 2 2 2 (1 ) 1 0 (1 ) u u u           (4.12) Cette équation polynomiale de degré 5 a été résolue à l’aide du logiciel MAPLE. Afin de trouver les coordonnées du point L1, nous appliquons la même démarche mais cette fois en posant : 1 11x u    (4.13) 4.4 Généralités sur les orbites et résolution des équations du mouvement Il existe principalement deux familles d’orbites possibles autour des points de Lagrange, toutes issues de la résolution des équations du mouvement : les orbites de types halo dites périodiques et les orbites de Lissajous dites quasi périodiques. Ces dernières constitueront les trajectoires orbitales possibles d’un satellite 𝑃 autour des points d’équilibre. 4.4.1 Les orbites de Lissajous Une orbite de Lissajous constitue la généralisation des orbites de halo. En effet, tous comme ces dernières, elles ne se situent pas dans le plan orbitale des deux primaires mais bien en angle par rapport à ce dernier. La différence majeure entre ces deux types d’orbites se situe au niveau de la fréquence d’oscillation des fonctions périodiques solutions des équations du mouvement. En effet, les orbites de Lissajous admettent des fréquences d’oscillation dans le plan 𝑥𝑦 différentes de celles en 𝑧, contrairement aux orbites halo qui admettent toutes la même fréquence quel que soit le plan considéré. Aussi, nous verrons que les orbites de Lissajous admettent comme solution des équations du mouvement des
  53. 53. 43 solutions exponentielles faisant dégénérer le mouvement du satellite 𝑃 à long terme. Ainsi, une rectification de trajectoire, peu coûteuse en carburant, est nécessaire au maintien de l’orbite du satellite. Commençons tout d’abord par résoudre les équations du mouvement de manière à ignorer ces facteurs exponentiels. Reprenons les équations du mouvement présentées précédemment. 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 (1 ) ( ) ( 1) 2 ( ( ) ) ( ( 1) ) (1 ) 2 ( ( ) ) ( ( 1) ) (1 ) ( ( ) ) ( ( 1) ) u x u u x u x y x x u y z x u y z u y u y y x y x u y z x u y z u z u z z x u y z x u y z                                               && & && & && (4.14) Posons 1 3 3 (1 )u u D R R    (4.15) Où 𝑅1 représente la distance de la plus massive des primaires à 𝐿 𝑖 et 𝑅 la distance de la plus petite des primaires à 𝐿 𝑖. Ainsi, les équations du mouvement linéarisées deviennent : 2 (1 2 ) 2 (1 ) x y x D y x y D z D z            && & && & && (4.16) Nous remarquons que l’équation en 𝑍 est découplée des deux autres et qu’elle modélise un mouvement harmonique simple. Ça solution sera donc de type périodique telle que : 𝑧( 𝑡) = 𝐴 𝑧sin(𝑤𝑧 𝑡 + 𝜙) (4.17) avec 𝐴 𝑧 représentant l’excursion en 𝑧 et 𝑤𝑧 = √( 𝐷), la fréquence d’oscillation en 𝑧.
  54. 54. 44 Aussi, pour résoudre le système d’équations couplées en 𝑥 et 𝑦, nous avons utilisé le logiciel de calcul MAPLE. Nous obtenons encore une fois des solutions périodiques au système différentiel tel que : 𝑥( 𝑡) = 𝐴 𝑥 cos(𝑤 𝑥𝑦 𝑡 + 𝜙𝑥𝑦) (4.18) 𝑦( 𝑡) = 𝐴 𝑦sin(𝑤 𝑥𝑦 𝑡 + 𝜙𝑥𝑦) (4.19) Soit un instant 𝑡0 = 0 , le moment où notre satellite 𝑃 traverse le plan 𝑥𝑦 (𝑦 = 0) perpendiculairement, de manière à ce que 𝜙𝑥𝑦 = 0 ( 𝑜𝑢 𝜋, 𝑠𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑙𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑦) (4.20) Ainsi, les équations du mouvement deviennent : 𝑥( 𝑡) = 𝐴 𝑥 cos(𝑤 𝑥𝑦 𝑡) (4.21) 𝑦( 𝑡) = 𝐴 𝑦sin(𝑤 𝑥𝑦 𝑡) (4.22) Ne pouvant pas calculé explicitement 𝑤 𝑥𝑦 à partir de ces dernières, transposons les dans la première équation du mouvement linéarisé : 2 (1 2 )x y x D   && & (4.23)  −𝐴 𝑥 𝑤 𝑥𝑦 2 cos(𝑤 𝑥𝑦 𝑡) − 2𝐴 𝑦 𝑤 𝑥𝑦 cos(𝑤 𝑥𝑦 𝑡) = 𝐴 𝑥 cos(𝑤 𝑥𝑦 𝑡) (1 + 2𝐷) (4.24) −𝐴 𝑥 𝑤 𝑥𝑦 2 − 2𝐴 𝑦 𝑤 𝑥𝑦 = 𝐴 𝑥(1 + 2𝐷) (4.25)
  55. 55. 45 À présent, introduisons les équations 𝑥( 𝑡), 𝑦(𝑡) dans la seconde équation du mouvement linéarisée : 2 (1 )y x y D   && & (4.26)  −𝐴 𝑦 𝑤 𝑥𝑦 2 sin(𝑤 𝑥𝑦 𝑡) − 2𝐴 𝑥 𝑤 𝑥𝑦 sin(wxy 𝑡) = 𝐴 𝑦 sin(𝑤 𝑥𝑦 𝑡)(1 − 𝐷) (4.27) −𝐴 𝑦 𝑤 𝑥𝑦 2 − 2𝐴 𝑥 𝑤 𝑥𝑦 = 𝐴 𝑦(1 − 𝐷) En isolant le rapport 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 dans chacune des équations précédentes, il est possible de poser une égalité afin d’obtenir une équation ne dépendant que de 𝐷 et 𝑤 𝑥𝑦. En effet, nous retrouvons, dans l’ordre : 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 = − 2𝑤 𝑥𝑦 𝑤 𝑥𝑦 2 + 1 + 2𝐷 Et 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 = − 𝑤 𝑥𝑦 2 + 1 − 𝐷 2𝑤 𝑥𝑦 Après mise en égalité des rapports, nous obtenons l’équation de degré 4 : 𝑤 𝑥𝑦 4 + ( 𝐷 − 2) 𝑤 𝑥𝑦 2 + (1 + 𝐷 − 2𝐷2) = 0
  56. 56. 46 Finalement, afin de résoudre cette équation, nous utilisons la fonction solve de MATLAB. Nous prendrons la solution réelle positive 𝑤 𝑥𝑦 = 1 2 √4 − 2𝐷 + 2√9𝐷2 − 8𝐷 À présent, après avoir démontré l’existence d’orbites de Lissajous de manière généralisée au-travers n’importe quel système de trois corps, attardons nous sur le système Terre-Soleil-Satellite afin d’examiner l’allure qu’aurait la trajectoire d’un satellite d’observation en 𝐿2 . Les coordonnées de ce point sont : 𝐿2(1.010078240;0; 0) Ainsi, notre coefficient 𝐷 des équations linéarisées est : 𝐷 = 3.9405 Du même coup, à l’aide de la relation établie entre la fréquence d’oscillation en 𝑋, 𝑌, 𝑍 et D, nous obtenons : 𝑤𝑧 = √𝐷 = 1.9851 𝑤 𝑥𝑦 = 2.0570 Aussi, de la relation précédemment établie entre 𝐷, 𝑤 𝑥𝑦 et le rapport 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 , nous obtenons : 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 = −0.3138  𝐴 𝑥 = −0.3138𝐴 𝑦
  57. 57. 47 En se fiant aux données du Dr. Ariel Edery dans son article : «Earth Shadows and the SEV Angle of Map’s Lissajous Orbit At L27», nous pouvons à présent construire l’orbite de Lissajous avec comme paramètre d’excursion : 𝐴 𝑧 = 1.58 ∗ 10−3 𝜙𝑧 = 2.88 𝑟𝑎𝑑 𝐴 𝑦 = 5.88 ∗ 10−4 𝐴 𝑥 = −0.3138 ∗ (5.88 ∗ 10−4 ) En utilisant la fonction plot3d de MAPLE, nous obtenons des équations du mouvement 𝑥( 𝑡) = −0.3138 ∗ (5.88 ∗ 10−4)cos(2.057𝑡) 𝑦( 𝑡) = 5.88 ∗ 10−4 sin(2.057𝑡) 𝑧( 𝑡) = 1.58 ∗ 10−3 sin(1.9851𝑡 + 2.88) L’orbite suivante : Figure 4.4.1.1 : Orbite de Lissajous omettant les perturbations exponentielles 7 Edery, Ariel. “Earth Shadows and the SEV angle of MAP’s Lissajous Orbit at L2”, paper AIAA 2002-442. Presenté au AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference, Août 2002, Monterey, CA. Conference, NASA Technical Reports Server.
  58. 58. 48 On peut remarquer que cette orbite est quasi périodique puisqu’elle ne se referme pas complètement sur elle-même après chacune des périodes orbitales. En effet, comme expliqué plus haut, malgré la périodicité des solutions trouvées aux équations du mouvement, la cause de ce décalage est la différence entre les fréquences angulaire 𝑤 𝑥𝑦 et 𝑤𝑧. Après une période effectué en 𝑥𝑦, nous n’avons pas complété un tour en 𝑧. 4.4.2 Introduction des perturbations exponentielles Il existe en effet d’autres solutions au système d’équations différentiels régissant le mouvement en 𝑥 et en 𝑦. Cependant, ces dernières ne sont pas périodiques et sont de type exponentiel : 𝑥( 𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑘𝑡 𝑦( 𝑡) = 𝐶2 𝑒 𝑘𝑡 Elles joueront un rôle important dans les perturbations que devra contrer le système à propulsion du satellite 𝑃 puisque ces dernières, comme nous le verrons, mèneront au décrochage orbital de ce dernier. À présent, commençons par étudier de plus près ces équations pour ensuite, à l’aide des travaux du Dr.Edery, en tirer des conclusions quant à leur élimination dans l’élaboration d’une mission spatiale à faible coût énergétique. Ne pouvant pas calculé explicitement 𝑘, 𝐶1, 𝐶2, transposons les équations exponentielles dans la première équation du mouvement linéarisé : 2 (1 2 )x y x D   && &  𝐶1 𝑘2 − 2𝐶2 𝑘 = 𝐶1(1+ 2𝐷)
  59. 59. 49 À présent, introduisons les équations 𝑥( 𝑡) et 𝑦(𝑡) dans la seconde équation du mouvement linéarisée : 2 (1 )y x y D   && &  𝐶2 𝑘2 + 2𝐶1 𝑘 = 𝐶2(1 − 𝐷) En isolant le rapport 𝐶1 𝐶2 dans chacune des équations précédentes, il est possible de poser une égalité afin d’obtenir une équation ne dépendant que de 𝐷 et 𝑘. En effet, nous retrouvons, dans l’ordre : 𝐶1 𝐶2 = − 2𝑘 1 + 2𝐷 − 𝑘2 Et 𝐶1 𝐶2 = − 𝑘2 − (1 − 𝐷) 2𝑘 Après mise en égalité des rapports, nous obtenons l’équation de degré 4 : −𝑘2 + (1 − 𝐷) 2𝑘 + 2𝑘 1 + 2𝐷 − 𝑘2 = 0 Finalement, afin de résoudre cette équation, nous utilisons la fonction solve de MATLAB. Nous prendrons les solutions réelles 𝑘 = ± 1 2 √−4 + 2𝐷 + 2√9𝐷2 − 8𝐷
  60. 60. 50 Aussi, de la relation précédemment établie entre 𝐷, 𝑘 et le rapport 𝐶1 𝐶2 , nous obtenons, pour 𝐿2 : 𝐶1 = ∓1.834𝐶2 𝑘 = ±2.484 Comme expliqué précédemment, 𝐿2 est un point d’équilibre instable puisqu’il admet comme équation du mouvement des solutions périodiques et non périodiques de types exponentiels. Ainsi, la plus générale des solutions au système d’équations différentiels régissant le mouvement en 𝑥 et en 𝑦 est : 𝑥( 𝑡) = −0.3138 𝐴 𝑦 cos(2.057𝑡 + 𝜙𝑥𝑦) − 𝐶1 𝑒2.484𝑡 + 𝐶1 𝑒−2.484𝑡 𝑦( 𝑡) = 𝐴 𝑦 sin(2.0570𝑡 + 𝜙𝑥𝑦) − (𝐶1/1.834)𝑒2.484𝑡 + (𝐶1/1.834)𝑒−2.484𝑡 𝑧( 𝑡) = 𝐴 𝑧 sin(1.9851𝑡 + 𝜙𝑧 ) En utilisant la fonction plot3d de MAPLE, nous obtenons des équations du mouvement précédentes pour 𝐶2 = 1 : Figure 4.4.1.2 : Perturbations exponentielles
  61. 61. 51 Nous pouvons observer qu’après quelques révolutions autour de 𝐿2 , le satellite 𝑃 décroche de son orbite et part à la dérive dans l’espace. Afin d’éliminer ces perturbations exponentielles, il convient de poser 𝐶1 = 𝐶2 = 0 afin de ne retrouver que des solutions périodiques. Pour se faire, nous nous fions aux travaux du Dr.Edery. Sachant que C1 = −0.0961 vx0 − 0.3436 x0 − 0.0524 vy0 = 0 C2 = −0.0961 vx0 + 0.3436 x0 + 0.0524 vy0 = 0 il convient de remarquer que 𝑥0, 𝑣 𝑦0 ≠ 0 dans le contexte de l’expérience puisque nous avons choisi précédemment qu’à un temps 𝑡0 = 0, notre satellite amorcerait son orbite en traversant le plan 𝑦 = 0 de manière orthogonale. De ce fait, nous nous retrouvons avec 0.3436𝑥0 = −0.0524𝑣 𝑦0 En choisissant le bon rapport 𝑣 𝑦0 𝑥0 = − 0.3436 0.0524 Nous pourrons ainsi négliger l’influence dégénérative des solutions exponentielles afin de conserver un mouvement orbitale quasi-périodique. En résumé, pour pouvoir placer un satellite 𝑃 en orbite de Lissajous autour d’un des points de Lagrange 𝐿1, 𝐿2 𝑜𝑢 𝐿3 , il faut s’assurer de lui faire amorcer sa trajectoire en respectant les conditions initiales 𝑣 𝑦0 𝑥0 = − 0.3436 0.0524 Sachant qu’il est impossible de lui faire traverser perpendiculairement l’axe des 𝑦 avec une précision infinie, il conviendra de rectifier la trajectoire du satellite à long terme afin d’éviter tout décrochage causé par l’accumulation des perturbations exponentielles, aussi petites soient-elles.
  62. 62. 52 4.5 Les orbites de Halo Les orbites de Halo sont un type d’orbite périodique, symétrique par rapport au plan 𝑋𝑍et perçant ce dernier deux fois par période. Elles sont semblables à une croustille Pringles, de forme elliptique allongée et déformée, homéomorphe à un cercle. Pour calculer une orbite de halo, il est important d’exploiter les propriétés de symétries du système. 4.5.1 Propriétés de symétrie Soit 𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧(𝑡) les équations d’une trajectoire solution du système des trois corps. Il existe alors une solution opposée 𝑥(−𝑡),−𝑦(−𝑡), 𝑧(−𝑡) garantissant la périodicité de l’orbite. Ceci signifie que pour toute trajectoire située d’un côté du plan 𝑋𝑍, il existe une trajectoire miroir, symétrique, située de l’autre côté du plan 𝑋𝑍, se propageant en temps opposé. Cette propriété de symétrie peut être utilisée pour construire des trajectoires périodiques. En effet, si une trajectoire qui commence sur le plan 𝑋𝑍 avec un vecteur vitesse perpendiculaire à ce plan croise de nouveau le plan 𝑋𝑍 orthogonalement, alors cette trajectoire et son image miroir se raccorderont tant en position qu’en vitesse au niveau du plan 𝑋𝑍 et formeront donc une seule et unique orbite périodique. Figure 4.5.1.1 : Propriétés de symétrie
  63. 63. 53 Considérons un vecteur d’état 𝑿(𝑡0) de 6 dimensions dont les 3 composantes de position appartiennent au plan 𝑋𝑍 et dont les 3 composantes de vitesse sont orthogonales à ce dernier : 𝑿( 𝑡0) = (𝑥 𝑜 ; 0 ; 𝑧0 ;0 ; 𝑑𝑦0 𝑑𝑡 ; 0) Comme expliqué plus haut, pour que l’orbite partant de 𝑿(𝑡0) soit périodique, il faut et suffit qu’au temps 𝑡 = Τ1 2 (où Τ représente la période orbitale) où l’on recoupe le plan 𝑋𝑍, on obtienne un vecteur d’état de coordonnées 𝑿 (Τ1 2 ) = (𝑥 𝑇1 2 ; 0 ; 𝑧 𝑇1 2 ; 0 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑇1 2 ; 0). Dès lors, si cette condition est vérifiée, l’orbite trouvée sera périodique. 4.5.2 La matrice de transition d’état La matrice de transition d’état est d’une importance capitale dans l’étude des systèmes dynamiques pour la résolution de systèmes d’équations différentielles. Cette dernière est largement utilisée en mécanique céleste et plus particulièrement dans le calcul d’orbites périodiques telles que les orbites de Halo. La matrice de transition d’état, noté Φ( 𝑡, 𝑡0), servira à observer comment évolue un système d’équation différentielle à l’intérieur d’un intervalle [t0, t] lorsque l’on implémente à ce dernière un lot de conditions initiales. Nous détaillerons plus bas dans la section Calcul des corrections à effectuer sur les conditions initiales les différentes étapes de l’algorithme où intervient cette matrice si importante. Pour l’instant, contentons nous de définir cette dernière sous sa forme la plus générale.
  64. 64. 54 Par définition, Φ( 𝑡, 𝑡0) = 𝜕𝑿( 𝑡) 𝜕𝑿( 𝑡0) Cette dernière matrice sera propagée en fonction du temps selon la relation A(t)Φ( 𝑡, 𝑡0) = 𝜕 (( 𝜕𝑿( 𝑡) 𝜕𝑡 )) 𝜕𝑿( 𝑡) ( 𝜕𝑿( 𝑡) 𝜕𝑿( 𝑡0) ) = 𝜕Φ( 𝑡, 𝑡0) 𝜕𝑡 Où la matrice 𝐴( 𝑡) = 𝜕(( 𝜕𝑿( 𝑡) 𝜕𝑡 )) 𝜕𝑿( 𝑡) = [ 0 𝐼 𝑈𝑥𝑥 2Ω ] Avec Ω = 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 Et 𝑈𝑥𝑥 = [ 𝜕(𝑑2 𝑥/𝑑𝑡)/𝜕𝑥 ⋯ 𝜕(𝑑2 𝑥/𝑑𝑡)/𝜕𝑧 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕(𝑑2 𝑧/𝑑𝑡)/𝜕𝑥 ⋯ 𝜕(𝑑2 𝑧/𝑑𝑡)/𝜕𝑧 ] , la matrice jacobienne des dérivées partielles secondes de 𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧(𝑡). 4.5.3 Calcul numérique des orbites de halo Afin de calculer numériquement les orbites de Halo, nous nous sommes basés sur les librairies MATLAB traitant du problème restreint des trois corps. Ainsi, le programme haloFamily.m nous a permis de générer jusqu’à 500 orbites différentes ainsi que leurs données caractéristiques : vecteur de phase initiale, période orbitale et trajectoire en fonction du temps. Cet algorithme de calcul fonctionne en utilisant un intégrateur numérique nommé ode113. Il propage les conditions initiales 𝑿(𝑡0) du temps 𝑡0 jusqu’au temps 𝑡 = Τ1 2 à l’aide de la matrice de transition d’état défini à l’intérieur du code. Dès
  65. 65. 55 lors, si après une demi-période, le satellite ne croise pas le plan 𝑋𝑍 perpendiculairement, nous calculons les corrections à effectuer sur les conditions initiales puis nous repropageons l’orbite jusqu’à convergence de la méthode de tir. 4.5.3.1 Calcul des corrections à effectuer sur les conditions initiales Soit un vecteur d’état initial 𝑿( 𝑡0), permettant de suivre une trajectoire 𝑇( 𝑡) et décomposable en deux sous vecteurs : 𝑽( 𝑡0) = ( 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑡 ) 𝑇 et 𝑹( 𝑡0) = ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑇 , Où 𝑽( 𝑡0) et 𝑹( 𝑡0) sont relativement près des conditions initiales de l’orbite désirée. Avec l’intégrateur ODE 113 de MATLAB, on propage 𝑿(𝑡0) pendant un certain temps 𝑇1 2 jusqu’à ce que l’on croise de nouveaux le plan 𝑋𝑍. Ce temps 𝑇1 2 est appelé demi-période de 𝑇( 𝑡), l’orbite que suit le satellite. À cet instant, nous obtenons un certains vecteur d’état 𝑿 (𝑡 𝑇 2 ) = (𝑥 𝑇1 2 ;0; 𝑧 𝑇1 2 ; 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑇1 2 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑇1 2 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑇1 2 ) 𝑇 Nous souhaitons ramener les termes ( 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑇1 2 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑇1 2 ) à 0 afin que le satellite croise bel et bien le plan perpendiculairement au temps 𝑇1 2 afin de garantir la périodicité de l’orbite. Il est possible d’établir une relation entre le vecteur de phase 𝑿(𝑡 𝑇 2 ) ainsi que le temps 𝑡 et les conditions initiales 𝑿(𝑡0) de sorte que 𝑿 (𝑡 𝑇 2 )dépende de ces paramètres.
  66. 66. 56 Ainsi, il est possible de linéariser 𝑿 (𝑡 𝑇 2 ) au point où il franchit le plan 𝑋𝑍 : δ𝑿 (𝑡 𝑇 2 ) ≈ 𝜕𝑿( 𝑡 𝑇 2 ) 𝜕𝑿( 𝑡0) δ𝑿( 𝑡0) + 𝜕𝑿( 𝑡 𝑇 2 ) 𝜕𝑡 δ( 𝑇/2). On peut remarquer la présence de la matrice de transition définit plus haut comme étant Φ( 𝑡, 𝑡0) = 𝜕𝑿( 𝑡) 𝜕𝑿( 𝑡0) Ainsi l’équation précédente devient δ𝑿 (𝑡 𝑇 2 ) ≈ Φ (𝑡 𝑇 2 , 𝑡0)δ𝑿( 𝑡0) + 𝜕𝑿(𝑡 𝑇 2 ) 𝜕𝑡 δ( 𝑇/2) Ou 𝛿𝑿(𝑡 𝑇 2 ) est le changement en position et en vitesse au temps 𝑡 = 𝑇 2 du satellite dû à un changement des conditions initiales 𝑿( 𝑡0) ainsi que du temps de mi-période T 2 . On définira chacun des termes de l’équation précédente de la manière suivante : δ𝑿 (𝑡 𝑇 2 ) = (𝛿𝑥 𝑇1 2 ;0; δ𝑧 𝑇1 2 ; − 𝑑𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡 ; δ ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) 𝑇1 2 ; − 𝑑𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝑇 Φ (𝑡 𝑇 2 , 𝑡0) = ( 𝜕𝑥 𝑇1 2 𝜕𝑥0 ⋯ 𝜕𝑥 𝑇1 2 𝜕 ( 𝑑𝑧0 𝑑𝑡 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕 ( 𝑑𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝜕𝑥0 ⋯ 𝜕 ( 𝑑𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝜕 ( 𝑑𝑧0 𝑑𝑡 ) )
  67. 67. 57 δ𝑿( 𝑡0) = (𝛿x0; 0; δz0; 0; δ ( dy0 dt ) ; 0) T 𝜕𝑿(𝑡 𝑇 2 ) 𝜕𝑡 = ( 𝑑𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡 ; 𝑑2 𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ; 𝑑2 𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ; 𝑑2 𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑇 En remplaçant chacun des vecteurs par leur matrice colonne respective ainsi qu’en développant la matrice de transition d’état, nous obtenons L’écart des temps de propagations 𝛿 ( 𝑇 2 ) peut être trouvé à l’aide de la 2ième ligne de l’équation précédente. En effectuant les produits matriciels, on obtient : 𝛿 ( 𝑇 2 ) ≈ −𝜙21 𝛿𝑥0 − 𝜙21 𝛿𝑧0 − 𝜙25 𝛿 ( 𝑑𝑦0 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡
  68. 68. 58 Ainsi, afin de calculer les corrections à effecteur sur 𝑿(𝑡 𝑇1 2 ), on isole −𝑑𝑥 𝑇1 2 /𝑑𝑡 et −𝑑𝑧 𝑇1 2 /𝑑𝑡 à l’aide des lignes 4 et 6 et l’on y introduit la nouvelle expression de 𝛿 ( 𝑇 2 ). On obtient alors : − 𝑑𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡 ≈ ( 𝜙41 − 𝜙21 ( 𝑑2 𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝛿𝑥0 + ( 𝜙43 − 𝜙23 ( 𝑑2 𝑥 𝑇1 2 𝑑 𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝛿𝑧0 + ( 𝜙45 − 𝜙25 ( 𝑑2 𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝛿 ( 𝑑𝑦0 𝑑𝑡 ) − 𝑑𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡 ≈ ( 𝜙61 − 𝜙21 ( 𝑑2 𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝛿𝑥0 + ( 𝜙63 − 𝜙23 ( 𝑑2 𝑧 𝑇1 2 𝑑 𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝛿𝑧0 + ( 𝜙65 − 𝜙25 ( 𝑑2 𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ) 𝛿 ( 𝑑𝑦0 𝑑𝑡 ) On remarque dans les expressions précédentes,que les seuls termes inconnus sont les changements à effectuer aux conditions initiales 𝛿𝑥0, 𝛿𝑧0 et 𝛿 ( 𝑑𝑦0 𝑑𝑡 ). Pour cette recherche,nous avons décidé de de ne pas modifier la position initiale en 𝑥 de notre satellite afin de le garder à proximité d’un point de Lagrange. De ce fait, la correction des conditions initiales ne touchera que la position initiale en 𝑧 et la vitesse initiale en 𝑦. En isolant 𝛿𝑧0 et 𝛿 ( 𝑑𝑦0 𝑑𝑡 ) dans les équations précédentes,nous obtenons : [ 𝛿𝑧0 𝛿 ( 𝑑𝑦0 𝑑𝑡 ) ] ≈ [ 𝜙43 − 𝜙23 ( 𝑑2 𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 𝜙45 − 𝜙25 ( 𝑑2 𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 𝜙63 − 𝜙23 ( 𝑑2 𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 𝜙65 − 𝜙25 ( 𝑑2 𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡2 ) 𝑑𝑦 𝑇1 2 𝑑𝑡 ] −1 [ − 𝑑𝑥 𝑇1 2 𝑑𝑡 − 𝑑𝑧 𝑇1 2 𝑑𝑡 ]
  69. 69. 59 Afin de résumé la routine qu’effectue le programme haloFamily.m, voici un schéma reprenant les grandes lignes de l’algorithme : Figure 4.5.3.1: Algorithme de tir
  70. 70. 60 4.5.4 Modélisation Matlab : Tracé de trajectoire En utilisant le programme haloFamily.m, nous obtenons l’orbite de halo suivante dans le système terre-lune au point de L1 : Figure 4.5.4.1 : Orbite Halo Il est aussi possible de retrouver les orbites de Lyssajous précédemment décrites à l’aide d’un autre programme des librairies MATLAB soit stableEarthMoonLyap.m. Voici donc une orbite de Lissajous dans un système Terre-Soleil autour de L1 : Figure 4.4.1.2 : Orbite de Lissajous
  71. 71. 61 DISCUSSION La modélisation de missions spatiales autour des points de Lagrange est d’une importance majeure dans l’industrie de l’aérospatiale. Les faibles coûts énergétiques (coût en carburant) font de ce projet un domaine d’étude intensif à part entière. Notre projet fait le tour des étapes relatives à l’envoi d’un satellite en orbite autour des points de Lagrange. Le rapport peut ainsi servir de référence pour l’élaboration de certaines missions ou pour une analyse plus poussée de la géométrie des orbites Halo et de Lissajous ainsi que de leur construction. Pour ce faire, nous avons exploité deux méthodes dans le cadre de notre analyse. La méthode utilisant les lois de Kepler et de Newton est plus intuitive : elle permet de décrire les interactions physiques que subira le satellite lors de son périple. La méthode utilisant les équations du mouvement est bien plus complexe et donc plus précise. Elle renvoie des résultats qui décrivent de manière plus approfondie le parcours du satellite. Les premiers résultats trouvés dans ce rapport, ceux en lien avec l’approche physique, ne fournissent pas de résultats pouvant être utilisés par des scientifiques dans l’élaboration de mission au voisinage des points de Lagrange car les calculs manquent de précision et ne prennent pas toujours en compte tous les aspects physiques des trajectoires établies. Cependant, l’approche par les équations du mouvement et la théorie des systèmes dynamiques fournit, pour la construction d’orbites de Halo, un algorithme de tir tout à fait utilisable dans l’élaboration de mission spatiale. C’est en réalité ce même algorithme qui est utilisé par la Nasa et tout autre entreprise privée pour modéliser, à l’aide de programmes informatiques, comme stableEarthMoonLyap.m et haloFamily.m ces voyages interstellaires. Afin d’améliorer l’efficacité de nos méthodes, avoir plus de temps aurait été un précieux allié car la compréhension à elle seule à probablement comptée pour plus de 90% du projet. Ainsi, nous aurions pu améliorer la première approche en essayant de la généraliser à tout un ensemble de système et ainsi trouver un plus grand nombre de trajectoires, différentes des transferts de Hohmann, pour explorer l’étendue des possibilités qui s’offrent à nous.
  72. 72. 62 CONCLUSION En somme, après avoir effectué l’analyse de la dynamique des orbites autour des points de Lagrange à l’aide de deux méthodes, soit en utilisant les lois de Kepler et de Newton et en utilisant les équations du mouvement dans un système à trois corps, nous avons trouvé la localisation des points de Lagrange et étudié certaines orbites possibles autour de ces points. Les deux méthodes de résolution offrent des solutions semblables et complémentaires. À l’aide des lois de Kepler et de Newton, nous avons pu localiser les points de Lagrange, analyser une orbite de Halo, trouver la vitesse d’un satellite sur une de ces orbites, étudier une trajectoire de Hohmann, c’est-à-dire une trajectoire entre deux orbites autour des points de Lagrange, et finalement calculer la vitesse de libération nécessaire pour entrer dans cette trajectoire. Avec les équations du mouvement, nous avons trouvé la position des points de Lagrange, calculé des orbites de Lissajous, calculé les perturbations qui influencent l’orbite, calculé des orbites de Halo à l’aide de l’élaboration d’un algorithme de tir et représenté ces orbites sur un plan tridimensionnel.
  73. 73. BIBLIOGRAPHIE Bonnard B., Faubourg L. and Trélat E., Mécanique céleste et contrôle des véhicules spatiaux. Mathématiques et Applications 51 (2005). Breakwell John V. et Brown John V., The halo family of 3-dimensional of periodic orbits in theEarth-Moon restricted 3-body problem. Celestial Mechanics 20, pp. 389-404, 1979. Conley, On the ultimate behavior of orbits with respect to an unstable critical point. I. Oscillating, asymptotic, and capture orbits, J. Differential Equations, 5, 136-158. De Nockere Tables numériques des polynômes de Legendre. ARB (8e edition - 1949) Académie Royale des Sciences des Lettres des Beaux-Arts de Belgique, 1949. Dunham David W. and Farquhar Robert W., Libration Points Missions. International Conference on Libration Points and Applications (Girona, Spain, 10-14 June, 2002), 1978-2002. Edery, Ariel. “Earth Shadows and the SEV angle of MAP’s Lissajous Orbit at L2”, paper AIAA 2002-442. Présenté au AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference, Août 2002, Monterey, CA. Conference, NASA Technical Reports Server. Farquhar Robert W., Station-keeping in the vicinity of collinear libration points with an application to a Lunar communications problem. Space Flight Mechanics, Science and Technology. Series 11, 519–535, 1966. Farquhar Robert W., A Halo-Orbit Lunar Station. Astronautics & Aeronautics, Vol. 10, No. 6, 59-63, 1972.
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