derivada explicada esencialmente

1. Fundamentos Matemáticos
Aplicaciones de la Derivada

2. Definición

3. Definición

4. Puntos Críticos
Los puntos en los cuales la derivada de una función es igual a cero o no existe se
conocen como puntos críticos de la función y representan un posible valor máximo
o mínimo de la función.

5. Criterio de la Primera
Derivada

6. Criterio de la Primera
Derivada

7. Ejemplo 1
Obtén los puntos en donde ocurren los máximos y mínimos para la función y
proporciona el intervalo en donde f (x) es creciente y en donde es decreciente.
f(x) =1/4 x4 – 2/3 x3
f’(x) = 4/4 x3 – 2(3) / 3 x2 = x3 - 2x2
f’(x) = 0
x3 - 2x2 = 0
x2 (x - 2) = 0
X = 0 y x = 2, son los valores de x, donde hay puntos críticos.
0 2

8. Ejemplo 1
Intervalos No.
seleccionado
f’(x)= x3 – 2x2 Signo
1ª. Derivada
Conclusión
(-оо, 0) -1 (-1)3 -2(-1)2= -3
- Decreciente
(0, 2) 1 (1)3 -2(1)2= -1
- Decreciente
(2, +оо) 4 (4)3 -2(4)2= 32
+ Creciente
En x=0, no es máximo, no es mínimo.
En x=2, es un mínimo
Si f’(x) > 0, entonces f(x) es creciente
Si f’(x) < 0, entonces f(x) es decreciente
f(x) es decreciente en el intervalo (-оо, 2)

9. Ejemplo 1
Si se quiere obtener el valor mínimo local de la función, se sustituye x=2 en la
función original.
f(x) =1/4 x4 – 2/3 x3
f(2) =1/4 (2)4 – 2/3 (2)3 = -4/3
Por lo tanto, el punto más bajo de la función es (2, -4/3)

10. Concavidad y Puntos de
Inflexión
La concavidad nos proporciona información acerca de la forma en que la gráfica de
una función se flexiona, es decir, se vuelve curva.
Si trazamos rectas tangentes a una gráfica y esta se encuentra siempre por arriba
de las rectas tangentes, se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba.

11. Concavidad y Puntos de
Inflexión
De manera similar, si trazamos rectas tangentes a una gráfica y esta se encuentra
siempre por abajo de las rectas tangentes, se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo.

12. Puntos de Inflexión

13. Ejemplo 2
Utiliza la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión de la función
f(x) =1/20 x5 – 5/12 x4, determina los intervalos en los que la función es cóncava
hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.
f’(x) = 5/20 x4 – 5(4) / 12 x3 = 5/20 x4 - 20/12 x3
f’’(x) = 5(4) / 20 x3 – 20 (3) /12 x2 = 20/20 x3 – 60/12 x2 = x3 – 5 x2
f’’(x) = 0
x3 - 5x2 = 0
x2 (x - 5) = 0
X = 0 y x = 5, son los valores de x, donde podrían existir puntos de inflexión.
0 5

14. Ejemplo 2
Intervalos No.
seleccionado
f’’(x)= x3 – 5x2 Signo
1ª. Derivada
Conclusión
(-оо, 0) -1 (-1)3 -5(-1)2= -6
- Cóncava hacia
abajo
(0, 5) 1 (1)3 -5(1)2= -4
- Cóncava hacia
abajo
(5, +оо) 6 (6)3 -5(6)2= 36
+ Cóncava hacia
arriba
0 5
Cóncava hacia
abajo
Cóncava hacia
abajo
Cóncava hacia
arriba
f’’(x) < 0 f’’(x) < 0 f’’(x) > 0

15. En x=5, la gráfica de la función tiene un punto de inflexión.
Ejemplo 2
Si se quiere obtener la ordenada del valor de x, se sustituye x=5 en la función
original.
f(x) = 1/20 x5 – 5/12 x4
f(5) = 1/20 (5)5 – 5/12 (5)4 = - 104.17
Por lo tanto, el punto de inflexión es (5, -104.17)