1. O documento descreve um projeto de graduação sobre o controle de não-linearidades em uma treliça pseudoelástica composta por ligas de memória de forma. 2. O projeto analisa o comportamento dinâmico não-linear do sistema, desenvolve um modelo matemático e implementa um método de controle chamado TDF para estabilizar órbitas periódicas instáveis. 3. Os resultados demonstraram que o método TDF foi eficaz para controlar o sistema inicialmente caótico e evitar o comportamento de snap-through, levando a

1. PROJETO DE GRADUAÇÃO
Não-lineariedades e controle em
uma treliça pseudoelástica
Marcel Vítor Santana dos Santos
Orientadora: Aline Souza de Paula

2. Sumário
1– Motivação
2 – Contexto teórico
3 – Ferramentas de análise
4 – Implementação do controle
5 – Apresentação dos resultados
6 – Padrões e análise de sensibilidade
7 – Conclusão e perspectivas

3. Motivação e exemplos de aplicações
Sistemas
dinâmicos
não-lineares
Materiais
Inteligentes
(SMA)
Controle de caos
1 - Controle de operação 2 - Novos produtos 3 - Otimização estrutural

4. Treliça de Von Mises – modelo geral
Forçamento externo
Massa concentrada no
ponto de junção das barras

Sistema mecânico com duas barras

Comportamento bi-estável

Não-linearidades geométricas

Liga de memória de forma

Não-linearidades constitutivas

Dinâmica de transição de fase
Deformação simétrica
Presença do fenômeno
snap-through

5. CONTEXTO

6. SMA – Comportamento geral
Efeito memória de forma
Efeito memória de forma

7. SMA – Comportamento geral
Diminuição da
temperatura
• Martensita (A-B)
Aumento da
temperatura
• Austenita (C-D)
Efeito mudança de temperatura
Efeito pseudoelástico
• Somente austenita
• Estado livre de tensões
Efeito pseudoelástico
• Analisado neste trabalho
Efeito pseudoelástico

8. Modelagem matemática – movimento
Deformação (ε)
• Lei de Hooke
• E = EM + β3 (EA – EM)
Fração volumétrica
• β1 = M+ (não-maclada)
• β2 = M - (não-maclada)
• β3 = A
• β4 = 1−(β1+β2+β3)
Temperatura (T)
• Expansão térmica
• Ω = ΩM + β3 (ΩA – ΩM)

9. Modelagem matemática – movimento

10. Modelagem matemática – movimento

11. Modelagem matemática – evolução

12. Procedimento numérico
Linguagem
• Programa C++
Simulações
• 3000 períodos
• Discretizados (1200
partes)
Runge Kutta
• 4ª ordem
• ∆τ = π/1000ϖ
Modelo constitutivo
• Método de Projeção
Ortogonal (Savi)

13. ANÁLISE

14. Sistemas dinâmicos não-lineares
Espaço de fase
Hiperplano
Seção de Poincaré

15. Vibração forçada – resposta dinâmica
Forçamento
• Amplitude constante
• γ = 0,01
Variação (frequência)
• Variação de regimes
• Diagrama de bifurcação
• 200 períodos de forçamento
Caso de estudo
• Frequência
•  = 0,3347
Regime caótico

16. Dinâmica no espaço de fase

17. Dinâmica de transição de fases

18. CONTROLE

19. Órbitas periódicas instáveis

Seção de Poincaré

Varre-se todos os pontos
contidos na série temporal

Verifica-se quais os pares
que satisfazem à condição:

Tolerância determinada

OPIs encontradas


Órbitas mostradas em detalhes
Período 1
Período 2

Período 4

20. Método TDF (Time-Delay Feedback)
x(t)
variáveis de estado
Q(x,t)
dinâmica do sistema
B(t)
ação de controle
K é a matriz de ganho e xτ é a defasagem do método
Se a defasagem coincidir com a periodicidade da i-ésima OPI, a perturbação se
anula para a solução do sistema que é correspondente a esta OPI.

21. Modelagem – termo de controle

22. Modelagem – termo de controle

23. RESULTADOS

24. Resultados (τ = 1 e K = 0)

25. Resultados (τ = 1 e K = 0,5)

26. Resultados (τ = 1 e K = 1)

27. Resultados (τ = 1 e K = 1) – transiente

28. Resultados (τ = 2 e K = 0,7)

29. Resultados (τ = 4 e K = 0,5)
Efeito Transiente
Convergência
• O método TDF apresenta
dificuldades para altas
periodicidades (τ)
Avaliação de
resultados
• Cuidado: caótico ou
quase-periódico?
Avaliação de
resultados
• Múltiplas perspectivas

30. Mapa de resultados
Ganho (K)
0
0,10 0,20 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,70 0,75 1,0
Defasagem (τ = 1)
C
P4
Defasagem (τ = 2)
C
C
C
Defasagem (τ = 4)
C
C
C
QP QP
P2
QP QP QP QP QP
P1
P1
P1
C
C
C*
C
C
C* QP
Aplicação do método de controle
pode ser considerada bem sucedida
para todos os valores de ganho K
aplicados para uma defasagem τ = 1
C
C
C
C
P2
C*
C*
C
C
C*
C*
C*
C*
A resposta de comportamento
quase-periódico e periódico não
apresenta correlação com o
aumento do valor de ganho

31. PADRÕES E ANÁLISE
DE SENSIBILIDADE

32. Padrões – regime caótico
Espaço de fase
desorganizado
Visita os dois lados do
sistema sem padrão
bem definido
Presença de estados
livre de tensões
Transições de fase com
aspecto “borrado”
Sinais de controle sem
padrão bem definido no
espaço

33. Padrões – regime quase-periódico
Espaço de fase
organizado
Visita aos dois lados do
sistema com padrão
bem definido
Nunca alcança um
estado livre de tensões
Coexistência de laços
de histerese
Sinal de controle com
comportamento
“ampulheta”

34. Padrões – regime periódico
Espaço de fase
organizado
NO SNAP-THROUGH
Presença do estado
livre de tensões
Laços de histerese
claramente separados
Sinais de controle com
padrão bem definido no
espaço

35. Análise de sensibilidade – frequência

36. Análise de sensibilidade – amplitude

37. CONCLUSÃO
E PERSPECTIVAS

38. Conclusões
1
• O sistema de treliça composto por SMA em regime
pseudoelástico apresenta comportamento bastante complexo
2
• O método TDF mostrou-se eficaz para controlar o sistema
inicialmente caótico, especialmente para a utilização de
valores de periodicidade baixos
3
• Após a aplicação do método de controle, foi possível
identificar padrões muito fortes de comportamentos
caóticos, quase-periódicos e periódicos
4
• O controle evitou o comportamento snap-through e reduziu
significativamente os valores de tensão envolvidos

39. Perspectivas
1
• Alterações na aplicação do modelo de controle TDF,
e abordagens com outros métodos devem ser consideradas
2
• Métodos de identificação de caos como o expoente de
Lyapunov devem ser levados em consideração, apesar da
dificuldade de implementação (cálculo do ganho)
3
• Investigações do comportamento da treliça em diferentes
temperaturas podem revelar nuances interessantes e novos
desafios para a abordagem de controle utilizada

40. Muito obrigado!